2023年湖南省益陽市普通高校對口單招數(shù)學(xué)自考真題(含答案)

2023年湖南省益陽市普通高校對口單招數(shù)

學(xué)自考真題（含答案）

學(xué)校:班級:姓名:考號:

一、單選題（10題）

1.設(shè)i是虛數(shù)單位，若z/i=（i-3）/（1+i）則復(fù)數(shù)z的虛部為（）

A.-2B.2C.-1D.1

2.下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又是增函數(shù)的是

1

V=--X

A.3

1

?'二-

X

B.

V-2X1

C.

D.y=3x

JI

3.函數(shù)y的定義域是（）

A.（-2,2）B.[-2,2）C.（-2,2]D.[-2,2]

4圓心是（1,0）,半徑為3的圓的方程（）

A（if+y=3

（x+i）2+y=9

B.

2

C(X-1)+J/=9

2

d(x+i)+y=3

5.在正方體ABCD-AIBICIDI中，二面角Di-AB-D的大小是()

A.3O0B.60°C.45°D.90°

已知A是銳角，貝！12A是().

/A.第一象限角B.第二象限角C.第一或第二象限角D.小于180°的正角

6.

7.已知函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，且當(dāng)x>0時，f(x)=x2+l/x,則f(-l)=()

A.2B.1C.OD.-2

8.圓心為(1,1)且過原點的圓的方程是()

A.(x-l)2+(y-l)2=l

B.(x+l)2+(y+l)2=l

C.(x+iy+(y+1)2=2

D.(x-l)2+(y-l)2=2

9.設(shè)復(fù)數(shù)z滿足z+i=3-i,則￡=()

A.-l+2iB.l-2iC.3+2iD.3-2i

10.若是兩條不重合的直線表示平面，給出下列正確的個數(shù)()

>nJLa

(1)mLn

IIft

(2)n_La

mLa

>mLn

(3)

<n_La

(4)

A.lB.2C.3D.4

二、填空題(10題)

11.要使y=乒赤石5的定義域為一切實數(shù)，則k的取值范圍

12.已知數(shù)列{aj是各項都是正數(shù)的等比數(shù)列，其中a2=2,上=8,則數(shù)

列{aj的前n項和Sn=.

13.在aABC中，AB=/，A=75°,B=45°,則AC=.

]4,已知集合必={一1.1}?2={0.1.2}?則”|JN=

15.乙丹為橢圓毛+§句的焦點，P為橢圓上任一點，則黨片的周長

是.

AC

16.在銳角三角形ABC中，BC=1,B=2A,貝1」項工=,

(#+2)6

17.二項式x的展開式中常數(shù)項等于,

18..ABCD助任卡也止方形ABEF，士的中面或在U川lUFBD=

19.已知直線h：ax-y+2a+l=0和直線h：2x-(a-l)y+2=0(aeR)則li±h的

充要條件是a=.

20.如圖是一個程序框圖，若輸入x的值為8,則輸出的k的值為

三、計算題(5題)

1—X

己知函f(x)=loga------，(a>0且a*)

21.1+x

(1)求函數(shù)f(x)的定義域；

(2)判斷函數(shù)f(x)的奇偶性，并說明理由。

22.已知函數(shù)y=抬cos2x+3sin2x,xwR求：

(1)函數(shù)的值域；

(2)函數(shù)的最小正周期。

23.己知直線1與直線y=2x+5平行,且直線1過點(3,2).

(1)求直線1的方程；

⑵求直線1在y軸上的截距.

24.有四個數(shù)，前三個數(shù)成等差數(shù)列，公差為10,后三個數(shù)成等比數(shù)

列，公比為3,求這四個數(shù).

25.近年來，某市為了促進(jìn)生活垃圾的分類處理，將生活垃圾分為“廚余

垃圾”、“可回收垃圾”、“有害垃圾”和“其他垃圾”等四類，并分別垛置

了相應(yīng)的垃圾箱，為調(diào)查居民生活垃圾的正確分類投放情況，現(xiàn)隨機

抽取了該市四類垃圾箱總計100噸生活垃圾，數(shù)據(jù)統(tǒng)計如下(單位：

噸）:

“廚余垃圾”箱“可回收垃圾''箱“有害垃圾”箱“其他垃圾”箱

廚余垃圾24412

可回收垃圾41923

有害垃圾22141

其他垃圾15313

(1)試估計“可回收垃圾”投放正確的概率;

(2)試估計生活垃圾投放錯誤的概率。

四、簡答題(10題)

26.已知向量a=(1,2),b=(x,1),|i=a+2b,v=2a-b且ji〃v；求

實數(shù)X。

?n(180-a)ftan(270+。),sm(360-a)

27.化簡co5(a-180)tar.(900+a)co$(a-360)

28.已知集合尸=；L"[Q=R『.M若F=。，求x,y的值

29.某籃球運動員進(jìn)行投籃測驗，每次投中的概率是0.9,假設(shè)每次投籃

之間沒有影響

(1)求該運動員投籃三次都投中的概率

(2)求該運動員投籃三次至少一次投中的概率

30.以點(0,3)為頂點，以y軸為對稱軸的拋物線的準(zhǔn)線與雙曲線

3x2-y2+i2=0的一條準(zhǔn)線重合，求拋物線的方程。

31.已知拋物線y2=4x與直線y=2x+b相交與A,B兩點，弦長為2指,

求b的值。

32.若a,B是二次方程P-2mx+附+2=0的兩個實根，求當(dāng)m取什么值

時，/+用取最小值，并求出此最小值

21

33.由三個正數(shù)組成的等比數(shù)列，他們的倒數(shù)和是正，求這三個數(shù)

34.己知邊長為a的正方形ABCD,PA_L底面ABCD,PA=a,求證，

PC1.BD

35.在1,2,3三個數(shù)字組成無重復(fù)數(shù)字的所有三位數(shù)中，隨機抽取一

個數(shù)，求：

(1)此三位數(shù)是偶數(shù)的概率；

(2)此三位數(shù)中奇數(shù)相鄰的概率.

五、解答題(10題)

36.已知函數(shù)f(x)=x3-3x2-9x+1.

(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間.

⑵若f(x)-2a+l>0對Vx￡[-2,4]恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.

37.給定橢圓C:x2/a2+y2/b2(a>b>0),稱圓C1:x2+y2=a2+b2為橢圓C的

“伴隨圓已知橢圓C的離心率為痣72,且經(jīng)過點(0,1).

(1)求橢圓C的方程；

⑵求直線1:x—y+3=0被橢圓C的伴隨圓Ci所截得的弦長.

38.如圖，在三棱錐A-BCD中，ABBCD,BC±BD,BC=3,

BD=4,直線AD與平面BCD所成的角為45。點E,F分別是AC,AD

的中點.

(1)求證田6/平面BCD;

(2)求三棱錐A-BCD的體積.

39.如圖，AB是。0的直徑，P是。0所在平面外一點，PA垂直于。

0所在的平面，且PA=AB=10,設(shè)點C為。0上異于A,B的任意一點.

(1)求證:BC_L平面PAC;

⑵若AC=6,求三棱錐C-PAB的體積.

40.設(shè)橢圓x2/a2+y2/b2的方程為點O為坐標(biāo)原點，點A的坐標(biāo)為(a,

0),點B的坐標(biāo)為(0,b),點M在線段AB上，滿足|BM|=2|MA|直線

叵I

OM的斜率為I.

(1)求E的離心率e

(2)設(shè)點C的坐標(biāo)為(0,-b),N為線段AC的中點，證明：MNLAB

,5)=」在(-0)

41.證明x'.上是增函數(shù)

42.若x￡(O,l),求證：10g3X3<k)g3X<X3.

43.從含有2件次品的7件產(chǎn)品中，任取2件產(chǎn)品，求以下事件的概率.

⑴恰有2件次品的概率Pi；

⑵恰有1件次品的概率P2.

叵

44.已知橢圓的中心為原點，焦點在x軸上，離心率為F,且經(jīng)過點

M(4,1),直線1：y=x+m交橢圓于異于M的不同兩點A,B直線

MA,MB與x軸分別交于點E,F.

(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

⑵求m的取值范圍.

45.已知等差數(shù)列陶｝的前72項和為Sn,a5=8,S3=6.

(1)求數(shù)列｛an｝的通項公式；

(2)若數(shù)列｛an｝的前k項和Sk=72,求k的值.

六、單選題(0題)

46,平面向量。”2),ma則實數(shù)〃等于()

A.-lB.-4C.4D.2

參考答案

1.C

復(fù)數(shù)的運算及定義.

2.D

3.C

自變量x能取到2,但是不能取-2,因此答案為C。

4.C

5.C

根據(jù)題中條件易知：AB1AD,AB1ADX

故/。14。即為二面角。1-AB-。的平面

角

顯然014為正方形4DO141的對角線，故

ZDMP=45°

6.D

7.D

函數(shù)的奇偶性.由題意得f(-l)=-f(1)=-(1+1)=-2

8.D

圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.圓的半徑r

~>/\*+P—>/2?彷1的方程為(1—))'+(y-

1尸=2.故選I).

9.C

復(fù)數(shù)的運算.由z+i=3-i,得z=3-2i,/.z=3+2i.

10.B

若兩條不重合的直線表示平面，由直線和平面之間的關(guān)系可知(1)、

(4)正確。

ll.-l<k<3

等比數(shù)列前“項和公

式.設(shè)等比數(shù)列｛%｝的苜項為>0),公比

為q(q>0),由題意得-2因為小>0,g

3

ayq=8

>0,所以d=l.g=2,所以數(shù)列匕」的前”項

i2.2n-i]—q

13.2.解三角形的正弦定理.C=180。-75。-45。=60。，由正弦定理得

=AB/sinC=AC/sinB解得AC=2.

14.{-1,0,1,2}

15.18,

2

/2y

由橢圓。：土+幺=1,可得

259

Q2=25,接=9,

解得a=5,b=3,「.c=\/a2—62=4.

則△尸尸192的周長

I+IFj

=\PFr|+\PF2F2\

=2a+2c

=2x5+2x4

=18,

16.2

17.15,由二項展開式的通項可得

T—「7.y2(6—-r—prv12-3?,

2r+l—b6xA-L6X,令12-3―0,得

『4,所以常數(shù)項為C：=15。

18.K/3

19.1/3

充要條件及直線的斜率』」12-2a/a-l=-l-(2a)+(a-l)=0,解得A=l/3

20.4

程序框圖的運算.執(zhí)行循環(huán)如下：x=2x8+l=17,k=l;x=2xl7+l=35,k=2

時;x=2x35+l=71,k=3時;x=2x71+l=143>115,k=4,此時滿足條件.

故輸出k的值為4.

21.

解：(1)由題意可知：——>0,解得：—

1+x

1?.函數(shù)/(X)的定義域為1)

(2)函數(shù)/(x)是奇函數(shù)，理由如下:

//.l-(-X)11+x11-XJ、

/(一加噫同=噫。=一噫不^一/㈤’

；?函數(shù)/(x)為奇函數(shù)

22.

:解：y=V3COS2X+3sin2x

=2百（；cos2x+坐sin2x）

=2V3（sin^cos2x+cos^sin2x）

=2vJsin（2x+*

（1）函數(shù)的值域為[-20,20].

（2）函數(shù)的最小正周期為7=改=兀

2

23.解：(1)設(shè)所求直線I的方程為：2x-y+c=0

?.?直線I過點(3,2)

6-2+c=0

即c=-4

.??所求直線I的方程為：2x-y-4=0

(2)..?當(dāng)x=0時，y=-4

直線I在y軸上的截距為-4

24.

解：設(shè)前三個數(shù)分別為b-10,b,b+10,因為b,b+10成等比數(shù)列且公比為3

6+10、

A------=3

b

，b+10=3b,b=5

所以四個數(shù)為-5,5,15,45.

25.

解；(1膿題意得，“可回收垃圾”共有4+19+2+3=28(噸)

其中投放正確的，即投入了“可回收垃圾”箱的有19噸

19_19

所以，可估計“可回收坨圾”投放正確的概率為：19+4+2+3—28

⑵據(jù)數(shù)據(jù)統(tǒng)計，總共抽取了100噸生活垃圾，其中“廚余垃圾”,“可回收垃圾”，“有害垃

圾”,“其他垃圾”投放正確的數(shù)量分別為24噸，19噸，14噸,13噸。故生活垃圾投放正

確的數(shù)量為24+19+14+13=70噸，所以，生活拉圾投放錯誤的總量為100-70=30噸，

100-(19+24+14^13)_3

所以生活垃圾投放錯誤的概率：------ioo-------=Io

26.

=a+2b=(1,2)+(x,l)=(2x,l4)v=(2-x,3)

g//v

1

X=—

(2x+1.4)=(2-x,3)得2

27.sina

28.

解：”=Q

2

/.(])1=x或⑵|(\=x[y

?二x二一1,v=0

29.(1)P=0.9x0.9x0.9=0.729

(2)P=1-0.1x0,1x0.1=0.999

30.由題意可設(shè)所求拋物線的方程為-=2p(y-3)(p>0)

_y-3=--

準(zhǔn)線方程為.2

則y=-3代入得：p=12

所求拋物線方程為X2=24(y-3)

31.

爐"4x

由已知得1,工

y=3x￥b

整理得(2x+b)=4x

即4皿+4+—1以+4=0

b?

，Xi+x?—(b—1)—

r4

再根據(jù)兩點間即離公式得

|AB|=M'1+2:TOh-xj—4“工=45^'1-26-245

32.

解：因為二次方程有兩個根

.*.a4-b=2ni,AB=m+2

則a2+b2=4(m——)2——

44

當(dāng)m=—1時，最小值az+bz=2

a

33.設(shè)等比數(shù)列的三個正數(shù)為T,a,aq

—+a+a^=2l.—

由題意得9aaaq\6

2

解得，a=4,q=l或q=4

解得這三個數(shù)為1,4,16或16,4,1

34.證明：連接AC

PAJ_平面ABCD,PC是斜線，BD±AC

PC1BD(三垂線定理)

35.1,2,3三個數(shù)字組成無重復(fù)數(shù)字的所有三位數(shù)共有封八個

(1)其中偶數(shù)有片=打，故所求概率為“,石?5

(2)其中奇數(shù)相鄰的三位數(shù)有2右=4個

=4=2

故所求概率為“=不二§

36.

(1)令。1)=3/一6工一9>0.解不等

式用zV—1或-t>3.令f'(,j：)=3—-6工-9

VO?解不等式得一1VzV3.故函數(shù)人工)的唯

調(diào)增區(qū)間為(―8.—1〉.(3?+8)?單調(diào)減區(qū)間

為(一1.3).

(2)由(1)可知/(x)在-上單調(diào)遞增.

在上單調(diào)遞減?在［3,4］上電調(diào)遞增,又

/(-2)=-16,/(3)=-26./(3)</(-2).

二-26,???/(1)一2a+13。對V工

恒成立。即2a—

￡［—2.4］?；./(1)1mll)2-I,

1<0*--4o0f????a0—2—5.

37.

：1〉記桃圜C的半焦距為c.由發(fā)意.得右

?《'=aT-blMWa-2,6=1.所以

的圓。的方程為:=1.

(2)由(D知,也圜。的方程，+y，=I,■&的

方程為一+/=5.留心到直線/的距離d=

云==9?所以直線/被圓/+力?5所獻(xiàn)御

v2+1

的蘢長為2，5—(為):=2".

38.

(D【證明】E、F分別為AC,AD中點:?EF

IICDVCDU平面BCD.EFU平面BCD,

1?EF〃平面BCD.

(2)【解】直線AD與平面BCD的夾角為45?又

???在△ABD中，ABJ_BD.，NBDA=/BAD

=45\AB?BD=4?又VS-3X4Xy=

AaroM*

6?V4kD=6X4X=8.

39.(1)YPA垂直于。O所在的平面，BC包含于。。所在的平面，，PA

J_BC,又TAB為。。的直徑，C為。O上異于A、B的-點，AC±

BC,且PACIAC=A,，BC，平面PAC.

⑵由⑴知AABC為直角三角形且NACB=90。，又AC=6,AB=10,，

BC=/10=6^=8.又...pA=io,PA±AC,ASA

PAC=1/2PA.AC=1/2x10x6=30.VC-PAB=1/3XSPACXBC=1/3X30X8=80

40.

(1)解：由題設(shè)條件知，點M的少標(biāo)為

(裝，；6)，乂kint=W,從而;進(jìn)而a—

3310Za10

底b,c=-/a8—b:=2b.故e='一

(2)證：由，是AC的中點如，點N的坐標(biāo)為(；.

一力E得=？=(？,當(dāng).又靠=(一。而,從

/66

而有A5