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第一章函數(shù)與極限習(xí)題課高數(shù)函數(shù)與極限習(xí)題一、主要內(nèi)容(一)函數(shù)的定義(二)極限的概念(三)連續(xù)的概念高數(shù)函數(shù)與極限習(xí)題函數(shù)的定義函數(shù)的性質(zhì)奇偶性單調(diào)性有界性周期性反函數(shù)隱函數(shù)反函數(shù)與直接函數(shù)之間關(guān)系基本初等函數(shù)復(fù)合函數(shù)初等函數(shù)雙曲函數(shù)與反雙曲函數(shù)(一)函數(shù)高數(shù)函數(shù)與極限習(xí)題1.函數(shù)的定義函數(shù)的分類2.函數(shù)的性質(zhì)有界、單調(diào)、奇偶、周期3.反函數(shù)4.隱函數(shù)5.基本初等函數(shù)6.復(fù)合函數(shù)7.初等函數(shù)8.雙曲函數(shù)與反雙曲函數(shù)高數(shù)函數(shù)與極限習(xí)題數(shù)列極限函數(shù)極限左右極限極限存在的充要條件無窮大兩者的關(guān)系無窮小的性質(zhì)極限的性質(zhì)求極限的常用方法無窮小判定極限存在的準(zhǔn)則兩個重要極限無窮小的比較等價無窮小及其性質(zhì)唯一性(二)極限高數(shù)函數(shù)與極限習(xí)題1、極限的定義:單側(cè)極限2、無窮小與無窮大無窮?。粺o窮大;無窮小與無窮大的關(guān)系無窮小的運(yùn)算性質(zhì)3、極限的性質(zhì)四則運(yùn)算、復(fù)合函數(shù)的極限極限存在的條件高數(shù)函數(shù)與極限習(xí)題4、求極限的常用方法a.多項(xiàng)式與分式函數(shù)代入法求極限;b.消去零因子法求極限;c.無窮小因子分出法求極限;d.利用無窮小運(yùn)算性質(zhì)求極限;e.利用左右極限求分段函數(shù)極限;f.利用等價無窮??;g.利用重要極限5、判定極限存在的準(zhǔn)則夾逼定理、單調(diào)有界原理高數(shù)函數(shù)與極限習(xí)題6、兩個重要極限7、無窮小的比較8、等價無窮小的替換性質(zhì)9、極限的唯一性、局部有界性、保號性高數(shù)函數(shù)與極限習(xí)題(三)連續(xù)左右連續(xù)連續(xù)的充要條件間斷點(diǎn)定義
振蕩間斷點(diǎn)無窮間斷點(diǎn)跳躍間斷點(diǎn)可去間斷點(diǎn)第一類第二類在區(qū)間[a,b]上連續(xù)連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)初等函數(shù)的連續(xù)性非初等函數(shù)的連續(xù)性連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)高數(shù)函數(shù)與極限習(xí)題1、連續(xù)的定義單側(cè)連續(xù)連續(xù)的充要條件閉區(qū)間的連續(xù)性2、間斷點(diǎn)的定義間斷點(diǎn)的分類第一類、第二類3、初等函數(shù)的連續(xù)性連續(xù)性的運(yùn)算性質(zhì)反函數(shù)、復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性4、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)最值定理、有界性定理、介值定理、零點(diǎn)定理高數(shù)函數(shù)與極限習(xí)題二、例題高數(shù)函數(shù)與極限習(xí)題例解將分子、分母同乘以因子(1-x),則高數(shù)函數(shù)與極限習(xí)題例解高數(shù)函數(shù)與極限習(xí)題例解高數(shù)函數(shù)與極限習(xí)題例6解高數(shù)函數(shù)與極限習(xí)題高數(shù)函數(shù)與極限習(xí)題例證明討論:高數(shù)函數(shù)與極限習(xí)題由零點(diǎn)定理知,綜上,高數(shù)函數(shù)與極限習(xí)題例證即xn單調(diào)減,有下界故由單調(diào)有界原理得高數(shù)函數(shù)與極限習(xí)題高數(shù)函數(shù)與極限習(xí)題例求解一高數(shù)函數(shù)與極限習(xí)題例求解高數(shù)函數(shù)與極限習(xí)題例.求極限高數(shù)函數(shù)與極限習(xí)題例解一高數(shù)函數(shù)與極限習(xí)題解二高數(shù)函數(shù)與極限習(xí)題例證明證由夾逼定理知高數(shù)函數(shù)與極限習(xí)題例解因f(x)在x=0處為無窮間斷,即又x=1為可去間斷,高數(shù)函數(shù)與極限習(xí)題高數(shù)函數(shù)與極限習(xí)題例解高數(shù)函數(shù)與極限習(xí)題從而由等價無窮小的代換性質(zhì)得高數(shù)函數(shù)與極限習(xí)題例利用介值定理證明,當(dāng)n為奇數(shù)時,方程至少有一實(shí)根證高數(shù)函數(shù)與極限習(xí)題故由函數(shù)極限的保號性質(zhì)可知又n是奇數(shù),所以故由零點(diǎn)定理知高數(shù)函數(shù)與極限習(xí)題和差化積
sinθ+sinφ=2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2]
sinθ-sinφ=2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2]
cosθ+cosφ=2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2]
cosθ-cosφ=-2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2]積化和差
sinαsinβ=[cos(α+β)-cos(α-β)]/2
cosαcosβ=[cos(α+β)+cos(α-β)]/2
sin
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