三角形中的三角函數(shù)

新化上梅中學(xué)授課教師：羅建學(xué)問題1：?jiǎn)栴}2：若A<B，有

sinA<sinB成立嗎

?

在ΔABC中若A<B有sinA<sinB成立嗎

?不對(duì)正確三角形中的三角函數(shù)問題是三角函數(shù)與解三角形的知識(shí)交匯點(diǎn)，是近幾年高考命題的熱點(diǎn)內(nèi)容。拓展∵A<B∴a<b∴2RsinA<2RsinB∴sinA<sinB三角形中的三角函數(shù)高考復(fù)習(xí)1.判斷三角形的形狀特征必須從研究三角形的邊與邊的關(guān)系，或角的關(guān)系入手，充分利用正弦定理與余弦定理進(jìn)行轉(zhuǎn)化，即化邊為角或化角為邊，邊角統(tǒng)一.三角形形狀的判斷依據(jù)：(1)等腰三角形:(2)直角三角形:(3)鈍角三角形:a=b或A=Bb2+c2=a2或A=90°;a2>b2+c2,或90°<A<180°;(4)銳角三角形：若a為最大邊，且滿足

或A為最大角,且

2.在△ABC中常用的一些基本關(guān)系式(1)A+B+C=

;A

A-B(2)sin(B+C)=

,cos(B+C)=

，tan(B+C)=

;(3)sin=

;(4)cos=

;

πsinA-cosA-tanAa2<b2+c20°<A<90°.(0,π)(-π,π)3.正弦定理和余弦定理：正弦定理余弦定理4.三角形面積公式:SΔ考點(diǎn)題型一：利用邊角關(guān)系判斷三角形的形狀

例1

在△ABC中，A、B、C所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為a、b、c，已知(a+b+c)(b+c-a)=3bc，且sinA=2sinBcosC,試判斷△ABC的形狀.

例1在△ABC中，A、B、C所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為a、b、c，已知(a+b+c)(b+c-a)=3bc,且sinA=2sinBcosC,試判△ABC的形狀.解法一：∵（a+b+c)(b+c-a)=3bc∴(b+c)2-a2=3bc

即b2+c2-a2=bc且0°＜A＜180°∴A=60°B+C=120°

例1在△ABC中，A、B、C所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為a、b、c，已知(a+b+c)(b+c-a)=3bc,且sinA=2sinBcosC,試判△ABC的形狀.又由sin(B+C)=2sinBcosC得sinBcosC+cosBsinC=2sinBcosC∴sinBcosC-cosBsinC=0即sin(B-C)=0∵-180°＜B-C＜180°∴B-C=0°即B=C∴ΔABC為等邊三角形

例1

在△ABC中，A、B、C所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為a、b、c，已知(a+b+c)(b+c-a)=3bc,且sinA=2sinBcosC,試判△ABC的形狀.解法二：由法一有A=60°∵sinA=2sinBcosC由正、余弦定理有：∴b2-c2=0即b=c∴ΔABC為等邊三角形評(píng)注：三角形中的恒等式或三角形的形狀判斷等問題，要注意根據(jù)條件的特點(diǎn)靈活運(yùn)用正弦定理或余弦定理.一般考慮兩個(gè)方向進(jìn)行變形，一個(gè)方向是邊，走代數(shù)變形之路，通常是正弦定理、余弦定理結(jié)合使用；另一個(gè)方向是角，走三角變形之路.鞏固練習(xí)：在ΔABC中，B=60°,b2=ac則這個(gè)三角形的形狀為:

()A.不等邊三角形

B.等邊三角形C.等腰三角形

D.直角三角形B考點(diǎn)題型二：

三角形中的求值、證明問題例2

在△ABC中，內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c,已知b2=ac,且cosB=.（Ⅰ）求的值。（Ⅱ）設(shè),求a+c的值。例2

在△ABC中，內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c,已知b2=ac,且cosB=.（Ⅰ）求的值。由cosB=得sinB=又b2=ac∴sin2B=sinAsinC

∴解：例2

在△ABC中，內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c,已知b2=ac,且cosB=.（Ⅱ）設(shè),求a+c的值。由

得：ca·cosB=∴ac=2即

b2=2又由余弦定理:b2=a2+c2-2ac·cosB

∴a2+c2=5∴(a+c)2=a2+c2+2ac=9

得a+c=3這是一道向量、正余弦定理的綜合題，解題的關(guān)鍵是化去向量的“偽裝”，找到三角形的邊角關(guān)系。評(píng)注：練習(xí)2、（2010山東）

在ΔABC中,角A,B,C所對(duì)邊分別為a,b,c若a=b=2,sinB+cosB=

則角A=

．練一練：考點(diǎn)題型三：

三角形中三角函數(shù)的應(yīng)用

例3如圖：有一塊半徑為1m,中心角為的扇形鐵皮材料，為了獲得面積最大的矩形鐵皮，工人師傅常讓矩形的一邊在扇形上，然后作其最大的內(nèi)接矩形.請(qǐng)求出最大面積.0ABCDEFa6p6p6p如圖，設(shè)∠COB=α(0<α<),則BC=sinα=AD,OB=cosα.又

=tan,所以O(shè)A=AD=sinα，所以AB=cosα-sinα,則S矩形ABCD=sinα(cosα-sinα)=sin2α+cos２α-=sin(2α+)-,當(dāng)sin(2α+)=1,即α=

時(shí)，

矩形面積取最大值m2.解：

三角形中三角函數(shù)應(yīng)用問題，常設(shè)角參數(shù)（注意范圍），把題目中出現(xiàn)的邊角用含角的三角函數(shù)表示，再轉(zhuǎn)化為求三角函數(shù)的最值問題.其中確定是什么樣的三角形，用哪些定理或哪些邊角關(guān)系，列出等式或不等式是關(guān)鍵.評(píng)注：練習(xí)3如圖：ABCD中，∠ABC=∠C=120°,AB=4,BC=CD=2,則該四邊形的面積（）B.C.D.B練一練課堂小結(jié)：

高考中對(duì)這部分內(nèi)容主要考查三角形中三角變