高中數(shù)學(xué)培優(yōu)講義練習(xí)（必修一）：專題5.1 任意角和弧度制-重難點(diǎn)題型精講（教師版）

專題5.1任意角和弧度制-重難點(diǎn)題型精講1．任意角(1)角的概念角可以看成一條射線繞著它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)所成的圖形.(2)角的表示如圖：

①始邊：射線的起始位置OA；

②終邊：射線的終止位置OB；

③頂點(diǎn)：射線的端點(diǎn)O；

④記法：圖中的角可記為“角”或“”或“AOB”.(3)角的表示在平面內(nèi)，一條射線繞著它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)有兩個相反的方向一順時(shí)針方向和逆時(shí)針方向.習(xí)慣上規(guī)定：這樣，我們就把角的概念推廣到了任意角，包括正角、負(fù)角和零角.(4)角的相等設(shè)角由射線OA繞端點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)而成，角由射線O'A'繞端點(diǎn)O'旋轉(zhuǎn)而成.如果它們的旋轉(zhuǎn)方向相同且旋轉(zhuǎn)量相等，那么就稱=.(5)角的加、減法①角的加法

設(shè),是任意兩個角.我們規(guī)定，把角的終邊旋轉(zhuǎn)角，這時(shí)終邊所對應(yīng)的角是+.

②相反角的概念

我們把射線OA繞端點(diǎn)O按不同方向旋轉(zhuǎn)相同的量所成的兩個角叫做互為相反角.角的相反角記為-.

③角的減法

像實(shí)數(shù)減法的“減去一個數(shù)等于加上這個數(shù)的相反數(shù)”一樣，我們有-=+(-).這樣，角的減法可以轉(zhuǎn)化為角的加法.2．象限角與終邊相同的角(1)終邊相同的角若角,終邊相同，則它們的關(guān)系為：將角的終邊旋轉(zhuǎn)(逆時(shí)針或順時(shí)針)k(k∈Z)周即得角.

一般地，我們有：所有與角終邊相同的角，連同角在內(nèi)，可構(gòu)成一個集合，即任一與角終邊相同的角，都可以表示成角與整數(shù)個周角的和.(2)象限角、軸線角①象限角、軸線角的概念在平面直角坐標(biāo)系中，如果角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合.那么，角的終邊在第幾象限，就說這個角是第幾象限角；如果角的終邊在坐標(biāo)軸上，那么就認(rèn)為這個角不屬于任何一個象限，稱這個角為軸線角.

②象限角的集合表示

③軸線角的集合表示

(3)區(qū)間角、區(qū)域角

區(qū)間角、區(qū)域角的定義：介于兩個角之間的角的集合叫做區(qū)間角，如.終邊介于某兩角終邊之間的角的集合叫做區(qū)域角，顯然區(qū)域角包含無數(shù)個區(qū)間角.(4)角的終邊的對稱問題與垂直問題

角的終邊是一條射線，在平面直角坐標(biāo)系中，當(dāng)兩個角的終邊具有對稱關(guān)系或垂直關(guān)系時(shí)，對于的角就有一定的關(guān)系.一般地，我們有如下結(jié)論：3．角度制、弧度制的概念(1)角度制角可以用度為單位來進(jìn)行度量，1度的角等于周角的.這種用度作為單位來度量角的單位制叫做角度制.(2)弧度制的相關(guān)概念①1弧度的角：長度等于半徑長的圓弧所對的圓心角.②弧度制：定義：以弧度作為單位來度量角的單位制.記法：弧度單位用符號rad表示，讀作弧度.(3)弧度數(shù)在半徑為r的圓中，弧長為l的弧所對的圓心角為rad，那么.其中，的正負(fù)由角的終邊的旋轉(zhuǎn)方向決定，即逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)為正，順時(shí)針旋轉(zhuǎn)為負(fù).一般地，正角的弧度數(shù)是一個正數(shù)，負(fù)角的弧度數(shù)是一個負(fù)數(shù)，零角的弧度數(shù)是0.4．角度與弧度的換算(1)弧度與角度的換算公式(2)特殊角的度數(shù)與弧度數(shù)的對應(yīng)表(3)用弧度表示終邊相同的角用弧度表示與角終邊相同的角的一般形式為，這些角所組成的集合為.5．弧長公式、扇形面積公式設(shè)扇形的半徑為R，弧長為l，圓心角為.(1)弧長公式由公式，可得.(2)扇形面積公式.(3)弧長公式及扇形面積公式的兩種表示6．弧度制下角的終邊的對稱與垂直角的終邊是一條射線，在平面直角坐標(biāo)系中，若兩個角的終邊關(guān)于某條直線（或點(diǎn)）對稱，則這兩個角就有一定的關(guān)系.一般地，我們有如下結(jié)論：【題型1終邊相同的角的表示】【方法點(diǎn)撥】根據(jù)與角終邊相同的角的集合為，進(jìn)行求解即可．【例1】（2022·山東·高二階段練習(xí)）下列與角2π3的終邊一定相同的角是（

A．5π3 B．k·360°C．2kπ+2π3(k∈Z) D．(2k+1)π+【解題思路】根據(jù)終邊相同角的表示，即可得解.【解答過程】與角2π3終邊相同角可以表示為{α|α=2π3+2kπ,k∈對A，由{α|α=2π3+2kπ,k∈Z}找不到整數(shù)k對B，表達(dá)有誤，角的表示不能同時(shí)在一個表達(dá)式中既有角度制又有弧度制，B錯誤，C項(xiàng)正確，對D項(xiàng)，當(dāng)k=0時(shí)，角為5π3，當(dāng)k=?1時(shí)，角為?π3故選：C.【變式1-1】（2022·浙江高一期末）下列選項(xiàng)中與角α=?30°終邊相同的角是（A．30° B．240° C．390°【解題思路】寫出與角α=?30°終邊相同的角的集合，取【解答過程】解：與角α=?30°終邊相同的角的集合為取k=1時(shí)，β=?30故選：D.【變式1-2】（2022·全國·高三專題練習(xí)）終邊落在直線y=3x上的角α的集合為（A．αα=k?180°+30°,k∈Z C．αα=k?360°+30°,k∈Z D．【解題思路】先確定y=3x的傾斜角為【解答過程】易得y=3x的傾斜角為當(dāng)終邊在第一象限時(shí)，α=60°+k?360°，k∈Z；當(dāng)終邊在第三象限時(shí)，α=240°+k?360°，k∈Z．所以角α的集合為αα=k?180°+60°,k∈故選：B.【變式1-3】（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）如果角α與角x＋45°具有相同的終邊，角β與角x－45°具有相同的終邊，那么α與β之間的關(guān)系是（

）A．α+β=0° B．α?β=90°C．α+β=k?360°k∈Z D．【解題思路】先根據(jù)終邊相同的角分別表達(dá)出α,β，再分析α+β，α?β即可.【解答過程】利用終邊相同的角的關(guān)系，得α=n?360°+x+45°n∈Z，β=m?360°+x?45°則α+β=m+n?360°+2xn∈Z,m∈Z又α?β=n?m因?yàn)閙，n是整數(shù)，所以n－m也是整數(shù)，用kk∈Z所以α?β=k?360°+90°k∈Z故選：D．【題型2象限角的判定】【方法點(diǎn)撥】判斷角是第幾象限角的常用方法為將寫成（其中，在范圍內(nèi)）的形式，觀察角的終邊所在的象限即可.【例2】（2021·福建省高三開學(xué)考試）已知點(diǎn)α=130°，則角α的終邊在（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【解題思路】根據(jù)象限角概念求解即可.【解答過程】因?yàn)?0°<130°<180故選：B.【變式2-1】（2022·全國·高三專題練習(xí)）平面直角坐標(biāo)系中，取角的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，角的始邊為x軸的非負(fù)半軸，下列說法正確的是（

）A．第一象限角一定不是負(fù)角B．三角形的內(nèi)角是第一象限角或第二象限角C．第二象限角必大于第一象限角D．鈍角的終邊在第二象限【解題思路】根據(jù)象限角與角的定義逐個選項(xiàng)辨析即可.【解答過程】－330°角是第一象限角，且是負(fù)角，故A錯誤；三角形的內(nèi)角可能為90°，90°角不是第一象限角或第二象限角，故B錯誤；α＝390°為第一象限角，β＝120°為第二象限角，此時(shí)α＞β，故C錯誤；鈍角是大于90°且小于180°的角，它的終邊在第二象限，故D正確．故選：D．【變式2-2】（2022·全國·高三專題練習(xí)）下列說法中正確的是（

）A．第二象限角大于第一象限角B．若k?360°<α<k?360°+180°k∈Z，則αC．鈍角一定是第二象限角D．三角形的內(nèi)角是第一或第二象限角【解題思路】利用任意角的知識，對選項(xiàng)分別判斷即可.【解答過程】對A選項(xiàng)，如?210°<30°，故A錯誤.對B選項(xiàng)，α為第一或第二象限角或終邊落在y軸正半軸上的角．故B錯誤.對C選項(xiàng)，因?yàn)殁g角大于90°且小于180°，所以鈍角一定是第二象限角，故C正確.對D選型，當(dāng)三角形的一個內(nèi)角為90°時(shí)，不是象限角，故D錯誤.故選:C.【變式2-3】（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）設(shè)α是第三象限角，且sinα2=?sinαA．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【解題思路】由α是第三象限角，求出α2所在的象限，再由sin【解答過程】因?yàn)棣潦堑谌笙藿牵驭?2kπ<α<所以π2+kπ<α又sinα2=?sinα故選：D．【題型3角度與弧度的換算】【方法點(diǎn)撥】根據(jù)角度與弧度的換算公式進(jìn)行換算，再進(jìn)行求解即可.【例3】（2022·安徽省高一開學(xué)考試）315°角的弧度數(shù)為（

）A．3π4 B．7π4 C．?π【解題思路】利用公式可求315°角的弧度數(shù).【解答過程】315°角對應(yīng)的弧度數(shù)為315180故選：B.【變式3-1】（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）下列結(jié)論錯誤的是（

）A．－150°化成弧度是?7π6rad C．67°30'化成弧度是3π8rad【解題思路】利用弧度和度的互化公式對選項(xiàng)進(jìn)行逐一驗(yàn)證即可得出答案.【解答過程】對于A，?150°=?150×π對于B，?10π對于C，67°30對于D，π12故選：A.【變式3-2】（2022·全國·高三專題練習(xí)）210°化成弧度是（

）A．5π6 B．7π6 C．5π12【解題思路】直接根據(jù)角度制與弧度制的互化即可得解.【解答過程】解：210°=210×π故選：B.【變式3-3】（2021·四川成都·高一期末）75°用弧度制表示為（

）A．π75 B．π3 C．5π12【解題思路】直接利用角度與弧度間的互化公式求解即可【解答過程】75°=75×π故選：C.【題型4角的終邊的對稱問題與垂直問題】【方法點(diǎn)撥】根據(jù)角終邊的位置關(guān)系，進(jìn)行求解即可.【例4】（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）若α=k?360°+θ，β=m?360°?θk,m∈Z，則角α與角β的終邊一定（

A．重合 B．關(guān)于原點(diǎn)對稱C．關(guān)于x軸對稱 D．關(guān)于y軸對稱【解題思路】根據(jù)角θ與角?θ的終邊關(guān)于x軸對稱即可得解.【解答過程】解：因?yàn)榻铅扰c角?θ的終邊關(guān)于x軸對稱，所以角α與角β的終邊一定也關(guān)于x軸對稱．故選：C.【變式4-1】（2020·河南洛陽·高一期中）若α=2kπ+θ,β=2k+1π?θ,其中k∈Z,則角αA．關(guān)于原點(diǎn)對稱 B．關(guān)于x軸對稱C．關(guān)于y軸對稱 D．關(guān)于y=x對稱【解題思路】根據(jù)角度的終邊周期性分析即可.【解答過程】根據(jù)角度的性質(zhì)有α=2kπ+θ與θ的終邊相同,β=2k+1π?θ與π?θ的終邊相同,且θ故角α與β的終邊關(guān)于y軸對稱.故選：C.【變式4-2】（2022·全國·高三專題練習(xí)）在直角坐標(biāo)系中，若α與β的終邊互相垂直，那么α與β的關(guān)系式為（）A．β＝α+90° B．β＝α±90°C．β＝α+90°+k?360°（k∈Z） D．β＝α±90°+k?360°（k∈Z）【解題思路】根據(jù)終邊關(guān)系直接可得.【解答過程】∵α與β的終邊互相垂直，∴β＝α±90°+k?360°（k∈Z）．故選：D．【變式4-3】（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）若2π<α<4π，且角α的終邊與角?7π6的終邊垂直，則α=A．7π3 B．10π3 C．4π3【解題思路】先得到角?7π6的終邊相同的角的集合為B=β|β=56π+2kπ,k∈Z,因?yàn)榻铅恋慕K邊與角?7π6的終邊垂直,所以角α的終邊相同的角的集合為【解答過程】由題,設(shè)角?7πB=β|β=?因?yàn)榻铅恋慕K邊與角?7π則α=β+π2所以角α的終邊相同的角的集合為A=α|α=43因?yàn)?π<α<4π,所以當(dāng)k=1時(shí),α=10π3或故選：D.【題型5弧長公式與扇形面積公式的應(yīng)用】【方法點(diǎn)撥】結(jié)合具體條件，利用弧長公式與扇形面積公式進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解即可.【例5】（2023·廣東·高三學(xué)業(yè)考試）一個扇形的弧長與面積的數(shù)值都是3，則該扇形圓心角的弧度數(shù)為（）A．12 B．23 C．3【解題思路】由扇形的弧長公式和面積公式列方程組求解．【解答過程】設(shè)扇形的圓心角的弧度數(shù)為α，半徑為r，則αr=3,12α故選：C．【變式5-1】（2021·天津·高一期末）已知扇形AOB的面積為8，且圓心角弧度數(shù)為2，則扇形AOB的周長為（

）A．32 B．24 C．62 D．【解題思路】根據(jù)扇形面積和弧長公式即可求解.【解答過程】圓心角α=2，扇形面積S即8=12×2×所以弧長l=故扇形AOB的周長L=故選：D.【變式5-2】（2022·河南·高三階段練習(xí)（文））古代文人墨客與丹青手都善于在紙扇上題字題畫，題字題畫的部分多為扇環(huán)．已知某扇形的扇環(huán)如圖所示，其中外弧線的長為60cm，內(nèi)弧線的長為20cm，連接外弧與內(nèi)弧的兩端的線段均為16cm，則該扇形的中心角的弧度數(shù)為（

）．A．2.3 B．2.5 C．2.4 D．2.6【解題思路】根據(jù)弧長之比得到半徑之比，從而求出小扇形的半徑，再根據(jù)弧長公式計(jì)算可得.【解答過程】解：如圖，依題意可得弧AB的長為60cm，弧CD的長為20則OAOC=60因?yàn)锳C=16cm，所以O(shè)C=8所以該扇形的中心角的弧度數(shù)α=20故選：B.【變式5-3】（2022·廣東·高二期中）如圖是一個近似扇形的湖面，其中OA=OB=r，弧AB的長為l(l<r).為了方便觀光，欲在A,B兩點(diǎn)之間修建一條筆直的走廊AB.若當(dāng)0<x<12時(shí)，sinx≈x?x36，扇形OAB的面積記為A．2l?rC．1l?r【解題思路】由題可得AB=2rsinl2r【解答過程】設(shè)扇形OAB的圓心角為α，則α=l在△OAB中，AB=2rsin又S=1∴ABS=2r∴ABS故選：B.【題型6與弧度有關(guān)的實(shí)際應(yīng)用問題】【方法點(diǎn)撥】先讀懂題意，明確題干的敘述，然后將所求問題轉(zhuǎn)化為弧度的問題，如角度的表示、弧度制下的弧長及扇形面積等，最后回歸到實(shí)際問題，得到答案.【例6】（2022·湖南·高一課時(shí)練習(xí)）時(shí)鐘的分針長6cm，從10:30到10:55，求：(1)分針轉(zhuǎn)過的角的弧度數(shù)；(2)分針掃過的扇形的面積；(3)分針尖端所走過的弧長．【解題思路】（1）根據(jù)每5鐘分針轉(zhuǎn)30°（2）根據(jù)扇形的面積公式進(jìn)行求解即可；（3）根據(jù)弧長公式進(jìn)行求解即可.【解答過程】(1)因?yàn)閺?0:30到10:55，所以一共走了25分鐘，而每5鐘分針轉(zhuǎn)30°所以分針轉(zhuǎn)過的角為(25÷5)×30°=又因?yàn)榉轴樲D(zhuǎn)過的角度為負(fù)數(shù)，所以分針轉(zhuǎn)過的角的弧度數(shù)為?5π(2)因?yàn)榉轴橀L6cm，所以分針尖端所走過的弧長為：5π6因此分針掃過的扇形的面積為：12(3)因?yàn)榉轴橀L6cm，所以分針尖端所走過的弧長為：?5π【變式6-1】（2022·湖南·高一課時(shí)練習(xí)）半徑為12cm的輪子，以400r/min的速度按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)．(1)輪沿上的點(diǎn)A每秒轉(zhuǎn)過的度數(shù)是多少？相應(yīng)的弧度數(shù)呢？(2)求輪沿上的點(diǎn)B在輪子轉(zhuǎn)動1000°時(shí)所經(jīng)過的路程．【解題思路】（1）由每分鐘的轉(zhuǎn)速求每秒