第18講 反比例函數(shù)的應(yīng)用（原卷版）

第18講反比例函數(shù)的應(yīng)用目標(biāo)導(dǎo)航目標(biāo)導(dǎo)航課程標(biāo)準(zhǔn)1.能分析實(shí)際問(wèn)題中兩個(gè)變量之間的關(guān)系，建立反比例函數(shù)模型，能從圖像中獲取信息，能用反比例函數(shù)解決簡(jiǎn)單的實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題，進(jìn)一步體會(huì)數(shù)形結(jié)合思想。2.能解決反比例函數(shù)圖像與一次函數(shù)圖象的交點(diǎn)問(wèn)題。知識(shí)精講知識(shí)精講知識(shí)點(diǎn)01反比例函數(shù)在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用1．基本思路建立函數(shù)模型，即在實(shí)際問(wèn)題中求得函數(shù)解析式，然后應(yīng)用函數(shù)的圖象和性質(zhì)等知識(shí)解決問(wèn)題.2．一般步驟（1）審清題意，根據(jù)常量、變量之間的關(guān)系，設(shè)出函數(shù)解析式，待定的系數(shù)用字母表示.（2）由題目中的已知條件，列出方程，求出待定系數(shù).（3）寫(xiě)出函數(shù)解析式，并注意解析式中變量的取值范圍.（4）利用函數(shù)解析式、函數(shù)的圖象和性質(zhì)等去解決問(wèn)題.知識(shí)點(diǎn)02反比例函數(shù)與一次函數(shù)圖象的交點(diǎn)求兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)，即圖象的公共點(diǎn)，往往把兩個(gè)函數(shù)的表達(dá)式聯(lián)立組成方程組，方程組的解就是交點(diǎn)的坐標(biāo)。（1）正比例函數(shù)與反比例函數(shù)，當(dāng)與同號(hào)時(shí)，正比例函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，交點(diǎn)坐標(biāo)就是它們的表達(dá)式聯(lián)立組成的方程組的解，且兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)；當(dāng)與異號(hào)時(shí)，兩個(gè)函數(shù)的圖象沒(méi)有交點(diǎn)。（2）一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)有三種情況：1個(gè)，2個(gè)，0個(gè)。因?yàn)閮蓚€(gè)函數(shù)表達(dá)式聯(lián)立組成一個(gè)二元方程組，可化成一個(gè)一元二次方程，所以?xún)蓚€(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)由這個(gè)一元二次方程的判別式來(lái)決定。知識(shí)點(diǎn)03反比例函數(shù)在其他學(xué)科中的應(yīng)用（1）當(dāng)圓柱體的體積一定時(shí)，圓柱的底面積是高的反比例函數(shù)；（2）當(dāng)工程總量一定時(shí)，做工時(shí)間是做工速度的反比例函數(shù)；（3）在使用杠桿時(shí)，如果阻力和阻力臂不變，則動(dòng)力是動(dòng)力臂的反比例函數(shù)；（4）電壓一定，輸出功率是電路中電阻的反比例函數(shù).能力拓展能力拓展考法01實(shí)際問(wèn)題與反比例函數(shù)【典例1】當(dāng)今，各種造型的氣球深受小朋友喜愛(ài)．如圖1是“冰墩墩”造型的氣球，氣球內(nèi)充滿了一定質(zhì)量的氣體，當(dāng)溫度不變時(shí)，氣球內(nèi)氣體的氣壓p（kPa）是氣球體積V（m3）的反比例函數(shù)，其圖象如圖2所示，當(dāng)氣球內(nèi)的氣壓大于200kPa時(shí)，氣球?qū)⒈?，為了安全起?jiàn)，氣球的體積V的范圍為*

A．V＞0.48m3 B．V＜0.48m3 C．V≥0.48m3 D．V≤0.48m3【典例2】列車(chē)從甲地駛往乙地，行完全程所需的時(shí)間與行駛的平均速度之間的反比例函數(shù)關(guān)系如圖所示．若列車(chē)要在內(nèi)到達(dá)，則速度至少需要提高到（

）．A．180 B．240 C．280 D．300【典例3】阿基米德說(shuō)：“給我一個(gè)支點(diǎn)，我就能撬動(dòng)整個(gè)地球”這句話精辟地闡明了一個(gè)重要的物理學(xué)知識(shí)——杠桿原理，即“阻力×阻力臂=動(dòng)力×動(dòng)力臂”．若已知某一杠桿的阻力和阻力臂分別為和，則這一杠桿的動(dòng)力和動(dòng)力臂之間的函數(shù)圖象大致是（

）A．B．C． D．【典例4】港珠澳大橋橋隧全長(zhǎng)55千米，其中主橋長(zhǎng)29.6千米，一輛汽車(chē)從主橋通過(guò)時(shí)，汽車(chē)的平均速度

v（千米/時(shí)）與時(shí)間

t（小時(shí)）的函數(shù)關(guān)系式為（

）A． B． C．v=29．6t D．考法02反比例函數(shù)與幾何綜合【典例5】如圖，菱形OABC的邊OC在x軸上，點(diǎn)B的坐標(biāo)為，反比例函數(shù)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，則k的值為（

）A．12 B．15 C．16 D．20【即學(xué)即練】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)M為x軸正半軸上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M的直線l∥y軸，且直線l分別與反比例函數(shù)和的圖象交于P、Q兩點(diǎn)．若S△POQ＝15，則k的值為（）A．38 B．22 C．﹣7 D．﹣22【典例6】如圖，點(diǎn)是反比例函數(shù)的圖象上任意一點(diǎn)，軸交反比例函數(shù)的圖象于點(diǎn)，以為邊作，其中、在軸上，則為（

）A． B． C． D．【即學(xué)即練】如圖，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，□OABC的頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣3，4），頂點(diǎn)C在x軸的負(fù)半軸上，函數(shù)（x＜0）的圖象經(jīng)過(guò)頂點(diǎn)B，則S□OABC的值為（

）A．27 B．15 C．12 D．無(wú)法確定分層提分分層提分題組A基礎(chǔ)過(guò)關(guān)練1．在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y＝x+a（a≠0）的圖象與y軸交于點(diǎn)A．過(guò)點(diǎn)B（0，2a）且平行于x軸的直線與一次函數(shù)y＝x+a（a≠0）的圖象、反比例函數(shù)y＝的圖象分別交于點(diǎn)C、D．若CD＞BD，則a的取值范圍是（）A．a(chǎn)＜0 B．a(chǎn)≥3 C．a(chǎn)＜0或a≥3 D．0＜a≤32．當(dāng)溫度不變時(shí)，氣球內(nèi)氣體的氣壓（單位：）是氣體體積（單位：）的函數(shù)，下表記錄了一組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)：（單位：）11.522.53（單位：）96644838.432與的函數(shù)關(guān)系可能是（

）A． B． C． D．3．學(xué)校的自動(dòng)飲水機(jī)，通電加熱時(shí)水溫每分鐘上升，加熱到時(shí)，自動(dòng)停止加熱，水溫開(kāi)始下降．此時(shí)水溫與通電時(shí)間成反比例關(guān)系．當(dāng)水溫降至?xí)r，飲水機(jī)再自動(dòng)加熱，若水溫在時(shí)接通電源，水溫與通電時(shí)間之間的關(guān)系如圖所示，則水溫要從加熱到，所需要的時(shí)間為（

）A． B． C． D．4．已知函數(shù)與在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的圖象如圖所示，由圖象可知，若，則的取值范圍是（）A．或 B．或C．或 D．或5．已知近視眼鏡的度數(shù)y（度）與鏡片焦距x（米）之間成如圖所示的反比例函數(shù)關(guān)系，則眼鏡度數(shù)y與鏡片焦距x之間的函數(shù)解析式為（

）A．y＝200x B． C．y＝100x D．6．為了更好地保護(hù)水資源，造福人類(lèi)．某工廠計(jì)劃建一個(gè)容積V（m3）一定的污水處理池，池的底面積S（m2）與其深度h（m）滿足關(guān)系式：V＝Sh（V≠0）．則S關(guān)于h的函數(shù)圖象大致是（

）．A． B．C． D．7．若點(diǎn)與在同一條雙曲線上，則______．8．如圖，一次函數(shù)的圖像與反比例函數(shù)的圖像相交于、兩點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，的取值范圍是__________．9．如圖，P是反比例函數(shù)（x＞0）的圖象上的一點(diǎn)，PN垂直x軸于點(diǎn)N，PM垂直y軸于點(diǎn)M，矩形OMPN的面積為2，且ON＝1，一次函數(shù)y＝x＋b的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)P．(1)求該反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式；(2)設(shè)直線y＝x＋b與x軸的交點(diǎn)為A，點(diǎn)Q在y軸上，當(dāng)△QOA的面積等于矩形OMPN的面積的時(shí)，直接寫(xiě)出點(diǎn)Q的坐標(biāo)．10．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上，將點(diǎn)A先向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移a個(gè)單位長(zhǎng)度后得到點(diǎn)B，點(diǎn)B恰好落在反比例函數(shù)的圖象上．(1)求點(diǎn)B的坐標(biāo)．(2)連接BO并延長(zhǎng)，交反比例函數(shù)的圖象于點(diǎn)C，求的面積．題組B能力提升練1．如圖，是三個(gè)反比例函數(shù)y1=，y2=，y3=在x軸上方的圖象，則k1、k2、k3的大小關(guān)系為（

）A．k1>k2>k3 B．k2>k1>k3 C．k3>k2>k1 D．k3>k1>k22．在同一直角坐標(biāo)系中，函數(shù)y=kx-k與（k≠0）的圖象大致是（

）A．B．C． D．3．某氣球內(nèi)充滿了一定質(zhì)量的氣體，在溫度不變的條件下，氣球內(nèi)氣體的壓強(qiáng)是氣球體積的反比例函數(shù)，其圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（如圖）．當(dāng)氣球內(nèi)的氣壓大于144kPa時(shí)，氣球?qū)⒈?，為確保氣球不爆炸，該氣球的體積應(yīng)（

）A．不大于 B．不小于 C．不大于 D．不小于4．如圖，直線與反比例函數(shù)相交于點(diǎn)A(－1，m)，B(5，n)．則不等式的解是（

）A． B．或 C． D．或5．在對(duì)物體做功一定的情況下，力F（N）與此物體在力的方向上移動(dòng)的距離s（m）成反比例函數(shù)關(guān)系，其圖象如圖所示，點(diǎn)在其圖象上，則當(dāng)力達(dá)到10N時(shí)，物體在力的方向上移動(dòng)的距離是（

）A．2.4m B．1.2m C．1m D．0.5m6．某城市市區(qū)人口萬(wàn)人，市區(qū)綠地面積50萬(wàn)平方米，平均每人擁有綠地平方米，則與之間的函數(shù)表達(dá)式為（

）A． B． C． D．7．在平面直角坐標(biāo)系中，OA＝AB，∠OAB＝90°，反比例函數(shù)（x＞0）的圖像經(jīng)過(guò)A和B兩點(diǎn)其中A（2，4），且點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為n，則n＝______．8．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形的頂點(diǎn)A，B分別在x軸、y軸上，對(duì)角線交于點(diǎn)E，反比例函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，E．若點(diǎn)，則k的值是_________．9．在一個(gè)可以改變體積的密閉容器內(nèi)裝有一定質(zhì)量的二氧化碳，當(dāng)改變?nèi)萜鞯捏w積時(shí)，二氧化碳的密度也會(huì)隨之改變，密度（單位：kg/m3）是體積V（單位：m3）的反比例函數(shù)，它的圖象如圖所示．(1)求與V之間的函數(shù)關(guān)系式：(2)求當(dāng)m3時(shí)二氧化碳的密度．10．近視眼鏡是一種為了矯正視力，讓人們可以清晰看到遠(yuǎn)距離物體的眼鏡．近視眼鏡的鏡片是凹透鏡，研究發(fā)現(xiàn)，近視眼鏡的度數(shù)y（度）與鏡片焦距x（m）的關(guān)系式為y＝．(1)上述問(wèn)題中，當(dāng)x的值增大，y的值隨之_______（填“增大”“減小”或“不變”）；(2)根據(jù)y與x的關(guān)系式補(bǔ)全下表：焦距x/m0.10.2……度數(shù)y/度1000400……(3)小明原來(lái)佩戴400度近視眼鏡，經(jīng)過(guò)一段時(shí)間的矯正治療加之注意用眼健康，復(fù)查驗(yàn)光時(shí)，所配鏡片焦距調(diào)整為0.4m，則小明的眼鏡度數(shù)下降了多少度？題組C培優(yōu)拔尖練1．已知反比例函數(shù)y＝（k≠0）的圖象，在每一象限內(nèi)，y的值隨x值的增大而減少，則一次函數(shù)y＝－kx＋k的圖象經(jīng)過(guò)（

）A．第一、二、三象限 B．第二、三、四象限C．第一、二、四象限 D．第一、三、四象限2．為了響應(yīng)“綠水青山就是金山銀山”的號(hào)召，建設(shè)生態(tài)文明，某工廠自2019年1月開(kāi)始限產(chǎn)進(jìn)行治污改造，其月利潤(rùn)y（萬(wàn)元）與月份x之間的變化如圖所示，治污完成前是反比例函數(shù)圖象的一部分，治污完成后是一次函數(shù)圖象的一部分，下列選項(xiàng)錯(cuò)誤的是（

）A．4月份的利潤(rùn)為50萬(wàn)元B．治污改造完成后每月利潤(rùn)比前一個(gè)月增加30萬(wàn)元C．治污改造完成前后共有4個(gè)月的利潤(rùn)低于100萬(wàn)元D．9月份該廠利潤(rùn)達(dá)到200萬(wàn)元3．如圖，邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD的頂點(diǎn)A在y軸上，頂點(diǎn)D在反比例函數(shù)的圖象上．已知點(diǎn)B的坐標(biāo)是，則k的值為（）A．16 B．12 C．8 D．44．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，菱形ABCD的對(duì)稱(chēng)中心恰好是原點(diǎn)O，已知點(diǎn)B坐標(biāo)是，雙曲線y=經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，則菱形ABCD的面積是()A．9 B．18 C． D．255．已知反比例函數(shù)y=和正比例函數(shù)y=的圖像交于點(diǎn)M，N，動(dòng)點(diǎn)P(m，0)在x軸上.若△PMN為銳角三角形，則m的取值為(

)A．-2＜m＜且m≠0 B．-＜m＜且m≠0C．-＜m＜-或＜m＜ D．-2＜m＜-或＜m＜26．如圖，△OAB，，，…，都是等邊三角形，頂點(diǎn)A，，，…，在反比例函數(shù)的圖象上，則的橫坐標(biāo)是（

）A． B． C． D．7．如圖，△OAB，△BA1B1都是等邊三角形，頂點(diǎn)A，A1在反比例函數(shù)的圖象上，則B、B1的坐標(biāo)分別是______，______．8．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A，B是反比例函數(shù)（，k為常數(shù)）的圖像上兩點(diǎn)（點(diǎn)A在第一象限，點(diǎn)B在第三象限），線段交x軸于點(diǎn)C，若，的面積分別為：和，則______________．9．如圖，邊長(zhǎng)為2的正方形的頂點(diǎn)A，在軸正半軸上，反比例函數(shù)在第一象限的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，交于點(diǎn)．(1)當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為時(shí)，求和的