2022中考數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)第4章第16講等腰三角形與直角三角形(共29張)

第四章圖形的認識與三角形

第16講等腰三角形與直角三角形考點梳理考點1

等腰三角形等腰三角形性質(zhì)(1)等腰三角形是軸對稱圖形；(2)等腰三角形的兩個底角①__相等__，簡稱“②__等邊對等角__”；(3)等腰三角形頂角的③__平分線__、底邊上的④__高__、底邊上的⑤__中線__互相重合，簡稱“⑥__三線合一__”判定有兩個角⑦__相等__的三角形是等腰三角形，簡稱“⑧__等角對等邊__”等邊三角形性質(zhì)等邊三角形是特殊的等腰三角形，具有等腰三角形的所有性質(zhì)，另外，等邊三角形的三個角都等于⑨__60°__判定三個角都⑩__相等__的三角形是等邊三角形；有一個角等于?__60°__的等腰三角形是等邊三角形考點2

直角三角形直角三角形的性質(zhì)在直角三角形中，兩個銳角①__互余__在直角三角形中，30°的銳角所對的直角邊等于斜邊的②__一半__直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的③__一半__在直角三角形中，斜邊的平方等于兩條直角邊的④__平方和__，即如果∠C＝90°，則有⑤__c2＝a2＋b2__在三角形中，如果一條邊的平方等于其余兩條邊的⑥__平方和__，那么這個三角形是直角三角形，即如果c2＝a2＋b2，那么∠C＝90°等腰直角三角形有一個角是直角的等腰三角形是⑦__等腰直角__三角形提示?解答直角三角形的問題時，優(yōu)先考慮使用勾股定理，要牢固地樹立“已知直角三角形的兩邊長，就相當于第三邊也已知”的觀念，同時注意使用勾股定理的幾個變形：如：a2＝c2－b2，b2＝c2－a2，進而有c＝考點3

角的平分線與線段的垂直平分線角的平分線角的平分線上的點到角的兩邊距離①__相等__．到角兩邊②__距離相等__的點在角的平分線上線段垂直平分線線段垂直平分線上的點到線段兩個端點的距離③__相等__．到線段兩個端點④__距離相等__的點在線段的垂直平分線上典型例題運用類型1等腰三角形的性質(zhì)與判定【例1】(1)如圖1所示，在△ABC中，BD，CD分別平分∠ABC，∠ACB，過點D作EF∥BC交AB，AC于點E，F(xiàn)，試說明BE＋CF＝EF的理由．(2)如圖2所示，在△ABC中，BD，CD分別平分∠ABC，∠ACG，過點D作EF∥BC交AB，AC于點E，F(xiàn)，則BE，CF，EF有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并說明你的理由．【思路分析】(1)根據(jù)BD平分∠ABC，可得∠ABD＝∠CBD，再利用EF∥BC，可證BE＝ED，同理可得DF＝CF，然后即可證明BE＋CF＝EF.(2)由(1)知BE＝ED，同理可得CF＝DF，然后利用等量代換即可證明BE，CF，EF的數(shù)量關(guān)系．【自主解答】(1)∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD.∵EF∥BC，∴∠EDB＝∠CBD.∴∠ABD＝∠EDB，∴BE＝ED.同理可得DF＝CF，∴BE＋CF＝ED＋DF＝EF.(2)BE－CF＝EF.理由如下：由(1)知BE＝ED，∵EF∥BC，∴∠EDC＝∠DCG＝∠ACD.∴CF＝DF.又∵ED－DF＝EF，∴BE－CF＝EF.技法點撥?解答這類問題，主要運用等腰三角形的判定與性質(zhì)以及平行線性質(zhì)，探求過程中的關(guān)鍵理由是“等角對等邊”．變式運用?1.如圖，D為△ABC內(nèi)一點，CD平分∠ACB，BD⊥CD，∠A＝∠ABD，若AC＝5，BC＝3，則BD的長為()A．1B．1.5C．2D.4AA如圖所示，延長BD與AC交于點E.∵∠A＝∠ABD，∴BE＝AE.∵BD⊥CD，∴BE⊥CD.∵CD平分∠ACB，∴∠BCD＝∠ECD.∴∠EBC＝∠BEC.∴△BEC為等腰三角形．∴BC＝CE.∵BE⊥CD，∴2BD＝BE.∵AC＝5，BC＝3，∴CE＝3.∴AE＝AC－EC＝5－3＝2，∴BE＝2，∴BD＝1.變式運用?2.[2018·東營期末]如圖，△ABC是等邊三角形，BD是中線，延長BC至點E，CE＝CD，(1)求證：DB＝DE.(2)在圖中過D作DF⊥BE交BE于F，若CF＝4，求△ABC的周長．解：(1)證明：∵△ABC是等邊三角形，BD是中線，∴∠ABC＝∠ACB＝60°，∠DBC＝30°.又∵CE＝CD，∴∠CDE＝∠CED.又∵∠BCD＝∠CDE＋∠CED，∴∠CDE＝∠CED＝∠BCD＝30°.∴∠DBC＝∠DEC.∴DB＝DE.(2)∵∠CDE＝∠CED＝∠BCD＝30°，∴∠DCF＝60°.∴∠CDF＝30°.∵CF＝4，∴DC＝8.∵AD＝CD，∴AC＝16，∴△ABC的周長＝3AC＝48.類型2直角三角形的綜合題【例2】如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝20，BC＝15，點D為AC邊上的動點，點D從點C出發(fā)，沿邊CA往A運動，當運動到點A時停止，設(shè)點D運動的時間為t秒，速度為每秒2個單位長度．(1)填空：當t＝________秒時，△CBD是直角三角形；(2)若△CBD是等腰三角形，求t的值．【思路分析】(1)根據(jù)CD＝速度×?xí)r間，得到CD，利用勾股定理列式求出AC，再分①∠CDB＝90°時，利用△ABC的面積列式計算即可求出BD，然后利用勾股定理列式求解得到CD，再根據(jù)時間＝路程÷速度計算；②∠CBD＝90°時，點D和點A重合，然后根據(jù)時間＝路程÷速度計算即可；(2)分①CD＝BC時，即CD＝15求解即可；②CD＝BD時，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)可求CD；③BD＝BC時，過點B作BF⊥AC于點F，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得CD＝2CF，依此解答．技法點撥?解答此題需要用到勾股定理、等腰三角形的判定與性質(zhì)、三角形的面積等知識，重點是注意分情況討論．變式運用?3.在四邊形ABCD中，AB＝AD＝8，∠A＝60°，∠D＝150°，四邊形周長為32，求BC和CD的長度．解：如圖所示，連接BD.由AB＝AD，∠A＝60°.則△ABD是等邊三角形．即BD＝8，∠1＝60°.又∠1＋∠2＝150°，則∠2＝90°.設(shè)BC＝x，CD＝16－x，由勾股定理，得x2＝82＋(16－x)2，解得x＝10，16－x＝6，所以BC＝10，CD＝6.變式運用?4.如圖，在四邊形ABCD中，AB＝CB＝，CD＝，DA＝1，且AB⊥CB于點B.試求：(1)∠BAD的度數(shù)；(2)四邊形ABCD的面積．解：(1)如圖所示，連接AC.∵AB⊥CB于點B，∴∠B＝90°.在△ABC中，∵∠B＝90°，∴AB2＋BC2＝AC2.又∵AB＝CB＝,∴AC＝2，∠BAC＝∠BCA＝45°.∵CD＝,DA＝1，∴CD2＝5，DA2＝1，AC2＝4.∴AC2＋DA2＝CD2.由勾股定理的逆定理得∠DAC＝90°，∴∠BAD＝∠BAC＋∠DAC＝45°＋90°＝135°.(2)∵∠DAC＝90°，AB⊥CB于點B，∴S△ABC＝AB·BC，S△DAC＝DA·AC.∵AB＝CB＝，DA＝1，AC＝2，∴S△ABC＝1，S△DAC＝1，而S四邊形ABCD＝S△ABC＋S△DAC，∴S四邊形ABCD＝2.真題全練命題點1等腰三角形1．如圖，在△PAB中，PA＝PB，M，N，K分別是PA，PB，AB上的點，且AM＝BK，BN＝AK，若∠MKN＝44°，則∠P的度數(shù)為()A．44°B．66°C．88°D．92°DD∵PA＝PB，∴∠A＝∠B.在△AMK和△BKN中，∴△AMK≌△BKN(SAS)，∴∠AMK＝∠BKN.∵∠MKB＝∠MKN＋∠NKB＝∠A＋∠AMK，∴∠A＝∠MKN＝44°，∴∠P＝180°－∠A－∠B＝92°.AM＝BK，∠A＝∠B，AK＝BN，2．已知：△ABC是等腰三角形，其底邊是BC，點D在線段AB上，E是直線BC上一點，且∠DEC＝∠DCE，若∠A＝60°(如圖1)．(1)求證：EB＝AD；(2)若將(1)中的“點D在線段AB上”改為“點D在線段AB的延長線上”，其他條件不變(如圖2)，(1)的結(jié)論是否成立，并說明理由；(3)若將(1)中的“若∠A＝60°”改為“若∠A＝90°”，其他條件不變，則的值是多少？(直接寫出結(jié)論，不要求寫解答過程)解：(1)證明：過D點作DF∥BC交AC于點F，如圖1所示，則AD＝DF，∴∠FDC＝∠ECD.∵∠DEC＝∠ECD，∴∠FDC＝∠DEC，ED＝CD.∠DBE＝∠DFC＝120°.在△DBE和△CFD中，∠DEB＝∠CDF，∠DBE＝∠CFD＝120°，ED＝DC，∴△DBE≌△CFD(AAS)，∴EB＝DF，∴EB＝AD.(2)EB＝AD成立．理由如下：過D點作DF∥BC交AC的延長線于點F，如圖2所示，則AD＝DF，∠FDC＝∠ECD.又∵∠DEC＝∠ECD，∴∠FDC＝∠DEC，ED＝CD.又∵∠DBE＝∠DFC＝60°，∴△DBE≌△CFD(AAS)．∴EB＝DF.∴EB＝AD.(3)過D點作DF∥BC交AC于F，如圖3所示，同(1)，得△DBE≌△CFD(AAS)，∴EB＝DF.∵△ABC是等腰直角三角形，DF∥BC，∴△ADF是等腰直角三角形．∴DF＝AD，∴∴3．如圖，∠ABC＝90°，D，E分別在BC，AC上，AD⊥DE，且AD＝DE，點F是AE的中點，F(xiàn)D與AB相交于點M.(1)求證：∠FMC＝∠FCM；(2)AD與MC垂直嗎？并說明理由．解：(1)證明：∵△ADE是等腰直角三角形，F(xiàn)是AE的中點，∴DF⊥AE，DF＝AF＝EF.又∵∠ABC＝90°，∠DCF，∠AMF都與∠MAC互余，∴∠DCF＝∠AMF.在△DFC和△AFM中，∠DCF＝∠AMF，∠CFD＝∠MFA，DF＝AF，∴△DFC≌△AFM(AAS)．∴CF＝MF.∴∠FMC＝∠FCM.(2)AD⊥MC.理由如下：由(1)知，∠MFC＝90°，F(xiàn)D＝EF，F(xiàn)M＝FC，∴∠FDE＝∠FMC＝45°.∴DE∥CM.∴AD⊥MC.4．如圖，在△ABC中，∠ABC＝45°，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分別為D，E，F(xiàn)為BC中點，BE與DF，DC分別交于點G，H，∠ABE＝∠CBE.(1)線段BH與AC相等嗎？若相等給予證明，若不相等請說明理由；(2)求證：BG2－GE2＝EA2.解：(1)相等．證明：∵∠BDC＝∠BEC＝∠CDA＝90°，∠ABC＝45°，∴∠BCD＝45°＝∠ABC，∠A＋∠DCA＝90°，∠A＋∠ABE＝90°.∴DB＝DC，∠ABE＝∠DCA.在△DBH和△DCA中，∠DBH＝∠DCA，BD＝CD，∠BDH＝∠CDA，∴△DBH≌△DCA(ASA)，∴BH＝AC.∴△ABE≌△CBE(ASA)．∴EC＝EA.在Rt△CGE中，由勾股定理，得CG2－EG2＝EC2，即BG2－GE2＝EA2.∠AEB＝∠CEB，BE＝BE，∠ABE＝∠CBE(2)證明：如圖，連接CG，∵F為BC的中點，DB＝DC，∴DF垂直平分BC.∴BG＝CG.∵∠ABE＝∠CBE，BE⊥AC，∴∠AEB＝∠CEB.在△ABE和△CBE中，得分要領(lǐng)?等腰三角形的三邊有腰與底之分，三角有頂角與底角之別；因此，在等腰三角形的腰與底角未確定的情況下，常常存在多解性的問題，解答時應(yīng)考慮周全，分類解答，以防漏解．分類時通常有以下原則：①按角的分類(頂角和底角)；②按邊的分類(腰和底邊)；③按頂點的位置分類(頂角頂點還是底角頂點)．5．將兩個斜邊長相等的三角形紙片如圖1放置，其中∠ACB＝∠CED＝90°，∠A＝45°，∠D＝30°.把△DCE繞點C順時針旋轉(zhuǎn)15°得到△D1CE1，如圖2，連接D1B，則∠E1D1B的度數(shù)為()A．10°B．20°C．7.5°D．15°命題點2直角三角形DD∵∠D＝30°，∴∠DCE＝60°.根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，得∠BCE1＝15°，∴∠BCD1＝∠D1CE1－∠BCE1＝60°－15°＝45°，∴∠BCD1＝∠A.在△ABC和△CD1B中，∵∠A＝∠BCD1，BC＝CB，∠ACB＝∠CBD1∴△ABC≌△D1CB(ASA)．∴∠BD1C＝∠ABC＝45°.∴∠E1D1B＝∠BD1C－∠CD1E1＝45°－30°＝15°.6．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB的垂直平分線DE交AC于E，交BC的延長線于F，若∠F＝30°，DE＝1，則BE的長是___．2猜押預(yù)測?1.如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD，CE分別是斜邊上的高和中線，若AC＝CE＝6，則CD的長為()A.B2.在△ABC中，∠A，∠B，∠C的對