2022年四川省內(nèi)江市中考數(shù)學(xué)試卷（解析版）

2022年四川省內(nèi)江市中考數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題（本大題共12小題，每小題3分，共36分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只

有一項(xiàng)是符合題目要求的.）

1.（3分）（2022?內(nèi)江）-6的相反數(shù)是（）

A.6B.-6C.AD.」

66

2.（3分）（2022?內(nèi)江）某4s店今年1?5月新能源汽車的銷量（輛數(shù)）分別如下：25,33,

36,31,40,這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是（）

A.34B.33C.32.5D.31

3.（3分）（2022?內(nèi)江）下列運(yùn)算正確的是（）

A.a2+a3=a5B.（/）2=〃6

C.（a-b）2—a1-b2D.x6-r^—x1

4.（3分）（2022?內(nèi)江）2022年2月第24屆冬季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會在我國北京成功舉辦，以

下是參選的冬奧會會徽設(shè)計(jì)的部分圖形，其中既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是

A.打開電視機(jī)，中央臺正在播放發(fā)射神舟十四號載人飛船的新聞，這是隨機(jī)事件

B.要了解小王一家三口的身體健康狀況，適合采用抽樣調(diào)查

C.一組數(shù)據(jù)的方差越小，它的波動(dòng)越小

D.樣本中個(gè)體的數(shù)目稱為樣本容量

6.（3分）（2022?內(nèi)江）如圖是正方體的表面展開圖，則與“話”字相對的字是（)

B.黨C.走D.聽

7.（3分）（2022?內(nèi)江）如圖，在。ABC。中，已知AB=12,AQ=8,NABC的平分線8M

交CQ邊于點(diǎn)M,則的長為（)

C.6D.8

8.（3分）（2022?內(nèi)江）如圖，數(shù)軸上的兩點(diǎn)A、8對應(yīng)的實(shí)數(shù)分別是a、b,則下列式子中

成立的是（）

AD

?????￥?A

-2-1012b3

A.1-2a>1-2hB.-a<-bC.a+h<0D.間-網(wǎng)>0

9.（3分）（2022?內(nèi)江）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)&C、E在y軸上，點(diǎn)C的坐標(biāo)

為（0,1）,AC=2,RtaOOE是RtZ\ABC經(jīng)過某些變換得到的，則正確的變換是（）

A.AABC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,再向下平移1個(gè)單位

B.MBC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°再向下平移1個(gè)單位

C.△ABC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，再向下平移3個(gè)單位

D.AABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°再向下平移3個(gè)單位

10.（3分）（2022?內(nèi)江）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)M為x軸正半軸上一點(diǎn)，過點(diǎn)M

的直線/〃），軸，且直線/分別與反比例函數(shù)卜=3和y=K的圖象交于P、Q兩點(diǎn).若$&

XX

POQ=15,則k的值為（)

y

J=?

OMx

一k

y=-

x

A.38B.22C.-7D.-22

11.（3分）（2022?內(nèi)江）如圖，正六邊形48coEF內(nèi)接于。。，半徑為6,則這個(gè)正六邊形

的邊心距OM和BC的長分別為（）

C.2?,里L(fēng)D.3%，2n

3

12.（3分）（2022?內(nèi)江）如圖，拋物線y=a/+bx+c與x軸交于兩點(diǎn)（力，0）、（2,0）,其

中OVxiVl.下列四個(gè)結(jié)論：①。。cVO；②a+〃+c>0；③2。-c>0；④不等式

>-上匯+c的解集為OVxVxi.其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（)

C.2D.1

二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.）

13.（5分）（2022?內(nèi)江）函數(shù)y=J7互的自變量x的取值范圍是.

14.（5分）（2022?內(nèi)江）如圖，在。。中，ZABC=50°,則/AOC等于.

二

15.（5分）（2022?內(nèi)江）對于非零實(shí)數(shù)a,b,規(guī)定上.若（2x7）十2=1,則

ab

x的值為.

16.（5分）（2022?內(nèi)江）勾股定理被記載于我國古代的數(shù)學(xué)著作《周髀算經(jīng)》中，漢代數(shù)

學(xué)家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一幅如圖①所示的“弦圖”，后人稱之為“趙爽弦

圖”.圖②由弦圖變化得到，它是由八個(gè)全等的直角三角形拼接而成.記圖中正方形ABCQ、

正方形EFGH、正方形MNKT的面積分別為Si、衣、S3.若正方形EFG”的邊長為4,

則Sl+S2+S3=.

了匚

B

圖①圖②

三、解答題（本大題共5小題，共44分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明或推演步驟.）

17.（8分）（2022?內(nèi)江）（1）計(jì)算：AV8+I（-工）-2cos45°；

22

（2）先化簡，再求值：（J+，）+上，其中。=-遙，6=遙+4.

22

b-ab+ab-a

18.（8分）（2022?內(nèi)江）如圖，在nABCD中，點(diǎn)、E、尸在對角線B4上，且

求證：（1）ZXABE好△CDF；

（2）四邊形AECF是平行四邊形.

19.（9分）（2022?內(nèi)江）為讓同學(xué)們了解新冠病毒的危害及預(yù)防措施，某中學(xué)舉行了“新

冠病毒預(yù)防”知識競賽.數(shù)學(xué)課外活動(dòng)小組將八（1）班參加本校知識競賽的40名同學(xué)

的成績（滿分為100分，得分為正整數(shù)且無滿分，最低為75分）分成五組進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，并

繪制了下列不完整的統(tǒng)計(jì)圖表:

分?jǐn)?shù)段頻數(shù)頻率

74.5-20.05

79.5

79.5-8n

84.5

84.5-120.3

89.5

89.5-m0.35

94.5

94.5-40.1

99.5

(1)表中m=.n=

（2）請補(bǔ)全頻數(shù)分布直方圖:

（3）本次知識競賽中，成績在94.5分以上的選手，男生和女生各占一半，從中隨機(jī)確定

2名學(xué)生參加頒獎(jiǎng)，請用列表法或樹狀圖法求恰好是一名男生和一名女生的概率.

20.（9分）（2022?內(nèi)江）如圖所示，九（1）班數(shù)學(xué)興趣小組為了測量河對岸的古樹A、B

之間的距離，他們在河邊與AB平行的直線/上取相距60”?的C、。兩點(diǎn)，測得NAC8=

15°,NBCD=120°，NAOC=30°.

（1）求河的寬度；

（2）求古樹A、B之間的距離.（結(jié)果保留根號）

21.（10分）（2022?內(nèi)江）如圖，/XABC內(nèi)接于。。，48是。0的直徑，。0的切線PC交

8A的延長線于點(diǎn)尸，。尸〃BC交AC于點(diǎn)E,交PC于點(diǎn)F,連接A凡

（1）判斷直線AF與。。的位置關(guān)系并說明理由；

（2）若。0的半徑為6,AF=2初,求AC的長；

（3）在（2）的條件下，求陰影部分的面積.

四、填空題（本大題共4小題，每小題6分，共24分.）

22.（6分）（2022?內(nèi)江）分解因式：a4-3a2-4=.

23.（6分）（2022?內(nèi)江）如圖，已知一次函數(shù)尸=h+6的圖象經(jīng)過點(diǎn)P（2,3）,與反比例

函數(shù)y=2的圖象在第一象限交于點(diǎn)Q”*,〃）.若一次函數(shù)y的值隨x值的增大而增大,

X

則m的取值范圍是.

24.（6分）（2022?內(nèi)江）已知xi、％2是關(guān)于x的方程f-2x+k-1=0的兩實(shí)數(shù)根，且上-+衛(wèi)

X1x2

=XI2+2X2-I,則％的值為.

25.（6分）（2022?內(nèi)江）如圖，矩形4BCD中，AB=6,AD=4,點(diǎn)￡、尸分別是AB、DC

上的動(dòng)點(diǎn)，EF//BC,則AF+CE的最小值是.

五、解答題（本大題共3小題，每小題12分，共36分.）

26.（12分）（2022?內(nèi)江）為貫徹執(zhí)行“德、智、體、美、勞”五育并舉的教育方針，內(nèi)江

市某中學(xué)組織全體學(xué)生前往某勞動(dòng)實(shí)踐基地開展勞動(dòng)實(shí)踐活動(dòng).在此次活動(dòng)中，若每位

老師帶隊(duì)30名學(xué)生，則還剩7名學(xué)生沒老師帶；若每位老師帶隊(duì)31名學(xué)生，就有一位

老師少帶1名學(xué)生.現(xiàn)有甲、乙兩型客車，它們的載客量和租金如表所示：

甲型客車乙型客車

載客量（人/輛）3530

租金（元/輛）400320

學(xué)校計(jì)劃此次勞動(dòng)實(shí)踐活動(dòng)的租金總費(fèi)用不超過3000元.

（1）參加此次勞動(dòng)實(shí)踐活動(dòng)的老師和學(xué)生各有多少人？

（2）每位老師負(fù)責(zé)一輛車的組織工作，請問有哪幾種租車方案？

（3）學(xué)校租車總費(fèi)用最少是多少元？

27.（12分）（2022?內(nèi)江）如圖，在矩形ABCD中，AB=6,BC=4,點(diǎn)例、N分別在A8、

AO上，且點(diǎn)E為CQ的中點(diǎn)，連接BE交MC于點(diǎn)F.

（1）當(dāng)下為2E的中點(diǎn)時(shí)，求證：AM=CE；

（2）若旦2=2,求迎的值；

BFND

（3）若MN〃BE,求迪的值.

ND

如圖，拋物線y=o?+bx+c與x軸交于A(-4,0),B(2,0),

與y軸交于點(diǎn)C(0,2).

(1)求這條拋物線所對應(yīng)的函數(shù)的表達(dá)式;

(2)若點(diǎn)O為該拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且在直線AC上方，求點(diǎn)。到直線AC的距離的

最大值及此時(shí)點(diǎn)D的坐標(biāo)；

(3)點(diǎn)P為拋物線上一點(diǎn)，連接CP,直線CP把四邊形的面積分為1：5兩部分,

求點(diǎn)P的坐標(biāo).

備用圖

2022年四川省內(nèi)江市中考數(shù)學(xué)試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題（本大題共12小題，每小題3分，共36分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只

有一項(xiàng)是符合題目要求的.）

1.（3分）（2022?內(nèi)江）-6的相反數(shù)是（）

A.6B.-6C.AD.」

66

【分析】根據(jù)相反數(shù)的定義，即可解答.

【解答】解：-6的相反數(shù)是6,

故選：A.

【點(diǎn)評】本題考查了相反數(shù)，解決本題的關(guān)鍵是熟記相反數(shù)的定義.

2.（3分）（2022?內(nèi)江）某4s店今年1?5月新能源汽車的銷量（輛數(shù)）分別如下：25,33,

36,31,40,這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是（）

A.34B.33C.32.5D.31

【分析】根據(jù)算術(shù)平均數(shù)的計(jì)算方法進(jìn)行計(jì)算即可.

【解答】解：這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為：25+33+36+31+40=33（輛），

5

故選：B.

【點(diǎn)評】本題考查實(shí)數(shù)平均數(shù)，掌握算術(shù)平均數(shù)的計(jì)算方法是正確計(jì)算的關(guān)鍵.

3.（3分）（2022?內(nèi)江）下列運(yùn)算正確的是（）

A./+〃3=45B.（.3）2=46

C.（67-b）2—a2-b1D.

【分析】根據(jù)合并同類項(xiàng)的法則，鼎的乘方的運(yùn)算法則以及同底數(shù)幕除法的運(yùn)算法則計(jì)

算并作出判斷即可.

【解答】解：A./和/不是同類項(xiàng)，不能合并，故不符合題意；

B.（"）2=/，故符合題意；

C.（a-b）2—a2-2ab+故不符合題意;

D.故不符合題意.

故選：B.

【點(diǎn)評】本題綜合考查了整式的運(yùn)算，熟練掌握整式的運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵，屬于基

礎(chǔ)題型.

4.（3分）（2022?內(nèi)江）2022年2月第24屆冬季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會在我國北京成功舉辦，以

下是參選的冬奧會會徽設(shè)計(jì)的部分圖形，其中既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是

()

【分析】根據(jù)軸對稱圖形和中心對稱圖形的定義解答即可.

【解答】解：根據(jù)軸對稱圖形和中心對稱圖形的定義可知，C選項(xiàng)既是軸對稱圖形，又

是中心對稱圖形，

故選：C.

【點(diǎn)評】本題主要考查了軸對稱圖形和中心對稱圖形，熟練掌握它們的定義是解答本題

的關(guān)鍵.

5.（3分）（2022?內(nèi)江）下列說法錯(cuò)誤的是（）

A.打開電視機(jī)，中央臺正在播放發(fā)射神舟十四號載人飛船的新聞，這是隨機(jī)事件

B.要了解小王一家三口的身體健康狀況，適合采用抽樣調(diào)查

C.一組數(shù)據(jù)的方差越小，它的波動(dòng)越小

D.樣本中個(gè)體的數(shù)目稱為樣本容量

【分析】根據(jù)隨機(jī)事件的定義，抽樣調(diào)查和全面調(diào)查的特點(diǎn)，方差的特點(diǎn)，樣本容量的

定義解答即可.

【解答】解：A.打開電視機(jī)，中央臺正在播放發(fā)射神舟十四號載人飛船的新聞，這是隨

機(jī)事件，故A選項(xiàng)不符合題意；

B.要了解小王一家三口的身體健康狀況，適合采用全面調(diào)查調(diào)查，故8選項(xiàng)符合題意；

C.一組數(shù)據(jù)的方差越小，它的波動(dòng)越小，故C選項(xiàng)不符合題意；

D.樣本中個(gè)體的數(shù)目稱為樣本容量，故。選項(xiàng)不符合題意.

故選:B.

【點(diǎn)評】本題主要考查了隨機(jī)事件，抽樣調(diào)查和全面調(diào)查，方差的，樣本容量，熟練掌

握相關(guān)的定義和特點(diǎn)是解答本題的關(guān)鍵.

6.（3分）（2022?內(nèi)江）如圖是正方體的表面展開圖，則與“話”字相對的字是（）

忸］—

「黨|話回

闔走I

A.跟B.黨C.走D.聽

【分析】根據(jù)正方體表面展開圖的特征進(jìn)行判斷即可.

【解答】解：由正方體表面展開圖的“相間、Z端是對面”可知，

“話”與“走”是對面,

故答案為：C.

【點(diǎn)評】本題考查正方體相對兩個(gè)面上的文字，掌握正方體表面展開圖的特征是正確判

斷的前提.

7.（3分）（2022?內(nèi)江）如圖，在。ABC。中，已知AB=12,A￡>=8,/48C的平分線BM

交CD邊于點(diǎn)M,則DM的長為（）

A.2B.4C.6D.8

【分析】由平行四邊形的得C￡)=A8n2,BC=AO=8,AB//CD,再證NCBM=NCMB,

則MC=BC=S,即可得出結(jié)論.

【解答】解：???四邊形A8C。是平行四邊形，

：.CD=AB^\2,BC=AD=8,AB//CD,

：.ZABM=ZCMB,

?.?BM是NABC的平分線，

NABM=/CBM,

：.NCBM=NCMB,

；.MC=BC=8,

：.DM=CD-MC=12-S=4,

故選:B.

【點(diǎn)評】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、等腰三角形的判定以及平行線的性質(zhì)等知識，

熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)，證明MC=2C是解題的關(guān)鍵.

8.（3分）（2022?內(nèi)江）如圖，數(shù)軸上的兩點(diǎn)A、8對應(yīng)的實(shí)數(shù)分別是a、b,則下列式子中

成立的是（）

AD

|:|||I?I>

-2-1012b3

A.1-2a>1-2bB.-a<-bC.a+b<0D.間-依>0

【分析】依據(jù)點(diǎn)在數(shù)軸上的位置，不等式的性質(zhì)，絕對值的意義，有理數(shù)大小的比較法

則對每個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行逐一判斷即可得出結(jié)論.

【解答】解：由題意得：a<b,

:.-2a>-2b,

Al-2a>l-2b,

選項(xiàng)的結(jié)論成立；

?：a<b,

/.-a〉-b,

???3選項(xiàng)的結(jié)論不成立；

V-2<a<-1,2<b<3,

???|”|V瓦

?\a+h>0f

，。選項(xiàng)的結(jié)論不成立；

V-2<^<-1,2</?<3,

???|〃|V瓦

：.\a\-|/?|<0,

選項(xiàng)的結(jié)論不成立.

故選：A.

【點(diǎn)評】本題主要考查了不等式的性質(zhì)，絕對值的意義，有理數(shù)大小的比較法則，利用

點(diǎn)在數(shù)軸上的位置確定出4,匕的取值范圍是解題的關(guān)鍵.

9.（3分）（2022?內(nèi)江）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)8、C、E在），軸上，點(diǎn)C的坐標(biāo)

為（0,1）,AC=2,8△ODE是RtZUBC經(jīng)過某些變換得到的，則正確的變換是（）

A.△ABC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,再向下平移1個(gè)單位

B.△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°再向下平移1個(gè)單位

C.ZSABC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,再向下平移3個(gè)單位

D.ZSABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,再向下平移3個(gè)單位

【分析】觀察圖形可以看出，RtaABC通過變換得到對△。。區(qū)應(yīng)先旋轉(zhuǎn)然后平移即可.

【解答】解：根據(jù)圖形可以看出，△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。，再向下平移3個(gè)單位

可以得到△ODE.

故選：D.

【點(diǎn)評】本題考查的是坐標(biāo)與圖形變化，旋轉(zhuǎn)和平移的知識，掌握旋轉(zhuǎn)和平移的概念和

性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

10.(3分)(2022?內(nèi)江)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)M為x軸正半軸上一點(diǎn)，過點(diǎn)M

的直線/〃y軸，且直線/分別與反比例函數(shù)y=B和y=K的圖象交于P、。兩點(diǎn).若

【分析】設(shè)點(diǎn)P(a,b),則Q(a,K),依據(jù)已知條件利用待定系數(shù)法解答即可.

a

【解答】解：設(shè)點(diǎn)P(a,b),Q(a,K),則OM=a,PM=b,MQ=-K,

aa

PQ=PM+MQ=b-區(qū).

a

?.?點(diǎn)P在反比例函數(shù)y=3?的圖象上，

X

次?=8.

<**S/\POQ=15,

?」XPQ,0M=15,

2

AAx?（b-K）=15.

2a

：.ab-k=30.

???87=30,

解得:k=-22.

故選：D.

【點(diǎn)評】本題主要考查了反比例函數(shù)圖象的性質(zhì)，反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)的特征，

利用點(diǎn)的坐標(biāo)表示出相應(yīng)線段的長度是解題的關(guān)鍵.

11.（3分）（2022?內(nèi)江）如圖，正六邊形A8CQEF內(nèi)接于。。，半徑為6,則這個(gè)正六邊形

的邊心距OM和它的長分別為（）

TTc.243,AZLD.3我，2n

3

【分析】連接OB、OC,根據(jù)正六邊形的性質(zhì)求出N80C,根據(jù)等邊三角形的判定定理

得到△BOC為等邊三角形，根據(jù)垂徑定理求出根據(jù)勾股定理求出OM,根據(jù)弧長公

式求出標(biāo)的長.

【解答】解：連接。6、OC,

:六邊形ABCDEF為正六邊形,

，NBOC=360'=60。,

6

'：OB=OC,

...△BOC為等邊三角形,

:.BC=OB=6,

?：OMLBC,

.*.BM=」BC=3,

2

?*-0M=VOB2-BM2=V62-32=3禽>

前的長為：看71｝〈旦=2口,

180

故選：D.

【點(diǎn)評】本題考查的是正多邊形和圓、弧長的計(jì)算，正確求出正六邊形的中心角是解題

的關(guān)鍵.

12.（3分）（2022?內(nèi)江）如圖，拋物線丫="/+法+0與x軸交于兩點(diǎn)（xi,0）、（2,0）,其

中下列四個(gè)結(jié)論：①abc<0；?a+b+c>0i?2a-c>0；④不等式以2+法+。

>--Jx+c的解集為0<x<xi.其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）

【分析】利用二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)依次判斷即可.

【解答】解：???拋物線開口向上，對稱軸在），軸右邊，與），軸交于正半軸,

?40,fe<0,c>0,

/.ahc<Of

...①正確.

?.,當(dāng)x=l時(shí)，yVO,

.'.a+b+c<0,

.?.②錯(cuò)誤.

:拋物線對稱軸》=-旦>1,。>0,

2a

.*./?<-2a,

*/a+/?+c〈O,

?\a-2a+c<0,

/.2a-c>a>Of

???③正確.

X1

由圖值，yi>y2時(shí)，x<0或x>xi,

故④錯(cuò)誤.

故選：C.

【點(diǎn)評】本題考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是求解本題的關(guān)

鍵.

二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.）

13.（5分）（2022?內(nèi)江）函數(shù)互的自變量x的取值范圍是一

【分析】根據(jù)被開方數(shù)非負(fù)列式求解即可.

【解答】解：根據(jù)題意得，x-320,

解得x23.

故答案為：x，3.

【點(diǎn)評】本題考查了函數(shù)自變量的范圍，一般從三個(gè)方面考慮：

（1）當(dāng)函數(shù)表達(dá)式是整式時(shí)，自變量可取全體實(shí)數(shù)；

（2）當(dāng)函數(shù)表達(dá)式是分式時(shí)，考慮分式的分母不能為0；

（3）當(dāng)函數(shù)表達(dá)式是二次根式時(shí)，被開方數(shù)非負(fù).

14.（5分）（2022?內(nèi)江）如圖，在。。中，ZABC=50°,則/AOC等于100°

【分析】根據(jù)圓周角定理解答即可.

【解答】解：由圓周角定理得：ZAOC=2ZABC,

；NA5c=50°,

AZAOC=100°,

故答案為：100°.

【點(diǎn)評】本題考查的是圓周角定理，在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，

都等于這條弧所對的圓心角的一半.

15.（5分）（2022?內(nèi)江）對于非零實(shí)數(shù)a,b,規(guī)定〃十若（2x7）?2=1,則

ab

X的值為5.

一6一

【分析】利用新規(guī)定對計(jì)算的式子變形，解分式方程即可求得結(jié)論.

【解答】解：由題意得：

2x-l2

經(jīng)檢驗(yàn)，x=5是原方程的根,

6

故答案為：立.

6

【點(diǎn)評】本題主要考查了解分式方程，本題是新定義型題目，準(zhǔn)確理解新規(guī)定并熟練應(yīng)

用是解題的關(guān)鍵.

16.（5分）（2022?內(nèi)江）勾股定理被記載于我國古代的數(shù)學(xué)著作《周髀算經(jīng)》中，漢代數(shù)

學(xué)家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一幅如圖①所示的“弦圖”，后人稱之為“趙爽弦

圖”.圖②由弦圖變化得到，它是由八個(gè)全等的直角三角形拼接而成.記圖中正方形A8CD、

正方形EFG”、正方形MNKT的面積分別為Si、$2、S3.若正方形EFGH的邊長為4,

則51+52+53=48.

【分析】由勾股定理和乘法公式完成計(jì)算即可.

【解答】解：設(shè)八個(gè)全等的直角三角形的長直角邊為。，短直角邊是從則：

51=（?+/>）2>S2=42=16,S3=（a-b）2,

且：a1+h2=EF2=l6,

；.Si+S2+S3=Ca+b）2+16+Ca-b）2=2（J+廿）+16

=2X16+16

=48.

故答案為：48.

【點(diǎn)評】本題考查勾股定理的應(yīng)用，應(yīng)用勾股定理和乘法公式表示三個(gè)正方形的面積是

求解本題的關(guān)鍵.

三、解答題（本大題共5小題，共44分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明或推演步驟.）

17.（8分）（2022?內(nèi)江）（1）計(jì)算：-1V8+I（-A）-'|"2cos45°；

22

（2）先化簡，再求值：（J1）+b,其中-娓,〃=遙+4.

22

^_ab+ab-a

【分析】（1）直接利用特殊角的三角函數(shù)值以及負(fù)整數(shù)指數(shù)基的性質(zhì)、二次根式的性質(zhì)

分別化簡，進(jìn)而得出答案；

(2)先根據(jù)分式的運(yùn)算法則化簡分式，再代入求值.

【解答】解：(1)原式=1X2&+2-2XYZ

22

=亞+2-&

=2.

(2)原式=1____A_____+__/二_____卜"

(b+a)(b-a)(b+a)(b-a)b

_______b______.b-a

(b+a)(b-a)b

=1

b+a

當(dāng)b=J^+4時(shí)，原式=_1.

4

【點(diǎn)評】本題考查了二次根式的運(yùn)算，特殊角的函數(shù)值，負(fù)指數(shù)次幕的運(yùn)算，以及分式

的化簡求值，正確熟練的運(yùn)算是解題的關(guān)鍵.

18.(8分)(2022?內(nèi)江)如圖，在oABCQ中，點(diǎn)E、F在對角線BO上，JiBE=DF.

求證：(1)AABE^ACDF：

【分析】(1)根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到AB=CZ),AB//CD,根據(jù)平行線的性質(zhì)得到/

ABD=NCDB,利用SAS定理證明

(2)根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AE=CF,NAEB=NCFD,根據(jù)平行線的判定定理證

明AE〃CF,再根據(jù)平行四邊形的判定定理證明結(jié)論.

【解答】證明：(1)???四邊形A8C。為平行四邊形，

：.AB=CD,AB//CD,

：.ZABD=ZCDB,

在△ABE和△CQF中，

'AB=CD

<ZABE=ZCDF>

BE=DF

:.MABE迫XCDF(SAS)；

(2)由(1)可知，△ABEWMCDF,

：.AE=CF,NAEB=NCFD,

.?.180°-ZA￡B=1800-ZCFD,即/AEF=NCFE,

J.AE//CF,

'：AE^CF,AE//CF,

...四邊形AEC尸是平行四邊形.

【點(diǎn)評】本題考查的是平行四邊形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握平行

四邊形的對邊平行且相等、平行且相等的四邊形是平行四邊形是解題的關(guān)鍵.

19.（9分）（2022?內(nèi)江）為讓同學(xué)們了解新冠病毒的危害及預(yù)防措施，某中學(xué)舉行了“新

冠病毒預(yù)防”知識競賽.數(shù)學(xué)課外活動(dòng)小組將八（1）班參加本校知識競賽的40名同學(xué)

的成績（滿分為100分，得分為正整數(shù)且無滿分，最低為75分）分成五組進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，并

繪制了下列不完整的統(tǒng)計(jì)圖表：

分?jǐn)?shù)段頻數(shù)頻率

74.5-20.05

79.5

79.5-8n

84.5

84.5-120.3

89.5

89.5-m0.35

94.5

94.5-40.1

99.5

（1）表中m=14,n=0.2；

（2）請補(bǔ)全頻數(shù)分布直方圖；

（3）本次知識競賽中，成績在94.5分以上的選手，男生和女生各占一半，從中隨機(jī)確定

2名學(xué)生參加頒獎(jiǎng)，請用列表法或樹狀圖法求恰好是一名男生和一名女生的概率.

再由頻率的定義求出n的值即可;

(2)由(1)的結(jié)果，補(bǔ)全頻數(shù)分布直方圖即可;

(3)畫樹狀圖，共有12種等可能的結(jié)果，其中確定的2名學(xué)生恰好是一名男生和一名

女生的結(jié)果有8種，再由概率公式求解即可.

【解答】解：（1）團(tuán)=40X35%=14,”=8+40=0.2,

故答案為：14,0.2；

(3)：成績在94.5分以上的選手有4人，男生和女生各占一半,

；.2名是男生，2名是女生,

畫樹狀圖如下:

/1\/N/NZN

男女女男女女男男女男男女

共有12種等可能的結(jié)果，其中確定的2名學(xué)生恰好是一名男生和一名女生的結(jié)果有8種,

確定的2名學(xué)生恰好是一名男生和一名女生的概率為國-=2.

123

【點(diǎn)評】此題考查了樹狀圖法求概率、頻數(shù)分布表和頻數(shù)分布直方圖等知識.正確畫出

樹狀圖是解題的關(guān)鍵，用到的知識點(diǎn)為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比.

20.（9分）（2022?內(nèi)江）如圖所示，九（1）班數(shù)學(xué)興趣小組為了測量河對岸的古樹4、B

之間的距離，他們在河邊與AB平行的直線/上取相距60機(jī)的C、D兩點(diǎn)，測得N4CB=

15°,ZBC￡>=120°,NAZ）C=30°.

（1）求河的寬度；

（2）求古樹A、B之間的距離.（結(jié)果保留根號）

【分析】（1）過點(diǎn)A作4E_L/,垂足為E,設(shè)C￡=x米，則。E=（x+60）米，先利用平

角定義求出NACE=45°,然后在RtZVIEC中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出AE的長,

再在RtZvlQE中，利用銳角三角函數(shù)的定義列出關(guān)于x的方程，進(jìn)行計(jì)算即可解答；

（2）過點(diǎn)8作8凡1/,垂足為F,CE=AE=BF=（30禽+30）米，AB=EF,先利用平

角定義求出NBCF=60°,然后在RtaBC尸中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出C尸的長,

進(jìn)行計(jì)算即可解答.

【解答】解：（1）過點(diǎn)A作AE，/,垂足為E,

設(shè)CE=x米，

?.?CC=60米，

：.DE=CE+CD=（x+60）米，

VZACB=\50,N8c0=120°,

AZACE=1800-ZACB-ZBCD=45°,

在RtZ\AEC中，AE=C￡?tan45°=x（米），

在RtZ\ADE中，/AOE=30°,

.".tan30°=—=---=2^3.,

EDx+603

；.x=30愿+30,

經(jīng)檢驗(yàn)：x=3073+30是原方程的根,

；.AE=（30百+30）米，

二河的寬度為（30代+30）米；

（2）過點(diǎn)B作BFLI,垂足為F,

貝I]CE=AE=BF=(3073+30)米，AB=EF,

VZBCD=120°,

AZfiCF=180°-NBCD=60°,

在Rt^BCF中，CF=—過一=30V3_+30(30+1073)米,

tan60°V3

：.AB=EF=CE-CF=3O\f3+3O-(30+10禽)=20百(米)，

古樹A、8之間的距離為20M米.

ECDi

【點(diǎn)評】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)?/p>

輔助線是解題的關(guān)鍵.

21.（10分）（2022?內(nèi)江）如圖，△ABC內(nèi)接于。。，A8是。。的直徑，。。的切線PC交

BA的延長線于點(diǎn)P,。尸〃18c交AC于點(diǎn)E,交PC于點(diǎn)F,連接AF.

（1）判斷直線AF與。0的位置關(guān)系并說明理由；

（2）若。。的半徑為6,AF=2?,求AC的長;

（3）在（2）的條件下，求陰影部分的面積.

【分析】（1）連接。C,證明△4。尸WACO/（SAS）,由全等三角形的判定與性質(zhì)得出/

OAF=ZOCF=90°,由切線的判定可得出結(jié)論；

（2）由直角三角形的性質(zhì)求出/AOF=30°,可得出AE=」O4=3,則可求出答案；

2

（3）證明△AOC是等邊三角形，求出NAOC=60°,OC=6,由三角形面積公式和扇形

的面積公式可得出答案.

【解答】解：（1）直線A尸與相切.

為圓O切線,

：.CPLOC,

；.NOCP=90°,

,JOF//BC,

；.NAOF=/B,/COF=NOCB,

'：OC=OB,

，NOCB=NB,

ZAOF=ZCOF,

:在△AOF和△COF中,

OA=OC

<NAOF=NCOF，

OF=OF

：./XAOF^/\COF(SAS),

.?./OAf=NOCF=90°,

：.AFLOA,

又：0A為圓。的半徑，

；.AF為圓。的切線；

(2)VAAOF^ACOF,

NAOF=NCOF,

'：OA=OC,

為AC中點(diǎn)，

BPAE=CE=XAC,OEVAC,

2

'：ZOAF=90°,OA=6,A尸=2禽，

.".tanZAOF=^-=/^_,

OA63

，乙4。尸=30°,

.,.AE=—OA=3,

2

：.AC=2AE=6；

(3)；AC=OA=6,OC=OA,

...△AOC是等邊三角形，

NAOC=60°,OC=6,

,：ZOCP=90°,

：.CP=yl3OC=6-/3,

2

.*.SAOCP=—OC*CP=—xgx6y=18?，S扇形A0C=$O?兀.X」=6n,

22360

陰影部分的面積為SAOCP-S1a形AOC=18愿-6m

【點(diǎn)評】此題是圓的綜合題，考查了切線的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，平

行線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，解直角三角形，三角形的面積求法，等邊三角形的判

定與性質(zhì)，扇形的面積公式，熟練掌握切線的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵.

四、填空題(本大題共4小題，每小題6分，共24分.)

22.(6分)(2022?內(nèi)江)分解因式：a4-3a2-4=(J+l)(a+2)(a-2).

【分析】先利用十字相乘法因式分解，在利用平方差公式進(jìn)行因式分解.

【解答】解：a4-3a2-4

=(a2+l)(a2-4)

=(J+1)(a+2)(a-2),

故答案為：(a2+l)(a+2)(a-2).

【點(diǎn)評】本題考查的是十字相乘法因式分解，掌握十字相乘法、平方差公式因式分解是

解題的關(guān)鍵.

23.(6分)(2022?內(nèi)江)如圖，已知一次函數(shù))，=區(qū)+6的圖象經(jīng)過點(diǎn)P(2,3),與反比例

函數(shù)y=2的圖象在第一象限交于點(diǎn)。(〃［，〃).若一次函數(shù)y的值隨x值的增大而增大,

X

則m的取值范圍是l<m<2.

【分析】過點(diǎn)P分別作x軸，y軸的平行線，與雙曲線分別交于點(diǎn)A,B,利用解析式分

別求得A,B坐標(biāo)，依據(jù)題意確定點(diǎn)。的移動(dòng)范圍，從而得出結(jié)論.

【解答】解：過點(diǎn)P作軸，交雙曲線與點(diǎn)A,過點(diǎn)尸作PB〃y軸，交雙曲線與點(diǎn)

B,如圖，

.??A(2,3),B(2,1).

3

?；一次函數(shù)y的值隨x值的增大而增大，

...點(diǎn)QCm,n)在A,B之間，

：.2.<<2.

3m

故答案為：2VzM<2.

3

【點(diǎn)評】本題主要考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)圖象的交點(diǎn)問題，待定系數(shù)法，反比例

函數(shù)的性質(zhì)，一次函數(shù)的性質(zhì)，一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)的特征，確定點(diǎn)。的移動(dòng)范圍

是解題的關(guān)鍵.

24.(6分)(2022?內(nèi)江)已知加、X2是關(guān)于x的方程/-2x+A-1=0的兩實(shí)數(shù)根，且迎+紅

X1x2

=X12+2X2-1,則k的值為2.

【分析】根據(jù)XI、X2是關(guān)于x的方程X2-2x+z-1=0的兩實(shí)數(shù)根，可得X1+X2=2,

2

=k-1,xi2-2xi+Z-1=0,把上2+2x2-1變形再整體代入可得，-2"-1)=

乂1x2k-1

4-k,解出女的值，并檢驗(yàn)即可得Z=2.

【解答】解：??”］、X2是關(guān)于x的方程/-2無+%-1=0的兩實(shí)數(shù)根，

AXI+X2=2,Xl9X2=k-1,xi2-2xi+^-1=0?

—2x1-k+\,

XoXi9

V—+—=XI2+2%2-1,

X1x2

2

（Xi+x9）-2XIx9

--------------------=2（X1+X2）-k

xlx2

.NWk-l）=4.k,

k-1

解得上=2或&=5,

當(dāng)％=2時(shí)，關(guān)于x的方程為7-2x+l=0,△>(),符合題意；

當(dāng)k=5時(shí)，關(guān)于x的方程為7-2x+4=0,A<0,方程無實(shí)數(shù)解，不符合題意:

"=2,

故答案為：2.

【點(diǎn)評】本題考查一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是掌握一元二次方程根與

系數(shù)的關(guān)系得出xi+%2=2,XI?X2=4-1,從而根據(jù)已知得到關(guān)于4的方程，注意最后要

由求得的上值檢驗(yàn)原方程是否有實(shí)數(shù)根.

25.（6分）（2022?內(nèi)江）如圖，矩形4BCD中，AB=6,AD=4,點(diǎn)￡、尸分別是AB、DC

上的動(dòng)點(diǎn)，EF//BC,則AF+CE的最小值是10

【分析】延長8c到G,使CG=EF,連接尸G,則四邊形EFGC是平行四邊形，得CE

=FG,!?IJAF+CE=AF+FG,可知當(dāng)點(diǎn)A、F、G三點(diǎn)共線時(shí)，AF+CE的值最小為AG,

利用勾股定理求出AG的長即可.

【解答】解：延長BC到G,使CG=EF,連接FG,

'：EF//CG,EF=CG,

四邊形EFGC是平行四邊形，

：.CE=FG,

：.AF+CE=AF+FG,

二當(dāng)點(diǎn)A、F、G三點(diǎn)共線時(shí)，AF+CE的值最小為AG,

由勾股定理得，,\/AB2+BG2~V62+（4+4）2~10,

...AF+CE的最小值為10,

故答案為：10.

【點(diǎn)評】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，勾股定理等知識，作

輔助線將AF+CE的最小值轉(zhuǎn)化為AG的長是解題的關(guān)鍵.

五、解答題（本大題共3小題，每小題12分，共36分.）

26.（12分）（2022?內(nèi)江）為貫徹執(zhí)行“德、智、體、美、勞”五育并舉的教育方針，內(nèi)江

市某中學(xué)組織全體學(xué)生前往某勞動(dòng)實(shí)踐基地開展勞動(dòng)實(shí)踐活動(dòng).在此次活動(dòng)中，若每位

老師帶隊(duì)30名學(xué)生，則還剩7名學(xué)生沒老師帶；若每位老師帶隊(duì)31名學(xué)生，就有一位

老師少帶1名學(xué)生.現(xiàn)有甲、乙兩型客車，它們的載客量和租金如表所示:

甲型客車乙型客車

載客量（人/輛）3530

租金（元/輛）400320

學(xué)校計(jì)劃此次勞動(dòng)實(shí)踐活動(dòng)的租金總費(fèi)用不超過3000元.

（1）參加此次勞動(dòng)實(shí)踐活動(dòng)的老師和學(xué)生各有多少人？

（2）每位老師負(fù)責(zé)一輛車的組織工作，請問有哪幾種租車方案？

（3）學(xué)校租車總費(fèi)用最少是多少元？

【分析】（1）設(shè)參加此次勞動(dòng)實(shí)踐活動(dòng)的老師有x人，可得：30x+7=31x-1,即可解得

參加此次勞動(dòng)實(shí)踐活動(dòng)的老師有8人，參加此次勞動(dòng)實(shí)踐活動(dòng)的學(xué)生有247人：

（2）根據(jù)每位老師負(fù)責(zé)一輛車的組織工作，知一共租8輛車，設(shè)租甲型客車〃?輛，可得:

f35m+30（8-m）＞255,解得相的范圍，解得一共有3種租車方案：租甲型客車3

1400m+320（8-m）＜3000

輛，租乙型客車5輛或租甲型客車4輛，租乙型客車4輛或租甲型客車5輛，租乙型客

車3輛；

（3）設(shè)學(xué)校租車總費(fèi)用是w元，w=400,"+320（8-/?）=80小+2560,由一次函數(shù)性質(zhì)

得學(xué)校租車總費(fèi)用最少是2800元.

【解答】解：（1）設(shè)參加此次勞動(dòng)實(shí)踐活動(dòng)的老師有x人，參加此次勞動(dòng)實(shí)踐活動(dòng)的學(xué)

生有（30A+7）人，

根據(jù)題意得：30x+7=31x-l,

解得x=8,

.*.30x+7=30X8+7=247,

答：參加此次勞動(dòng)實(shí)踐活動(dòng)的老師有8人，參加此次勞動(dòng)實(shí)踐活動(dòng)的學(xué)生有247人;

（2）師生總數(shù)為247+8=255（人）

?.?每位老師負(fù)責(zé)一輛車的組織工作，

一共租8輛車，

設(shè)租甲型客車機(jī)輛，則租乙型客車(8-根)輛，

根據(jù)題意得：［35m+30(8-m)>255,

I400m+320(8-m)<3000

解得3WmW5.5,

?.?皿為整數(shù)，

，機(jī)可取3、4、5,

二一共有3種租車方案：租甲型客車3輛，租乙型客車5輛或租甲型客車4輛，租乙型

客車4輛或租甲型客車5輛，租乙型客車3輛；

(3)設(shè)租甲型客車“輛，則租乙型客車(8-/n)輛，

由(2)知：3WmW5.5,

設(shè)學(xué)校租車總費(fèi)用是卬元，

w=400/7/+320(8-加=80/71