2022中考數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)第4章第16講等腰三角形與直角三角形(共29張)

第四章圖形的認(rèn)識(shí)與三角形

第16講等腰三角形與直角三角形考點(diǎn)梳理考點(diǎn)1

等腰三角形等腰三角形性質(zhì)(1)等腰三角形是軸對(duì)稱圖形；(2)等腰三角形的兩個(gè)底角①__相等__，簡稱“②__等邊對(duì)等角__”；(3)等腰三角形頂角的③__平分線__、底邊上的④__高_(dá)_、底邊上的⑤__中線__互相重合，簡稱“⑥__三線合一__”判定有兩個(gè)角⑦_(dá)_相等__的三角形是等腰三角形，簡稱“⑧__等角對(duì)等邊__”等邊三角形性質(zhì)等邊三角形是特殊的等腰三角形，具有等腰三角形的所有性質(zhì)，另外，等邊三角形的三個(gè)角都等于⑨__60°__判定三個(gè)角都⑩__相等__的三角形是等邊三角形；有一個(gè)角等于?__60°__的等腰三角形是等邊三角形考點(diǎn)2

直角三角形直角三角形的性質(zhì)在直角三角形中，兩個(gè)銳角①__互余__在直角三角形中，30°的銳角所對(duì)的直角邊等于斜邊的②__一半__直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的③__一半__在直角三角形中，斜邊的平方等于兩條直角邊的④__平方和__，即如果∠C＝90°，則有⑤__c2＝a2＋b2__在三角形中，如果一條邊的平方等于其余兩條邊的⑥__平方和__，那么這個(gè)三角形是直角三角形，即如果c2＝a2＋b2，那么∠C＝90°等腰直角三角形有一個(gè)角是直角的等腰三角形是⑦_(dá)_等腰直角__三角形提示?解答直角三角形的問題時(shí)，優(yōu)先考慮使用勾股定理，要牢固地樹立“已知直角三角形的兩邊長，就相當(dāng)于第三邊也已知”的觀念，同時(shí)注意使用勾股定理的幾個(gè)變形：如：a2＝c2－b2，b2＝c2－a2，進(jìn)而有c＝考點(diǎn)3

角的平分線與線段的垂直平分線角的平分線角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離①__相等__．到角兩邊②__距離相等__的點(diǎn)在角的平分線上線段垂直平分線線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離③__相等__．到線段兩個(gè)端點(diǎn)④__距離相等__的點(diǎn)在線段的垂直平分線上典型例題運(yùn)用類型1等腰三角形的性質(zhì)與判定【例1】(1)如圖1所示，在△ABC中，BD，CD分別平分∠ABC，∠ACB，過點(diǎn)D作EF∥BC交AB，AC于點(diǎn)E，F(xiàn)，試說明BE＋CF＝EF的理由．(2)如圖2所示，在△ABC中，BD，CD分別平分∠ABC，∠ACG，過點(diǎn)D作EF∥BC交AB，AC于點(diǎn)E，F(xiàn)，則BE，CF，EF有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并說明你的理由．【思路分析】(1)根據(jù)BD平分∠ABC，可得∠ABD＝∠CBD，再利用EF∥BC，可證BE＝ED，同理可得DF＝CF，然后即可證明BE＋CF＝EF.(2)由(1)知BE＝ED，同理可得CF＝DF，然后利用等量代換即可證明BE，CF，EF的數(shù)量關(guān)系．【自主解答】(1)∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD.∵EF∥BC，∴∠EDB＝∠CBD.∴∠ABD＝∠EDB，∴BE＝ED.同理可得DF＝CF，∴BE＋CF＝ED＋DF＝EF.(2)BE－CF＝EF.理由如下：由(1)知BE＝ED，∵EF∥BC，∴∠EDC＝∠DCG＝∠ACD.∴CF＝DF.又∵ED－DF＝EF，∴BE－CF＝EF.技法點(diǎn)撥?解答這類問題，主要運(yùn)用等腰三角形的判定與性質(zhì)以及平行線性質(zhì)，探求過程中的關(guān)鍵理由是“等角對(duì)等邊”．變式運(yùn)用?1.如圖，D為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，CD平分∠ACB，BD⊥CD，∠A＝∠ABD，若AC＝5，BC＝3，則BD的長為()A．1B．1.5C．2D.4AA如圖所示，延長BD與AC交于點(diǎn)E.∵∠A＝∠ABD，∴BE＝AE.∵BD⊥CD，∴BE⊥CD.∵CD平分∠ACB，∴∠BCD＝∠ECD.∴∠EBC＝∠BEC.∴△BEC為等腰三角形．∴BC＝CE.∵BE⊥CD，∴2BD＝BE.∵AC＝5，BC＝3，∴CE＝3.∴AE＝AC－EC＝5－3＝2，∴BE＝2，∴BD＝1.變式運(yùn)用?2.[2018·東營期末]如圖，△ABC是等邊三角形，BD是中線，延長BC至點(diǎn)E，CE＝CD，(1)求證：DB＝DE.(2)在圖中過D作DF⊥BE交BE于F，若CF＝4，求△ABC的周長．解：(1)證明：∵△ABC是等邊三角形，BD是中線，∴∠ABC＝∠ACB＝60°，∠DBC＝30°.又∵CE＝CD，∴∠CDE＝∠CED.又∵∠BCD＝∠CDE＋∠CED，∴∠CDE＝∠CED＝∠BCD＝30°.∴∠DBC＝∠DEC.∴DB＝DE.(2)∵∠CDE＝∠CED＝∠BCD＝30°，∴∠DCF＝60°.∴∠CDF＝30°.∵CF＝4，∴DC＝8.∵AD＝CD，∴AC＝16，∴△ABC的周長＝3AC＝48.類型2直角三角形的綜合題【例2】如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝20，BC＝15，點(diǎn)D為AC邊上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)D從點(diǎn)C出發(fā)，沿邊CA往A運(yùn)動(dòng)，當(dāng)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A時(shí)停止，設(shè)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒，速度為每秒2個(gè)單位長度．(1)填空：當(dāng)t＝________秒時(shí)，△CBD是直角三角形；(2)若△CBD是等腰三角形，求t的值．【思路分析】(1)根據(jù)CD＝速度×?xí)r間，得到CD，利用勾股定理列式求出AC，再分①∠CDB＝90°時(shí)，利用△ABC的面積列式計(jì)算即可求出BD，然后利用勾股定理列式求解得到CD，再根據(jù)時(shí)間＝路程÷速度計(jì)算；②∠CBD＝90°時(shí)，點(diǎn)D和點(diǎn)A重合，然后根據(jù)時(shí)間＝路程÷速度計(jì)算即可；(2)分①CD＝BC時(shí)，即CD＝15求解即可；②CD＝BD時(shí)，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)可求CD；③BD＝BC時(shí)，過點(diǎn)B作BF⊥AC于點(diǎn)F，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得CD＝2CF，依此解答．技法點(diǎn)撥?解答此題需要用到勾股定理、等腰三角形的判定與性質(zhì)、三角形的面積等知識(shí)，重點(diǎn)是注意分情況討論．變式運(yùn)用?3.在四邊形ABCD中，AB＝AD＝8，∠A＝60°，∠D＝150°，四邊形周長為32，求BC和CD的長度．解：如圖所示，連接BD.由AB＝AD，∠A＝60°.則△ABD是等邊三角形．即BD＝8，∠1＝60°.又∠1＋∠2＝150°，則∠2＝90°.設(shè)BC＝x，CD＝16－x，由勾股定理，得x2＝82＋(16－x)2，解得x＝10，16－x＝6，所以BC＝10，CD＝6.變式運(yùn)用?4.如圖，在四邊形ABCD中，AB＝CB＝，CD＝，DA＝1，且AB⊥CB于點(diǎn)B.試求：(1)∠BAD的度數(shù)；(2)四邊形ABCD的面積．解：(1)如圖所示，連接AC.∵AB⊥CB于點(diǎn)B，∴∠B＝90°.在△ABC中，∵∠B＝90°，∴AB2＋BC2＝AC2.又∵AB＝CB＝,∴AC＝2，∠BAC＝∠BCA＝45°.∵CD＝,DA＝1，∴CD2＝5，DA2＝1，AC2＝4.∴AC2＋DA2＝CD2.由勾股定理的逆定理得∠DAC＝90°，∴∠BAD＝∠BAC＋∠DAC＝45°＋90°＝135°.(2)∵∠DAC＝90°，AB⊥CB于點(diǎn)B，∴S△ABC＝AB·BC，S△DAC＝DA·AC.∵AB＝CB＝，DA＝1，AC＝2，∴S△ABC＝1，S△DAC＝1，而S四邊形ABCD＝S△ABC＋S△DAC，∴S四邊形ABCD＝2.真題全練命題點(diǎn)1等腰三角形1．如圖，在△PAB中，PA＝PB，M，N，K分別是PA，PB，AB上的點(diǎn)，且AM＝BK，BN＝AK，若∠MKN＝44°，則∠P的度數(shù)為()A．44°B．66°C．88°D．92°DD∵PA＝PB，∴∠A＝∠B.在△AMK和△BKN中，∴△AMK≌△BKN(SAS)，∴∠AMK＝∠BKN.∵∠MKB＝∠MKN＋∠NKB＝∠A＋∠AMK，∴∠A＝∠MKN＝44°，∴∠P＝180°－∠A－∠B＝92°.AM＝BK，∠A＝∠B，AK＝BN，2．已知：△ABC是等腰三角形，其底邊是BC，點(diǎn)D在線段AB上，E是直線BC上一點(diǎn)，且∠DEC＝∠DCE，若∠A＝60°(如圖1)．(1)求證：EB＝AD；(2)若將(1)中的“點(diǎn)D在線段AB上”改為“點(diǎn)D在線段AB的延長線上”，其他條件不變(如圖2)，(1)的結(jié)論是否成立，并說明理由；(3)若將(1)中的“若∠A＝60°”改為“若∠A＝90°”，其他條件不變，則的值是多少？(直接寫出結(jié)論，不要求寫解答過程)解：(1)證明：過D點(diǎn)作DF∥BC交AC于點(diǎn)F，如圖1所示，則AD＝DF，∴∠FDC＝∠ECD.∵∠DEC＝∠ECD，∴∠FDC＝∠DEC，ED＝CD.∠DBE＝∠DFC＝120°.在△DBE和△CFD中，∠DEB＝∠CDF，∠DBE＝∠CFD＝120°，ED＝DC，∴△DBE≌△CFD(AAS)，∴EB＝DF，∴EB＝AD.(2)EB＝AD成立．理由如下：過D點(diǎn)作DF∥BC交AC的延長線于點(diǎn)F，如圖2所示，則AD＝DF，∠FDC＝∠ECD.又∵∠DEC＝∠ECD，∴∠FDC＝∠DEC，ED＝CD.又∵∠DBE＝∠DFC＝60°，∴△DBE≌△CFD(AAS)．∴EB＝DF.∴EB＝AD.(3)過D點(diǎn)作DF∥BC交AC于F，如圖3所示，同(1)，得△DBE≌△CFD(AAS)，∴EB＝DF.∵△ABC是等腰直角三角形，DF∥BC，∴△ADF是等腰直角三角形．∴DF＝AD，∴∴3．如圖，∠ABC＝90°，D，E分別在BC，AC上，AD⊥DE，且AD＝DE，點(diǎn)F是AE的中點(diǎn)，F(xiàn)D與AB相交于點(diǎn)M.(1)求證：∠FMC＝∠FCM；(2)AD與MC垂直嗎？并說明理由．解：(1)證明：∵△ADE是等腰直角三角形，F(xiàn)是AE的中點(diǎn)，∴DF⊥AE，DF＝AF＝EF.又∵∠ABC＝90°，∠DCF，∠AMF都與∠MAC互余，∴∠DCF＝∠AMF.在△DFC和△AFM中，∠DCF＝∠AMF，∠CFD＝∠MFA，DF＝AF，∴△DFC≌△AFM(AAS)．∴CF＝MF.∴∠FMC＝∠FCM.(2)AD⊥MC.理由如下：由(1)知，∠MFC＝90°，F(xiàn)D＝EF，F(xiàn)M＝FC，∴∠FDE＝∠FMC＝45°.∴DE∥CM.∴AD⊥MC.4．如圖，在△ABC中，∠ABC＝45°，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分別為D，E，F(xiàn)為BC中點(diǎn)，BE與DF，DC分別交于點(diǎn)G，H，∠ABE＝∠CBE.(1)線段BH與AC相等嗎？若相等給予證明，若不相等請(qǐng)說明理由；(2)求證：BG2－GE2＝EA2.解：(1)相等．證明：∵∠BDC＝∠BEC＝∠CDA＝90°，∠ABC＝45°，∴∠BCD＝45°＝∠ABC，∠A＋∠DCA＝90°，∠A＋∠ABE＝90°.∴DB＝DC，∠ABE＝∠DCA.在△DBH和△DCA中，∠DBH＝∠DCA，BD＝CD，∠BDH＝∠CDA，∴△DBH≌△DCA(ASA)，∴BH＝AC.∴△ABE≌△CBE(ASA)．∴EC＝EA.在Rt△CGE中，由勾股定理，得CG2－EG2＝EC2，即BG2－GE2＝EA2.∠AEB＝∠CEB，BE＝BE，∠ABE＝∠CBE(2)證明：如圖，連接CG，∵F為BC的中點(diǎn)，DB＝DC，∴DF垂直平分BC.∴BG＝CG.∵∠ABE＝∠CBE，BE⊥AC，∴∠AEB＝∠CEB.在△ABE和△CBE中，得分要領(lǐng)?等腰三角形的三邊有腰與底之分，三角有頂角與底角之別；因此，在等腰三角形的腰與底角未確定的情況下，常常存在多解性的問題，解答時(shí)應(yīng)考慮周全，分類解答，以防漏解．分類時(shí)通常有以下原則：①按角的分類(頂角和底角)；②按邊的分類(腰和底邊)；③按頂點(diǎn)的位置分類(頂角頂點(diǎn)還是底角頂點(diǎn))．5．將兩個(gè)斜邊長相等的三角形紙片如圖1放置，其中∠ACB＝∠CED＝90°，∠A＝45°，∠D＝30°.把△DCE繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)15°得到△D1CE1，如圖2，連接D1B，則∠E1D1B的度數(shù)為()A．10°B．20°C．7.5°D．15°命題點(diǎn)2直角三角形DD∵∠D＝30°，∴∠DCE＝60°.根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，得∠BCE1＝15°，∴∠BCD1＝∠D1CE1－∠BCE1＝60°－15°＝45°，∴∠BCD1＝∠A.在△ABC和△CD1B中，∵∠A＝∠BCD1，BC＝CB，∠ACB＝∠CBD1∴△ABC≌△D1CB(ASA)．∴∠BD1C＝∠ABC＝45°.∴∠E1D1B＝∠BD1C－∠CD1E1＝45°－30°＝15°.6．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB的垂直平分線DE交AC于E，交BC的延長線于F，若∠F＝30°，DE＝1，則BE的長是___．2猜押預(yù)測?1.如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD，CE分別是斜邊上的高和中線，若AC＝CE＝6，則CD的長為()A.B2.在△ABC中，∠A，∠B，∠C的對(duì)