2022年度湖南省益陽市第九中學(xué)高三數(shù)學(xué)理聯(lián)考試卷含解析

2022年度湖南省益陽市第九中學(xué)高三數(shù)學(xué)理聯(lián)考試卷

含解析

一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共5()分。在每小題給出的四個選

項中，只有是一個符合題目要求的

1.下列滿足”?xGR,f(x)+f(-x)=0且f'(x)W0”的函數(shù)是()

A.f(x)=-xexB.f(x)=x+sinx

lg(x+l),

C.f(x)=Jg(l-x)，x<°D.f(x)=x21x'

參考答案：

A

【考點】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性.

【分析】滿足“?x6R,f(x)+f(-x)=0,且f'(x)W0”的函數(shù)為奇函數(shù)，且在R

上為減函數(shù)，進而得到答案.

【解答】解：滿足"?xdR,f(x)+f(-x)=0,且f'(x)W0”的函數(shù)為奇函數(shù)，且

在R上為減函數(shù)，

A中函數(shù)f(x)="xe",滿足f(-x)=-f(x),即函數(shù)為奇函數(shù)，

(x-l)e-x>x<CO

且f'(x)=l-(x+l)ex,x>0wo恒成立，故在R上為減函數(shù)，

B中函數(shù)f(x)=x+sinx,滿足f(-x)=-f(x),即函數(shù)為奇函數(shù)，但f'(x)

=l+cosx^O,在R上是增函數(shù)，

lg(x+l),

*Ig(l-x),x<0

C中函數(shù)f(x)=，,滿足f(-x)=f(x),故函數(shù)為偶函數(shù)；

D中函數(shù)f(x)=x21x.,滿足f(-x)=f(x),故函數(shù)為偶函數(shù)，

故選：A.

【點評】本題以全稱命題為載體，考查了函數(shù)的奇偶性和函數(shù)的單調(diào)性，難度中檔.

2?小明跟父母、爺爺奶奶一同參加《中國詩詞大會》的現(xiàn)場錄制，5人坐成一排.若小明

的父母至少有一人與他相鄰，則不同坐法的總數(shù)為()

A.60B.72C.84D.96

參考答案:

C

【考點】排列、組合的實際應(yīng)用.

【分析】根據(jù)題意，分3種情況討論：①、小明的父母的只有1人與小明相鄰且父母不相

鄰，②、小明的父母的只有1人與小明相鄰且父母相鄰，③、小明的父母都與小明相

鄰，分別求出每一種情況下的排法數(shù)目，由分類計數(shù)原理計算可得答案.

【解答】解：根據(jù)題意，分3種情況討論：

①、若小明的父母的只有1人與小明相鄰且父母不相鄰時，

先在其父母中選一人與小明相鄰，有QL2種情況，

2

將小明與選出的家長看成一個整體，考慮其順序有A2=2種情況，

當父母不相鄰時，需要將爺爺奶奶進行全排列，將整體與另一個家長安排在空位中，有

A2?XA32=12種安排方法，

此時有2x2x12=48種不同坐法；

②、若小明的父母的只有1人與小明相鄰且父母相鄰時，

將父母及小明看成一個整體，

小明在一端，有2種情況，考慮父母之間的順序，有2種情況，則這個整體內(nèi)部有2x2=4

種情況，

將這個整體與爺爺奶奶進行全排列，有A『=6種情況，

此時有2x2x6=24種不同坐法；

③、小明的父母都與小明相鄰，即小明在中間，父母在兩邊，

將3人看成一個整體，考慮父母的順序，有A?2=2種情況，

將這個整體與爺爺奶奶進行全排列，有A3-3=6種情況，

此時，共有2x6=12種不同坐法；

則一共有48+24+12=84種不同坐法；

故選：C.

3.（5分）（2013?蘭州一模）已知數(shù)列｛aj為等差數(shù)列，且a,+a7+a13=4n,則tan

（a2+ai2）的值為（）

A.aB.c.±V?D.

.3

參考答案:

A

略

JC一y:>0

-3x+y<3

4.若不等式組任+事,41表示一個三角形內(nèi)部的區(qū)域，則實數(shù)a的取值范圍是

()

參考答案:

5.設(shè)拋物線寸=2/?>0)的焦點為尸，點上(0,2),若線段田4與拋物線的交點B

滿足或=3赤，則點6到該拋物線的準線的距離為()

5#

D.玉~

參考答案:

D

略

/(x)=fX+1lX~0

6.已知函數(shù)〔風電乩無>0,若方程〃r)=a有四個不同的解不，巧，巧，之

,、1

,,,巧O、)+h

且不〈巧<巧<。，則=5的取值范圍是

A(T同B.(TDc.SDD.ID

參考答案:

B

7設(shè)Sn為等差數(shù)列｛an｝的前n項和,若a產(chǎn)1,a3=5,Sk+2-Sk=36,則k的值為（）

A.8B.7C.6D.5

參考答案：

A【知識點】等差數(shù)列及其前n項和.D2

解析：由a1=l,a3=5得d=2,所以

Sk+2-Sk=%】I%2=2/1（2無11）d=2Q11b2=36解得:k=8,故選A.

【思路點撥】由等差數(shù)列的通項公式，前n項和公式求得結(jié)論.

8.函數(shù)〃x）=2i的圖像

A.關(guān)于y軸對稱B.關(guān)于x軸對稱

C.關(guān)于直線y=x對稱D.關(guān)于原點對稱

參考答案：

D

略

9.如圖，正三棱柱ABC-ABG（底面是正三角形，側(cè)棱垂直底面）的各條棱長均相等，D

為AAi的中點.M、N分別是BBi、CG上的動點（含端點），且滿足BM=GN.當M,N運動

時，下列結(jié)論中不正確的是（）

B.三棱錐A「DMN的體積為定值

C.ADMN可能為直角三角形

K

D.平面DMN與平面ABC所成的銳二面角范圍為（0,T]

參考答案:

C

考點：棱柱的結(jié)構(gòu)特征.

專題：空間位置關(guān)系與距離；簡易邏輯.

分析：由BM=GN,得線段MN必過正方形BCCB的中心0,由DO_L平面BCCB,可得平面

DMN_L平面BCCB；

由△ADM的面積不變，N到平面A.DM的距離不變，得到三棱錐A「DMN的體積為定值；

利用反證法思想說明ADMN不可能為直角三角形；

平面DMN與平面ABC平行時所成角為0,當M與B重合，N與G重合時，平面DMN與平面

ABC所成的銳二面角最大.

解答：解：如圖，

當M、N分別在BBi、CG上運動時，若滿足BM=CN,則線段MN必過正方形BCCB的中心

0,而DO_L平面BCCB,；.平面DMN_L平面BCCB,A正確；

當M、N分別在BB”CG上運動時，△ADM的面積不變，N到平面AQM的距離不變，.?.棱

錐N-ADM的體積不變，即三棱錐4-DMN的體積為定值，B正確；

若為直角三角形，則必是以NMDN為直角的直角三角形，但MN的最大值為BG,而

此時DM,DN的長大于BBi,...△DMN不可能為直角三角形，C錯誤；

當M、N分別為BB“CG中點時，平面DMN與平面ABC所成的角為0,當M與B重合，N與

G重合時，平面DMN與平面ABC所成的銳二面角最大，為/GBC,等于N.

K

平面DMN與平面ABC所成的銳二面角范圍為(0,T],D正確.

故選：C.

點評：本題考查了命題的真假判斷與應(yīng)用，考查了棱柱的結(jié)構(gòu)特征，考查了空間想象能力

和思維能力，是中檔題.

10.方程1_4x+4=Inx的解的個數(shù)有

A、1個B、2個C、3

個D、4個

參考答案：

B

略

二、填空題:本大題共7小題,每小題4分，共28分

II.給出下列六個命題：

①函數(shù)f(x)=lnx-2+x在區(qū)間(1,e)上存在零點；

②若f'(xo)=0,則函數(shù)y=f(x)在x=x0處取得極值；

10gl(X2-2x-in)

③若m'-l,則函數(shù)y=2的值域為R；

④“a=l”是“函數(shù)1+aeX在定義域上是奇函數(shù)”的充分不必要條件.

⑤函數(shù)y=f(1+x)的圖象與函數(shù)y=f(1-x)的圖象關(guān)于y軸對稱；

⑥滿足條件AC=F，NB=60°,AB=1的三角形aABC有兩個.

其中正確命題的個數(shù)是

參考答案：

①③④⑤

【考點】命題的真假判斷與應(yīng)用.

【專題】函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用.

【分析】根據(jù)函數(shù)零點的判定定理可得①正確.通過舉反例可得②不正確.

根據(jù)對數(shù)的真數(shù)可取遍所有的正實數(shù)，可得此對數(shù)函數(shù)的值域為R,故③正確.

根據(jù)a=l時，函數(shù)在定義域上是奇函數(shù)，再根據(jù)函數(shù)1+ae*在定義域上是奇函數(shù)

時，a=±l,可得④正確.

由函數(shù)y=f(1+x)的圖象與函數(shù)y=f(1-x)的圖象關(guān)于y軸對稱，可得⑤正確.

由AC=近，/B=60°,AB=1,利用正弦定理及由大邊對大角可得AABC是一個唯一的直

角三角形，故⑥不正確.

【解答】解：對于函數(shù)f(x)=lnx-2+x,在區(qū)間(1,e)上單調(diào)遞增，f(l)=-l,f

(e)=e-l>0,根據(jù)函數(shù)零點的判定定理

可得，在區(qū)間(1,e)上存在零點，故①正確.

②不正確，如當f(x)=x"時，顯然滿足f'(0)=0,但y=f(x)=x：'在x=0處沒有極

值.

10gl(X2-2x-m)

③當m>-1,函數(shù)y=2的真數(shù)為x2-2x-m,判別式△=4+4m20,

故真數(shù)可取遍所有的正實數(shù),

log](X2-2x-m)

故函數(shù)y=2的值域為R,故③正確.

④由a=l可得l+ex,定義域為R,關(guān)于原點對稱,

+l=-f(x),故函數(shù)在

定義域上是奇函數(shù)，故充分性成立.

若函數(shù)1+ae*在定義域上是奇函數(shù)，則有f(0)=0,或f(0)不存在，.'an,

或a=-l,故不能推出a=l.

故必要性不成立，故④正確.

⑤在函數(shù)y=f(1+x)的圖象上任意取一點(a,f(1+a)),則點(a,f(1+a))關(guān)于y

軸的對稱點為

(-a,f(1-a)),故函數(shù)y=f(1+x)的圖象與函數(shù)y=f(1-x)的圖象關(guān)于y軸對

稱，故⑤正確.

⑥aABC中，由AC=/B=60°,AB=1,利用正弦定理求得sinC=2再由大邊對大角

可得C=30°,.,.6=90°,

△ABC是一個唯一的直角三角形，故⑥不正確.

故答案為①③④⑤.

【點評】本題主要考查命題的真假的判斷，通過舉反例來說明某個命題不正確，是--種簡

單有效的方法，屬于基礎(chǔ)題.

12.如圖，設(shè)以8c的外接圓的切線HE與8C的延長線交于點￡,N胡C的平分線與

BC交于點、D.若匹=4,EC=2,則￡0=.

參考答案:

2貶

略

13.在平行四邊形ABCD中，E、F分別為AB、BC的中點，記AD鄴'三邊及內(nèi)部

組成的區(qū)域為C,AP=XAB+yADj當點p在C上運動時，2x+3伊的最大值

為o

參考答案:

7

2

略

上—仁=1

14.已知雙曲線a.（”＞°為＞°）的右頂點為A,以4為圓心，6為半徑作圓

A,圓A與雙曲線C的一條漸近線交于M,N兩點.若|MW|=b,則C的離心率為

參考答案：

2^3

~T

【分析】

金也“2-

先求出點A到漸近線的距離為2，再解方程2曲亨即得解.

【詳解】由題得雙曲線的漸近線方程為加一呼=°-

由題得4AMN是等邊三角形，邊長為b.

瓦一\ab\

---0——2”上羽

所以點A到漸近線的距離為2----舊+必ca3

2-

故答案為：亍

【點睛】本題主要考查雙曲線的離心率的計算和雙曲線的簡單幾何性質(zhì)，意在考查學(xué)生對

這些知識的理解掌握水平和分析推理能力.

15.若,（X）是我上的奇函數(shù)，則函數(shù)》=力＞+1）-2的圖象必過定點_

參考答案：

（-1-2）

略

16.如圖，矩形OABC內(nèi)的陰影部分由曲線/（x）=S七X及直線X=daw（0,汨）與K軸圍

成的區(qū)域，向矩形OABC內(nèi)隨機擲一點，該點落在陰影部分的概率為萬，則

參考答案:

略

17.函數(shù)y=loga(x+3)-1(aWl,a>0)的圖象恒過定點A,若點A在直線mx+ny+l=O

12

上，其中m>0,n>0,則m+n的最小值為.

參考答案：

8

【考點】對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì).

【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)先求出A的坐標，代入直線方程可得m、n的關(guān)系，再利用1

的代換結(jié)合均值不等式求解即可.

【解答】解：,“二-2時，y=logal-1=-1,

函數(shù)y=log.(x+3)-1(a>0,aWl)的圖象恒過定點(-2,-1)即A(-2,-

1),

?點A在直線mx+ny+l=O上,

/--2m-n+l=O,即2m+n=l,

Vm>0,n>0,

22n_/n.4m

m+n=(m+n)(2m+n)=2+in+n+2>4+2?Vmn=8,

當且僅當m=W,n=2時取等號.

故答案為：8

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算

步驟

（x=cos。

18.在平面直角坐標系xOy中，曲線G的參數(shù)方程為iy=sin?（。為參數(shù)），曲線G的

（x=acos。

參數(shù)方程為［尸bsin。（a>b>0,@為參數(shù)）,在以0為極點，x軸的正半軸為極軸的

極坐標系中，射線1：?=a與C,G各有一個交點，當a=0時，這兩個交點間的距離為

兀

2,當a=2時，這兩個交點重合.

（I）分別說明C,G是什么曲線，并求a與b的值；

K7T

（II）設(shè)當a=才時，1與C”&的交點分別為A,B”當a=-才時，1與C”G的交

點分別為A”B”求直線Ai由、BB的極坐標方程.

參考答案：

【考點】簡單曲線的極坐標方程.

【分析】（【）曲線G的直角坐標方程為x2+/=l,G是以（0,0）為圓心，以1為半徑

22

X+a.7

的圓，曲線G的直角坐標方程為~/2~b2”=l,G是焦點在x軸上的橢圓.當a=0時，射線

7T

Q---

1與a,a交點的直角坐標分別為（1,0）,（a,0）,當2時，射線1與G,a交

點的直角坐標分別為（0,1）,（0,b）,由此能求出a,b.

/+丫2=1a;

（IDG,C2的普通方程分別為（+尸=1和9，當時，射線1與G的交點

V2,3710門冗

Ai的橫坐標為x-2,與C的交點R的橫坐標為X-10,當-4時?，射線1與

C,,G的交點A”分別與川，Bi關(guān)于x軸對稱，由此能求出直線A船和BB的極坐標方

程.

【解答】（本題滿分10分）【選修4-4坐標系統(tǒng)與參數(shù)方程】

（x=cosQ

解：（I）?.?曲線G的參數(shù)方程為iy=sinQ（4）為參數(shù)），

二曲線G的直角坐標方程為x\y2=l,是以（0,0）為圓心，以1為半徑的圓，

（x=acos中

:曲線C2的參數(shù)方程為［尸bsin。（a>b>0,6為參數(shù)），

99

，曲線G的直角坐標方程為a"b”=l,.?.&是焦點在x軸上的橢圓.

當a=0時，射線1與G,C?交點的直角坐標分別為(1,0),(a,0),

\?這兩點間的距離為2,.?.a=3…

Q-----

當2時，射線1與G,Cz交點的直角坐標分別為(0,1),(0,b)，

,這兩點重合，，b=l…

X22=]

(II)C?C2的普通方程分別為x'yJl和一二丫

兀&加

a(79

當4時.，解方程組【x'+y”=l,得Ai(2,2),即射線1與G的交點4的橫坐

_V2

標為x-2,

'尸x

,xi2_sVHi,二

解方程組I9',得瓦(10,10),與Cz的交點R的橫坐標為*10

7T

CL——-----

當4時，射線1與G,C2的交點A2,分別與A”Bi關(guān)于x軸對稱

因此，直線&Az、BiB?垂直于極軸，

Pcos0=—HPCc0oSs6=3v

故直線AA?和BB的極坐標方程分別為“c°s2,10…

19.(文)(本題滿分13分)四邊形ABCD的四個頂點都在拋物線y二芯2上，人，C關(guān)于了

軸對稱，BD平行于拋物線在點C處的切線.

(1)證明：AC平分4工。；

(2)若點A坐標為(-LD,西邊形ABCD的面積為4,求直線BD的方程.

參考答案:

]）設(shè)AGo，嚼），B（Xi，xi）,C（~Xo，Xo）9D（x：,蘇）.

對y=x2求導(dǎo)，得yC=2x,則拋物線在點C處的切線斜率為一2x0.

k="^~=xi+xh

直線BD的斜率X：-Xl

依題意，有Xi+x2=-2xo.

記直線AB,AD的斜率分別為k”k2,與BD的斜率求法同理，得

ki+k2=(xo+xi)+(xo+x2)=2XQ+(XI+X2)=0,

所以NCAB=NCAD,即AC平分NBAD.

(2)由題設(shè)，xo=-l,xi+x2=2,k=2.四邊形ABCD的面積

S=-^-|AC|■lx：—XI|=-^-|AC|■|x：+xi|■lx：—xj.

=-^^X2X2X12_2xJ=411—xi|,〃

由已知，4|1—Xi|=4,得Xi=0,或xi=2.

所以點B和D的坐標為(0,0)和(2,4),

故直線BD的方程為y=2x.

20.(本題滿分12分)設(shè)函數(shù)〃x)=smx+cosx,g(x)=+了

(I)求8(力的周期和最大值

(II)求g(”的單調(diào)遞增區(qū)間

參考答案：

(1)r(x)=cosx-Smr______________________分

^(x)=/(^/,(x)+[/(^f=(cosx+smx)(ctisx-sm^+(cosx+smx)2

=cos2x4-sin2x4-1--------------------------------------------------------------4分

=>/2smi(2x+—1+1

6分

g（“）的周期T=用-------------------7分

客（山地+i-----------------------

----8分

IFyrjr4苑v

--+2fcr<2x+-<-+2for--+2Jbr<2x<-+2fcr

⑵由242得44

--+fcr<x<-+for,fcez

所以88------------------------------10分

zifor-——,Ax+—Lfcez

g（可的增區(qū)間為L88」T2分

21.（13分）（1）已知R為全集，A={x|-lWx<3},B={x-2<xW3},求（GA）OB；

（2）設(shè)集合A=3，a+2,-3},B={a-3,2a-1,a2+l},若AClB={-3},求AUB.

參考答案：

考點：交、并、補集的混合運算；并集及其運算.

專題：計算題；分類討論.

分析：（1）先求出GA,再求出（QA）AB；

（2）確定出-3GB,分類求出a,并檢驗，與集合中元素的互異性相符合.

解答：解：（1）CRA={X[X<-1或x23},B={x[-2<x<3},（&A）CB={x|-2<x<

-1或x=3}；

（2）由已知得-3CB

.?.若2-3=-3貝ija=0,此時A={0,2,-3}B={-3,-1,1},AUB={-3,-1,0,

1,2},

若2a-l=-3,a=-l,此時A中aJa+2=l,與集合中元素的互異性矛盾，舍去.

又熱1