淺談定積分在生活中的應用

論文題目：淺談定積分在生活中的應用內容摘要定積分是數學分析中一個非常關鍵的部分，并且和實際問題的聯系非常緊密。定積分作為高等數學中的一個重難點，其應用價值十分廣泛，尤其是在關系社會的經濟學、管理學、工程制造等方面具有較高的應用頻率，所以說我們十分有必要更為深入地了解這部分內容，讓數學能夠發(fā)揮出其價值，讓問題能夠得到解決。關鍵詞：數學分析、定積分、應用一、引言我們想要研究定積分，首先要知道其歷史來歷。最早的時候其實之所以提出這樣的一個概念是希望能夠解決計算圖形體積或者面積，特別經典的“窮竭法”和“割圓術”就是最開始的雛形，奠定了定積分思想的由來。不過正式提出是在十七世紀的時候，萊布尼茨和牛頓兩位偉大的科學家希望能夠通過這樣的辦法解決科研中的數學問題。而且看到了積分、微分兩部分是有聯系的，并且是密不可分的，同時還給出計算辦法。定積分作為高等數學中的一個重難點，其應用價值十分廣泛，尤其是在關系社會的經濟學、管理學、工程制造等方面具有較高的應用頻率，其價值是不容小覷的。希望我的這篇文章能夠對于學習、使用定積分的人有一定的幫助。二、定積分的相關概念（一）發(fā)展的歷史過程整體來看我們把其歷史分成下面的幾個階段，每個階段都有其典型特征。1.準備階段：十四世紀之前，其實基本上數學并沒有特別突出的表現。等到歐洲出現了資本主義的時候，數學才開始萌芽生長，有更多的人開始投入到這個領域當中?？梢钥吹绞兰o，其實積分思想的發(fā)展就是希望能夠解決求積問題，第一點是想要求面積，特別是曲面圍成的圖形；第二點就是希望能夠計算靜力學當中液體壓力和物體重心。2.創(chuàng)立階段：這是一個非常關鍵的時期，在十八世紀這段時間當中，大師頻出，其思想震鑠古今，伯努利、克雷爾、歐拉、馬克勞林、拉格朗日、達朗貝爾等等都是數學史上永遠不會忘記的數學大家。正是因為這些人努力和工作，所以定積分有了更為廣泛地推廣和發(fā)展，比如說多重積分、微分方程、無窮級數等等都得到了一定的發(fā)展。不過這個階段存在一個非常重要的問題，就是沒有找到這一領域的邏輯基礎。3.完成階段：其實1900到1920年這個階段，我們還是沒有徹底解決十八世紀遺留下來的這個問題。比如說沒有建立完善微積分概念，什么叫無窮小，什么叫無窮大，什么叫導數，什么叫微分，這些現在我們非常常見的概念當時還沒有得到學術界的統(tǒng)一認可。不過在后面幾十年的時間中，經過波爾查諾、柯西、維爾斯特拉斯、戴德金等數學家的努力，基本上建立了微積分領域理論基礎，通過極限給出了函數連續(xù)的概念及導數的嚴格定義。魏爾斯特拉斯將柯西關于極限的定性描述，改成定量刻畫，即“”語言。完成了分析算術化的工作。（二）基本內容定義1設函數f（x）在[a,b]上有界，在[a,b]中任意插入若干個分點a=x0<x1<...<xn-1<xn=b把區(qū)間[a,b]分成n個小區(qū)間[x0，x1]，[xn-1，xn]，在每個小區(qū)間[xi-1，xi]上任取一點（xi-1≤≤xi），作函數值與小區(qū)間長度的乘積。并作出和，如果不論對[a,b]怎樣分法，也不論在小區(qū)間上的點怎樣取法，只要當區(qū)間的長度趨于零時，和S總趨于確定的極限I，這時我們稱這個極限I為函數在區(qū)間[a,b]上的定積分，記作.即：性質（1）：函數的和（差）得定積分等于它們的定積分的和（差），即：；

性質（2）：被積函數的常數因子可以提到積分號外面，即：

性質（3）：如果在區(qū)間[a,b]上，f（x）≤g（x），則≤（a<b）

性質（4）：設M及m分別是函數f（x）在區(qū)間[a,b]上的最大值及最小值，則m（b-a）≤≤M（b-a）三、定積分在生活中的簡單應用（一）定積分在經濟管理中的應用1.利用定積分求消費者剩余與生產者剩余消費者剩余是指消費者消費一定數量的某種商品愿意支付的最高價格與這些商品的實際市場價格之間的差額。一般認為，消費者剩余達到最大的條件是邊際效用等于邊際支出。生產者剩余（producersurplus）等于廠商生產一種產品的總利潤加上補償給要素所有者超出或低于他們所要求的最小收益的數量。從幾何的角度看，它等于供給曲線之上和市場價格之下的那塊三角形面積。計算公式如下：消費者剩余=買者愿意支付的最高價格一買者的實際支付價格；生產者剩余=賣者得到的收入一賣者的實際成本。基本上市場規(guī)律告訴我們，比較低價的東西通常會有更多需求，而價格相對比較高的東西會有比較少的需求量。所以說需求量是隨著價格的增加而減少的。用Q=f（P）表示。而且市場規(guī)律告訴我們，因為某些東西相對來說是低價的，因為缺乏賺錢的空間，那么生產量其實就會減少，這樣的話其實市場上這種東西就會減少供給量。如果說一個東西的價格相對來說是高的，那么就表示存在盈利空間，所以會有更多的廠家在這部分投入資金，導致產出更多東西。所以說供給量是隨著價格的增加而增加的。用Q=g（P）表示。由于兩個函數其實都是單調函數，所以說P=和P=存在。假設消費者以較高價格P=購買某商品并情愿支付，Q*為均衡商品量，則在[Q,Q+]內消費者消費量近似為,故消費者的總消費量為,它是需求曲線P=在與Q*之間的曲邊梯形OQ*的面積，如圖要是說商品售價是P*，也就是說均衡價格的haul，其實能夠看到銷售量應該是P*Q*。所以我們能夠知道消費者剩余應該表示為它是曲邊三角形的面積。要是說生產者想要的售價是P*，不是的話，我們把多賺的錢叫做生產者剩余。同理分析可知：其實生產者的收入是P*Q*，是計劃收入，所以說我們也能夠通過下面的式子表示生產者剩余。它是曲邊三角形的面積。2.利用定積分由變化率求總量問題傲視我們想要計算某范圍里面一個函數的變化量，其實也能夠通過定積分的辦法。我們現在知道一個產品產量變化率能夠表示為（件/天），請你計算出這樣東西第五天到第十天產量是多少。解所求的總產量為（件）3.利用定積分求經濟函數的最大值和最小值首先我們簡單了解一個最大值和最小值。其實顧名思義也很容易理解，這兩個就是說明確限定條件的時候能夠取到的最大值和最小值?，F在我們有一個函數，C=100+2x表示的是生產產品x個的時候要花費的邊際成本是多少這里面元是固定成本，單價是500元。請問要是說只要產品生產出來了就能夠賣出去，那么請你計算利潤最大的時候的生產量?，并求出最大利潤。解：總成本函數為=總收益函數為R（x）=500x總利潤函數為L（x）=R（x）-C（x）==400-2x令=0，得x=200因為（200）<0所以，我們能夠知道生產量為200單位時，我們能夠讓利潤最大。而且這個時候最大利潤為L（200）=400200--1000=39000（元）。4.利用定積分計算資本現值首先我們簡單了解一下什么是現值，其實這個是在說資金折算后是多少。比較通俗的說法是不同年份，等值的錢價值是不一樣的，比如十年前的一百元和現在的一百元其購買力絕對不等價。為了能夠表示這種不等價，并且進行細致刻畫，所以我們提出了貼現值的概念。這個的計算發(fā)其實和利率很相似。比如我們簡單來看一個例子，5%的貼現率，現在一個人手中有100塊錢，那么過了一年后想要和這100塊錢等價的話必須要105元。現在我們手里有95.24元的話，其實這95.24元的購買力和一年后的100元是一樣的。例1：要是說某次交易收入率是f（t），連續(xù)收益利率是r，這樣的話我們就知道總的錢數是y=。我們投資企業(yè)一定量的錢，比如說是A,那么預測其T年時間里面每年的收入是a元，并且這個時間段內每年收入一樣，要是r是年利潤的話，請你計算：（1）該投資的純收入貼現值；（2）收回該筆投資的時間為多少?解：（1）求投資純收入的貼現值：由于我們知道收入率其實就是a,而且r是年利潤,那么我們就知道進行T年投資，我們能夠拿到的總的錢數是Y=從而投資所獲得的純收入的貼現值為（2）求收回投資的時間：這個就是說收入和投資是相等的。因為，所以我們有T=。即收回投資的時間為T=例如，若對某企業(yè)投資A=800（萬元），年利率為5%，設在20年中的均勻收入率為a=200（萬元/年），則有投資回收期為=（年）由此可知，該投資在20年內可得純利潤為1728.2萬元，投資回收期約為4.46年。例2：現在有一個項目需要投資，這個項目總投資需要是10000萬人民幣，投資年利率能夠達到5%的程度，這樣我們知道每年大概收入能夠達到2000萬人民幣，請你計算如果說投資時長不限的話，純收入貼現值是多少？解：我們通過上面的題目能夠看到收入能夠達到a=2000萬人民幣，年利率能夠達到r=5%的程度，所以我們可以通過下面的步驟來進行計算。=====40000（萬元）這樣的話我們就得到了我們想要的答案，也就是說如果投資沒有時間限制，可以看作是無限時，那么純收入最后為R=y-A，也就是3億人民幣。例3：現在有很多的夫婦為孩子儲備教育基金，現階段銀行存利率能夠達到5%的程度，我們的計算方法選擇的是連續(xù)復利法，那么要是這對夫婦想要能夠在十年后拿到5萬人民幣的話，請問他們每年要存多少錢，我們假設他們每年存入的錢數都是一樣的。解：設他們每年要存的錢數是A元，他們每年存入的錢數都是一樣的。這對夫婦想要能夠在十年后拿到5萬人民幣，這樣的話我們就有又得（元）。也就是說他們每年都應該像銀行存人民幣4517元，這樣的話他們才能夠在十年后拿到5萬人民幣的教育基金。（二）定積分在物理中的應用1.求物體的轉動慣量定義：質量為m的質點關于軸的轉動慣量為設均勻圓盤，質量是M，半徑是R。（1）請你計算圓盤對通過中心與其垂直的軸的轉動慣量。（2）請你計算圓盤對直徑所在軸的轉動慣量。解：（1）完成上圖中坐標系的構造，圓盤單位面積質量是.對應于小圓環(huán)對軸的轉動慣量為分割：求和：（2）我們把軸作為是旋轉軸，完成上圖中坐標系的構建。細條的關于軸轉動慣量為故圓盤對軸的轉動慣量為2.交流電的平均功率例：設交流電，其中是電流最大值，周期為，電阻為，求交流電的平均功率。解：3.求彈簧的彈性勢能我們首先來看“彈性勢能”到底是什么。其實就是說那些物體如果有彈性形變不同部分因為存在彈力，所以會導致相互作用，從而能夠通過這些作用產生勢能?？梢钥吹揭钦f彈性勢能是會因為形變程度的加深而變大的。當距離平和位置為時，彈性恢復力.任取一小區(qū)間，回復力在上面做的功所以從平衡位置到位置，回復力所做的功回復力屬于內力，由機械能守恒得彈性勢能（三）定積分在橋梁工程計量中的應用1.定積分測算土木工程實例中的不規(guī)則構造物：我們想要在某一個高速公路出改一個蓋板通道進口八字墻。蓋板和線路的夾角是45度的，材料選擇的是M7.5漿砌片石。那么我們想要能夠更好地通過微積分去進行工程量計算的話，我們把墻身進行適當分割。計算A部分工程量：過點同時和軸垂直的截面其實也是梯形，我們能夠通過下面的式子完成面積計算?？梢钥吹紸部分能夠在0米到0.4米這樣的范圍內變化其高度。A部分工程量為：計算B部分工程量：我們希望能夠盡可能減少運算量，所以說改變一下坐標系位置，把處變成坐標原點。那么過點同時和軸垂直的截面其實也是梯形，我們能夠通過下面的式子完成面積計算?？梢钥吹紹部分能夠在0米到4.39米這樣的范圍內變化其高度。B部分工程量為：2.定積分測算橋墩我們現在來看一個具體的例子就是青島高鐵，鐵路橋墩當中，圓端型的是比較重用的。這種類型的橋墩截面是矩形兩端各接一個半圓，同時從下到上存在坡度。軸過點且垂直于軸的截面就是矩形，各接一個半圓，其面積為：可以看到橋墩能夠在0米到12米這樣的范圍內變化其高頓，具體來看工程量的話，我們可以通過下面的式子得出。四、總結我的這篇文章是希望能夠結合例子展示定積分的應用。定積分是以極限作為基礎的重要的計算方法，它能較好地發(fā)展學生的數學能力，培養(yǎng)學生嚴謹的邏輯思維能力和分析問題解決問題的能力。所以我們非常有必要深入研究這部分內容。首先我先簡要敘述了一些概念和理論知識，特別是簡要闡述了一下定積分的發(fā)展歷史，這樣的話我們能夠對于定積分有更多的認識。然后進一步分析了實際生活中里面到底有哪些地方能夠應用定積分。再展示了一些實際的例子，比如說橋梁，比如說經濟問題等，從而讓我們有更為深刻地理解。定積分作為高等數學中的一個重難點，其應用價值十分廣泛，尤其是在關系社會的經濟學、管理學、工程制造等方面具有較高的應用頻率，其價值是不容小覷的。希望通過這篇文章能夠讓更多的人對于定積分這部分內容有所認識，有所了解。參考文獻：[1]英鵬程，徐松巖.定積分在橋梁工程計量中的應用