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2024屆吉林省蛟河市第一中學(xué)校數(shù)學(xué)高一上期末監(jiān)測(cè)試題注意事項(xiàng)1.考生要認(rèn)真填寫考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2.試題所有答案必須填涂或書(shū)寫在答題卡上,在試卷上作答無(wú)效。第一部分必須用2B鉛筆作答;第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3.考試結(jié)束后,考生須將試卷和答題卡放在桌面上,待監(jiān)考員收回。一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1.已知函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱,且,則的最小值為()A. B.C. D.2.若是三角形的一個(gè)內(nèi)角,且,則三角形的形狀為()A.鈍角三角形 B.銳角三角形C.直角三角形 D.無(wú)法確定3.的值是A.0 B.C. D.14.已知平面向量,,且,則實(shí)數(shù)的值為()A. B.C. D.5.已知原點(diǎn)到直線的距離為1,圓與直線相切,則滿足條件的直線有A.1條 B.2條C.3條 D.4條6.?dāng)?shù)學(xué)家歐拉在1765年提出定理:三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直線上,且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半,這條直線后人稱之為三角形的歐拉線.已知的頂點(diǎn),若其歐拉線方程為,則頂點(diǎn)C的坐標(biāo)是A. B.C. D.7.已知函數(shù),則下列選項(xiàng)中正確的是()A.函數(shù)是單調(diào)增函數(shù)B.函數(shù)的值域?yàn)镃.函數(shù)為偶函數(shù)D.函數(shù)的定義域?yàn)?.已知集合,集合,則()A.0 B.C. D.9.已知,則A. B.C. D.10.已知向量,,則與的夾角為A. B.C. D.二、填空題:本大題共6小題,每小題5分,共30分。11.已知集合,.若,則___________.12.已知正三棱柱的棱長(zhǎng)均為2,則其外接球體積為_(kāi)_________13.已知圓:,為圓上一點(diǎn),、、,則的最大值為_(kāi)_____.14.用表示函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值.若正數(shù)滿足,則的最大值為_(kāi)_________15.已知函數(shù),則______.16.設(shè)函數(shù)f(x)=-x+2,則滿足f(x-1)+f(2x)>0的x的取值范圍是______.三、解答題:本大題共5小題,共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,為單位圓上一點(diǎn),射線繞點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)后交單位圓于點(diǎn),點(diǎn)的橫坐標(biāo)為(1)求的表達(dá)式,并求(2)若,求的值18.已知直線過(guò)點(diǎn),并與直線和分別交于點(diǎn),若線段被點(diǎn)平分,求:(1)直線的方程;(2)以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心且被截得的弦長(zhǎng)為的圓的方程19.設(shè)函數(shù),函數(shù),且,的圖象過(guò)點(diǎn)及(1)求和的解析式;(2)求函數(shù)的定義域和值域20.已知函數(shù).(1)求函數(shù)最大值及相應(yīng)的的值;(2)求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間.21.已知(1)若為第三象限角,求的值(2)求的值(3)求的值
參考答案一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、D【解析】由輔助角公式可得,由函數(shù)關(guān)于直線對(duì)稱,可得,可?。畯亩傻?,由此結(jié)合,可得一個(gè)最大值一個(gè)最小值,從而可得結(jié)果.【詳解】,,函數(shù)關(guān)于直線對(duì)稱,,即,,故可取故,,即可得:,故可令,,,,即,,其中,,,故選D【點(diǎn)睛】本題主要考查輔助角公式的應(yīng)用、三角函數(shù)的最值、三角函數(shù)的對(duì)稱性,轉(zhuǎn)化與劃歸思想的應(yīng)用,屬于難題.由函數(shù)可求得函數(shù)的周期為;由可得對(duì)稱軸方程;由可得對(duì)稱中心橫坐標(biāo).2、A【解析】已知式平方后可判斷為正判斷的正負(fù),從而判斷三角形形狀【詳解】解:∵,∴,∵是三角形的一個(gè)內(nèi)角,則,∴,∴為鈍角,∴這個(gè)三角形為鈍角三角形.故選:A3、B【解析】利用誘導(dǎo)公式和和差角公式直接求解.【詳解】故選:B4、C【解析】根據(jù)垂直向量坐標(biāo)所滿足的條件計(jì)算即可【詳解】因?yàn)槠矫嫦蛄浚?,且,所以,解得故選:C5、C【解析】由已知,直線滿足到原點(diǎn)的距離為,到點(diǎn)的距離為,滿足條件的直線即為圓和圓的公切線,因?yàn)檫@兩個(gè)圓有兩條外公切線和一條內(nèi)公切線.故選C.考點(diǎn):相離兩圓的公切線6、A【解析】設(shè)C的坐標(biāo),由重心坐標(biāo)公式求重心,代入歐拉線得方程,求出AB的垂直平分線,聯(lián)立歐拉線方程得三角形外心,外心到三角形兩頂點(diǎn)距離相等可得另一方程,兩方程聯(lián)立求得C點(diǎn)的坐標(biāo).【詳解】設(shè)C(m,n),由重心坐標(biāo)公式得重心為,代入歐拉線方程得:①AB的中點(diǎn)為,,所以AB的中垂線方程為聯(lián)立,解得所以三角形ABC的外心為,則,化簡(jiǎn)得:②聯(lián)立①②得:或,當(dāng)時(shí),BC重合,舍去,所以頂點(diǎn)C的坐標(biāo)是故選A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了直線方程的各種形式,重心坐標(biāo)公式,屬于中檔題.7、D【解析】應(yīng)用換元法求的解析式,進(jìn)而求其定義域、值域,并判斷單調(diào)性、奇偶性,即可知正確選項(xiàng).【詳解】由題意,由,則,即.令,則∴,其定義域?yàn)椴皇桥己瘮?shù),又故不單調(diào)增函數(shù),易得,則,∴.故選:D8、B【解析】由集合的表示方法以及交集的概念求解.【詳解】由題意,集合,,∴.故選:B9、D【解析】考點(diǎn):同角間三角函數(shù)關(guān)系10、C【解析】利用夾角公式進(jìn)行計(jì)算【詳解】由條件可知,,,所以,故與的夾角為故選【點(diǎn)睛】本題考查了運(yùn)用平面向量數(shù)量積運(yùn)算求解向量夾角問(wèn)題,熟記公式準(zhǔn)確計(jì)算是關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題二、填空題:本大題共6小題,每小題5分,共30分。11、【解析】根據(jù)給定條件可得,由此列式計(jì)算作答.【詳解】因集合,,且,于是得,即,解得,所以.故答案為:12、【解析】分別是上,下底面的中心,則的中點(diǎn)為幾何體的外接球的球心,13、53【解析】設(shè),則,從而求出,再根據(jù)的取值范圍,求出式子的最大值.【詳解】設(shè),因?yàn)闉閳A上一點(diǎn),則,且,則(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得最大值),故答案為:53.【點(diǎn)睛】本題屬于圓與距離的應(yīng)用問(wèn)題,主要考查代數(shù)式的最值求法.解決此類問(wèn)題一是要將題設(shè)條件轉(zhuǎn)化為相應(yīng)代數(shù)式;二是要確定代數(shù)式中變量的取值范圍.14、【解析】對(duì)分類討論,利用正弦函數(shù)的圖象求出和,代入,解出的范圍,即可得解.【詳解】當(dāng),即時(shí),,,因?yàn)?,所以不成立;?dāng),即時(shí),,,不滿足;當(dāng),即時(shí),,,由得,得,得;當(dāng),即時(shí),,,由得,得,得,得;當(dāng),即時(shí),,,不滿足;當(dāng),即時(shí),,,不滿足.綜上所述:.所以得最大值為故答案為:【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛:對(duì)分類討論,利用正弦函數(shù)的圖象求出和是解題關(guān)鍵.15、2【解析】根據(jù)自變量的范圍,由內(nèi)至外逐層求值可解.【詳解】又故答案為:2.16、【解析】由函數(shù)的解析式可得,據(jù)此解不等式即可得答案【詳解】解:根據(jù)題意,函數(shù),則,若,即,解可得:,即的取值范圍為;故答案為.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用,涉及不等式的解法,屬于基礎(chǔ)題.三、解答題:本大題共5小題,共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1),(2)【解析】(1)由點(diǎn)的坐標(biāo)可求得,再由三角函數(shù)的定義可求出,從而可求出的值,(2)由題意可得,則可求得,從而利用三角函數(shù)恒等變換公式可求得結(jié)果【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?,所以,由三角函?shù)定義,得所以【小問(wèn)2詳解】因?yàn)椋?,因?yàn)椋运?8、(1);(2).【解析】(1)依題意可設(shè),,分別代入到直線和中,求出點(diǎn)坐標(biāo),即可求出直線的方程;(2)由題意可知,求出,即可求出圓的方程【詳解】(1)依題意可設(shè),因?yàn)榫€段被點(diǎn)平分,所以,則,解得,,即,又過(guò)點(diǎn),易得方程為(2)設(shè)圓半徑為,則,其中為弦心距,,可得,故所求圓的方程為.19、(1),;(2),.【解析】(1)根據(jù)得出關(guān)于方程,求解方程即可;(2)根據(jù)的圖象過(guò)點(diǎn)及,列方程組求得的解析式,可得,解不等式可求得定義域,根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì),配方可得,利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求解即可.【詳解】(1)因?yàn)?,;因?yàn)榈膱D象過(guò)點(diǎn)及,所以,;(2)由,得函數(shù)的定義域?yàn)?,即的值域?yàn)?【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的解析式、定義域與值域,屬于中檔題.求函數(shù)值域的常見(jiàn)方法有①配方法:若函數(shù)為一元二次函數(shù),常采用配方法求函數(shù)求值域,其關(guān)鍵在于正確化成完全平方式,并且一定要先確定其定義域;②換元法;③不等式法;④單調(diào)性法:首先確定函數(shù)的定義域,然后準(zhǔn)確地找出其單調(diào)區(qū)間,最后再根據(jù)其單調(diào)性求凼數(shù)的值域,⑤圖象法:畫出函數(shù)圖象,根據(jù)圖象的最高和最低點(diǎn)求最值.20、(1)時(shí),;(2).【解析】(1)利用倍角公式對(duì)函數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)得:,進(jìn)而得到函數(shù)的最大值及對(duì)應(yīng)的的值;(2)將代入的單調(diào)遞增區(qū)間,即可得答案;【詳解】解:(1),當(dāng),即時(shí),;(2)由題意得:,函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為.【點(diǎn)睛】本題考查三角恒等變換、正弦函數(shù)的最值和單調(diào)區(qū)間,考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與
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