2021年內(nèi)蒙古赤峰市高考數(shù)學(xué)模擬試卷（文科）（4月份）附答案解析

2021年內(nèi)蒙古赤峰市高考數(shù)學(xué)模擬試卷（文科）（4月份）

一、單選題（本大題共12小題，共60.0分）

1.已知集合M={y|y40),N={x|x>0},則()

A.M=NB.N￡M

C.M=CRND.（CRN）nM=0

2.若復(fù)數(shù)震式磔為虛數(shù)單位）是純虛數(shù)，則實數(shù)溯的值為（）

工一看i

A.一EB.司C.一豳D.萩

3.p>0是拋物線y2=2Px的焦點落在x軸上的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

4.200輛汽車通過某一段公路時，時速的頻率分布直方圖如圖所示，則時速在［50,70）的汽車大約

有（）

b

5.設(shè)/（%）=）%,0<x1<x2,若a=/（后石），=c=/仔詈），則下列關(guān)

系式中正確的是（）

A.a=b<cB.a=b>cC.b=c<aD.b=c>a

6.下列命題正確的是（）

A.三條兩兩相交的直線一定在同一平面內(nèi)

B.垂直于同一條直線的兩條直線一定平行

C.a,0,y是三個不同的平面，若a_Ly,/?1y,則a/〃？

D.m,n是平面a內(nèi)的兩條相交直線，I1,。是平面A內(nèi)的兩條相交直線，若血〃5n//l2,則a〃6

7.已知△ABC外接圓圓心為。，G為△A8C所在平面內(nèi)一點，且石？+法+元=6.若同+正=

|硒則sin/BOG=（）

A.1B.-C.在D.途

2448

8.經(jīng)過拋物線C的焦點尸作直線（與拋物線C交于48兩點，如果4B在拋物線C的準(zhǔn)線上的射影分

別為4、B］,那么乙4/3］為（）

A.；BjC.D號

9.已知三個命題：①方程/一%+2=0的判別式小于或等于零；②若/x/工0,則X20；③5>

2且3<7.其中真命題是

A.①和②B.①和③C.②和③D,只有①

10.函數(shù)f（x）為定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)xN0時，/（x）=4x+m,則/（一:）=（）

A.1B.-2C.-1D.

11.函數(shù),頻礴=喃（/一贏的定義域為［一1,1］，且存在零點，則實數(shù)或的取值范圍是（）

A.一瑞一鄴B.一案:一口C.。一良一II口D.DI-ST-J］.

12.記雙曲線C：1（巾>°）的左、右焦點分別為&，尸2,離心率為2,點M在C上，點N滿足

和空耳祈，若|"&|=10,。為坐標(biāo)原點，則|0N|=（）

A.8B.9C.8或2D.9或1

二、單空題（本大題共4小題，共20.0分）

%>0

x+2y-6<0'則2=|x_"+ly+2］的取值范圍為.

{2%4-y-6<0

14.書架上有4本不同的語文書,2本不同的數(shù)學(xué)書,從中任意取出2本,能取出數(shù)學(xué)書的概率為.

15.若銳角三角形4BC的面積為這，AB=2,AC=3,則cosA=.

2

16.14.在三棱錐A—BCD中，側(cè)棱AB、AC、AD兩兩垂直，并且AABC、AACD、AADB的

面積分別為走、立、理，則該三棱錐外接球的表面積為

222

三、解答題（本大題共7小題，共82.0分）

17.已知數(shù)列叵］的前回項和為國，且叵］.

(I)求數(shù)列S的通項公式；

(n)已知數(shù)列0的通項公式回，記叵1,求數(shù)列區(qū)的前回項和區(qū).

18.如圖，在四棱錐P-4BCD中，底面4BCD是邊長為2的正方形，^ADP=90°,PD=AD,Z.PDC=

60°,E為PD中點.

(1)求證：PB〃平面4CE：

(2)求四棱錐E-4BCC的體積.

H

19.近年來我國電子商務(wù)行業(yè)發(fā)展迅速，相關(guān)管理部門推出了針對電商的商品質(zhì)量和服務(wù)評價的評

價體系，現(xiàn)從評價系統(tǒng)中選出某商家的200次成功交易，發(fā)現(xiàn)對商品質(zhì)量的好評率為0.6,對服

務(wù)評價的好評率為0.75,其中對商品質(zhì)量和服務(wù)評價都做出好評的交易80次.請問是否可以在

犯錯誤概率不超過0.1%的前提下，認(rèn)為商品質(zhì)量與服務(wù)好評有關(guān)？

P(K2>M)0.150.100.050.0250.0100.0050.001

k。2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

參考公式：/一…(L)(a+)c)(b+d)，其中九-a+b+c+&

20.已知Fi，4為橢圓M：捻+，=l(a>b>0)的左、右焦點，橢圓的離心率為當(dāng)，橢圓上任意一

點到a,B的距離之和為4.

(1)求橢圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)過招的直線。，G分別交橢圓M于4c和B,D,且k，％，試求四邊形ABCD的面積S的取值范圍.

2i.已知，設(shè)蹴=$崛斑＞您?磁=一婷共.：-X.

(1)求函數(shù)，懣砥在做前帶的觴沏噂上的最小值；

(2)對一切塞管斛，出嚓獸真礴空域:礴恒成立，求實數(shù)僦的取值范圍；

1吸

(3)證明：對一切富圖?虬犧》，都有M即加「一一成立.

貶'醬道

X—277.t

{遮t(t為參數(shù))，以坐標(biāo)原點為極點，其軸的正半軸為極軸建立極坐

標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為p2cos2?+4p2sin20=4,直線I過曲線C的左焦點F.

(1)直線］與曲線C交于4,B兩點，求|48|；

(2)設(shè)曲線C的內(nèi)接矩形的周長為c,求c的最大值.

23.(l)AABC的三個內(nèi)角4B,C成等差數(shù)列，a,b,c為三內(nèi)角4B,C的對邊.用分析法證明

1.13

--------1--------=

a+bb+ca+b+c*

(2)已知a是整數(shù)，a?是偶數(shù)，用反證法證明a也是偶數(shù).

參考答案及解析

1.答案：C

解析：解：因為N={x|x>0},所以CRN={%|xW0},所以M=CRN；

故選：c.

由題意解出集合CRN,即可判斷集合M與集合CRN的關(guān)系.

本題主要考查集合與集合之間的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.

2.答案：D

堿開翻_解*篝做「*蜀—軻-健*（3#鑫吸'

解析：試題分析：由是純虛數(shù)可得渤-倍=領(lǐng)，所以

I-'二爐懶：U娥=I

第=贛，故選。.

考點：本小題主要考查復(fù)數(shù)的基本運算.

3.答案：A

解析：解：p>0=拋物線y2=2px的焦點落在久軸上，反之不成立，例如取p=-l,則拋物線的焦

點在x軸上.

故選：A.

p>0=拋物線y2=2Px的焦點落在x軸上，反之不成立.

本題考查了拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、簡易邏輯的判定方法，考查了推理能力與計算能力，屬于

基礎(chǔ)題.

4.答案：D

解析:

頻數(shù)

本題考查的知識點是頻率分布直方圖，其中頻率=矩形高x組距—是解答此類問題的關(guān)鍵.

樣本容量

根據(jù)己知中的頻率分布直方圖，我們可以計算出時速在［50,70）的數(shù)據(jù)對應(yīng)的矩形高之和，進(jìn)而得到

時速在［50,70）的數(shù)據(jù)的頻率，結(jié)合樣本容量為200,即可得到時速在［50,70）的數(shù)據(jù)的頻數(shù)，即時速

在［50,70）的汽車的輛數(shù).

解：由于時速在［50,70）的數(shù)據(jù)對應(yīng)的矩形高之和為0.03+0.04=0.07,

由于數(shù)據(jù)的組距為10,

故時速在［50,70）的數(shù)據(jù)的頻率為:0.07x10=0.7,

故時速在［50,70）的數(shù)據(jù)的頻數(shù)為：0.7x200=140.

故選D

5.答案：A

解析：解：,；/(%)=伍%,0<xT<x2,

函數(shù)/(%)在(0,+8)上單調(diào)遞增.

Q=b+/(%2))=Xm+仇》2)=1小/%[%2,C==

In不：>ln"i%2,

■■a=b<c.

故選：A.

利用對數(shù)的運算性質(zhì)分別化簡a,b,c,再利用不等式的性質(zhì)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可判斷出大小關(guān)

系.

本題考查了不等式的性質(zhì)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及其運算法則，考查了推理能力與計算能力，屬于中

檔題.

6.答案：D

解析：

本題考查空間直線與平面直線與直線的位置關(guān)系的應(yīng)用，平面與平面平行的判定定理的應(yīng)用，考查

邏輯推理能力以及判斷能力.

利用特例判斷4B,C的正誤，利用平面與平面平行的判定定理說明。的正誤即可.

解：正方體的一個定點處的3條棱，兩兩相交，但是不在一個平面內(nèi)，所以4不正確；

正方體中垂直同一條棱的棱，有異面直線，所以B不正確：

正方體的一個定點處的3個平面兩兩垂直，所以C不正確；

m,n是平面a內(nèi)的兩條相交直線，I1,%是平面S內(nèi)的兩條相交直線，若m〃，i，n//l2,貝b〃/?,滿

足平面與平面平行的判定定理，所以正確.

故選：D.

7.答案：C

解析：解：根據(jù)題意，設(shè)BC的中點為。，

若方+而+元=6,則G為ZMBC的重心，則而=式四+而)=|而，

若而+AC=|而,則同=l(AB+AC)=|AD,所以4,G,0,D四點共線,故AB=AC,則4。1BC,

不妨令4。=5,則2。=8。=4,。。=1.所以sin/BOG=sinNB。。=吆=巫.

B04

故選：c.

根據(jù)題意，設(shè)BC的中點為D,分析可得6為44BC的重心，則E="荏+而）=|同,進(jìn)而可得而=

l（AB+AC）=^AD,則有4B=AC.不妨令4。=5,由三角函數(shù)的定義分析可得答案.

本題考查向量數(shù)量積的計算，涉及向量的數(shù)乘運算和夾角計算，屬于基礎(chǔ)題.

8.答案：C

解析：解：如圖：設(shè)準(zhǔn)線與無軸的交點為K,

「4、8在拋物線的準(zhǔn)線上的射影為公、B],

由拋物線的定義可得，441=4尸，

:.Z-AA1F=Z-AFA1,

又由內(nèi)錯角相等得N44/=N4FK,

???NAFAi=4&FK.

同理可證=乙BlFK.

由44FA1+NAiFK+乙BFB]+乙B/K=180°,

"FK+乙B[FK="FBi=90°,

故選：C.

由拋物線的定義及內(nèi)錯角相等，可得乙4F&=N&FK,同理可證NBFBi=//FK,再利用平角為

180°,即N4F41+441尸K+Z.BFB1+LB/K=180°,可得答案.

本題的考點是拋物線的簡單性質(zhì)，主要考查拋物線的定義，考查兩條直線平行，內(nèi)錯角相等，其中

推出N4F41=N4FK是解題的關(guān)鍵.

9.答案:B

解析：試題分析：對于命題①方程/-x+2=0的判別式小于或等于零，正確；②若/x/20,

則x>0或x<0,錯誤；③5>2且3<7,正確，二真命題是①和③，故選B

考點：本題考查了命題真假的判斷

點評：判斷一個“若p則q”形式的復(fù)合命題的真假，不能用真值表時，可用下列方法：若“pnq”，

則“若p則q”為真；而要確定“若p則q”為假，只需舉出一個反例說明即可

10.答案：c

解析：解：函數(shù)是奇函數(shù)，

???/(0)=0,即/'(())=1+m=0,

得m=-1,

則/(心)=一/(》=-(4^-1)=-(2-1)=-1，

故選：C.

根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解即可.

本題主要考查函數(shù)值的計算，結(jié)合函數(shù)是奇函數(shù)，先利用/(0)=0,以及利用奇函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行轉(zhuǎn)

化是解決本題的關(guān)鍵，比較基礎(chǔ).

11.答案：A

解析：試題分析：由題意/-：堿=口在第儂上有根且婢-謝加頓恒成立，又:礪=埼-1且:謝“；：婷

在常國［一1,1］恒有意義，所以窗圖:一邕一WK

考點：函數(shù)的零點對應(yīng)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點

點評：若函數(shù)有零點，則對應(yīng)方程有根，如果函數(shù)的解析式含有參數(shù)，則可以轉(zhuǎn)化成對應(yīng)方程的形

式，將方程改寫為參數(shù)的函數(shù)，然后利用求函數(shù)值域的方法，進(jìn)行求解

12.答案:D

解析：解：雙曲線C：會\=1(巾>0)的&=4,

若M在雙曲線的右支上，可得|MFi|—|MF2l=2a=8,

而|M0|=10,可得IMF2I=10-8=2,

點N滿足布=巳耳瓦，可得N為MF1的中點，即有|0N|=

同樣當(dāng)M在雙曲線的左支上，可得|0N|=：x18=9,

故選：D.

求得雙曲線的a=4,討論M在雙曲線的右支和左支上，運用雙曲線的定義和向量共線定理、中位線

定理，計算可得所求值.

本題考查雙曲線的定義和三角形的中位線定理、向量共線定理的運用，考查分類討論和運算能力，

屬于基礎(chǔ)題.

13.答案：［2,6］

p>0

解析：解：由約束條件A作出可行域如圖，

x十zy—osu

.2%4-y-6<0

y

當(dāng)x21,yZ0時，目標(biāo)函數(shù)化為z=無+y+1,即丫=-%+2-1,

二當(dāng)直線丫=-x+z-1過(1,0)時，直線在y軸上的截距最小，z有最小值為2,當(dāng)直線y=-x+z-l

過(2,2)時，直線在y軸上的截距最大，z有最小值為5；

當(dāng)0Sx<l,y>O0;t,目標(biāo)函數(shù)化為z=—*+y+3,即丫=刀+2-3,

當(dāng)直線y=x+z-3過(1,0)時，直線在y軸上的截距最小，二z>2,當(dāng)直線y=x+z-3過(0,3)時，

直線在y軸上的截距最大，z有最小值為6.

z=|x-l|+|y+2|的取值范圍為［2,6］.

故答案為：［2,6］.

由約束條件作出可行域，分類化目標(biāo)函數(shù)為直線方程的斜截式，數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解，把最優(yōu)解的

坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)得答案.

本題考查簡單的線性規(guī)劃，考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是中檔題.

14.答案：|

解析：解：書架上有4本不同的語文書，2本不同的數(shù)學(xué)書，從中任意取出2本，

基本事件總數(shù)n=量=15,

能取出數(shù)學(xué)書的對立事件是取出兩本語文書，

二從中任意取出2本，能取出數(shù)學(xué)書的概率為：

p=l-4=-.

"Cl5

故答案為：

基本事件總數(shù)幾=喘=15,能取出數(shù)學(xué)書的對立事件是取出兩本語文書，由此利用對立事件概率計

算公式能示求出從中任意取出2本，能取出數(shù)學(xué)書的概率.

本題考查概率的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要認(rèn)真審題，注意等可能事件概率計算公式的合理運用.

15.答案：［

解析：解：由5=、48?4。?5?714=延，

22

得工x2x3sinA=—>即sinA=—，

222

由△ABC為銳角三角形，

:.cosA=V1—sin27l=Jl—（^）2=

故答案為：

由三角形的面積求得sirM的值，再由平方關(guān)系得答案.

本題考查解三角形，考查了正弦定理的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題.

16.答案：67r.

如圖：把三棱錐補(bǔ)成長方體AB-a.AC-b.AD=c

解析:

設(shè)外接球半徑為五，面積為5,則

jab=-75ja—V2

<bc=-、仔=<：8=1

j<2C=指*=護(hù)

長方體體對角線L=-2+型+1=浜,2克=n，S=4R?'=式2/?）2=6行

17.答案：（I）□；（口）回.

解析：試題分析：（I）首先在已知式回中令區(qū)，得區(qū)的值.當(dāng)區(qū)時，利用S作差變形

得，區(qū)，S數(shù)列區(qū)是以國為首項，□為公比的等比數(shù)列，進(jìn)而可求得數(shù)列S的通

項公式；（口）由（1）及已知先得到國寫出區(qū)的表達(dá)式：0根據(jù)0表達(dá)式的結(jié)構(gòu)特征，選

用錯位相減法求和式0.

試題解析（I）當(dāng)回時，回.當(dāng)區(qū)時，0.區(qū)數(shù)列區(qū)是以回為首項，岡為公比的

等比數(shù)列，0.

（口）S①

□②

①一②，得S

S-

考點：1.數(shù)列通項國與前回項和S的關(guān)系；2.數(shù)列通項公式的求法；3.數(shù)列前0項和國

的求法.

18.答案：解：(1)證明：取AC與BD的交點為。，連接E。，

,??底面ABCC是邊長為2的正方形，；.。是BD中點，

E為PD中點、，：.OE〃PB,

???EOu平面4CE,PB<4平面4CE,

???PB〃平面4CE.

(2)???AD1PD,AD1DC,PDCDC=D,PD、DCu平面PDC,

:.AD，平面PDC,

vPD=CD,乙PDC=60°,PDC為等邊三角形，

??/-ABCD=\vP_ABCD=匕-PDC=5X3x2x2xs譏60。x2=等.

解析：(1)取4c與BD的交點為。，連接EO,推導(dǎo)出OE〃PB,由此能證明PB〃平面ACE.

(2)由4D1PD,4D1DC,得4。_L平面PDC,乙一HBCD==以-PDC，由此能求了結(jié)果.

本題考查線面平行的證明，考查四棱錐的體積的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系

等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是中檔題.

19.答案：解：由題意可得關(guān)于商品和服務(wù)評價的2x2列聯(lián)表為:

對服務(wù)好評對服務(wù)不滿意合計

對商品好評8040120

對商品不滿意701080

合計15050200

計算觀測值心歿鬻需普］SC

對照數(shù)表知，在犯錯誤概率不超過0.1%的前提下，認(rèn)為商品好評與服務(wù)好評有關(guān);

解析：由題意列出2x2列聯(lián)表，計算觀測值K2,對照數(shù)表即可得出正確的結(jié)論；

本題主要考查了統(tǒng)計與概率的相關(guān)知識，2x2列聯(lián)表建立和判斷.屬于基礎(chǔ)題.

2a=4（n—72

e=￡=立得，二%所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：?+y2=i.

{a2

（2）①當(dāng)直線％的斜率為0時，

直線，1的方程為y=o,則|4C|=2a=4,直線"的方程為x=—8，

1,

可得S=/AC||BD|=ix4x1=2.

②當(dāng)直線，i的斜率不存在時，直線，1的方程為x=-V3,

此時|AC|=1,直線%的方程為y=0，則|BD|=2a=4,

可得S=/AC||BD|=1X1X4=2.

③當(dāng)直線k的斜率存在且不為。時，設(shè)直線k的斜率為k（k豐0）.

則直線小y=k（x+B）,聯(lián)立J+y2=i,得（1+軌2）/+8百卜2%+12卜2一4=0,

△=16k2+16>0,設(shè)4Qi，%),8(%2，、2)則+亞=_^7^，刀62=777^

■L十4/CJ.+

2

所以|AC|=Vl+k\xr—x2\="+k2y/(X1+%2尸—4rle2

=_4(12k2-4)=4(.+1)

-V1+/CJvj

i+4fc21+4k2-1+4k2

同理可得|BD|=筆答,

8(土2+1)28(Y+2k2+l)_2______18k2_?_______18

所以5=1X|力。田。|

224242

(4k+l)(k+4)4fc+17k+4-4k+17k+4-4^2+_^+17-

_I_<A

由于4k2+表28（當(dāng)卜=±1時取等號），4k2+表+17225,°<

4H+表+17-25,

0<————<---<

4k2+7+1725'25記會<°

%<2______—

<2,

25―4k2+-4+17

所以||SS<2.

綜合①②③可知，四邊形4BCD面積的取值范圍是

解析：（1）橢圓橢圓的定義，結(jié)合離心率求解a,b,得到橢圓方程.

（2）①當(dāng)直線，1的斜率為。時，求解四邊形的面積.

②當(dāng)直線k的斜率不存在時，直線k的方程為％=-百，求解四邊形的面積.

③當(dāng)直線，1的斜率存在且不為0時，設(shè)直線，1的斜率為k(k大0).直線k：y=fc(x+V3),聯(lián)立9+

f=1,設(shè)4(%,yi),8。2/2)利用韋達(dá)定理，弦長公式，轉(zhuǎn)化求解三角形的面積，結(jié)合基本不等式

求解不等式的最值，即可推出四邊形4BCC面積的取值范圍.

本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用，橢圓方程的求法，考查分析問題解決問題的能力，分

類討論思想的應(yīng)用，是難題.

I__盤T.一n

21.答案：⑴巽磁曲,i靜J;(2)混喳耳；(3)詳見解析

I嘏段4逆」.

t強(qiáng)

解析：試題分析：⑴先求科魏)=(?的根得需=工，然后討論富?=3與定義域|[%斗國I的位置，分別

僦錨

考慮其單調(diào)性，因為科幻/，故只有兩種情況①畬逆-,此時科嫁衡0,最小值為題燃；②如:如:

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此時笳嘲當(dāng)遞減,窸頌士“繳遞增，故最小值為舞5;(2)將不等式富圖鯽耐調(diào)然磁空域礴

參變分離得，國工鬻臉京1*??+N,記函數(shù)微磁=置陶期皆密小士您.?冷嘎，只需求此函數(shù)的最小值即可；

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(3)證明.頻:礴*修善磁，一般可構(gòu)造差函數(shù)或商函數(shù)，即做轉(zhuǎn)!；=$號磁-頡礴，或強(qiáng)嫩!；=(需考

慮轡Ct的符號)，然后只需考慮函數(shù)穎微的最值，如果上述方法不易處理，也可說明

獲您返演,或磁國，雖然這個條件不是.真：礴舊黃微的等價條件，但是有此條件能充分說明

.翼:礴斷雪￡礴成立，該題可以先求先將不等式恒等變形為戒蝙常海;-二的痣尊I曬潘，然后分別求

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試題解析：(1)由已知知函數(shù)負(fù)&啜的定義域為功鼠榴嘮，￥啜磁=如舄#』，

當(dāng)z流雄鼠改速飛砥Y?虬閥磁單調(diào)遞減，當(dāng)近圖e,“愴蹴，型嘲片叫o單調(diào)遞增.

①當(dāng)腳”二念T：唐年輯T：工時，沒有最小值；

②當(dāng)螂Y^：-<M,即如:唐Y工時，翼反如=典當(dāng)=--；

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③當(dāng)!“T疑獸即起配時，舞礴在匐匕單調(diào)遞增，施磁磁,=英卷=魂畸：

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