淺談定積分在生活中的應(yīng)用

論文題目：淺談定積分在生活中的應(yīng)用內(nèi)容摘要定積分是數(shù)學(xué)分析中一個(gè)非常關(guān)鍵的部分，并且和實(shí)際問(wèn)題的聯(lián)系非常緊密。定積分作為高等數(shù)學(xué)中的一個(gè)重難點(diǎn)，其應(yīng)用價(jià)值十分廣泛，尤其是在關(guān)系社會(huì)的經(jīng)濟(jì)學(xué)、管理學(xué)、工程制造等方面具有較高的應(yīng)用頻率，所以說(shuō)我們十分有必要更為深入地了解這部分內(nèi)容，讓數(shù)學(xué)能夠發(fā)揮出其價(jià)值，讓問(wèn)題能夠得到解決。關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)分析、定積分、應(yīng)用一、引言我們想要研究定積分，首先要知道其歷史來(lái)歷。最早的時(shí)候其實(shí)之所以提出這樣的一個(gè)概念是希望能夠解決計(jì)算圖形體積或者面積，特別經(jīng)典的“窮竭法”和“割圓術(shù)”就是最開(kāi)始的雛形，奠定了定積分思想的由來(lái)。不過(guò)正式提出是在十七世紀(jì)的時(shí)候，萊布尼茨和牛頓兩位偉大的科學(xué)家希望能夠通過(guò)這樣的辦法解決科研中的數(shù)學(xué)問(wèn)題。而且看到了積分、微分兩部分是有聯(lián)系的，并且是密不可分的，同時(shí)還給出計(jì)算辦法。定積分作為高等數(shù)學(xué)中的一個(gè)重難點(diǎn)，其應(yīng)用價(jià)值十分廣泛，尤其是在關(guān)系社會(huì)的經(jīng)濟(jì)學(xué)、管理學(xué)、工程制造等方面具有較高的應(yīng)用頻率，其價(jià)值是不容小覷的。希望我的這篇文章能夠?qū)τ趯W(xué)習(xí)、使用定積分的人有一定的幫助。二、定積分的相關(guān)概念（一）發(fā)展的歷史過(guò)程整體來(lái)看我們把其歷史分成下面的幾個(gè)階段，每個(gè)階段都有其典型特征。1.準(zhǔn)備階段：十四世紀(jì)之前，其實(shí)基本上數(shù)學(xué)并沒(méi)有特別突出的表現(xiàn)。等到歐洲出現(xiàn)了資本主義的時(shí)候，數(shù)學(xué)才開(kāi)始萌芽生長(zhǎng)，有更多的人開(kāi)始投入到這個(gè)領(lǐng)域當(dāng)中?？梢钥吹绞兰o(jì)，其實(shí)積分思想的發(fā)展就是希望能夠解決求積問(wèn)題，第一點(diǎn)是想要求面積，特別是曲面圍成的圖形；第二點(diǎn)就是希望能夠計(jì)算靜力學(xué)當(dāng)中液體壓力和物體重心。2.創(chuàng)立階段：這是一個(gè)非常關(guān)鍵的時(shí)期，在十八世紀(jì)這段時(shí)間當(dāng)中，大師頻出，其思想震鑠古今，伯努利、克雷爾、歐拉、馬克勞林、拉格朗日、達(dá)朗貝爾等等都是數(shù)學(xué)史上永遠(yuǎn)不會(huì)忘記的數(shù)學(xué)大家。正是因?yàn)檫@些人努力和工作，所以定積分有了更為廣泛地推廣和發(fā)展，比如說(shuō)多重積分、微分方程、無(wú)窮級(jí)數(shù)等等都得到了一定的發(fā)展。不過(guò)這個(gè)階段存在一個(gè)非常重要的問(wèn)題，就是沒(méi)有找到這一領(lǐng)域的邏輯基礎(chǔ)。3.完成階段：其實(shí)1900到1920年這個(gè)階段，我們還是沒(méi)有徹底解決十八世紀(jì)遺留下來(lái)的這個(gè)問(wèn)題。比如說(shuō)沒(méi)有建立完善微積分概念，什么叫無(wú)窮小，什么叫無(wú)窮大，什么叫導(dǎo)數(shù)，什么叫微分，這些現(xiàn)在我們非常常見(jiàn)的概念當(dāng)時(shí)還沒(méi)有得到學(xué)術(shù)界的統(tǒng)一認(rèn)可。不過(guò)在后面幾十年的時(shí)間中，經(jīng)過(guò)波爾查諾、柯西、維爾斯特拉斯、戴德金等數(shù)學(xué)家的努力，基本上建立了微積分領(lǐng)域理論基礎(chǔ)，通過(guò)極限給出了函數(shù)連續(xù)的概念及導(dǎo)數(shù)的嚴(yán)格定義。魏爾斯特拉斯將柯西關(guān)于極限的定性描述，改成定量刻畫(huà)，即“”語(yǔ)言。完成了分析算術(shù)化的工作。（二）基本內(nèi)容定義1設(shè)函數(shù)f（x）在[a,b]上有界，在[a,b]中任意插入若干個(gè)分點(diǎn)a=x0<x1<...<xn-1<xn=b把區(qū)間[a,b]分成n個(gè)小區(qū)間[x0，x1]，[xn-1，xn]，在每個(gè)小區(qū)間[xi-1，xi]上任取一點(diǎn)（xi-1≤≤xi），作函數(shù)值與小區(qū)間長(zhǎng)度的乘積。并作出和，如果不論對(duì)[a,b]怎樣分法，也不論在小區(qū)間上的點(diǎn)怎樣取法，只要當(dāng)區(qū)間的長(zhǎng)度趨于零時(shí)，和S總趨于確定的極限I，這時(shí)我們稱這個(gè)極限I為函數(shù)在區(qū)間[a,b]上的定積分，記作.即：性質(zhì)（1）：函數(shù)的和（差）得定積分等于它們的定積分的和（差），即：；

性質(zhì)（2）：被積函數(shù)的常數(shù)因子可以提到積分號(hào)外面，即：

性質(zhì)（3）：如果在區(qū)間[a,b]上，f（x）≤g（x），則≤（a<b）

性質(zhì)（4）：設(shè)M及m分別是函數(shù)f（x）在區(qū)間[a,b]上的最大值及最小值，則m（b-a）≤≤M（b-a）三、定積分在生活中的簡(jiǎn)單應(yīng)用（一）定積分在經(jīng)濟(jì)管理中的應(yīng)用1.利用定積分求消費(fèi)者剩余與生產(chǎn)者剩余消費(fèi)者剩余是指消費(fèi)者消費(fèi)一定數(shù)量的某種商品愿意支付的最高價(jià)格與這些商品的實(shí)際市場(chǎng)價(jià)格之間的差額。一般認(rèn)為，消費(fèi)者剩余達(dá)到最大的條件是邊際效用等于邊際支出。生產(chǎn)者剩余（producersurplus）等于廠商生產(chǎn)一種產(chǎn)品的總利潤(rùn)加上補(bǔ)償給要素所有者超出或低于他們所要求的最小收益的數(shù)量。從幾何的角度看，它等于供給曲線之上和市場(chǎng)價(jià)格之下的那塊三角形面積。計(jì)算公式如下：消費(fèi)者剩余=買(mǎi)者愿意支付的最高價(jià)格一買(mǎi)者的實(shí)際支付價(jià)格；生產(chǎn)者剩余=賣(mài)者得到的收入一賣(mài)者的實(shí)際成本?；旧鲜袌?chǎng)規(guī)律告訴我們，比較低價(jià)的東西通常會(huì)有更多需求，而價(jià)格相對(duì)比較高的東西會(huì)有比較少的需求量。所以說(shuō)需求量是隨著價(jià)格的增加而減少的。用Q=f（P）表示。而且市場(chǎng)規(guī)律告訴我們，因?yàn)槟承〇|西相對(duì)來(lái)說(shuō)是低價(jià)的，因?yàn)槿狈嶅X(qián)的空間，那么生產(chǎn)量其實(shí)就會(huì)減少，這樣的話其實(shí)市場(chǎng)上這種東西就會(huì)減少供給量。如果說(shuō)一個(gè)東西的價(jià)格相對(duì)來(lái)說(shuō)是高的，那么就表示存在盈利空間，所以會(huì)有更多的廠家在這部分投入資金，導(dǎo)致產(chǎn)出更多東西。所以說(shuō)供給量是隨著價(jià)格的增加而增加的。用Q=g（P）表示。由于兩個(gè)函數(shù)其實(shí)都是單調(diào)函數(shù)，所以說(shuō)P=和P=存在。假設(shè)消費(fèi)者以較高價(jià)格P=購(gòu)買(mǎi)某商品并情愿支付，Q*為均衡商品量，則在[Q,Q+]內(nèi)消費(fèi)者消費(fèi)量近似為,故消費(fèi)者的總消費(fèi)量為,它是需求曲線P=在與Q*之間的曲邊梯形OQ*的面積，如圖要是說(shuō)商品售價(jià)是P*，也就是說(shuō)均衡價(jià)格的haul，其實(shí)能夠看到銷售量應(yīng)該是P*Q*。所以我們能夠知道消費(fèi)者剩余應(yīng)該表示為它是曲邊三角形的面積。要是說(shuō)生產(chǎn)者想要的售價(jià)是P*，不是的話，我們把多賺的錢(qián)叫做生產(chǎn)者剩余。同理分析可知：其實(shí)生產(chǎn)者的收入是P*Q*，是計(jì)劃收入，所以說(shuō)我們也能夠通過(guò)下面的式子表示生產(chǎn)者剩余。它是曲邊三角形的面積。2.利用定積分由變化率求總量問(wèn)題傲視我們想要計(jì)算某范圍里面一個(gè)函數(shù)的變化量，其實(shí)也能夠通過(guò)定積分的辦法。我們現(xiàn)在知道一個(gè)產(chǎn)品產(chǎn)量變化率能夠表示為（件/天），請(qǐng)你計(jì)算出這樣?xùn)|西第五天到第十天產(chǎn)量是多少。解所求的總產(chǎn)量為（件）3.利用定積分求經(jīng)濟(jì)函數(shù)的最大值和最小值首先我們簡(jiǎn)單了解一個(gè)最大值和最小值。其實(shí)顧名思義也很容易理解，這兩個(gè)就是說(shuō)明確限定條件的時(shí)候能夠取到的最大值和最小值?，F(xiàn)在我們有一個(gè)函數(shù)，C=100+2x表示的是生產(chǎn)產(chǎn)品x個(gè)的時(shí)候要花費(fèi)的邊際成本是多少這里面元是固定成本，單價(jià)是500元。請(qǐng)問(wèn)要是說(shuō)只要產(chǎn)品生產(chǎn)出來(lái)了就能夠賣(mài)出去，那么請(qǐng)你計(jì)算利潤(rùn)最大的時(shí)候的生產(chǎn)量?，并求出最大利潤(rùn)。解：總成本函數(shù)為=總收益函數(shù)為R（x）=500x總利潤(rùn)函數(shù)為L(zhǎng)（x）=R（x）-C（x）==400-2x令=0，得x=200因?yàn)椋?00）<0所以，我們能夠知道生產(chǎn)量為200單位時(shí)，我們能夠讓利潤(rùn)最大。而且這個(gè)時(shí)候最大利潤(rùn)為L(zhǎng)（200）=400200--1000=39000（元）。4.利用定積分計(jì)算資本現(xiàn)值首先我們簡(jiǎn)單了解一下什么是現(xiàn)值，其實(shí)這個(gè)是在說(shuō)資金折算后是多少。比較通俗的說(shuō)法是不同年份，等值的錢(qián)價(jià)值是不一樣的，比如十年前的一百元和現(xiàn)在的一百元其購(gòu)買(mǎi)力絕對(duì)不等價(jià)。為了能夠表示這種不等價(jià)，并且進(jìn)行細(xì)致刻畫(huà)，所以我們提出了貼現(xiàn)值的概念。這個(gè)的計(jì)算發(fā)其實(shí)和利率很相似。比如我們簡(jiǎn)單來(lái)看一個(gè)例子，5%的貼現(xiàn)率，現(xiàn)在一個(gè)人手中有100塊錢(qián)，那么過(guò)了一年后想要和這100塊錢(qián)等價(jià)的話必須要105元?，F(xiàn)在我們手里有95.24元的話，其實(shí)這95.24元的購(gòu)買(mǎi)力和一年后的100元是一樣的。例1：要是說(shuō)某次交易收入率是f（t），連續(xù)收益利率是r，這樣的話我們就知道總的錢(qián)數(shù)是y=。我們投資企業(yè)一定量的錢(qián)，比如說(shuō)是A,那么預(yù)測(cè)其T年時(shí)間里面每年的收入是a元，并且這個(gè)時(shí)間段內(nèi)每年收入一樣，要是r是年利潤(rùn)的話，請(qǐng)你計(jì)算：（1）該投資的純收入貼現(xiàn)值；（2）收回該筆投資的時(shí)間為多少?解：（1）求投資純收入的貼現(xiàn)值：由于我們知道收入率其實(shí)就是a,而且r是年利潤(rùn),那么我們就知道進(jìn)行T年投資，我們能夠拿到的總的錢(qián)數(shù)是Y=從而投資所獲得的純收入的貼現(xiàn)值為（2）求收回投資的時(shí)間：這個(gè)就是說(shuō)收入和投資是相等的。因?yàn)椋晕覀冇蠺=。即收回投資的時(shí)間為T(mén)=例如，若對(duì)某企業(yè)投資A=800（萬(wàn)元），年利率為5%，設(shè)在20年中的均勻收入率為a=200（萬(wàn)元/年），則有投資回收期為=（年）由此可知，該投資在20年內(nèi)可得純利潤(rùn)為1728.2萬(wàn)元，投資回收期約為4.46年。例2：現(xiàn)在有一個(gè)項(xiàng)目需要投資，這個(gè)項(xiàng)目總投資需要是10000萬(wàn)人民幣，投資年利率能夠達(dá)到5%的程度，這樣我們知道每年大概收入能夠達(dá)到2000萬(wàn)人民幣，請(qǐng)你計(jì)算如果說(shuō)投資時(shí)長(zhǎng)不限的話，純收入貼現(xiàn)值是多少？解：我們通過(guò)上面的題目能夠看到收入能夠達(dá)到a=2000萬(wàn)人民幣，年利率能夠達(dá)到r=5%的程度，所以我們可以通過(guò)下面的步驟來(lái)進(jìn)行計(jì)算。=====40000（萬(wàn)元）這樣的話我們就得到了我們想要的答案，也就是說(shuō)如果投資沒(méi)有時(shí)間限制，可以看作是無(wú)限時(shí)，那么純收入最后為R=y-A，也就是3億人民幣。例3：現(xiàn)在有很多的夫婦為孩子儲(chǔ)備教育基金，現(xiàn)階段銀行存利率能夠達(dá)到5%的程度，我們的計(jì)算方法選擇的是連續(xù)復(fù)利法，那么要是這對(duì)夫婦想要能夠在十年后拿到5萬(wàn)人民幣的話，請(qǐng)問(wèn)他們每年要存多少錢(qián)，我們假設(shè)他們每年存入的錢(qián)數(shù)都是一樣的。解：設(shè)他們每年要存的錢(qián)數(shù)是A元，他們每年存入的錢(qián)數(shù)都是一樣的。這對(duì)夫婦想要能夠在十年后拿到5萬(wàn)人民幣，這樣的話我們就有又得（元）。也就是說(shuō)他們每年都應(yīng)該像銀行存人民幣4517元，這樣的話他們才能夠在十年后拿到5萬(wàn)人民幣的教育基金。（二）定積分在物理中的應(yīng)用1.求物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量定義：質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)關(guān)于軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為設(shè)均勻圓盤(pán)，質(zhì)量是M，半徑是R。（1）請(qǐng)你計(jì)算圓盤(pán)對(duì)通過(guò)中心與其垂直的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。（2）請(qǐng)你計(jì)算圓盤(pán)對(duì)直徑所在軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。解：（1）完成上圖中坐標(biāo)系的構(gòu)造，圓盤(pán)單位面積質(zhì)量是.對(duì)應(yīng)于小圓環(huán)對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為分割：求和：（2）我們把軸作為是旋轉(zhuǎn)軸，完成上圖中坐標(biāo)系的構(gòu)建。細(xì)條的關(guān)于軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為故圓盤(pán)對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為2.交流電的平均功率例：設(shè)交流電，其中是電流最大值，周期為，電阻為，求交流電的平均功率。解：3.求彈簧的彈性勢(shì)能我們首先來(lái)看“彈性勢(shì)能”到底是什么。其實(shí)就是說(shuō)那些物體如果有彈性形變不同部分因?yàn)榇嬖趶椓?，所以?huì)導(dǎo)致相互作用，從而能夠通過(guò)這些作用產(chǎn)生勢(shì)能?？梢钥吹揭钦f(shuō)彈性勢(shì)能是會(huì)因?yàn)樾巫兂潭鹊募由疃兇蟮?。?dāng)距離平和位置為時(shí)，彈性恢復(fù)力.任取一小區(qū)間，回復(fù)力在上面做的功所以從平衡位置到位置，回復(fù)力所做的功回復(fù)力屬于內(nèi)力，由機(jī)械能守恒得彈性勢(shì)能（三）定積分在橋梁工程計(jì)量中的應(yīng)用1.定積分測(cè)算土木工程實(shí)例中的不規(guī)則構(gòu)造物：我們想要在某一個(gè)高速公路出改一個(gè)蓋板通道進(jìn)口八字墻。蓋板和線路的夾角是45度的，材料選擇的是M7.5漿砌片石。那么我們想要能夠更好地通過(guò)微積分去進(jìn)行工程量計(jì)算的話，我們把墻身進(jìn)行適當(dāng)分割。計(jì)算A部分工程量：過(guò)點(diǎn)同時(shí)和軸垂直的截面其實(shí)也是梯形，我們能夠通過(guò)下面的式子完成面積計(jì)算?？梢钥吹紸部分能夠在0米到0.4米這樣的范圍內(nèi)變化其高度。A部分工程量為：計(jì)算B部分工程量：我們希望能夠盡可能減少運(yùn)算量，所以說(shuō)改變一下坐標(biāo)系位置，把處變成坐標(biāo)原點(diǎn)。那么過(guò)點(diǎn)同時(shí)和軸垂直的截面其實(shí)也是梯形，我們能夠通過(guò)下面的式子完成面積計(jì)算?？梢钥吹紹部分能夠在0米到4.39米這樣的范圍內(nèi)變化其高度。B部分工程量為：2.定積分測(cè)算橋墩我們現(xiàn)在來(lái)看一個(gè)具體的例子就是青島高鐵，鐵路橋墩當(dāng)中，圓端型的是比較重用的。這種類型的橋墩截面是矩形兩端各接一個(gè)半圓，同時(shí)從下到上存在坡度。軸過(guò)點(diǎn)且垂直于軸的截面就是矩形，各接一個(gè)半圓，其面積為：可以看到橋墩能夠在0米到12米這樣的范圍內(nèi)變化其高頓，具體來(lái)看工程量的話，我們可以通過(guò)下面的式子得出。四、總結(jié)我的這篇文章是希望能夠結(jié)合例子展示定積分的應(yīng)用。定積分是以極限作為基礎(chǔ)的重要的計(jì)算方法，它能較好地發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)能力，培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬎季S能力和分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力。所以我們非常有必要深入研究這部分內(nèi)容。首先我先簡(jiǎn)要敘述了一些概念和理論知識(shí)，特別是簡(jiǎn)要闡述了一下定積分的發(fā)展歷史，這樣的話我們能夠?qū)τ诙ǚe分有更多的認(rèn)識(shí)。然后進(jìn)一步分析了實(shí)際生活中里面到底有哪些地方能夠應(yīng)用定積分。再展示了一些實(shí)際的例子，比如說(shuō)橋梁，比如說(shuō)經(jīng)濟(jì)問(wèn)題等，從而讓我們有更為深刻地理解。定積分作為高等數(shù)學(xué)中的一個(gè)重難點(diǎn)，其應(yīng)用價(jià)值十分廣泛，尤其是在關(guān)系社會(huì)的經(jīng)濟(jì)學(xué)、管理學(xué)、工程制造等方面具有較高的應(yīng)用頻率，其價(jià)值是不容小覷的。希望通過(guò)這篇文章能夠讓更多的人對(duì)于定積分這部分內(nèi)容有所認(rèn)識(shí)，有所了解。參考文獻(xiàn)：[1]英鵬程，徐松巖.定積分在橋梁工程計(jì)量中的應(yīng)用