專題13 相似三角形應(yīng)用舉例-解析版

專題13相似三角形的應(yīng)用舉例★知識點(diǎn)1：利用影長測量物體的高度典例分析【例1】（2023春·山東泰安·八年級統(tǒng)考期末）如圖，小明欲測量一座信號發(fā)射塔的高度．他站在該塔的影子上前后移動，直到他自己影子的頂端正好與塔的影子的頂端重合，此時他距離該塔20米．已知小明的身高是1.8米，他的影長是2米．

(1)圖中與是否相似？為什么？(2)求信號發(fā)射塔的高度．【答案】(1)相似，見解析(2)19.8米【分析】（1）根據(jù)在同一時刻物高和影長成正比，即在同一時刻的兩個物體，影子，經(jīng)過物體頂部的太陽光線三者構(gòu)成的兩個直角三角形相似；（2）利用相似三角形的性質(zhì)求得相應(yīng)線段的長即可．【詳解】（1）解：理由：由題意知，，∴，∵∠A＝∠A，∴；（2）解：由題意知，米，米，米，∴米，∵，∴，即解得米，經(jīng)檢驗符合題意，∴信號發(fā)射塔的高度為19.8米．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形在測量高度時的應(yīng)用，解題時關(guān)鍵是找出相似的三角形，然后根據(jù)對應(yīng)邊成比例列出方程，建立適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型來解決問題．【例2】（2022秋·福建寧德·九年級統(tǒng)考期中）如圖，小明與同學(xué)合作利用太陽光線測量旗桿的高度，身高1.6m的小明落在地面上的影長為m．

(1)請你在圖中畫出旗桿在同一時刻陽光照射下落在地面上的影子；(2)若小明測得此刻旗桿落在地面的影長m，請求出旗桿的高度．【答案】(1)詳見解析(2)旗桿的高度為9.6m【分析】（1）根據(jù)相似三角形畫出圖形；（2）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出的長度．【詳解】（1）影子，如圖所示；

（2）∵，∴，∵．∴，∴，即，解得，∴旗桿的高度為9.6m．【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的應(yīng)用．解題的關(guān)鍵是證明三角形相似．【即學(xué)即練】1．（2023春·山東煙臺·八年級統(tǒng)考期末）我國古代數(shù)學(xué)家趙爽利用影子對物體進(jìn)行測量的方法，在至今仍有借鑒意義．如圖所示，現(xiàn)將一高為米的木桿放在燈桿前，測得其影長為米，再將木桿沿著方向移動米至的位置（），此時測得其影長為米，求燈桿的高度．

【答案】燈桿的高度為米．【分析】根據(jù)，得到，根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例得到，又根據(jù)，得出，根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例得到，列出等式，即可求出，的長．【詳解】如圖：由題意得：米，米，，∵，∴．∴，∴，∵，∴．∴，∴．∴，∴米，∴．∴米，∴燈桿的高度為米．【點(diǎn)睛】此題考查了相似三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，熟悉相似三角形的判定與性質(zhì)．2．（2023春·山東泰安·八年級統(tǒng)考期末）亮亮和穎穎住在同一幢住宅樓，兩人準(zhǔn)備用測量影子的方法測算其樓高，但恰逢陰天，于是兩人商定改用下面方法：如圖，亮亮蹲在地上，穎穎站在亮亮和樓之間，兩人適當(dāng)調(diào)整自己的位置，當(dāng)樓的頂部，穎穎的頭頂及亮亮的眼睛恰在一條直線上時，兩人分別標(biāo)定自己的位置C，D．然后測出兩人之間的距離，穎穎與樓之間的距離（C，D，N在一條直線上），穎穎的身高，亮亮蹲地觀測時眼睛到地面的距離．求住宅樓的高度是多少米．

【答案】住宅樓的高度為．【分析】過作，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，由相似三角形的判定定理得出，再由相似三角形的對應(yīng)邊成比例即可得出的長，進(jìn)而得出結(jié)論．【詳解】解：如圖所示，過作，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)．

由已知可得．．又，所以．所以，即，解得．所以．所以住宅樓的高度為．【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的應(yīng)用，熟悉并掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．★知識點(diǎn)2：利用相似測量河流、池塘等物體的寬度，典例分析【例1】（2023春·云南昭通·八年級統(tǒng)考期末）為了測量一條兩岸平行的河流的寬度，三個數(shù)學(xué)活動小組設(shè)計了不同的方案，他們在河南岸的點(diǎn)B處測得河北岸的樹AB恰好在B的正北方向，測量方案如下表：課題測量河流寬度工具測量角度的儀器，標(biāo)桿，皮尺等小組第一小組第二小組第三小組測量方案觀測者從B點(diǎn)向東走到點(diǎn)，此時測得點(diǎn)恰好在東南方向上．觀測者從B點(diǎn)出發(fā)，沿著南偏西的方向走到點(diǎn)，此時恰好測得．觀測者從B點(diǎn)向東走到點(diǎn)，在點(diǎn)插上一面標(biāo)桿，繼續(xù)向東走相同的路程到達(dá)點(diǎn)后，一直向南走到點(diǎn)，使得樹、標(biāo)桿、人在同一直線上．測量示意圖

(1)第一小組認(rèn)為要知道河寬，只需要知道線段______的長度．(2)第二小組測得米，則______．(3)第三小組認(rèn)為只要測得就能得到河寬，你認(rèn)為第三小組的方案可行嗎?如果可行，請給出證明；如果不可行，請說明理由．【答案】(1)(2)30米(3)可行，理由見解析【分析】（1）由題意得為等腰直角三角形，即可解答；（2）由題意得為等腰三角形，即可解答；（3）由題意得，即可解答．【詳解】（1）解：∵點(diǎn)C恰好在點(diǎn)A東南方向，∴為等腰直角三角形，∴要知道河寬，只需要知道線段的長度，故答案為：；（2）解：∵，∴，∴，∴米，故答案為：30米；（3）解：可行，理由如下：在和中，，∴，∴，∴只要測得就能得到河寬，故第三小組的方案可行．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形、相似三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握以上知識點(diǎn)并運(yùn)用數(shù)學(xué)結(jié)合思想．【例2】（2022秋·福建三明·九年級統(tǒng)考期末）下表是小明填寫的綜合實踐活動報告的部分內(nèi)容，請你借助小明的測量數(shù)據(jù)，計算河流的寬度．題目測量河流寬度目標(biāo)示意圖測量數(shù)據(jù)，，【答案】河流的寬度為【分析】先根據(jù)平行線的判定得到，再由平行的性質(zhì)，易得，利用相似三角形對應(yīng)邊成比例，即可求解．【詳解】解：由已知有，，∴，又∵，∴，∴．∵，，，∴，解得．即河流的寬度為．【點(diǎn)睛】本題主要考查相似三角形的應(yīng)用，熟練掌握相似三角形的判定及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．即學(xué)即練1.（2023春·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，為了估算池塘的寬度，在池塘邊不遠(yuǎn)處選定一個目標(biāo)點(diǎn)C，在近河邊分別選N，M．使得B，N，C三點(diǎn)共線，A，M，C三點(diǎn)共線且．經(jīng)測量，求池塘的寬度．【答案】【分析】根據(jù)，可得，然后再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得，再代入數(shù)進(jìn)行計算即可．【詳解】解：∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴．∴池塘的寬度是．【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的應(yīng)用，正確理解題意證明是解題的關(guān)鍵．2．（2021秋·河南平頂山·九年級統(tǒng)考期中）閱讀下面材料，完成學(xué)習(xí)任務(wù)：數(shù)學(xué)活動：測量樹的高度在物理學(xué)中我們學(xué)過光的反射定律．?dāng)?shù)學(xué)綜合實踐小組想利用光的反射定律測量池塘對岸一棵樹的高度AB，測量和計算的部分步驟如下：①如圖，在地面上的點(diǎn)C處放置了一塊平面鏡，小華站在BC的延長線上，當(dāng)小華從平面鏡中剛好看到樹的頂點(diǎn)A時．測得小華到平面鏡的距離米，小華的眼睛E到地面的距離米；②將平面鏡從點(diǎn)C沿BC的延長線向后移動10米到點(diǎn)F處，小華向后移動到點(diǎn)H處時，小華的眼睛G又剛好在平面鏡中看到樹的頂點(diǎn)A，這時測得小華到平面鏡的距離米；③計算樹的高度AB：設(shè)米，米．∵，∴∴……任務(wù)：請你根據(jù)材料中得到的測量數(shù)據(jù)和計算步驟，將剩余的計算部分補(bǔ)充完整．【答案】15米，見解析【分析】根據(jù)題意得出△ABF∽△GHF，利用相似三角形的性質(zhì)得出AB，BC的長進(jìn)而得出答案．【詳解】解：設(shè)米，米．∵，，∴，∴，∴∵，∴，∴，∴，∴，解得，把代入中得解得∴樹的高度AB為15米．【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是學(xué)會設(shè)未知數(shù)，構(gòu)建方程組解決問題．★知識點(diǎn)3：利用標(biāo)桿或直尺測量物體的高度典例分析【例1】（2022秋·河南平頂山·九年級統(tǒng)考期末）學(xué)完了《圖形的相似》這一章后，某中學(xué)數(shù)學(xué)實踐小組決定利用所學(xué)知識去測量一古建筑的高度（如圖1），如圖2，在地面上取，兩點(diǎn)，分別豎立兩根高為的標(biāo)桿和，兩標(biāo)桿間隔為，并且古建筑，標(biāo)桿和在同一豎直平面內(nèi)，從標(biāo)桿后退到處，從處觀察A點(diǎn)，A，，三點(diǎn)成一線；從標(biāo)桿后退到處，從處觀察A點(diǎn)，A，，三點(diǎn)也成一線，請根據(jù)以上測量數(shù)據(jù)，幫助實踐小組求出該古建筑的高度．

【答案】【分析】設(shè)，由題意可知兩組三角形相似，利用相似比找出關(guān)于x的方程，即可求出建筑物的高度．【詳解】解：由題意可知：，，，，，．設(shè)，則，解得：，，，．答：該古建筑高．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的應(yīng)用，求出的值是解題的關(guān)鍵．【例2】（2022秋·遼寧鞍山·九年級統(tǒng)考期中）為測量一建筑物的高度，如圖，小明站在處，位于點(diǎn)正前方3米點(diǎn)處有一平面鏡，通過平面鏡小明剛好可以看到建筑物的頂端的像，此時測得小明的眼睛到地面的距離為米；然后，小剛在處豎立了一根高2米的標(biāo)桿，發(fā)現(xiàn)地面上的點(diǎn)、標(biāo)桿頂點(diǎn)和建筑物頂端在一條直線上，此時測得為6米，為4米，已知，，，點(diǎn)、、、、在一條直線上，請根據(jù)以上所測數(shù)據(jù)，計算建筑物的高度（平面鏡大小忽略不計）．

【答案】10米【分析】可證，從而可得，設(shè)米，可求，再證，可得，即可求解．【詳解】解：由題意得：，，，，，，設(shè)米，，，，，，，，，解得：，答：建筑物的高度為10米．【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的判定及性質(zhì)，理解題意，掌握判定方法及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．即學(xué)即練1．（2023·陜西寶雞·統(tǒng)考三模）某校九年級一班的興趣小組準(zhǔn)備測量學(xué)校外一棟建筑物的高度，出于安全考慮，他們不得離開校園，于是便利用所學(xué)知識制定了如下的測量方案：如圖所示，首先，王磊站在點(diǎn)，并在正前方米的點(diǎn)放置一平面鏡，通過平面鏡王磊剛好可以看到建筑物的頂端點(diǎn)，此時測得王磊的眼睛到地面的距離為米；然后，劉慧在建筑物的影子頂端點(diǎn)豎立了一根高米的標(biāo)桿，此時測得標(biāo)桿的影子長為米，而王磊與劉慧之間的距離為米，已知，，，點(diǎn)，，，，在一條直線上，請根據(jù)以上數(shù)據(jù)，計算目標(biāo)建筑物的高度平面鏡大小忽略不計．【答案】大雁塔的高度為米【分析】設(shè)米，證明∽，推出，可得，再證明∽，推出，構(gòu)建方程求解即可．【詳解】解：設(shè)米．∵，，∴，∴，∴，∴，根據(jù)題意得，，∴，∴，解得，經(jīng)檢驗是分式方程的解，答：大雁塔的高度為米．【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會利用參數(shù)構(gòu)建方程是解題的關(guān)鍵．2．（2023·陜西渭南·統(tǒng)考二模）數(shù)學(xué)是一門與生活聯(lián)系比較緊密的學(xué)科，它源于生活、啟于生活，又應(yīng)用于生活，為了讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)與實際生活的緊密聯(lián)系，從而激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，進(jìn)而幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)、掌握數(shù)學(xué)，應(yīng)用數(shù)學(xué)，某校組織了一次課外實踐活動，活動主題是測量某廣場旗桿的高度（旗桿垂直于地面），攜帶的測量工具有皮尺，標(biāo)桿（標(biāo)桿比人高）、平面鏡，假如你是該校的學(xué)生，請你適當(dāng)選用給出的工具，設(shè)計一種測量旗桿的高度的方案（不能攀登旗桿），畫出測量示意圖（不必寫出測量過程），寫出測量數(shù)據(jù)（線段長度用a、b、c…表示），并根據(jù)你的測量方案，計算出旗桿的高度（結(jié)果用含a、b、c…的式子表示）．

【答案】見解析，【分析】利用標(biāo)桿進(jìn)行測量，可以采用視線共線法，測量標(biāo)桿高度，眼睛高度，及水平距離，通過相似來計算目標(biāo)高度．【詳解】解：在旗桿左側(cè)距離點(diǎn)B一定距離的點(diǎn)F處，豎直樹立標(biāo)桿，測量人員繼續(xù)向左走至點(diǎn)D處，觀察旗桿頂部點(diǎn)A，視線恰好過標(biāo)桿頂部，測量示意圖如圖所示，

測量數(shù)據(jù)：，，，，由測量示意圖易得，，，，，得，，，故旗桿AB的高度為．【點(diǎn)睛】本題考查實際問題中測量較高物品的高度，利用標(biāo)桿時通常采用視線共線方案，通過三角形相似來計算高度．注意視線共線時，高度為眼睛距地面的高度，非測量人員身高．★知識點(diǎn)4利用鏡子的反射測量物體的高度典例分析【例1】（2023春·山東威海·八年級校聯(lián)考期末）如圖，嘉嘉同學(xué)正在使用手電筒進(jìn)行物理光學(xué)實驗，地面上從左往右依次是墻、木板和平面鏡．手電筒的燈泡在點(diǎn)處，手電筒的光從平面鏡上點(diǎn)處反射后，恰好經(jīng)過木板的邊緣點(diǎn)，落在墻上的點(diǎn)處，點(diǎn)到地面的高度，點(diǎn)到地面的高度，燈泡到木板的水平距離，墻到木板的水平距離為．已知光在鏡面反射中的入射角等于反射角，圖中點(diǎn)、、、在同一水平面上．求燈泡到地面的高度．

【答案】【分析】根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列方程即可求解．【詳解】證明：，故，即，，，，光在鏡面反射中的入射角等于反射角，，又，，，，解得：，燈泡到地面的高度為．【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的應(yīng)用，由相似得到對應(yīng)線段成比例是解題的關(guān)鍵．【例2】（2023·陜西西安·?？家荒＃緦W(xué)科融合】如圖1，在反射現(xiàn)象中，反射光線、入射光線和法線都在同一個平面內(nèi)，反射光線和入射光線分別位于法線兩側(cè)：入射角等于反射角，這就是光的反射定律．【問題解決】如圖2，小紅同學(xué)正在使用手電筒進(jìn)行物理光學(xué)實驗，地面上從左往右依次是墻，木板和平面鏡，手電筒的燈泡在點(diǎn)G處，手電筒的光從平面鏡上點(diǎn)B處反射后，恰好經(jīng)過木板的邊緣點(diǎn)F，落在墻上的點(diǎn)E處，點(diǎn)E到地面的高度，點(diǎn)到地面的高度，燈泡到木板的水平距離，木板到墻的水平距離為．圖中A，B，C，D在同一條直線上，求燈泡到地面的高度．【答案】燈泡到地面的高度為．【分析】直接利用相似三角形的判定與性質(zhì)得出的長，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列方程進(jìn)而求出的長．【詳解】解：由題意可得：，則，∴，即，解得：，∵∴，∵光在鏡面反射中的反射角等于入射角，∴，又∵，∴，∴，∴，解得：，答：燈泡到地面的高度為．【點(diǎn)睛】此題主要考查了相似三角形的應(yīng)用，正確得出相似三角形，列出比例式是解題關(guān)鍵．即學(xué)即練1．（2022春·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，嘉嘉同學(xué)正在使用手電筒進(jìn)行物理光學(xué)實驗，地面上從左往右依次是墻、木板和平面鏡．手電筒的燈泡在點(diǎn)G處，手電筒的光從平面鏡上點(diǎn)B處反射后，恰好經(jīng)過木板的邊緣點(diǎn)F，落在墻上的點(diǎn)E處，點(diǎn)E到地面的高度，點(diǎn)F到地面的高度，燈泡到木板的水平距離，墻到木板的水平距離為．已知光在鏡面反射中的入射角等于反射角，圖中點(diǎn)A、B、C、D在同一水平面上．(1)求的長．(2)求燈泡到地面的高度．【答案】(1)；(2)．【分析】（1）直接利用相似三角形的判定與性質(zhì)得出的長；（2）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列方程進(jìn)而求出的長．【詳解】（1）解：由題意可得：，則，故，即，解得：，經(jīng)檢驗，是上述分式方程的解，∴的長為；（2）∵，∴（），∵光在鏡面反射中的入射角等于反射角，∴，又∵，∴，∴，∴，解得：（），∴燈泡到地面的高度為．【點(diǎn)睛】此題主要考查了相似三角形的應(yīng)用，正確得出相似三角形是解題關(guān)鍵．2．（2023春·全國·九年級專題練習(xí)）【學(xué)科融合】如圖1，在反射現(xiàn)象中，反射光線，入射光線和法線都在同一個平面內(nèi)：反射光線和入射光線分別位于法線兩例；入射角i等于反射角r．這就是光的反射定律．【問題解決】如圖2，小紅同學(xué)正在使用手電筒進(jìn)行物理光學(xué)實驗，地面上從左往右依次是墻，木板和平面鏡，手電筒的燈泡在點(diǎn)G處，手電筒的光從平面鏡上點(diǎn)B處反射后，恰好經(jīng)過木板的邊緣點(diǎn)F，落在墻上的點(diǎn)E處，點(diǎn)E到地面的高度，點(diǎn)F到地面的高度，燈泡到木板的水平距離，木板到墻的水平距離為．圖中A，B，C，D在同一條直線上．(1)求的長；(2)求燈泡到地面的高度．【答案】(1)(2)．【分析】（1）先證明，再利用相似三角形的性質(zhì)得出，代入數(shù)據(jù)即可求的長；（2）先證明，再利用相似三角形的性質(zhì)得出，代入數(shù)據(jù)即可求的長．【詳解】（1）解：（1）由題意可得：，則，∴，∴，解得：，答：的長為；（2）解：∵，∴，∵光在鏡面反射中的入射角等于反射角，∴，又∵，∴，∴，∴，解得：，答：燈泡到地面的高度為．【點(diǎn)睛】此題主要考查了相似三角形的應(yīng)用，正確得出相似三角形是解題關(guān)鍵．★知識點(diǎn)5測量零件內(nèi)部尺寸典例分析【例1】（2022秋·浙江·九年級專題練習(xí)）一塊材料的形狀是等腰△ABC，底邊BC=120cm，高AD=120cm．(1)若把這塊材料加工成正方形零件，使正方形的一邊在BC上，其余兩個頂點(diǎn)分別在AB，AC上（如圖1），則這個正方形的邊長為多少？(2)若把這塊材料加工成正方體零件（如圖2，陰影部分為正方體展開圖），則正方體的表面積為多少？【答案】(1)這個正方形的邊長為60cm；(2)正方體的表面積為3456cm2【分析】（1）設(shè)正方形的邊長為xcm，證明△AEH∽△ABC，利用相似三角形的性質(zhì)得到，然后代值求出x值即可；（2）設(shè)正方體的棱長為acm，同樣證明△AMN∽△ABC，利用相似三角形的性質(zhì)得到，然后代值求出a值即可．【詳解】（1）解：設(shè)正方形的邊長為xcm，∵四邊形EFGH是正方形，∴EH∥BC，EF=EH=xcm，又AD⊥BC，∴∠AEH=∠ABC，∠AHE=∠ACB，AD⊥EH，DK=EF=xcm，∴△AEH∽△ABC，∴，∵BC=120cm，AD=120cm，∴，解得：x=60，答：方形的邊長為60cm；（2）解：設(shè)正方體的棱長為acm，由題意知：MN∥BC，AP⊥MN，MN=a，PD=4a，∴△AMN∽△ABC，∴，即，解得：a=24∴正方體的表面積為6×242=3456cm2．【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的應(yīng)用舉例，涉及正方形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、正方體的展開圖和表面積等知識，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)是解答的關(guān)鍵．【例2】（2021春·九年級課時練習(xí)）如圖，已知零件的外徑為a，現(xiàn)用一個交叉卡鉗（兩條尺長AC和BD相等）測量零件的內(nèi)孔直徑AB．如果，且量得，求AB以及零件厚度x．【答案】，【分析】根據(jù)兩邊對應(yīng)成比例夾角相等，兩三角形相似判斷出△ABO和△CDO相似，再根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例求出AB，然后根據(jù)厚度x=（a-AB）計算即可得解．【詳解】解：∵OA：OC=OB：OD，∠AOB=∠COD（對頂角相等），∴△ABO∽△CDO，∴AB：CD=OA：OC=n，∴AB=nCD=nb，∴厚度x=（a-AB）=．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的應(yīng)用，判斷出三角形相似并根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例求出AB的長是解題的關(guān)鍵．即學(xué)即練1．（2022秋·浙江·九年級專題練習(xí)）如圖，△ABC是一塊銳角三角形余料，邊BC=120mm，高AD=80mm，要把它加工成矩形零件PQMN，使矩形PQMN的邊QM在BC上，其余兩個頂點(diǎn)P，N分別在AB，AC上．（1）當(dāng)矩形的邊PN=PQ時，求此時矩形零件PQMN的面積；（2）求這個矩形零件PQMN面積S的最大值．【答案】（1）矩形零件PQMN的面積為2304mm2;（2）這個矩形零件PQMN面積S的最大值是2400mm2.【分析】（1）設(shè)PQ=xmm，則AE=AD-ED=80-x，再證明△APN∽△ABC，利用相似比可表示出,根據(jù)正方形的性質(zhì)得到（80-x）=x,求出x的值，然后結(jié)合正方形的面積公式進(jìn)行解答即可．（2）由（1）可得，求此二次函數(shù)的最大值即可．【詳解】解：（1）設(shè)PQ=xmm，易得四邊形PQDE為矩形，則ED=PQ=x，∴AE=AD-ED=80-x，∵PN∥BC，∴△APN∽△ABC，，即，，∵PN=PQ，，解得x=48．故正方形零件PQMN面積S=48×48=2304（mm2）．（2）當(dāng)時，S有最大值==2400（mm2）．所以這個矩形零件PQMN面積S的最大值是2400mm2.【點(diǎn)睛】本題考查綜合考查相似三角形性質(zhì)的應(yīng)用以及二次函數(shù)的最大值的求法．2．（2023·陜西西安·?？家荒＃┮粔K材料的形狀是銳角三角形ABC，邊BC＝12cm，高AD＝8cm，把它加工成矩形零件如圖，要使矩形的一邊在BC上，其余兩個頂點(diǎn)分別在AB，AC上，且矩形的長與寬的比為3∶2，求這個矩形零件的邊長．【答案】個矩形零件的長為6cm，寬為4cm或長為cm，寬為cm.【分析】由已知可得BCPQ，從而有△APQ∽△ABC，繼而可得，由于矩形長與寬的比為3：2，分兩種情況分別求解即可.【詳解】解：∵四邊形PQMN是矩形，∴BCPQ，∴△APQ∽△ABC，∴，由于矩形長與寬的比為3：2，∴分兩種情況：①若PQ為長，PN為寬，設(shè)PQ=3k，PN=2k，則，解得：k=2，∴PQ=6cm，PN=4cm；②PN為6，PQ為寬，設(shè)PN=3k，PQ=2k，則，解得：k=，∴PN=cm，PQ=cm；綜上所述：矩形的長為6cm，寬為4cm或長為cm，寬為cm．【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的應(yīng)用，主要利用了相似三角形對應(yīng)高的比等于對應(yīng)邊的比，根據(jù)已知分情況進(jìn)行討論是解本題的關(guān)鍵．★知識點(diǎn)6測量地面的兩個物體間的距離典例分析【例1】（2021秋·河南平頂山·九年級統(tǒng)考期末）如圖，A、B、C分別表示甲、乙、丙三個物體的頂端，甲物體高3米，影長2米，乙物體高2米，影長3米，甲乙兩物體相距4米．（1）請在圖中畫出光源燈的位置及燈桿，并畫出物體丙的影子．（2）若甲、乙、丙及燈桿都與地面垂直，且在同一直線上，求燈桿的高度．【答案】（1）見詳解；（2）6米．【分析】（1）首先連接GA、HB并延長交于點(diǎn)O，從而確定點(diǎn)光源，然后連接OC并延長即可確定影子；（2）作OM⊥QH，設(shè)OM=x，EM=y，根據(jù)三角形相似列出比例式即可確定燈的高度．【詳解】解：（1）點(diǎn)O為燈的位置，QF為丙物體的影子；（2）作OM⊥QH，設(shè)OM=x，EM=y，由△GAE∽△GOM得，即：①，由△BDH∽△OMH得即：②結(jié)合①②得，x=6，y=2．經(jīng)檢驗，x=6、y=2是方程的解，答：燈的高度為6米．【點(diǎn)睛】本題考查了中心投影的知識，解題的關(guān)鍵是根據(jù)兩個物體及其影子確定點(diǎn)光源，難度不大．【例2】．（2023·浙江衢州·?？家荒＃?）如圖1，若D、E分別是△ABC的邊、上的中點(diǎn)，我們把這樣的線段稱為是三角形的中位線．你知道中位線與之間有什么關(guān)系嗎？請同學(xué)們大膽地猜想一下，并證明你的結(jié)論．（2）如示意圖2，小華家（點(diǎn)A處）和公路（l）之間豎立著一塊長且平行于公路的巨型廣告牌（）．廣告牌擋住了小華的視線，請在圖中畫出視點(diǎn)A的盲區(qū)，并將盲區(qū)內(nèi)的那段公路計為．一輛以勻速行駛的汽車經(jīng)過公路段的時間是，已知廣告牌和公路的距離是，求小華家到公路的距離（精確到）．

【答案】（1），，證明見解析；（2）133米【分析】（1）首先要正確畫出圖形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)進(jìn)行證明即可．（2）作射線、分別于相交于點(diǎn)、，然后即可確定盲區(qū)；先根據(jù)路程速度時間求出的長度，然后過點(diǎn)作，根據(jù)相似三角形對應(yīng)高的比等于對應(yīng)邊的比列出比例式，然后求出的長度，也就是小明家到公路的距離．【詳解】解：（1），證明：延長到，使，連接．

，，．，．．，．四邊形是平行四邊形．，．∴三角形的中位線平行于第三邊且等于第三邊的一半（2）解：過作于，交于則，設(shè)則，答：小華家到公路的距離是133米.【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形的中位線定理及相似三角形的應(yīng)用，相似三角形對應(yīng)高的比等于對應(yīng)邊的比的性質(zhì)，根據(jù)題意作出圖形構(gòu)造出相似三角形是解題的關(guān)鍵．即學(xué)即練1．（2022秋·遼寧沈陽·九年級沈陽市第四十三中學(xué)?？计谥校┠场熬C合與實踐”小組開展了測量本校旗桿高度的實踐活動，如圖，他們在旗桿底部所在的平地上放置一個平面鏡E來測量學(xué)校旗桿的高度，鏡子中心E與旗桿的距離米，當(dāng)鏡子中心E與測量者的距離米時，測量者剛好從鏡子中看到旗桿頂部的端點(diǎn)A．已知測量者的身高為1.6米，測量者的眼睛距地面的高度為1.5米．(1)在計算過程中C、D之間的距離應(yīng)是______米；(2)根據(jù)以上測量結(jié)果，求出學(xué)校旗桿的高度．【答案】(1)1.5(2)15米【分析】（1）根據(jù)測量者的眼睛距地面的高度為1.5米，即可得出C、D之間的距離；（2）證明，根據(jù)三角形相似的性質(zhì)，求出學(xué)校旗桿的高度即可．【詳解】（1）解：∵測量者的眼睛距地面的高度為1.5米，∴C、D之間的距離為1.5米．故答案為：1.5．（2）解：由題意可知，，∴，∴，∴，∴，答：學(xué)校旗桿的高度為15米．【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相似三角形的判定，證明．2.（2021秋·浙江溫州·九年級?？计谥校╄F路道口的欄桿如圖，其A，B兩端到旋轉(zhuǎn)支點(diǎn)C的距離分別為AC＝1.2m，BC＝15m．欄桿在水平狀態(tài)下到地面的距離CD為1.3m，欄桿繞點(diǎn)C轉(zhuǎn)動，當(dāng)A端下降至離地距離AE為0.9m時，求此時B端到地面的距離（BF）為多少米？【答案】此時BF為米【分析】通過證明，可得，可求解．【詳解】解：如圖，由題意可得：AC＝，BC＝15，，∵，∴，∴，∴，∴，∴＝5，∴（米）．【點(diǎn)睛】本題主要考查相似三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)．★知識點(diǎn)7利用相似三角形解決小孔成像問題典例分析【例1】（2023春·山東濰坊·八年級統(tǒng)考期末）如圖是小孔成像的示意圖，已知物距為，像距為，則當(dāng)火焰高度為時，火焰的像的高度是．

【答案】9【分析】根據(jù)小孔成像的性質(zhì)及相似三角形的性質(zhì)求解即可．【詳解】解：根據(jù)小孔成像的性質(zhì)及相似三角形的性質(zhì)可得：火焰的高度與火焰的像的高度的比值等于物距與像距的比值，設(shè)火焰的像的高度是，則，解得：，即火焰的像的高度是，故答案為：9．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵在于理解小孔成像的原理得到相似三角形．【例2】（2023春·江蘇蘇州·八年級統(tǒng)考期末）兩千四百多年前，我國學(xué)者墨子就在《墨經(jīng)》中記載了小孔成像實驗的做法與成因，圖1是小孔成像實驗圖，抽象為數(shù)學(xué)問題如圖2：與交于點(diǎn)O，，若點(diǎn)O到的距離為，點(diǎn)O到的距離為，蠟燭火焰的高度是，則蠟燭火焰倒立的像的高度是．

【答案】//【分析】根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，進(jìn)行計算即可得到答案．【詳解】解：根據(jù)題意可得：∵，∴，∵點(diǎn)O到的距離為，點(diǎn)O到的距離為，∴由相似三角形對應(yīng)高之比是相似比可得：，，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)的實際應(yīng)用，解決此問題的關(guān)鍵在于正確理解題意的基礎(chǔ)上建立數(shù)學(xué)模型，把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題．即學(xué)即練1．（2023·寧夏銀川·校考一模）我們都聽說過“小孔成像”，下圖是愛動手操作的小迪做的小實驗。小迪測量蠟燭到帶孔的擋板的距離是，屏幕到擋板的距離是，屏幕上火焰的高是，則火焰的實際高度為．【答案】/厘米【分析】根據(jù)相似三角形的性質(zhì)進(jìn)行求解即可得到答案．【詳解】解：根據(jù)題意可知，，火焰的實際高度與屏幕上火焰的高之比等于蠟燭到帶孔的擋板的距離與屏幕到擋板的距離之比，，，，即火焰的實際高度為,故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的實際應(yīng)用，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．2．（2022秋·安徽宣城·九年級統(tǒng)考期末）如圖是小孔成像原理的示意圖，，，．若物體的高度為，則像的高度是．【答案】6【分析】正確理解小孔成像的原理，首先由可證得，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，即可求出的長．【詳解】解：，，，又，，故答案為：6．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的應(yīng)用，掌握相似三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．一、解答題1．（2023秋·湖南婁底·九年級統(tǒng)考期末）如圖，已知河寬，在河的兩岸各取一點(diǎn)，，與相交于點(diǎn)，于點(diǎn)，于點(diǎn)，測得，，求的長．【答案】【分析】證明，根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)定理即可得到結(jié)論．【詳解】解：于點(diǎn)，于點(diǎn)，，，，，，答：的長為．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的應(yīng)用，主要利用了相似三角形對應(yīng)邊成比例，確定出相似三角形是解題的關(guān)鍵．2．（2022秋·河南南陽·九年級統(tǒng)考期中）學(xué)習(xí)相似三角形相關(guān)知識后，善于思考的小明和小穎兩位同學(xué)想通過所學(xué)計算橋的長．如圖，該橋兩側(cè)河岸平行，他們在河的對岸選定一個目標(biāo)作為點(diǎn)，再在河岸的這一邊選出點(diǎn)和點(diǎn)，分別在、的延長線上取點(diǎn)、，使得．經(jīng)測量，米，米，且點(diǎn)到河岸的距離為60米．已知于點(diǎn)，請你根據(jù)提供的數(shù)據(jù)，幫助他們計算橋的長度．【答案】橋的長度為90米【分析】過作于，可得，即可得出，再由，可得，進(jìn)而得出的長．【詳解】解：如圖所示，過作于，，，，，，．，，即解得，答：橋的長度為90米．【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用相似三角形的實際應(yīng)用．掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題關(guān)鍵．3．（2023春·河南南陽·九年級淅川縣第一初級中學(xué)校聯(lián)考期中）“參天三柏倚高峰，武帝曾經(jīng)駐六龍”講的是嵩陽書院內(nèi)的三棵古柏現(xiàn)存兩棵，分別名為“大將軍柏”和“二將軍柏”，林學(xué)專家測定，古柏的樹齡不低于年，是我國現(xiàn)存最古老和最大的柏樹某中學(xué)數(shù)學(xué)課題學(xué)習(xí)小組欲測量“二將軍柏”的高度，他們利用太陽光照射下的影長進(jìn)行測量小西先在大樹影子端點(diǎn)處豎立了一根長為米的木棒，并測得木棒的影長米，然后小樂在的延長線上找到點(diǎn)，使得點(diǎn)，，在同一直線上，并測得米，已知圖中所有點(diǎn)均在同一平面內(nèi)，且，，根據(jù)以上測量過程及測量數(shù)據(jù)，請你幫助該課題學(xué)習(xí)小組求出“二將軍柏”的高度結(jié)果精確到米．【答案】20米【分析】從實際問題中抽象出相似三角形，利用相似三角形的性質(zhì)列比例式求解即可．【詳解】解：由題意得，，，∴，即，∴，∵，，，∴，即，解得，答：“二將軍柏”的高度約為米．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是從實際問題中抽象出相似三角形，難度不大．4．（2023·陜西西安·?？寄M預(yù)測）如圖，樓的層數(shù)為5層，在樓頂A處觀望另一幢樓的底部D，視線正好經(jīng)過小樹的頂端E，又從樓的底部B處觀望樓的頂部C，視線也正好經(jīng)過小樹的頂端E，樓的層數(shù)為9層．已知這兩幢樓每層樓的高度均為3米，B、F、D位于同一水平直線上，且均與垂直．求小樹的高度．（結(jié)果保留整數(shù)）

【答案】小樹的高度約為10米．【分析】由可判斷，利用相似比得到①，同樣可證明得到②，然后把兩式相加得到方程，再解方程求出即可．【詳解】解：∵，∴，∴①，∵，∴，∴②，①+②得，由題意得，，∴，∴米．答：小樹的高度約為10米．【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是從實際問題中抽象出相似三角形，利用相似三角形對應(yīng)邊的比相等的性質(zhì)求物體的高度．5．（2021秋·安徽安慶·九年級安慶市石化第一中學(xué)?？计谥校┤鐖D，一條小河的兩岸有一段是平行的，在河的一岸每隔6m有一棵樹，在河的對岸每隔60m有一根電線桿，在有樹的一岸離岸邊30m處可看到對岸相鄰的兩根電線桿恰好被這岸的兩棵樹遮住，并且在這兩棵樹之間還有三棵樹，求河的寬度．【答案】45m【分析】過點(diǎn)A作AF⊥DE，垂足為F，并延長交BC于點(diǎn)G，根據(jù)題意可得△ADE∽△ABC，根據(jù)相似三角形的高之比等于相似比，求得,進(jìn)而根據(jù)即可求得河的寬度．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)A作AF⊥DE，垂足為F，并延長交BC于點(diǎn)G，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC.∵AF⊥DE，DE∥BC，∴AG⊥BC，∴＝，∴＝.解得AG＝75，∴FG＝AG－AF＝75－30＝45，即河的寬度為45m.【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的應(yīng)用，掌握相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．6．（2021秋·九年級課時練習(xí)）如圖，為了測量一個大峽谷的寬度，地質(zhì)勘探人員在對面的巖石上觀察到一個特別明顯的標(biāo)志點(diǎn)O，再在他們所在的這一側(cè)選點(diǎn)A，B，D，使得，然后確定和的交點(diǎn)C．測得，你能幫助