科技部重點實驗室

第十三章本構(gòu)方程本構(gòu)方程—塑性變形時應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài)之間的關(guān)系的數(shù)學表達式，也稱物理方程。應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系的特點：彈性變形時應(yīng)力應(yīng)變呈線性關(guān)系且彈性變形是可擬的，可用廣義胡克定律來描述。塑性變形時應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系呈非線性的且塑性變形不可逆的。塑性應(yīng)變狀態(tài)和加載的歷史過程有關(guān)。簡單加載狀態(tài)：加載過程中各應(yīng)力分量始終保持比例關(guān)系且主軸的方向、順序不變，則塑性應(yīng)變分量也按比例增加，這時塑性應(yīng)變?nèi)颗c應(yīng)力狀態(tài)就有相對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系。到目前，描述應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系的理論有兩大類：?增量理論(又稱流動理論)—描述材料在塑性狀態(tài)下應(yīng)力與應(yīng)變增量(或應(yīng)變速度)之間的關(guān)系，如Levy-Mises理論和Prandtl-Reuss理論。??全量理論—描述材料在塑性狀態(tài)下應(yīng)力與應(yīng)變?nèi)恐g的關(guān)系，如Hencky方程和伊留辛理論。第一節(jié)彈性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系單向應(yīng)力狀態(tài)下線彈性階段的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系服從虎克定律。將其推廣到一般應(yīng)力狀態(tài)下的各向同性材料，就是廣義虎克定律，即即式中，E

是彈性模量(MPa)；ν

是泊松比；G

是剪切模量(MPa)。三個彈性常數(shù)E

、ν

、G

之間有如下關(guān)系:將式（17-1）的εx

、εy

、εz相加整理后得:上式表明，彈性變形時其單位體積變化率與平均應(yīng)力σm

成正比，說明應(yīng)力球張量使物體產(chǎn)生了彈性體積改變。將第一式同理得分別減去 ，如，因此應(yīng)變偏量與應(yīng)力偏量之間的關(guān)系，可寫成如下形式簡記為上式表示應(yīng)變偏張量與應(yīng)力偏張量成正比，表明物體形狀的改變只是由應(yīng)力偏張量引起的。由上面兩式，廣義虎克定律可寫成張量形式廣義虎克定律還可以寫成比例及差比的形式及上式表明，應(yīng)變莫爾圓與應(yīng)力莫爾圓幾何相似，且成正比。由以上分析可知，彈性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系有如下特點：應(yīng)力與應(yīng)變成線性關(guān)系。彈性變形是可逆的，應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系是單值對應(yīng)的。彈性變形時，應(yīng)力球張量使物體產(chǎn)生體積變化，泊松比ν<0.5。應(yīng)力主軸與應(yīng)變主軸重合。第二節(jié)塑性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系當質(zhì)點應(yīng)力超過屈服極限進入塑性狀態(tài)時，應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系一般不能一一對應(yīng)，而是與加載路線有關(guān)。的如圖1

所示，若是理想塑性材料則同一σs

可以對應(yīng)任何應(yīng)變(中虛線)，若是硬化材料，則由σs

加載到σe

，對應(yīng)的應(yīng)變?yōu)棣舉若由σf

卸載到σe

，則應(yīng)變?yōu)樗圆皇菃沃?一一對應(yīng)關(guān)系，圖，。。圖1單向拉伸時的應(yīng)力-應(yīng)變曲線又例如，圖2a為剛塑性硬化材料的單向拉伸和純切時的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系曲線。而圖2b表示此材料承受拉、切復合應(yīng)力時，在σ?τ坐標平面上的屈服軌跡，AB

曲線為初始屈服軌跡，CD

為后繼屈服軌跡。圖2不同加載路線的應(yīng)力與應(yīng)變a)應(yīng)力-應(yīng)變曲線b)屈服軌跡現(xiàn)將材料先單向拉伸至初始屈服點A(圖2a)，再繼續(xù)拉伸到后繼屈服點C

點，此時質(zhì)點的應(yīng)力為σc

，應(yīng)變?yōu)?。因塑性變形不可逆，若卸載到E點，應(yīng)變保留在變形體中，再施加切應(yīng)力到后繼屈服軌跡CD

上的F

點，這時的應(yīng)力為 ，由于F

點與C點在同一后繼屈服軌跡上，等效應(yīng)力相同，并未增加，不能進一步變形，所以應(yīng)變狀態(tài)并無變化，仍為C點的應(yīng)變狀態(tài)。說明應(yīng)力應(yīng)變不一一對應(yīng)，主軸亦不重合。同理，先加切應(yīng)力到B，繼而到D

，應(yīng)力為，應(yīng)變，從D

點再經(jīng)另一條路線DIF

到達F

點，此時應(yīng)為力為，應(yīng)變不變，仍為

。從上例可以看出：由于加載路線不同，同一種應(yīng)力狀態(tài)可以對應(yīng)不同的應(yīng)變狀態(tài)，同一應(yīng)變狀態(tài)，也可以對應(yīng)不同的應(yīng)力狀態(tài)，而圖2不同加載路線的應(yīng)力與應(yīng)變且應(yīng)力與應(yīng)變主軸不一定重合。根據(jù)以上的分析，塑性應(yīng)力與應(yīng)變關(guān)系有如下特點：應(yīng)力與應(yīng)變之間的關(guān)系是非線性的。塑性變形是不可逆的，應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系不是單值對應(yīng)的，與應(yīng)變歷史有關(guān)。3）塑性變形時可認為體積不變，即應(yīng)變球張量為零，泊松比ν=0.5。4）全量應(yīng)變主軸與應(yīng)力主軸不一定重合。

由于塑性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系與加載路線或加載的歷史有關(guān)。因此，離開加載路線來建立應(yīng)力與全量塑性應(yīng)變之間的普遍關(guān)系是不可能的，一般只能建立應(yīng)力與應(yīng)變增量之間的關(guān)系，僅在簡單加載下，才可以建立全量關(guān)系。所謂簡單加載，是指在加載過程中各應(yīng)力分量按同一比例增加，應(yīng)力主軸方向固定不變。如圖2b中，由原點O

到F

點的直線所表示的就是簡單加載。第三節(jié)增量理論一、列維-密塞斯（Levy-Mises）理論Levy和Mises分別于1871和1913年建立了理想塑性材料的流動理論，該理論建立在下面四個假設(shè)基礎(chǔ)上。材料是理想剛塑性材料，即彈性應(yīng)變增量 為零。塑性應(yīng)變增量 就是總應(yīng)變增量

。材料符合Mises

屈服準則，即

。每一加載瞬時，應(yīng)力主軸與應(yīng)變增量主軸重合。塑性變形時體積不變，即所以塑性應(yīng)變增量偏張量就是應(yīng)變增量張量，即在上述假設(shè)前提下，得到應(yīng)變增量和應(yīng)力偏量成正比的結(jié)論，即一、列維-密塞斯（Levy-Mises）理論式中，dλ是瞬時的非負比例系數(shù)，在加載的不同瞬間是變化的，在卸載時dλ=0。式稱為Levy-Mises方，程。由于 所以上式與廣義虎克定律式形式上相似，也可以寫成比例形式和差比形式：或一、列維-密塞斯（Levy-Mises）理論經(jīng)推導得出聯(lián)立以上兩式可知，Levy-Mises方程還可以寫成廣義表達式由上式可以證明平面變形和軸對稱問題的一些結(jié)論。一、列維-密塞斯（Levy-Mises）理論，1)平面塑性變形時，設(shè)z

向沒有變形，則有由上式，則得一、列維-密塞斯（Levy-Mises）理論2)若兩個正應(yīng)變增量相等，其對應(yīng)的應(yīng)力也相等。例如在某些軸對稱問題中， ，由式有 ，因此

。Levy-Mises

方程僅適用于理想剛塑性材料，它只給出了應(yīng)變增量與應(yīng)力偏量之間的關(guān)系。由于

，因而不能

確定應(yīng)力球張量。因此，如果已知應(yīng)變增量，只能求得應(yīng)力偏量分量，一般不能求出應(yīng)力。另一方面，如果已知應(yīng)力分量，因為

為常數(shù)，

是不定值，也只能求得

應(yīng)變增量各分量之間的比值，而不能直接求出它們的數(shù)值。二、普朗特-勞斯（Prandtl-Reuss）理論Prandtl-Reuss理論是在Levy-Mises理論基礎(chǔ)上進一步考慮彈性變形部分而發(fā)展起來的。即總應(yīng)變增量的分量由彈、

塑性兩部分組成，即式中，塑性應(yīng)變增量 由Mises

理論確定，彈性應(yīng)變增量 由廣義虎克定律可寫成張量形式，微分可得所以Prandtl-Reuss方程二、普朗特-勞斯（Prandtl-Reuss）理論上式也可寫成Prandtl-Reuss理論與Levy-Mises理論的基本假設(shè)是類似的，差別在于前者考慮了彈性變形而后者未考慮，實質(zhì)

上后者是前者的特殊情況。增量理論著重指出了塑性應(yīng)

變增量與應(yīng)力偏量之間的關(guān)系，可解釋為它是建立起各

瞬時應(yīng)力與應(yīng)變的關(guān)系，而整個變形過程可以由各瞬時

的變形累積而得。因此增量理論能表達加載過程的歷史

對變形的影響，能反映出復雜加載情況。上述理論僅適

用于加載情況，而卸載情況下需按虎克定律進行計算。第四節(jié)全量理論：中在小變形的簡單加載過程中應(yīng)力主軸保持不變，由于各瞬時應(yīng)變增量主軸和應(yīng)力主軸重合，所以應(yīng)變主軸也將保持不變。在這種情況下，對應(yīng)變增量積分便可得到全量應(yīng)變。在這種情況下建立塑性變形的全量應(yīng)變與應(yīng)力之間的關(guān)系稱為全量理論，亦稱為形變理論。全量理論最早是由漢基（H.Hencky）于1924年提出。如果假定是剛塑性材料，而且不考慮彈性變形，則可用全量應(yīng)變 代替Mises方程中的應(yīng)變增量，即式 ，上式也可以寫成比例形式和差比形式，進一步寫成廣義表達式。如果是彈塑性材料的小變形，則同時要考慮彈性變形。此時，Hencky方程為：上式中第一式表示形狀變形：前一項是塑性應(yīng)變；后一項是彈性應(yīng)變。第二式表示彈性體積變形。為了便于與廣義虎克定律式進行比較，令G′為塑性切變模量，使得于是上式第一式可寫成這樣便與廣義虎克定律式在形式上是一樣的，區(qū)別僅在于G

是材料常數(shù)