安徽省名校2023-2024學年高一數學第一學期期末學業(yè)質量監(jiān)測試題含解析

安徽省名校2023-2024學年高一數學第一學期期末學業(yè)質量監(jiān)測試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的，請將正確答案涂在答題卡上.）1．函數，若恰有3個零點，則a的取值范圍是（）A. B.C. D.2．已知函數,若關于的方程有四個不同的實數解，且，則的取值范圍是（）A. B.C. D.3．函數的部分圖像如圖所示，則的最小正周期為（）A. B.C. D.4．在中，，，若點滿足，則（）A. B.C. D.5．已知命題“，使”是假命題，則實數的取值范圍是（）A. B.C. D.6．函數f（x）=lnx﹣1的零點所在的區(qū)間是A（1，2） B.（2，3）C.（3，4） D.（4，5）7．若集合，則集合（）A. B.C. D.8．下列各式不正確的是（）A.sin(α+)=－sinα B.cos(α+)=－sinαC.sin(－α－2)=－sinα D.cos(α－)=sinα9．斜率為4的直線經過點A(3,5)，B(a,7)，C(－1，b)三點，則a，b的值為()A.a＝，b＝0 B.a＝－，b＝－11C.a＝，b＝－11 D.a＝－，b＝1110．已知平面α和直線l，則α內至少有一條直線與l（）A.異面 B.相交C.平行 D.垂直11．不等式的解集為R，則a的取值范圍為（）A. B.C. D.12．已知點，點在軸上且到兩點的距離相等，則點的坐標為A.（－3，0，0） B.（0，－3，0）C.（0，0，3） D.（0，0，－3）二、選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分,將答案寫在答題卡上.）13．將函數的圖象上所有點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?倍，縱坐標不變，再將圖象向右平移個單位后，所得圖象關于原點對稱，則的值為______14．如圖，在中，，，若，則_____.15．若存在常數和，使得函數和對其公共定義域上的任意實數都滿足：和恒成立，則稱此直線為和的“隔離直線”．已知函數，，若函數和之間存在隔離直線，則實數的取值范圍是______16．下列說法中，所有正確說法的序號是_____終邊落在軸上的角的集合是；

函數圖象與軸的一個交點是；函數在第一象限是增函數；若，則三、解答題（本大題共6個小題，共70分。解答時要求寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟。）17．已知函數（且）.（1）當時，，求的取值范圍；（2）若在上最小值大于1，求的取值范圍.18．已知是函數的零點，.（Ⅰ）求實數的值；（Ⅱ）若不等式在上恒成立，求實數的取值范圍；（Ⅲ）若方程有三個不同的實數解，求實數的取值范圍.19．如圖，已知正方形ABCD的邊長為2，分別取BC，CD的中點E，F，連接AE，EF，AF，以AE，EF，FA為折痕進行折疊，使點B，C，D重合于一點P.（1）求證：；（2）求三棱錐的體積20．已知定義域為的函數是奇函數（Ⅰ）求值；（Ⅱ）判斷并證明該函數在定義域上的單調性；（Ⅲ）若對任意的，不等式恒成立，求實數的取值范圍；（Ⅳ）設關于的函數有零點，求實數的取值范圍.21．已知向量，，且，滿足關系.（1）求向量，的數量積用k表示的解析式；（2）求向量與夾角的最大值.22．已知函數.（1）求函數的定義域；（2）若實數，且，求的取值范圍.

參考答案一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的，請將正確答案涂在答題卡上.）1、B【解析】畫出的圖像后，數形結合解決函數零點個數問題.【詳解】做出函數圖像如下由得，由得故函數有3個零點若恰有3個零點，即函數與直線有三個交點，則a的取值范圍，故選：B2、D【解析】畫出函數的圖象，根據對稱性和對數函數的圖象和性質即可求出【詳解】可畫函數圖象如下所示若關于的方程有四個不同的實數解，且，當時解得或，關于直線對稱，則，令函數，則函數在上單調遞增，故當時故當時所以即故選：【點睛】本題考查函數方程思想，對數函數的性質，數形結合是解答本題的關鍵，屬于難題.3、B【解析】由圖可知，,計算即可.【詳解】由圖可知，,則,故選：B4、C【解析】由題可得，進一步化簡可得.【詳解】，，.故選：C.5、B【解析】原命題等價于恒成立，故即可，解出不等式即可.【詳解】因為命題“，使”是假命題，所以恒成立，所以，解得，故實數的取值范圍是故選：B6、B【解析】∵，在遞增，而，∴函數的零點所在的區(qū)間是，故選B.7、D【解析】解方程，再求并集.【詳解】故選：D.8、B【解析】將視為銳角，根據“奇變偶不變，符號看象限”得出答案.【詳解】將視為銳角，∵在第三象限，正弦為負值，且是的2倍為偶數，不改變三角函數的名稱，∴，A正確；∵在第四象限，余弦為正值，且是的3倍為奇數數，要改變三角函數的名稱，∴，B錯誤；∵，在第四象限，正弦為負值，且0是的0倍為偶數，不改變三角函數的名稱，∴，C正確；∵在第四象限，余弦為正值，且是的1倍為奇數，要改變三角函數的名稱，∴，D正確.故選：B.9、C【解析】因為，所以，則，故選C10、D【解析】若直線l∥α，α內至少有一條直線與l垂直，當l與α相交時，α內至少有一條直線與l垂直當l?α，α內至少有一條直線與l垂直故選D11、D【解析】對分成，兩種情況進行分類討論，結合判別式，求得的取值范圍.【詳解】當時，不等式化為，解集為，符合題意.當時，一元二次不等式對應一元二次方程的判別式，解得.綜上所述，的取值范圍是.故選：D【點睛】本小題主要考查二次項系數含有參數的一元二次不等式恒成立問題的求解，考查分類討論的數學思想方法，屬于基礎題.12、D【解析】設點，根據點到兩點距離相等，列出方程，即可求解.【詳解】根據題意，可設點，因為點到兩點的距離相等，可得，即，解得，所以整理得點的坐標為.故選：D.二、選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分,將答案寫在答題卡上.）13、【解析】將函數的圖象上所有點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?倍，縱坐標不變得到，再將圖象向右平移個單位，得到，即，其圖象關于原點對稱.∴，，又∴故答案為14、【解析】根據平面向量基本定理，結合向量加法、減法法則，將向量、作為基向量,把向量表示出來，即可求出.【詳解】即：【點睛】本題考查平面向量基本定理的應用問題，解題時根據向量加法與減法法則將所求向量用題目選定的基向量表示出來，是基礎題目.15、【解析】由已知可得、恒成立，可求得實數的取值范圍.【詳解】因為函數和之間存在隔離直線，所以，當時，可得對任意的恒成立，則，即，當時，可得對恒成立，令，則有對恒成立，所以或，解得或，綜上所述，實數的取值范圍是.故答案為：.16、【解析】取值驗證可判斷；直接驗證可判斷；根據第一象限的概念可判斷；由誘導公式化簡可判斷.【詳解】中，取時，的終邊在x軸上，故錯誤；中，當時，，故正確；中，第一象限角的集合為，顯然在該范圍內函數不單調；中，因為，所以，所以，故正確.故答案為：②④三、解答題（本大題共6個小題，共70分。解答時要求寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟。）17、（1）.（2）.【解析】（1）當時，得到函數的解析式，把不等式，轉化為，即可求解；（2）由在定義域內單調遞減，分類討論，即可求解函數的最大值，得到答案.【詳解】（1）當時，，，得.（2）在定義域內單調遞減，當時，函數在上單調遞減，，得.當時，函數在上單調遞增，，不成立.綜上：.【點睛】本題主要考查了指數函數的圖象與性質的應用問題，其中解答中由指數函數的解析式轉化為相應的不等式，以及根據指數函數的單調性分類討論求解是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力.18、(Ⅰ)1；(Ⅱ)；(Ⅲ)【解析】Ⅰ利用是函數的零點，代入解析式即可求實數的值；Ⅱ由不等式在上恒成立，利用參數分類法，轉化為二次函數求最值問題，即可求實數的取值范圍；Ⅲ原方程等價于，利用換元法，轉化為一元二次方程根的個數進行求解即可【詳解】Ⅰ是函數的零點，，得；Ⅱ，，則不等式在上恒成立，等價為，，同時除以，得，令，則，，，故的最小值為0，則，即實數k的取值范圍；Ⅲ原方程等價為，，兩邊同乘以得，此方程有三個不同的實數解，令，則，則，得或，當時，，得，當，要使方程有三個不同的實數解，則必須有有兩個解，則，得【點睛】本題主要考查函數與方程根的問題，利用換元法結合一元二次方程根的個數，以及不等式恒成立問題，屬于難題.不等式恒成立問題常見方法：①分離參數恒成立(即可)或恒成立（即可）；②數形結合(圖象在上方即可)；③討論最值或恒成立；④討論參數，排除不合題意的參數范圍，篩選出符合題意的參數范圍.19、（1）證明見解析（2）【解析】（1）通過，證明平面，然后證明；（2）利用，求出幾何體的體積【小問1詳解】證明：，即,平面，平面,又平面，所以；【小問2詳解】由（1）知平面，20、(Ⅰ)；(Ⅱ)答案見解析；(Ⅲ)（Ⅳ）.【解析】（1）根據奇函數性質得，解得值；（2）根據單調性定義，作差通分，根據指數函數單調性確定因子符號，最后根據差的符號確定單調性（3）根據奇偶性以及單調性將不等式化為一元二次不等式恒成立問題，利用判別式求實數的取值范圍；（4）根據奇偶性以及單調性將方程轉化為一元二次方程有解問題，根據二次函數圖像與性質求值域，即得實數的取值范圍.試題解析：（Ⅰ）由題設，需，∴，∴，經驗證，為奇函數，∴.（Ⅱ）減函數證明：任取，，且，則，∵∴∴，；∴，即∴該函數在定義域上減函數.（Ⅲ）由得，∵是奇函數，∴，由（Ⅱ）知，是減函數∴原問題轉化為，即對任意恒成立，∴，得即為所求.（Ⅳ）原函數零點的問題等價于方程由（Ⅱ）知，，即方程有解∵，∴當時函數存在零點.點睛:利用函數性質解不等式：首先根據函數的性質把不等式轉化為的形式，然后根據函數的單調性去掉“”，轉化為具體的不等式(組)，此時要注意與的取值應在外層函數的定義域內.21、（1），（2）【解析】（1）化簡即得；（2）設與的夾角為，求出，再求函數的最值得解.【詳解】（1）由已知.