立體幾何外接球與內(nèi)切球講義 高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)

立體幾何外接球與內(nèi)切球一外接球模型1、“墻角”模型“墻角”模型是指具有三條棱兩兩垂直或三個(gè)平面兩兩垂直的特征,將該三棱錐放入長(zhǎng)方體中,把該三棱錐的外接球轉(zhuǎn)化為該長(zhǎng)方體的外接球,不用找出球心的具體位置,即可求出該球的半徑,如圖：【例1】已知三棱錐P-ABC的四個(gè)頂點(diǎn)在球O的球面上,PA=PB=PC,△ABC是邊長(zhǎng)為2的正三角形,E,F分別是PA,AB的中點(diǎn),∠CEF=90°,則球O的體積為()A. B. C. D.【詳解】答案D解析：設(shè)PA=PB=PC=2x.∵E,F分別為PA,AB的中點(diǎn),∴EF∥PB,且EF=12PB=x.∵△ABC為邊長(zhǎng)為2的等邊三角形,∴CF=3∴CE=3?x2,AE=12作PD⊥AC于點(diǎn)D,∵PA=PC,∴D為AC的中點(diǎn),cos∠EAC=ADPA∴x2+4?3+x24x=12x.∴2x2+1=2.∴x2=12∴V=43πR3=43π×66【練習(xí)1】(2022·廣東廣州一模)已知三棱錐P-ABC的棱AP,AB,AC兩兩互相垂直,AP=AB=AC=23,以頂點(diǎn)P為球心,4為半徑作一個(gè)球,球面與該三棱錐的表面相交得到四段弧,則最長(zhǎng)弧的弧長(zhǎng)等于【詳解】答案4π解析：由題設(shè),將三棱錐P-ABC補(bǔ)全為棱長(zhǎng)為23的正方體,如圖所示.若AD=AF=2,則PD=PF=4,即D,F在以P為球心,4為半徑的球面上.記O為底面中心,則OA=6>2,OP=32>4,所以,底面ABC與球面所成弧是以A為圓心,2為半徑的四分之一圓弧,故弧長(zhǎng)為π;側(cè)面PBC與球面所成弧是以P為圓心,4為半徑且圓心角為π3的圓弧,故弧長(zhǎng)為4π3;側(cè)面PBA,側(cè)面PCA與球面所成弧是以P為圓心,4為半徑且圓心角為π12的圓弧,故弧長(zhǎng)均為π2、“對(duì)棱相等”模型“對(duì)棱相等”模型是指三棱錐的相對(duì)的兩條棱相等,應(yīng)用數(shù)學(xué)建模素養(yǎng),構(gòu)建長(zhǎng)方體,將該三棱錐放入該長(zhǎng)方體中,使三棱錐的頂點(diǎn)與長(zhǎng)方體的頂點(diǎn)重合,將該三棱錐的外接球轉(zhuǎn)化為該長(zhǎng)方體的外接球,從而求出該外接球的半徑,如圖.【例2】在平行四邊形ABCD中,AB=22,BC=3,且cosA=23,沿BD將△BDC折起,使點(diǎn)C到達(dá)點(diǎn)E處,且滿足AE=AD,則三棱錐E-ABD的外接球的表面積為【詳解】答案解析在△ABD中,由余弦定理,得BD2=32+(22)2-2×3×22×23,解得BD=3.在三棱錐E-ABD中,AE=BD=3,AD=BE=3,AB=ED=22,三組對(duì)棱長(zhǎng)相等,可將三棱錐E-ABD放在長(zhǎng)方體中.設(shè)長(zhǎng)方體從同一頂點(diǎn)出發(fā)的三棱長(zhǎng)分別為x,y,z,其外接球的半徑為R,令x2+y2=9,y2+z2=9,z2+x2=8,則x2+y2+z2=13,即2R=13,所以R=13【練習(xí)2】(2023·遼寧大連模擬)如圖所示,在正四面體ABCD中,E是棱AD的中點(diǎn),P是棱AC上一動(dòng)點(diǎn),BP+PE的最小值為14,則該正四面體的外接球的表面積等于.

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【詳解】答案解析將平面ABC和平面ACD展開在同一個(gè)平面內(nèi),如圖.由三角形兩邊和大于第三邊得到,當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)F位置時(shí),BP+PE取得最小值,所以BE=14.設(shè)AE=a,則AB=2a.在△ABE中,∠BAE=2π3,由余弦定理得cos∠BAE=a2+4a2-142×a×2a如圖,將正四面體補(bǔ)成一個(gè)正方體,則正方體的棱長(zhǎng)為2,則該正四面體的外接球的直徑為正方體的體對(duì)角線長(zhǎng),所以2R=23,即R=3,故該正四面體的外接球的表面積3、“直三棱柱”模型對(duì)于直三棱柱,應(yīng)用數(shù)學(xué)建模素養(yǎng),結(jié)合球與直棱柱的有關(guān)性質(zhì)，一是確定直三棱柱的外接球球心的位置為直三棱柱的上、下底面三角形外接圓的圓心連線所構(gòu)成的線段的中點(diǎn)；二是利用正弦定理求出底面三角形的外接圓的半徑,若是特殊三角形,如等邊三角形或直角三角形,可利用特殊三角形的特點(diǎn),快速獲得其外接圓的半徑；三是用定理,即利用勾股定理,求出球的半徑；四是用公式,即利用球的表面積或體積公式求解,注意直三棱柱的外接球與內(nèi)切球的本質(zhì)區(qū)別.【例3】已知三棱柱的側(cè)棱垂直于底面,所有棱的長(zhǎng)都為6,頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上,則該球的表面積為()A. B. C. D.【詳解】答案B解析：由題意三棱柱ABC-A1B1C1是正三棱柱,設(shè)N,M是上下底面中心,MN的中點(diǎn)O是三棱柱ABC-A1B1C1外接球的球心,AM=33×6=23,OM=12MN=12AA1=3,球的半徑r=OA=O【練習(xí)3】一個(gè)正六棱柱的底面是正六邊形,其側(cè)棱均垂直于底面.已知該六棱柱的頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上,六棱柱的體積為,底面周長(zhǎng)為3,那么這個(gè)球的體積為.

【詳解】答案4π解析：設(shè)正六棱柱底面邊長(zhǎng)為a,正六棱柱的高為h,球的半徑為R,則a=12,底面積為S=6×34×(12)2=338,V柱=Sh=338h=98,∴h=3,R2=(4、“球心在高所在直線上”模型對(duì)于圓錐、圓臺(tái)、側(cè)棱相等的棱錐等幾何體,可得球心必在該幾何體的高所在的直線上,或者在棱錐一個(gè)底面的高所在直線上,由此可把相關(guān)信息集中到某一個(gè)直角三角形內(nèi),利用勾股定理求解,如圖.【例4】已知三棱錐M-ABC的四個(gè)頂點(diǎn)均在表面積為的球面上,AB=BC=,AC=4,則三棱錐M-ABC的體積的最大值為()A.82B.4+42C.8+823 【詳解】答案C解析：根據(jù)題意知,△ABC是一個(gè)直角三角形,其面積為4,其外接圓的圓心在斜邊AC的中點(diǎn)上,設(shè)外接圓的圓心為Q,當(dāng)MQ與平面ABC垂直時(shí),三棱錐M-ABC的體積最大.設(shè)球心為O,半徑為R,4πR2=32π,得R=22,點(diǎn)O到平面ABC的距離為(22)2-22=2,所以三棱錐M-ABC體積的最大值為13×1【練習(xí)4】已知圓錐的頂點(diǎn)和底面圓周都在球O面上,若圓錐的側(cè)面展開圖的圓心角為2π3,面積為3π,則球O的表面積等于(A.81π8 B.81π2C.【詳解】答案A解析：圓錐的頂點(diǎn)和底面圓周都在球O面上,圓錐的側(cè)面展開圖的圓心角為23π,面積為3π,設(shè)母線為l,底面圓的半徑為r,則12×23π×l2=3π,可得l=3.由扇形的弧長(zhǎng)公式可得2πr=23πl(wèi),所以r=1.圓錐的高BO1=32-1【鞏固練習(xí)】1、（2023·安徽·統(tǒng)考一模）在三棱錐中，底面，則三棱錐外接球的表面積為（

）A． B． C． D．2、（2022·江蘇海門·高三期末）已知正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為，側(cè)棱PA與底面ABCD所成的角為45°，頂點(diǎn)P，A，B，C，D在球O的球面上，則球O的體積是（）A．16π B． C．8π D．3、（2023·山西臨汾·統(tǒng)考一模）《九章算術(shù)·商功》提及一種稱之為“羨除”的幾何體，劉徽對(duì)此幾何體作注：“羨除，隧道也其所穿地，上平下邪.似兩鱉臑夾一塹堵，即羨除之形.”羨除即為：三個(gè)面為梯形或平行四邊形（至多一個(gè)側(cè)面是平行四邊形），其余兩個(gè)面為三角形的五面幾何體.現(xiàn)有羨除如圖所示，底面為正方形，，其余棱長(zhǎng)為2，則羨除外接球體積與羨除體積之比為（

）A． B． C． D．4、（2022·廣東羅湖·高三期末）在中，，且，，若將沿AC邊上的中線BD折起，使得平面平面BCD．點(diǎn)E在由此得到的四面體ABCD的棱AC上運(yùn)動(dòng)，則下列結(jié)論正確的為（）A． B．四面體ABCD的體積為C．存在點(diǎn)E使得的面積為 D．四面體ABCD的外接球表面積為5、（2022·河北張家口·高三期末）在《九章算術(shù)》中，將四個(gè)面都為直角三角形的四面體稱之為鱉臑（biēnào）.如圖，三棱錐為一個(gè)鱉臑，其中平面，，，，為垂足，則（）A．平面B．為三棱錐的外接球的直徑C．三棱錐的外接球體積為D．三棱錐的外接球體積與三棱錐的外接球體積相等6、（2022·江蘇如皋·高三期末）已知三棱錐D－ABC中，AB＝AC＝AD＝1，∠DAB＝∠DAC＝，∠BAC＝，則點(diǎn)A到平面BCD的距離為_________，該三棱錐的外接球的體積為_________.7、（2022·廣東潮州·高三期末）在《九章算術(shù)》中，將四個(gè)面都是直角三角形的四面體稱為鱉臑，在鱉臑A-BCD中，AB平面BCD，CDAD，AB=BD=，已知?jiǎng)狱c(diǎn)E從C點(diǎn)出發(fā)，沿外表面經(jīng)過(guò)棱AD上一點(diǎn)到點(diǎn)B的最短距離為，則該棱錐的外接球的表面積為_________．8、（2022·廣東·鐵一中學(xué)高三期末）已知四面體中，，，，則其外接球的體積為______.9、（2022·河北保定·高三期末）如圖，是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形的中位線，將沿折起，使得點(diǎn)與重合，平面平面，則四棱雉外接球的表面積是___________.二內(nèi)切球模型求解多面體的內(nèi)切球的問(wèn)題，一般是將多面體分割為以球心為頂點(diǎn)，多面體的各面為底面的棱錐，利用多面體的體積等于各棱錐的體積之和求內(nèi)切球的半徑．10、（2021·山東高三其他模擬）如圖所示的由4個(gè)直角三角形組成的各邊長(zhǎng)均為1的六邊形是某棱錐的側(cè)面展開圖，則該棱錐的內(nèi)切球半徑為_________．11、已知三棱錐的所有棱長(zhǎng)都相等，現(xiàn)沿三條側(cè)棱剪開，將其表面展開成一個(gè)平面圖形，若這個(gè)平面圖形外接圓的半徑為，則三棱錐的內(nèi)切球的體積為_______12、（2023·江蘇連云港·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知圓錐內(nèi)切球（與圓錐側(cè)面、底面均相切的球）的半徑為2，當(dāng)該圓錐的表面積最小時(shí)，其外接球的表面積為（

）A． B． C． D．13、（2022·湖北武昌·高三期末）已知四面體ABCD的一個(gè)平面展開圖如圖所示，其中四邊形AEFD是邊長(zhǎng)為的菱形，B，C分別為AE，F(xiàn)D的中點(diǎn)，，則在該四面體中（）A． B．BE與平面DCE所成角的余弦值為C．四面體ABCD的內(nèi)切球半徑為 D．四面體ABCD的外接球表面積為14、（2022·江蘇通州·高三期末）將正方形ABCD沿對(duì)角線BD折成直二面角A′－BD－C，設(shè)三棱錐A′－BDC的外接球和內(nèi)切球的半徑分別為r1，r2，球心分別為O1，O2.若正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，則________；O1O2＝__________.

參考答案1、【答案】B【詳解】由，得，所以的外接圓半徑，由于底面，所以外接球的半徑，所以外接球的表面積.2、【答案】B【詳解】在正四棱錐中，連接AC，BD，，連，如圖，則有平面，為側(cè)棱PA與底面ABCD所成的角，即，于是得，因此，頂點(diǎn)P，A，B，C，D在以為球心，2為半徑的球面上，即點(diǎn)O與重合，所以球O的體積是.3、【答案】A【詳解】連接AC、BD交于點(diǎn)M，取EF的中點(diǎn)O，連接OM，則平面.取BC的中點(diǎn)G，連接FG，作，垂足為H，如圖所示，由題意得，，，，，∴，∴，又∵，∴，∴，即：這個(gè)羨除的外接球的球心為O，半徑為2，∴這個(gè)羨除的外接球體積為.∵，面，面，∴面，即：點(diǎn)A到面的距離等于點(diǎn)B到面的距離，又∵，∴，∴這個(gè)羨除的體積為，∴羨除的外接球體積與羨除體積之比為.4、【答案】BCD【詳解】對(duì)于A：取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)?，所以，又平面平面BCD，所以平面，則，若，則，所以平面，則，顯然不可能，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對(duì)于B：考查三棱錐的體積，易知的面積為，在平面中，過(guò)作的垂線，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，易知，因?yàn)槠矫嫫矫?，所以到平面，即三棱錐的高為，所以三棱錐的體積為，即四面體的體積為，故選項(xiàng)B正確；對(duì)于C：顯然當(dāng)平面時(shí)，的面積取得最小值，易知，且，所以，又四面體的體積為，所以，即，且的面積為，所以存在點(diǎn)使得的面積為，故選項(xiàng)C正確；對(duì)于D：設(shè)與的外心依次為，，過(guò)作平面的垂線，過(guò)作平面的垂線，則四面體的外接球球心為直線與的交點(diǎn)，則四邊形為矩形，且，，所以四面體的外接球半徑為，則外接球表面積為，故選項(xiàng)D正確.5、【答案】BC【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，如下圖，過(guò)點(diǎn)向引垂線，垂足為，平面，平面，則，，，則平面，又、平面，所以，，，，，則平面，這與平面矛盾，A錯(cuò)；對(duì)于B選項(xiàng)，平面，平面，則，在三棱錐中，，則的中點(diǎn)到、、、的距離相等，所以為三棱錐的外接球的直徑，故B正確；對(duì)于C選項(xiàng)，分別取、的中點(diǎn)、，連接，因?yàn)椤⒎謩e為、的中點(diǎn)，則，平面，則平面，平面，平面，則，故的外心為線段的中點(diǎn)，因?yàn)槠矫?，則平面平面，故三棱錐的外接球球心在直線上，即該球球心在平面內(nèi)，所以的外接圓直徑為三棱錐的外接球直徑，，，，,在中，，，在中，由余弦定理得，，故，則，所以三棱錐的外接球體積為，故C正確；因?yàn)?，故為三棱錐的外接球的直徑，且，而三棱錐的外接球直徑為，故D錯(cuò)誤.6、【答案】【詳解】①如下圖所示，設(shè)點(diǎn)A到平面BCD的距離為h，取BC中點(diǎn)E，連AE、DE，因?yàn)锳B=AC=AD=1，，所以BC=1，，，所以②取AB中點(diǎn)F，連CF交AE于G，則G是的外心，過(guò)G作，O為三棱錐外接球的球心，過(guò)O作，所以設(shè)球的半徑為R，則，所以，所以7、【答案】【詳解】如圖所示：設(shè)CD=x，由題意得：，在中，由余弦定理得：，即，即，解得或（舍去），如圖所示：該棱錐的外接球即為長(zhǎng)方體的外接球，則外接球的半徑為：，所以外接球的表面積為，故答案為：8、【答案】【詳解】如圖，構(gòu)造長(zhǎng)方體，其面對(duì)角線長(zhǎng)分別為，則四面體的外接球即為此長(zhǎng)方體的外接球，設(shè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)寬高分別x，y，z，外接球半徑為R則，所以,則，解得，所以.故答案為：9、【答案】【詳解】如圖，分別取，的中點(diǎn)，，連接，.因?yàn)槭沁呴L(zhǎng)為4的等邊三角形，所以，所以，則四邊形外接圓的圓心為，半徑.設(shè)四棱錐外接球的球心為，連接，過(guò)點(diǎn)作，垂足為.易證四邊形是矩形，則，.設(shè)四棱錐外接球的半徑為，則，即，解得，故四棱