導(dǎo)數(shù)的概念教學(xué)設(shè)計(jì)(田曉霞)

PAGE課題：導(dǎo)數(shù)的概念授課教師：深圳市布吉中學(xué)田曉霞一、教學(xué)內(nèi)容解析《導(dǎo)數(shù)的概念》是《選修2-2》第一章第1.1節(jié)中第1.1.2小結(jié)的內(nèi)容，是高中數(shù)學(xué)的一節(jié)概念課.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)離不開推理，推理離不開判斷，而判斷是以一切概念為基礎(chǔ)的.因此，數(shù)學(xué)教師必須要重視概念的教學(xué).縱觀《導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用》這章內(nèi)容，導(dǎo)數(shù)以高起點(diǎn)，高觀點(diǎn)和更一般的方法簡化了中學(xué)數(shù)學(xué)中許多與函數(shù)相關(guān)的問題.導(dǎo)數(shù)的出現(xiàn)也為我們今后微積分的發(fā)展提供了方法和工具，從而使得它在其它學(xué)科領(lǐng)域也有了廣泛的應(yīng)用.但我們又不能將導(dǎo)數(shù)作為一種規(guī)則和步驟來學(xué)習(xí)，否則，學(xué)生很難體會(huì)導(dǎo)數(shù)的思想及其內(nèi)涵，這樣導(dǎo)數(shù)概念的學(xué)習(xí)就至關(guān)重要.一般地，導(dǎo)數(shù)概念學(xué)習(xí)的起點(diǎn)是極限，但就高中學(xué)生的認(rèn)知水平而言，他們很難理解極限的形式化定義.因此，我們對導(dǎo)數(shù)概念的引入從變化率入手，用形象直觀的“逼近”方法定義導(dǎo)數(shù).我們將導(dǎo)數(shù)概念的建立分為兩個(gè)階段，在明確瞬時(shí)速度含義的基礎(chǔ)上，將瞬時(shí)速度一般化，即抽象為一般的函數(shù)，從而形成導(dǎo)數(shù)的概念.第一階段：明確瞬時(shí)速度的含義及平均速度與瞬時(shí)速度的區(qū)別和聯(lián)系.讓學(xué)生在觀察實(shí)驗(yàn)的同時(shí)，體會(huì)當(dāng)變小，趨于時(shí)，趨于一個(gè)定值，這個(gè)定值就是瞬時(shí)速度.在經(jīng)歷平均速度到瞬時(shí)速度的過程中，第一次體會(huì)逼近的數(shù)學(xué)思想.第二階段，將平均速度和瞬時(shí)速度抽象為一般的表達(dá)式，完全轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，在揭示研究瞬時(shí)變化率必要性的同時(shí)，用類比的思想方法，經(jīng)歷從平均變化率到瞬時(shí)變化率的過渡，再次體會(huì)逼近的思想方法.最后，建立導(dǎo)數(shù)的概念.因此，根據(jù)以上對教學(xué)內(nèi)容的分析，確立本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)：在充分經(jīng)歷導(dǎo)數(shù)概念的建立過程中，體會(huì)逼近的數(shù)學(xué)思想，理解導(dǎo)數(shù)的思想及其內(nèi)涵.二、教學(xué)目標(biāo)1.在導(dǎo)數(shù)概念建立的過程中，引導(dǎo)學(xué)生通過觀察、數(shù)值逼近、幾何直觀感受、解析式抽象、類比等方法體會(huì)數(shù)學(xué)概念的發(fā)生和形成.2.理解導(dǎo)數(shù)的概念，初步掌握導(dǎo)數(shù)的計(jì)算方法，并在具體數(shù)學(xué)問題中進(jìn)一步理解導(dǎo)數(shù)的概念.3.通過對瞬時(shí)速度、瞬時(shí)變化率的探索，激發(fā)學(xué)生對本部分內(nèi)容學(xué)習(xí)的興趣.三、學(xué)生學(xué)情分析1.導(dǎo)數(shù)是對變化率的一種“度量”.實(shí)際生活中，學(xué)生最為熟悉的一種變化率就是物體的運(yùn)動(dòng)速度.學(xué)生在1.1.1小結(jié)學(xué)習(xí)了導(dǎo)數(shù)的物理意義，掌握了變化率，在高一年級的物理課程中學(xué)習(xí)過瞬時(shí)速度，因此，學(xué)生已經(jīng)具備了一定的認(rèn)知基礎(chǔ)，他們不會(huì)對新知識感到無所適從.2.可能存在的問題：（1）“逼近”的思想對于學(xué)生而言，還是比較陌生，需要精心設(shè)計(jì)教學(xué)活動(dòng)，比如借助物理知識等，激發(fā)學(xué)生的興趣，從學(xué)生已有的知識背景出發(fā)，幫助學(xué)生經(jīng)歷從平均速度到瞬時(shí)速度，從平均變化率到瞬時(shí)變化率的過渡.（2）使學(xué)生能通過觀察發(fā)現(xiàn)：運(yùn)動(dòng)的物體在某一時(shí)刻的平均速度在時(shí)間間隔越來越小時(shí)，逐漸趨于一個(gè)不變的常數(shù)，而且這個(gè)常數(shù)就是物體在這一時(shí)刻的瞬時(shí)速度.這個(gè)過程學(xué)生難以想象，同時(shí)數(shù)值逼近的運(yùn)算繁瑣，但又不能采取簡單的方式告知學(xué)生，而是要學(xué)生通過實(shí)際的計(jì)算，在計(jì)算過程中，充分感知當(dāng)趨于時(shí)，趨于一個(gè)定值；當(dāng)趨于時(shí)，趨于一個(gè)定值.（3）在實(shí)際教學(xué)中，學(xué)生需要用到思想方法和表達(dá)形式的遷移，即把從平均速度到瞬時(shí)速度過渡中所運(yùn)用的“逼近”的思想方法遷移到從平均變化率到瞬時(shí)變化率的過渡，從對一個(gè)具體函數(shù)在一個(gè)確定點(diǎn)的瞬時(shí)變化率的表達(dá)式遷移到任意一個(gè)函數(shù)在任意一點(diǎn)的瞬時(shí)變化率的表達(dá)，這樣的探究方法可能會(huì)導(dǎo)致學(xué)生的不適應(yīng)而產(chǎn)生困難.因此，如何引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)生活中具體的實(shí)例，結(jié)合已有的知識經(jīng)驗(yàn)，通過“逼近”的方法，由特殊到一般，用類比的方法歸納探究出導(dǎo)數(shù)的概念是本節(jié)課的難點(diǎn).四、教學(xué)策略分析根據(jù)學(xué)生情況，為了完成本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)，突破教學(xué)重難點(diǎn)，主要采取教師問題引導(dǎo)，學(xué)生自主探究、歸納的教學(xué)方法.具體的策略有:1.從具體到抽象的教學(xué)方法.學(xué)生由生活中的具體實(shí)例和已有的知識背景出發(fā)，歷經(jīng)平均速度到瞬時(shí)速度的過渡，再把物體的運(yùn)動(dòng)變化量抽象為一般的函數(shù)，從而得到瞬時(shí)變化率的概念.2.從特殊到一般的教學(xué)方法.讓學(xué)生在知道是的瞬時(shí)速度以后，直觀地理解運(yùn)動(dòng)員在任意時(shí)刻的瞬時(shí)速度.同樣，在學(xué)生探究出一個(gè)指定函數(shù)在某一點(diǎn)處的瞬時(shí)變化率之后，可以歸納出一般函數(shù)在任意一點(diǎn)的瞬時(shí)變化率.3.幾何直觀感受.通過幾何畫板的演示讓學(xué)生形象的感知“逼近”.4.利用計(jì)算器進(jìn)行分組合作，取不同的，，計(jì)算以及的值.預(yù)計(jì)時(shí)間教學(xué)內(nèi)容教師活動(dòng)學(xué)生活動(dòng)教學(xué)評價(jià)15分鐘1回顧復(fù)習(xí)實(shí)例研究講授：上節(jié)課我們通過氣球膨脹率、高臺(tái)跳水的實(shí)例，建立起了平均變化率的概念.也請大家計(jì)算了高臺(tái)跳水運(yùn)動(dòng)員在這段時(shí)間里的平均速度.經(jīng)過計(jì)算，大家發(fā)現(xiàn)運(yùn)動(dòng)員在這段時(shí)間里的平均速度是0.難道說運(yùn)動(dòng)員在這段時(shí)間是靜止的？顯然，運(yùn)動(dòng)員在這段時(shí)間里不是靜止的.由此可見，用平均速度描述運(yùn)動(dòng)員的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)是有一定的局限性.所以我們說“平均速度”只能粗略地描述運(yùn)動(dòng)員的運(yùn)動(dòng)狀態(tài).還有一種速度，它能更精確地刻畫運(yùn)動(dòng)員在每個(gè)時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，我們稱之為：瞬時(shí)速度.那如何求運(yùn)動(dòng)員的瞬時(shí)速度呢？比如，高臺(tái)跳水運(yùn)動(dòng)員在時(shí)的瞬時(shí)速度是多少呢？大家有沒有好的想法？講授：我們來看物理中測瞬時(shí)速度的小視頻.問：觀看的時(shí)候思考儀器在測量瞬時(shí)速度時(shí)的工作原理是什么？問：這里所得的真是瞬時(shí)速度嗎？為什么？.問：對，也就是我們很難測量到真正的瞬時(shí)速度，我們測量到的是千分之一，萬分之一秒，以致更短時(shí)間間隔內(nèi)的平均速度.那如何使得平均速度更接近瞬時(shí)速度呢？講授：對.那如果我們想求高臺(tái)跳水運(yùn)動(dòng)員在時(shí)的瞬時(shí)速度，就考察附近的情況，在之前或者之后，任意取一個(gè)時(shí)刻.可以是正直，也可以是負(fù)值，但不為當(dāng)取不同值時(shí)，計(jì)算平均速度.我們先看運(yùn)動(dòng)員在內(nèi)的平均速度.請看表格：[2+Δt,2]Δt<0平均速度[1.9,2]-0.1-13.051[1.99,2]-0.01-13.0951[1.999,2]-0.001-13.09951[1.9999,2]-0.0001-13.099951[1.99999,2]-0.00001-13.0999951[1.999999,2]-0.000001-13.09999951[1.9999999,2]-0.0000001-13.09999995大家發(fā)現(xiàn)了什么特點(diǎn)？再看運(yùn)動(dòng)員在內(nèi)在的平均速度.請看表格：[2,2+Δt]Δt>0平均速度[2,2.1]0.1-13.149[2,2.01]0.01-13.1049[2,2.001]0.001-13.10049[2,2.0001]0.0001-13.100049[2,2.00001]0.00001-13.1000049[2,2.000001]0.000001-13.10000049[2,2.0000001]0.0000001-13.10000005大家有發(fā)現(xiàn)了什么特點(diǎn)？通過這兩個(gè)表格的對比，你們發(fā)現(xiàn)了什么？對，當(dāng)趨近于0時(shí)，即無論從的左邊，還是右邊，趨近于時(shí)，平均速度都趨近于一個(gè)確定的值.我們就把講授：我們用這個(gè)方法得到了高臺(tái)跳水運(yùn)動(dòng)員在附近，平均速度逼近一個(gè)確定的常數(shù).那其他時(shí)刻呢？比如、等？請大家按照剛才我們探究時(shí)的過程，用你手中的計(jì)算器，分別計(jì)算、這兩個(gè)時(shí)刻附近的平均速度.請兩個(gè)同學(xué)把小組計(jì)算出來的數(shù)據(jù)輸入Excel表格.附近的平均速度變化：附近的平均速度變化：講授：經(jīng)過以上三個(gè)時(shí)刻的計(jì)算，大家都發(fā)現(xiàn)：當(dāng)時(shí)間間隔很小，也就是當(dāng)兩個(gè)時(shí)間的端點(diǎn)無限靠近時(shí)，就逼近了一個(gè)時(shí)刻，我們就把平均速度用為瞬時(shí)速度的近似值.之前我們在學(xué)習(xí)函數(shù)零點(diǎn)的時(shí)候，利用“二分法”逼近函數(shù)零點(diǎn).今天，根據(jù)上面的討論，我們又用平均速度逼近了瞬時(shí)速度，這都體現(xiàn)了我們數(shù)學(xué)中無限逼近的思想.學(xué)生思考.學(xué)生思考.找不到好的方法來求運(yùn)動(dòng)過程中的瞬時(shí)速度.根據(jù)已有的物理知識，學(xué)生回答儀器是通過測量氣軌上滑塊在時(shí)間內(nèi)滑過的距離，用計(jì)算而得.學(xué)生回答不是.答：時(shí)間間隔越小越好.使得變小.學(xué)生利用計(jì)算器，分小組合作.每個(gè)小組隨意選擇幾個(gè)的值，計(jì)算的值.答：當(dāng)趨近于時(shí)，從2的右邊接近2時(shí)，平均速度趨于一個(gè)確定的值.答：當(dāng)趨近于時(shí)，從2的左邊接近2時(shí)，平均速度趨于一個(gè)確定的值.學(xué)生回答.學(xué)生分組合作，思考、計(jì)算、討論.學(xué)生總結(jié)計(jì)算結(jié)果.組織學(xué)生討論、交流計(jì)算結(jié)果，激發(fā)學(xué)生的求知欲.明確本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容.平均速度為0？通過計(jì)算結(jié)果與學(xué)生的認(rèn)知產(chǎn)生沖突.在實(shí)例觀察中，感受逼近的思想，為求瞬時(shí)速度奠定基礎(chǔ).讓學(xué)生熟悉符號，在親自計(jì)算的過程中感受逼近的思想.從特殊到一般，讓學(xué)生直觀地理解運(yùn)動(dòng)員在任意時(shí)刻的瞬時(shí)速度.10分鐘2自主探究形成概念講授：對于高臺(tái)跳水運(yùn)動(dòng)員的運(yùn)動(dòng)時(shí)刻，我們有這樣的結(jié)論，那其他運(yùn)動(dòng)會(huì)嗎？如果我們把運(yùn)動(dòng)員的運(yùn)動(dòng)變化抽象為一個(gè)函數(shù)，也有這樣的結(jié)論嗎？其實(shí)，物體的運(yùn)動(dòng)變化量可以抽象成一個(gè)函數(shù)，這樣我們用到的就可以用一個(gè)跟為一般煩人表達(dá)式來表達(dá)，而就是我們上節(jié)課所學(xué)的平均變化率.我們可以用它來刻畫一個(gè)函數(shù)在某個(gè)區(qū)間的變化趨勢.問：那如何更好地刻畫一個(gè)函數(shù)的變化趨勢呢？為了探討這個(gè)問題，我們來做這樣的兩個(gè)實(shí)驗(yàn)活動(dòng)：實(shí)驗(yàn)活動(dòng)1：求函數(shù)，，從到的平均變化率？問：是不是這三個(gè)函數(shù)在0到1的變化趨勢是一樣的呢？講授：由此可見，正如平均速度只能粗略反映物體在某個(gè)時(shí)間段的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，而要想更為精確的刻畫物體在某個(gè)時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，我們只能通過瞬時(shí)速度.由此類比，對于函數(shù)來說，平均變化率也只能粗略的描述函數(shù)的變化趨勢，那如何精確的描述函數(shù)的變化呢？問：那如何求函數(shù)在某一點(diǎn)處的瞬時(shí)變化率呢？講授：下面我們就做另一個(gè)實(shí)驗(yàn)活動(dòng)，看一下，當(dāng)縮短時(shí)，平均變化率發(fā)生了什么樣的變化？請大家分組合作.實(shí)驗(yàn)活動(dòng)2：已知函數(shù)，分別計(jì)算f(x)在下列區(qū)間上的平均變化率：結(jié)論：用幾何畫板演示：講授：我們就把2記作是在處的瞬時(shí)變化率，用數(shù)學(xué)語言表達(dá)就是.講授：這樣，我們就實(shí)現(xiàn)了從平均變化率到瞬時(shí)變化率的過渡.得到了一個(gè)具體函數(shù)在處的瞬時(shí)變化率.問：那對于任意一個(gè)函數(shù)在處的瞬時(shí)變化率該怎么表示？講授：一般地，函數(shù)在處的瞬時(shí)變化率是：我們稱它為函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)，記作或。即：瞬時(shí)變化率和導(dǎo)數(shù)是同一個(gè)概念的兩個(gè)名稱。答：根據(jù)平均變化率的公式計(jì)算得這三個(gè)函數(shù)在同一個(gè)變化區(qū)間上平均變化率都是.但根據(jù)圖像發(fā)現(xiàn)這三個(gè)函數(shù)在0到1的變化趨勢是不一樣的.答：瞬時(shí)變化率.答：把區(qū)間縮短.學(xué)生分組合作，計(jì)算結(jié)果，得出結(jié)論.要求一個(gè)小組展示成果，表達(dá)對結(jié)果的看法.經(jīng)過計(jì)算，學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)當(dāng)兩個(gè)區(qū)間的端點(diǎn)無限靠近，即逼近時(shí)，平均變化率都逼近一個(gè)確定的值，即瞬時(shí)變化率.自己嘗試來寫.學(xué)生自己歸納總結(jié).體會(huì)由特殊到一般的思想方法這個(gè)計(jì)算與學(xué)生的認(rèn)知發(fā)生了沖突。同時(shí)也讓學(xué)生認(rèn)識到平均變化率只能粗略的描述函數(shù)的變化.由上面從平均速度到瞬時(shí)速度的過渡，由對瞬時(shí)速度的形成和理解，學(xué)生很容易聯(lián)想到可以用一個(gè)詞，叫做“瞬時(shí)變化率”。用它可以精確的描述函數(shù)在某一個(gè)點(diǎn)的變化趨勢.這體現(xiàn)了類比的思想方法.學(xué)生在上一個(gè)問題中遇到了認(rèn)知沖突，希望尋求新的認(rèn)知來解決這個(gè)沖突。老師提出的這個(gè)實(shí)驗(yàn)活動(dòng)引導(dǎo)學(xué)生通過計(jì)算，自主探究，使得獲得新知的過程自然而然。引導(dǎo)學(xué)生舍棄具體問題的實(shí)際意義，完全抽象為數(shù)學(xué)問題.在函數(shù)知識的遷移下，學(xué)生能順利地表示出一般函數(shù)：在處的瞬時(shí)變化率.7分鐘3概括提升理解內(nèi)涵問：，，，這三個(gè)符號分別是什么意思？問：至此，導(dǎo)數(shù)的定義就完全展現(xiàn)給大家了.那我們?nèi)绾吻笠粋€(gè)具體問題的導(dǎo)數(shù)呢？計(jì)算課本第六頁的例1.答：是函數(shù)在處的函數(shù)值，或是函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù).計(jì)算例1，在第和第時(shí)，原油溫度的瞬時(shí)變化率，并說明他們的意義.認(rèn)識符號，從函數(shù)的角度出發(fā)，找到這三個(gè)符號的區(qū)別和聯(lián)系.熟悉導(dǎo)數(shù)的定義，進(jìn)一步鞏固導(dǎo)數(shù)的計(jì)算方法.8分鐘4梳理知識布置作業(yè)問：1.為什么要研究平均變化率和導(dǎo)數(shù)？2.導(dǎo)數(shù)形成的過程是什么？從中學(xué)到了什么方法？3.求導(dǎo)數(shù)的依據(jù)是什么？步驟是什么？4.布置作業(yè).（1）教科