2024屆五年高考數(shù)學（理）真題分類訓練：專題十五 選修系列4

第頁專題十五選修系列4考點40坐標系與參數(shù)方程題組解答題1.[2023全國卷甲，10分]已知點P2,1，直線l:x=2+tcosα,y=1+tsinα（t為參數(shù)），α（1）求α；[答案]記點A,B對應的參數(shù)分別為t1,t2.令x=0令y=0，得t則PA?所以sin2α=±1，由題可知α∈因為直線l與x軸正半軸、y軸正半軸相交，所以α=3（2）以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，求l的極坐標方程.[答案]根據(jù)（1）得直線l的參數(shù)方程為x=2?22轉化為普通方程為x+y因為x=ρcos所以l的極坐標方程為ρco2.[2023全國卷乙，10分]在直角坐標系xOy中，以坐標原點O為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C1的極坐標方程為ρ=2sinθπ4（1）寫出C1[答案]C1：ρ=2sin將x2+y2=ρ2又π4≤θ≤π2，所以（2）若直線y=x+m既與C1沒有公共點，也與C[答案]由C2的參數(shù)方程可得C2的普通方程為x數(shù)形結合可知，若直線y=x+m與C1沒有公共點，則m若直線y=x+m與C2沒有公共點，可先求相切時的臨界情況，即m所以當m≤2或m>22時，直線y綜上，當m<0或m>22時，直線y=x+故m的取值范圍為?∞,3.[2022全國卷乙，10分]在直角坐標系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為x=3cos2t,y=2s（1）寫出l的直角坐標方程;[答案]直線l的極坐標方程為ρsinθ+π3+m=0,即ρ（2）若l與C有公共點，求m的取值范圍.[答案]曲線C的參數(shù)方程為x=3cos2t,y=2sint（聯(lián)立直線l與曲線C的方程，得3x+y+2m=0解法一若直線l與曲線C有公共點，則Δ=?22?4×3解法二4m=3y2?2y?6?2≤y≤24.[2022全國卷甲，10分]在直角坐標系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為x=2+t6,y=t（（1）寫出C1[答案]根據(jù)C1的參數(shù)方程，消去參數(shù)t可得x=所以曲線C1的普通方程為y2（2）以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C3的極坐標方程為2cosθ?sinθ=0,求[答案]曲線C3的極坐標方程可化為2ρ所以普通方程為y=2根據(jù)C2的參數(shù)方程，消去參數(shù)s可得x=根據(jù)y2=?6x?2所以C3與C2交點的直角坐標為?12,根據(jù)y2=6x?2y所以C3與C1交點的直角坐標為12,1【易錯警示】參數(shù)方程消去參數(shù)時一定要注意x,y是關于參數(shù)的一個函數(shù)，參數(shù)的范圍決定了x,y的范圍，要注意變形的等價性.5.[2021全國卷乙，10分]在直角坐標系xOy中，⊙C的圓心為（1）寫出⊙C[答案]由題意知⊙C的標準方程為x?則⊙C的參數(shù)方程為x=2+c（2）過點F4,1作⊙C[答案]由題意可知，切線的斜率存在，設切線方程為y?1=kx所以2k?1+1則這兩條切線方程分別為y=33x?因為x=ρcosθ,y=ρ即2ρsinθ6.[2020全國卷Ⅱ，10分]已知曲線C1，C2的參數(shù)方程分別為C1:x=4cos2（1）將C1,C2[答案]C1的普通方程為x+由C2的參數(shù)方程得x2=t2+1t故C2的普通方程為x2（2）以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系.設C1,C2的交點為P，求圓心在極軸上，且經過極點和P[答案]由0≤x≤4,x+y=4,設所求圓的圓心的直角坐標為x0,0,由題意得x02因此，所求圓的極坐標方程為ρ=177.[2020全國卷Ⅲ，10分]在直角坐標系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為x=2?t?t2,y=2?（1）求AB[答案]因為t≠1，由2?t?t2=0得t=?2，所以C與y軸的交點為0,12；由2故AB=（2）以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，求直線AB[答案]由（1）可知，直線AB的直角坐標方程為x?4+y12=1，將x=ρc8.[2019全國卷Ⅲ，10分]如圖，在極坐標系Ox中，A2,0，B(2，π4)，C(2，3π4)，D2,π，弧AB?，BC?，CD?所在圓的圓心分別是1,0，（1）分別寫出M1，M2，M[答案]由題設可得，弧AB?，BC?，CD?所在圓的極坐標方程分別為ρ=2cosθ，ρ=2cosπ2?θ=2（2）曲線M由M1，M2，M3構成，若點P在M上，且OP=[答案]設Pρ,若0≤θ≤π4，則2若π4≤θ≤3π4，則2s若3π4≤θ≤π，則綜上，P的極坐標為(3，π6)或(3，π3)或(3，2π考點41不等式選講題組解答題1.[2023全國卷甲，10分]設a>0，函數(shù)f（1）求不等式fx<[答案]解法一求不等式fx<x的解集，即求不等式整理得2x?不等式兩邊同時平方，得4x2?2a因式分解得3x?ax?3a<故不等式的解集為a3,（2）若曲線y=fx與x軸所圍成的圖形的面積為2，求[答案]設曲線y=fx與x軸的兩個交點的橫坐標分別為x1,x2令fx=0，得2x?a=a得x1=3a2,x2=a2,故曲線易得三角形不在x軸上的頂點的坐標為a,?所以三角形的面積S=1即a2=4,解得a=2故a=2解法二（1）若x≤a,則f即3x>a,解得x>a3,得若x>a,則f解得x<3a,得綜上,不等式的解集為a3,fx作出fx的大致圖象如圖,曲線y=fx與x易得Aa2,0,B3所以AB=a,△ABC的底邊所以S△ABC=12A故a=22.[2023全國卷乙，10分]已知fx=（1）求不等式fx≤[答案]fx作出y=fx及y=6?x的圖象，如圖所示，易得A?2,8（2）在直角坐標系xOy中，求不等式組f[答案]如圖所示，作出不等式組fx≤y,x其中B0,2，直線y=?x+6所以S△A3.[2022全國卷乙，10分]已知a,b,c都是正數(shù)，且a32（1）abc[答案]因為a,b,c都是正數(shù)，1=a32+當且僅當a=b（2）ab+[答案]由基本不等式得b+c≥2b同理得ba+c≤bab≤a=a=a=12abc4.[2022全國卷甲，10分]已知a,b,c均為正數(shù)，且a2+（1）a+b[答案]解法一因為a2+b2+4c2所以a+b又a,b,c均為正數(shù),所以a+b解法二因為a2+b2+4c2又a,b,c均為正數(shù),所以a+b（2）若b=2c,則[答案]因為b=2c，所以根據(jù)（1）有所以31a+1c≥1a5.[2021全國卷甲，10分]已知函數(shù)fx=x?2（1）畫出y=fx和[答案]由已知得gx所以y=fx與（2）若fx+a≥g[答案]y=fx+a的圖象是由函數(shù)y=fx的圖象向左平移aa>0個單位長度或向右平移a此時y=fx+a的圖象的右支對應的函數(shù)解析式為y=x+因為fx+a≥g故a的取值范圍為[1126.[2021全國卷乙，10分]已知函數(shù)fx=（1）當a=1時，求不等式f[答案]當a=1時，f故fx≥6即當x≤?3時，1?x?x?3≥6當?3<x≤1時，1當x>1時，x?1+x+3≥6綜上，原不等式的解集為{x|x≤?（2）若fx>?a[答案]fx=x?a+x+3≥x若fx>?a即3+a>?a或3故a的取值范圍為{a|7.[2020全國卷Ⅱ，10分]已知函數(shù)fx=（1）當a=2時，求不等式f[答案]當a=2時，fx=7?2x,x≤（2）若fx≥4,求[答案]因為fx=x?a2+x?2a+1≥a2?2a+1=a當?1<a<3所以a的取值范圍是?∞,8.[2020全國卷Ⅲ，10分]設a,b,c∈??,a+b+（1）證明：ab+[答案]由題設可知，a，b，c均不為零，所以ab=?<0（2）用max{a,b,c}表示a,b,c的最大值，證明：max{[答案]不妨設max{a,b,c}=a,因為abc=1,a由bc≤b+c24所以max{a,b9.[2019全國卷Ⅲ，10分]設x，y，z∈??，且x（1）求x?1[答案]解法一（基本不等式法）[x?因為x+y+z=故x?12+y+