2023年高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末模擬試卷及答案（二）（理科）

2023年高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末模擬試卷及答案(二)

(理科)

一、選擇題：本大題共13小題，每小題5分，共60分，在每小題給

出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的

1.已知集合人=僅log2X<l},B={xx2+x-2<0},貝!JAUB()

A.(-8,2)B.(0,1)C.(-2,2)D.(-oo,1)

2.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)g(x)滿足z(l+i)=|l+^,則z的共拆

復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

1

3.用三段論推理："指數(shù)函數(shù)y=ax是增函數(shù)，因?yàn)閥=(2)x是指數(shù)

1

函數(shù)，所以y=(2)*是增函數(shù)"，你認(rèn)為這個(gè)推理()

A.大前提錯(cuò)誤B.小前提錯(cuò)誤C.推理形式錯(cuò)誤D.是正確的

4.某單位有7個(gè)連在一起的車位，現(xiàn)有3輛不同型號(hào)的車需停放，

如果要求剩余的4個(gè)車位連在一起，則不同的停放方法的種數(shù)為

()

A.16B.18C.24D.32

5.已知隨機(jī)變量￡服從正態(tài)分布N(3,o2),P(￡W4)=0.842,則P

(￡W2)=()

A.0.842B.0.158C.0.421D.0.316

6.曲線y=ex在點(diǎn)(2,e2)處的切線與坐標(biāo)軸所圍三角形的面積為

31

A.~2e2B.2e2C.e2D.~2e2

7.設(shè)（5x-；^）n的展開式的二項(xiàng)式系數(shù)和為64,則展開式中常數(shù)

項(xiàng)為（）

A.375B.-375C.15D.-15

8.若函數(shù)h（x）=2x-5+l'在（L+8）上是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)k的

取值范圍是（）

A.[-2,+8）B.[2,+8）C.（-8,-2]D.（…，2]

9.設(shè)隨機(jī)變量X?B（10,0.8）,則D（2X+1）等于（）

A.1.6B.3.2C.6.4D.12.8

10.投籃測(cè)試中，每人投3次，至少投中2次才能通過測(cè)試，已知某

同學(xué)每次投籃投中的概率為07且各次投籃是否投中相互獨(dú)立，則

該同學(xué)通過測(cè)試的概率為（）

A.0.784B.0.648C.0.343D.0.441

11.圖中y=3-x2與y=2x陰影部分的面積是（）

A.孤B.9-VsC..D.善

12.函數(shù)f(x)=x3-ax?-bx+a?在x=l處有極值10,則點(diǎn)(a,b)為

A.(3,-3)B.(-4,11)C.(3,-3)或(-4,11)

D.不存在

13.若函數(shù)f(x)=2x?-Inx在其定義域內(nèi)的一個(gè)子區(qū)間(k-1,k+1)

內(nèi)不是單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是()

A.[1,+8)B.[1,C.[1,2)D.[1,2)

二、填空題：本大題共4個(gè)小題，每小題5分，共20分

14.已知命題p：x2+4x+3^0,q：x￡Z,且“p/\q〃與"非q"同時(shí)為假

命題，則乂=.

15.已矢口3+-|=32X-|,4+事42義尚，若9+\=92x\

(a,b為正整數(shù))，則a+b=.

16.為了判斷高中三年級(jí)學(xué)生選修文理科是否與性別有關(guān)，現(xiàn)隨機(jī)抽

取50名學(xué)生，得到2X2列聯(lián)表：

理科文科總計(jì)

男131023

女72027

總計(jì)203050

已知P(K2^3,841)^0.05,P(K2^5.024)^0.025.

；

根據(jù)表中數(shù)據(jù)，得到小。會(huì)泰景器％4.844,則認(rèn)為選修文

理科與性別有關(guān)系出錯(cuò)的可能性約為.

17.已知函數(shù)f(x)=x3+3ax2+3x+l,當(dāng)x￡[2,+°°),f(x)20恒成

立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

［選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程］

18.（選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程）在直角坐標(biāo)系中，直線I的參

’3

x=-l+—t

數(shù)方程為:t為參數(shù)）.若以坐標(biāo)原點(diǎn)。為極點(diǎn)，X軸正半軸為

y=-l+-Ft

5

兀

極軸建立極坐標(biāo)系，則曲線C的極坐標(biāo)方程為pW^sin（8+7-）.

（I）求曲線C的直角坐標(biāo)方程；

（H）求直線I被曲線C所截得的弦長(zhǎng).

四、解答題（共5小題，滿分60分）

19.某冷飲店為了解氣溫變化對(duì)其營(yíng)業(yè)額的影響，隨機(jī)記錄了該店1

月份銷售淡季中5天的日營(yíng)業(yè)額y（單位：百元）與該地當(dāng)日最低氣

溫x（單位：℃）的數(shù)據(jù)，如下表所示:

x36791

0

y11887

20

（I）判定y與X之間是正相關(guān)還是負(fù)相關(guān)，并求回歸方程y=bx+a

（H）若該地1月份某天的最低氣溫為6℃,預(yù)測(cè)該店當(dāng)日的營(yíng)業(yè)額

bn_一n_aybx

￡（年-乂）（--￥）￡（xiyi）-n（xy）

=11

（參考公式：n2=~~n~=-）.

￡（x「x）2￡x^-nx

i=li=l

20.一個(gè)盒子里裝有7張卡片，其中有紅色卡片4張，編號(hào)分別為1,

2,3,4；白色卡片3張，編號(hào)分別為2,3,4.從盒子中任取4張

卡片(假設(shè)取到任何一張卡片的可能性相同).

(I)求取出的4張卡片中，含有編號(hào)為3的卡片的概率.

(II)在取出的4張卡片中，紅色卡片編號(hào)的最大值設(shè)為X,求隨機(jī)

變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

21.已知函數(shù)f(x)=家-ax2+(a2-1)x+b(a,b￡R),其圖象在

點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程為x+y-3=0.

(1)求a,b的值；

(2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間，并求出f(x)在區(qū)間［-2,4］上的

最大值.

22.在平面直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極

軸建立極坐標(biāo)系，已知點(diǎn)A的極坐標(biāo)為(近，9)，直線I的極坐標(biāo)

7T

方程為pcos(e-彳)=a,且點(diǎn)A在直線I上，

(1)求a的值及直線I的直角坐標(biāo)方程；

(2)圓C的參數(shù)方程為彳0(a為參數(shù))，試判斷直線I與圓C

ly=sinCi

的位置關(guān)系.

23.設(shè)函數(shù)f(x)=lnx-ax+三1-L

(I)當(dāng)a=l時(shí)，求曲線f(x)在x=l處的切線方程；

(H)當(dāng)aj時(shí)，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(m)在(口)的條件下，設(shè)函數(shù)g(x)=x2-2bx-言，若對(duì)于VX1

e[l,2],3x2e[0,1],使f(xi)Ng(x2)成立，求實(shí)數(shù)b的取

值范圍.

參考答案與試題解析

一、選擇題：本大題共13小題，每小題5分，共60分，在每小題給

出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的

2

1.已知集合人=&log2x<l},B={x|x+x-2<0},則AUB()

A.(一，2)B.(0,1)C.(-2,2)D.(-1)

【考點(diǎn)】ID：并集及其運(yùn)算.

【分析】分別求解對(duì)數(shù)不等式及一元二次不等式化簡(jiǎn)A,B,再由并

集運(yùn)算得答案.

【解答】解：???A={x|log2xVl}={x|0VxV2},

B={xx2+x-2<0}={x|-2<x<l},

.\AUB={x0<x<2}U{x|-2<x<l)=(-2,2).

故選：C.

2.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)g(x)滿足貝Uz的共枕復(fù)數(shù)對(duì)

應(yīng)的點(diǎn)位于()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【考點(diǎn)】A4：復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義；A5：復(fù)數(shù)代數(shù)形式

的乘除運(yùn)算.

【分析】利用復(fù)數(shù)的代數(shù)形式混合運(yùn)算化簡(jiǎn)求出復(fù)數(shù)，得到復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)

點(diǎn)的坐標(biāo)，即可得到結(jié)果

【解答】解：復(fù)數(shù)z滿足z(1+i)=|1+嗎,

V12+（V3）2

可得Z=1+i■=1-

復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為（L-1）,

在復(fù)平面內(nèi)z的共輾復(fù)數(shù)z=i+i對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為（1,1）,在第一象限.

故選：A.

3.用三段論推理："指數(shù)函數(shù)y=ax是增函數(shù)，因?yàn)閥=（5）x是指數(shù)

函數(shù)，所以y=（5）x是增函數(shù)”，你認(rèn)為這個(gè)推理（）

A.大前提錯(cuò)誤B.小前提錯(cuò)誤C.推理形式錯(cuò)誤D.是正確的

【考點(diǎn)】F6：演繹推理的基本方法.

【分析】指數(shù)函數(shù)丫=2*（a>0且aWl）是R上的增函數(shù)，這個(gè)說法

是錯(cuò)誤的，要根據(jù)所給的底數(shù)的取值不同分類說出函數(shù)的不同的單調(diào)

性，即大前提是錯(cuò)誤的.

【解答】解：指數(shù)函數(shù)丫=2*（a>0且aWl）是R上的增函數(shù)，

這個(gè)說法是錯(cuò)誤的，要根據(jù)所給的底數(shù)的取值不同分類說出函數(shù)的不

同的單調(diào)性，

大前提是錯(cuò)誤的，

...得到的結(jié)論是錯(cuò)誤的，

.?.在以上三段論推理中，大前提錯(cuò)誤.

故選A.

4.某單位有7個(gè)連在一起的車位，現(xiàn)有3輛不同型號(hào)的車需停放，

如果要求剩余的4個(gè)車位連在一起，則不同的停放方法的種數(shù)為

()

A.16B.18C.24D.32

【考點(diǎn)】D9：排列、組合及簡(jiǎn)單計(jì)數(shù)問題.

【分析】本題是一個(gè)分類計(jì)數(shù)問題，首先安排三輛車的位置，假設(shè)車

位是從左到右一共7個(gè)，當(dāng)三輛車都在最左邊時(shí)，當(dāng)左邊兩輛，最右

邊一輛時(shí)，當(dāng)左邊一輛，最右邊兩輛時(shí)，當(dāng)最右邊三輛時(shí)，每一種情

況都有車之間的一個(gè)排列A33,得到結(jié)果.

【解答】解：由題意知本題是一個(gè)分類計(jì)數(shù)問題，

首先安排三輛車的位置，假設(shè)車位是從左到右一共7個(gè)，

當(dāng)三輛車都在最左邊時(shí)，有車之間的一個(gè)排列A3?,

當(dāng)左邊兩輛，最右邊一輛時(shí)，有車之間的一個(gè)排列A3?,

當(dāng)左邊一輛，最右邊兩輛時(shí)，有車之間的一個(gè)排列A3?,

當(dāng)最右邊三輛時(shí)，有車之間的一個(gè)排列A33,

總上可知共有不同的排列法4義A33=24種結(jié)果，

故選C.

5.已知隨機(jī)變量§服從正態(tài)分布N(3,a2),P(代4)=0.842,則P

(0)=()

A.0.842B.0.158C.0.421D.0.316

【考點(diǎn)】CP：正態(tài)分布曲線的特點(diǎn)及曲線所表示的意義.

【分析】由正態(tài)分布曲線的對(duì)稱性和已知數(shù)據(jù)可得.

【解答】解：?.?隨機(jī)變量￡服從正態(tài)分布N(3,d),P(^4)=0.842,

AP(￡W2)=P(￡24)=1-0.842=0,158,

故選：B.

6.曲線y=ex在點(diǎn)(2,e2)處的切線與坐標(biāo)軸所圍三角形的面積為

()

31

A.ye2B.2e2C.e2D.ye2

【考點(diǎn)】6H：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程.

【分析】欲切線與坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積，只須求出切線在坐

標(biāo)軸上的截距即可，故先利用導(dǎo)數(shù)求出在x=2處的導(dǎo)函數(shù)值，再結(jié)合

導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求出切線的斜率.最后求出切線的方程，從而問

題解決.

【解答】解析：依題意得y'=ex,

因此曲線丫=0*在點(diǎn)A(2,e2)處的切線的斜率等于e2,

相應(yīng)的切線方程是y-e2=e2(x-2),

當(dāng)x=0時(shí)，y=-e2

即y=0時(shí),x=l,

切線與坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積為：

12

S=7Xe2Xl=-？-.

22

故選D.

1n

7.設(shè)(5x-上)n的展開式的二項(xiàng)式系數(shù)和為64,則展開式中常數(shù)項(xiàng)為

()

A.375B.-375C.15D.-15

【考點(diǎn)】DB：二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì).

【分析】由題意可得：2n=64,解得n=6.再利用(5x-力)6的通項(xiàng)公

式即可得出.

【解答】解：由題意可得：2n=64,解得n=6.

/.(5x-占了的通項(xiàng)公式為:Tr,i=「；(5x)6-r(^?)r=(-l).

令6-yr=O,解得r=4.

r4

展開式中常數(shù)項(xiàng)為T5=52XL6=375.

故選：A.

8.若函數(shù)h(x)=2x-5當(dāng)在(1,+8)上是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)k的取

值范圍是()

A.[-2,+8)B.[2,+8)C.(-8,-2]D.(…，2]

【考點(diǎn)】6B：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性.

【分析】對(duì)給定函數(shù)求導(dǎo)，K(x)>0,解出關(guān)于k的不等式即可.

【解答】解：?.?函數(shù)h(x)=2x>|+1在(1,+8)上是增函數(shù)

/.hz(x)=2+今>0,

.\k>-2x2.

Vx>l

-2x2<-2.

-2.故選A.

9.設(shè)隨機(jī)變量X?B(10,0.8),則D(2X+1)等于()

A.1.6B.3.2C.6.4D.12.8

【考點(diǎn)】CN：二項(xiàng)分布與n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的模型.

【分析】根據(jù)設(shè)隨機(jī)變量X?B(10,0.8),看出變量符合二項(xiàng)分布，

看出成功概率，根據(jù)二項(xiàng)分布的方差公式做出變量的方差，根據(jù)D

(2X+1)=22DX,得到結(jié)果.

【解答】解：?.?設(shè)隨機(jī)變量X?B(10,0.8),

ADX=10X0.8(1-0.8)=1.6,

AD(2X+1)=22X1.6=6.4

故選C.

10.投籃測(cè)試中，每人投3次，至少投中2次才能通過測(cè)試，已知某

同學(xué)每次投籃投中的概率為07且各次投籃是否投中相互獨(dú)立，則

該同學(xué)通過測(cè)試的概率為()

A.0.784B.0.648C.0.343D.0.441

【考點(diǎn)】C9：相互獨(dú)立事件的概率乘法公式.

【分析】利用互獨(dú)立事件的概率乘法公式，計(jì)算求得結(jié)果.

【解答】解：該同學(xué)通過測(cè)試的概率等于投中2次的概率加上投中3

次的概率，

23

BP^JC3.0.72*0.3+C3*0.73=0.441+0.343=0,784,

故選:A.

11.圖中y=3-x2與y=2x陰影部分的面積是()

y■2*

4伍3235

A.詠.9-73c.—D.—

【考點(diǎn)】6G：定積分在求面積中的應(yīng)用.

【分析】求陰影部分的面積，先要對(duì)陰影部分進(jìn)行分割到三個(gè)象限內(nèi)，

分別對(duì)三部分進(jìn)行積分求和即可.

【解答】解：直線y=2x與拋物線y=3-x2

解得交點(diǎn)為（-3,-6）和（1,2）

拋物線y=3-x2與x軸負(fù)半軸交點(diǎn)（-V、0）

設(shè)陰影部分面積為s,則

（2）（2）（2）

s=JQ3-X-2Xdx+J2^33-xdx-J232xdx+J'{f3-xdx

r

二W+2V5+9-2港

_32

=T

所以陰影部分的面積為3學(xué)9，

故選c.

12.函數(shù)f（x）=x3-ax?-bx+a?在x=l處有極值10,則點(diǎn)（a,b）為

（）

A.（3,-3）B.（-4,11）C.（3,-3）或（-4,11）

D.不存在

【考點(diǎn)】6C：函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的條件.

【分析】首先對(duì)f(x)求導(dǎo)，然后由題設(shè)在x=l時(shí)有極值10可得

解之即可求出a和b的值.

【解答】解：對(duì)函數(shù)f(x)求導(dǎo)得f(x)=3x2-2ax-b,

又?.?在x=l時(shí)f(x)有極值10,

'f'(l)=3-2a-b=0

,,If(l)=l-a-b+a2=10,

解得自或值,

驗(yàn)證知，當(dāng)a=3,b=-3時(shí)，在x=l無極值，

故選B.

13.若函數(shù)f(x)=2x2-Inx在其定義域內(nèi)的一個(gè)子區(qū)間(k-1,k+1)

內(nèi)不是單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是()

A.[1,+8)B.[1,1)C.[1,2)D.[1,2)

【考點(diǎn)】6B：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性.

【分析】先確定函數(shù)的定義域然后求導(dǎo)數(shù)「(x),在函數(shù)的定義域內(nèi)

解方程「(x)=0,使方程的解在定義域內(nèi)的一個(gè)子區(qū)間

(k-1,k+1)內(nèi)，建立不等關(guān)系，解之即可.

【解答】解:因?yàn)閒(X)定義域?yàn)?0,+8),又產(chǎn)(x)=4x—,

由f'(X)=0,得

當(dāng))<￡(0,時(shí)-，f'(x)<0,當(dāng)x￡(1,+8)時(shí)-，f(x)>0

(1

_k-l<-^<k+l

據(jù)題意，2,

k-l>0

解得1<7.

故選B.

二、填空題：本大題共4個(gè)小題，每小題5分，共20分

14.已知命題p：x2+4x+3^0,q：xGZ,且"p八q"與"非q"同時(shí)為假

命題，則x=-2.

【考點(diǎn)】2E：復(fù)合命題的真假.

【分析】因?yàn)椤癙且q"與"非q〃同時(shí)為假命題，所以得到q為真命題，

P為假命題，然后確定x的值.

【解答】解：由x2+4x+3^0得x、T或xW-3.

因?yàn)?p且q〃與“非q〃同時(shí)為假命題，所以q為真命題，p為假命題.

即-3VxV-l,且x￡Z,所以x=-2.

故答案為：-2.

15.已矢口2+"1=22X"|,3+-|=32X-|,4+得=42義卷若9+2=9?X、

（a,b為正整數(shù)），則a+b=89.

【考點(diǎn)】F1：歸納推理.

【分析】根據(jù)已知條件得出數(shù)字之間的規(guī)律，從而表示出a,b,進(jìn)

而求出a+b的值.

【解答】解：由已知得出：若9丹=92x￡（a,b為正整數(shù)），a=92-

1=80,b=9,所以a+b=89,

故答案為：89

16.為了判斷高中三年級(jí)學(xué)生選修文理科是否與性別有關(guān)，現(xiàn)隨機(jī)抽

取50名學(xué)生，得到2X2列聯(lián)表：

理科文科總計(jì)

男131023

女72027

總計(jì)203050

已知P(K2^3.841)^0.05,P(-5.024)40.025.

根據(jù)表中數(shù)據(jù)，得到小。笨崇景印2^4.844,則認(rèn)為選修文

理科與性別有關(guān)系出錯(cuò)的可能性約為5%.

【考點(diǎn)】BO：獨(dú)立性檢驗(yàn)的應(yīng)用.

【分析】根據(jù)題意，比較可得5.024>4.844>3.841,結(jié)合獨(dú)立性檢驗(yàn)

的統(tǒng)計(jì)意義，即可得答案.

【解答】解：根據(jù)題意，小。狹崇景;7”弋4.844,

又由5.024>4,844>3,841,

而P(K2^3.841)-0.05,P(K2^5.024)^0.025,

故選修文理科與性別有關(guān)系出錯(cuò)的可能性約為5%,

故答案為：5%

17.已知函數(shù)f(x)=x3+3ax2+3x+l,當(dāng)x￡［2,+°°),f(x)20恒成

立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是［-］，+8).

【考點(diǎn)】6E：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值.

3131

【分析】問題等價(jià)于x+5+吃》-3a.令g(x)=x+%4,根據(jù)函數(shù)

AXAX

的單調(diào)性求出g(x)的最小值，從而求出a的范圍即可.

【解答】解：xe[2,8),f(x)20,

即x3+3ax2+3x+1^0,

31

即x+~+—^-3a.

Xx

人/、31

令g(x)=x+-+—,

AX

x3-3x-2

貝Ig'(X)=一^3一,

下面我們證g'(x)20在x￡[2,8)恒成立，

也即x3-3x-220在x￡[2,8)上恒成立，

令h(x)=x3-3x-2,貝Ih'(x)=3x2-3=3(x+i)(x-1),

易知b(x)20在x￡[2,8)上恒成立，

Ah(x)在x￡[2,8)上為增函數(shù)，

Ah(x)2h(2)=0,也就是x3-3x-220在x￡[2,°°)上恒成立,

/.g'(x)20在xe[2,8)上恒成立，g(x)在xe[2,°°)為增

函數(shù)，

15

Ag(X)的最小值為g(2)=彳，

1R

-3aWg(2)=彳，

解得a2號(hào)，

故答案為：[-W，+8工

［選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程］

18.(選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程)在直角坐標(biāo)系中，直線I的參

f3

x=T+-t

數(shù)方程為14t為參數(shù)）.若以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，X軸正半軸為

y=-l+-^t

5

L兀

極軸建立極坐標(biāo)系，則曲線C的極坐標(biāo)方程為Pr%Sin（8+丁）.

（I）求曲線c的直角坐標(biāo)方程；

（H）求直線I被曲線C所截得的弦長(zhǎng).

【考點(diǎn)】QJ：直線的參數(shù)方程；J8：直線與圓相交的性質(zhì)；Q4：簡(jiǎn)單

曲線的極坐標(biāo)方程.

【分析】（1）曲線的極坐標(biāo)方程即p=cos0+sin0,兩邊同乘以p得：

p2=pcos0+psin0,再根據(jù)直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的互化公式求得C的直角

坐標(biāo)方程.

（2）將直線參數(shù)方程代入圓C的方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系和弦長(zhǎng)

公式求得直線I被曲線C所截得的弦長(zhǎng).

【解答】解：（1）由PW^sin（8+丁）得：p=cos0+sin0,兩邊同乘以p

得：p2=pcos0+psin0,

1Q1n1

/.x2+y2-x-y=0,即（x-y）

（2）將直線參數(shù)方程代入圓C的方程得：5t2-21t+20=0,

-ti+t2=丁，“2=4.

|MN|=I11-t214（ti+t2）2-4t[t2=1匚

四、解答題（共5小題，滿分60分）

19.某冷飲店為了解氣溫變化對(duì)其營(yíng)業(yè)額的影響，隨機(jī)記錄了該店1

月份銷售淡季中5天的日營(yíng)業(yè)額y（單位：百元）與該地當(dāng)日最低氣

溫X（單位：℃）的數(shù)據(jù)，如下表所示:

（I）判定y與X之間是正相關(guān)還是負(fù)相關(guān)，并求回歸方程y'x+a

（H）若該地1月份某天的最低氣溫為6℃,預(yù)測(cè)該店當(dāng)日的營(yíng)業(yè)額

￡(x「x)(yj-y)￡(xiyi)-n(xy)

（參考公式:

￡(Xj-X)

i=l

【考點(diǎn)】BK：線性回歸方程.

【分析】（I）隨著x的增加，y減小，故y與x的是負(fù)相關(guān)，該地當(dāng)

日最低氣溫x和日營(yíng)業(yè)額y的平均數(shù)，得到這組數(shù)據(jù)的樣本中心點(diǎn)，

利用最小二乘法求出線性回歸方程的系數(shù)，代入樣本中心點(diǎn)求出a的

值，寫出線性回歸方程.

（H）將x=6,即可求得該店當(dāng)日的營(yíng)業(yè)額.

【解答】解：（I）由散點(diǎn)圖知：y與x之間是負(fù)相關(guān)；…

~~52-25

x?『Xjx『

因?yàn)閚=5,=7,=9,占（-5）=275-5X72=30；占（x.yi

-5xy）=294-5X7X9=-21.

所以b=-0.7,...

y-bx=9-(-0.7)X7=13.9..

故回歸方程為y=-0.7x+13.9...

(II)當(dāng)x=6時(shí)，y=-0,7X6+13.9=9.7.

故預(yù)測(cè)該店當(dāng)日的營(yíng)業(yè)額約為970元…

20.一個(gè)盒子里裝有7張卡片，其中有紅色卡片4張，編號(hào)分別為1,

2,3,4；白色卡片3張，編號(hào)分別為2,3,4.從盒子中任取4張

卡片(假設(shè)取到任何一張卡片的可能性相同).

(I)求取出的4張卡片中，含有編號(hào)為3的卡片的概率.

(H)在取出的4張卡片中，紅色卡片編號(hào)的最大值設(shè)為X,求隨機(jī)

變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

【考點(diǎn)】CG：離散型隨機(jī)變量及其分布列；CB：古典概型及其概率

計(jì)算公式；CH：離散型隨機(jī)變量的期望與方差.

【分析】(I)從7張卡片中取出4張的所有可能結(jié)果數(shù)有4，然后求

出取出的4張卡片中，含有編號(hào)為3的卡片的結(jié)果數(shù)，代入古典概率

的求解公式即可求解

(II)先判斷隨機(jī)變量X的所有可能取值為1,2,3,4,根據(jù)題意求

出隨機(jī)變量的各個(gè)取值的概率，即可求解分布列及期望值

【解答】解：(I)設(shè)取出的4張卡片中，含有編號(hào)為3的卡片為事件

A,則

ClCc+CnCc1

p(A)=苛.5..=7

J

所以，取出的4張卡片中，含有編號(hào)為3的卡片的概率為專

(II)隨機(jī)變量X的所有可能取值為1,2,3,4

國(guó)1

P(X=l)=-r=35

J

%4

P(X=2)=^-=35

Cg-2

P(X=3)=~4"=

C7

煽&

P(X=4)=*=7

X的分布列為

EX=

1424

IX圭+2X泰+3xg+4x￡

353577

_17_

=~5

x

P

21.已知函數(shù)f(x)=yx3-ax2+(a2-1)x+b(a,b￡R),其圖象在

點(diǎn)(1,f(D)處的切線方程為x+y-3=0.

(1)求a,b的值；

(2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間，并求出f(x)在區(qū)間［-2,4］上的

最大值.

【考點(diǎn)】6H：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程；6B：利用導(dǎo)數(shù)研

究函數(shù)的單調(diào)性；6E：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值.

【分析】(1)根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出函數(shù)在x=l處的導(dǎo)數(shù)，從而得

到切線的斜率，建立等式關(guān)系，再根據(jù)切點(diǎn)在函數(shù)圖象建立等式關(guān)系，

解方程組即可求出a和b,從而得到函數(shù)f(x)的解析式；

(2)先求出「(x)=0的值，根據(jù)極值與最值的求解方法，將f(x)

的各極值與其端點(diǎn)的函數(shù)值比較，其中最大的一個(gè)就是最大值.

【解答】解：(1)fz(x)=x2-2ax+a2-1,

,Z(1,f(1))在x+y-3=0上，

Af(1)=2,

,Z(1,2)在y=f(x)上，

.?.2=]-a+a2-l+b>

又fz(1)=-1,

/.a2-2a+l=0,

o

解得a=l,b=y.

(2)Vf(x)=yx3-x2+y,

/.f(x)=x2-2x,

由F(x)=0可知x=0和x=2是f(x)的極值點(diǎn)，所以有

X(_8,0(0,2)2(2,+8)

0)

f'(x)+0-0+

f(x)增極大減極小增

值值

所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(-8,0)和(2,+8),單調(diào)遞減區(qū)

間是(0,2).

84,、

Vf(0)=y,f(2)=y,f(-2)=-4,f(4)=8,

，在區(qū)間［-2,4］上的最大值為8.

22.在平面直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極

軸建立極坐標(biāo)系，已知點(diǎn)A的極坐標(biāo)為(加，子)，直線I的極坐標(biāo)

方程為pcos(0-=a,且點(diǎn)A在直線I上，

(1)求a的值及直線I的直角坐標(biāo)方程；

(2)圓C的參數(shù)方程為~魯0(a為參數(shù))，試判斷直線I與圓C

的位置關(guān)系.

【考點(diǎn)】QH：參數(shù)方程化成普通方程；Q4：簡(jiǎn)單曲線的極坐標(biāo)方程;

QJ：直線的參數(shù)方程.

【分析】(1)根據(jù)點(diǎn)A在直線I上，將點(diǎn)的極坐標(biāo)代入直線的極坐標(biāo)

方程即可得出a值，再利用極坐標(biāo)轉(zhuǎn)化成直角坐標(biāo)的轉(zhuǎn)換公式求出直

線I的直角坐標(biāo)方程；

(2)欲判斷直線I和圓C的位置關(guān)系，只需求圓心到直線的距離與

半徑進(jìn)行比較即可，根據(jù)點(diǎn)到線的距離公式求出圓心到直線的距離然

后與半徑比較.

【解答】解：(1)點(diǎn)A(W,T)在直線I上，COS(e-T)=a,

?.?3—,

故直線I的方程可化為：psin0+pcos0=2,

得直線I的直角坐標(biāo)方程為x+y-2=0；

(2)消去參數(shù)a,得圓C的普通方程為(x-1)2+y2=i

圓心C到直線I的距離d=^Vl,

所以直線I和。C相交.

23.設(shè)函數(shù)f(x)=lnx-ax+-y-1.

(I)當(dāng)