新教材高中數(shù)第6章平面向量及其應(yīng)用64平面幾何中的向量方法訓(xùn)練含解析新人教A版必修第二冊

6.4.1平面幾何中的向量方法課后·訓(xùn)練提升基礎(chǔ)鞏固1.已知A,B,C,D四點的坐標(biāo)分別為(1,0),(4,3),(2,4),(0,2),則此四邊形為()A.梯形 B.菱形 C.矩形 D.正方形解析∵AB=(3,3),CD=(-2,-2),∴AB=-32CD,∴AB又|AB|≠|(zhì)CD|,∴該四邊形為梯形.答案A2.如圖,BC,DE是半徑為1的圓O的兩條直徑,BF=2FO,則FD·FE的值是(A.-34 B.-89 C.-14 D解析因為FD=且OD=-OE,所以FD·FE=(FO+OD)=FO2-OD2=答案B3.在四邊形ABCD中,若AC=(1,2),BD=(-4,2),則該四邊形的面積為()A.5 B.25 C.5 D.10解析∵AC·BD=0,∴AC⊥∴四邊形ABCD的面積S=12|AC||BD|=12×5答案C4.如圖所示,在矩形ABCD中,AB=4,點E為AB的中點,且DE⊥AC,則|DE|等于(A.52 B.2C.3 D.22解析以A為坐標(biāo)原點,AB,AD的方向分別為x軸、y設(shè)|AD|=a(a>0),則A(0,0),C(4,a),D(0,a),E(2,0),所以DE=(2,-a),AC=(4,a).因為DE⊥AC,所以DE所以2×4+(-a)a=0,即a2=8.所以a=22,所以DE=(2,-22),所以|DE|=22+(-2答案B5.在?ABCD中,AD=1,∠BAD=60°,E為CD的中點,若AC·BE=1,則AB的長為(A.1 B.12 C.13 D解析設(shè)AB的長為a(a>0),因為AC=所以AC·BE=(AB+=12AB·AD-12AB2由已知,得-12a2+14a+1又因為a>0,所以a=12,即AB的長為1答案B6.在四邊形ABCD中,AB=-CD,AC·BD=0,A.平行四邊形 B.矩形 C.等腰梯形 D.菱形解析∵AB=-CD,即AB=∴AB與DC平行且相等,∴四邊形ABCD是平行四邊形.又AC·BD∴AC⊥BD,即AC⊥BD,∴?ABCD答案D7.點O是三角形ABC所在平面內(nèi)的一點,滿足OA·OB=OB·OC=OC·OAA.三個內(nèi)角的角平分線的交點B.三條邊的垂直平分線的交點C.三條中線的交點D.三條高線的交點解析∵OA·∴(OA-OC)·OB∴OB·CA=0,∴OB⊥同理OA⊥BC,OC⊥AB,∴O為三條高線的交點.答案D8.已知在矩形ABCD中,AB=2,AD=1,E,F分別為BC,CD的中點,則EF=,(AE+AF)·BD=解析如圖,以A為坐標(biāo)原點O,以AB,AD的方向分別為x軸、y則A(0,0),B(2,0),D(0,1),∴C(2,1).∵E,F分別為BC,CD的中點,∴E2,12,F(1,1),∴EF=(-1∴AE+AF=3∴(AE+AF)·BD=3×(-2)+32×1答案52-9.已知直線ax+by+c=0與圓x2+y2=1相交于A,B兩點,若|AB|=3,則OA·OB=解析如圖,作OD⊥AB于點D,則在Rt△AOD中,OA=1,AD=32所以∠AOD=60°,∠AOB=120°,所以O(shè)A·OB=|OA||OB|cos120°=1×1×-1答案-110.已知點A(-1,2),B(0,-2),且2|AD|=3|BD|,若點D在線段AB上,求點D的坐標(biāo).解設(shè)D(x,y),由題意知,2|AD|=3|BD|,且點D在線段AB上,所以2AD=3DB,即2(x+1,y-2)=3(-x,-2-y).所以2x+2=故點D的坐標(biāo)為-211.已知在正方形ABCD中,E,F分別是CD,AD的中點,BE,CF交于點P.求證:(1)BE⊥CF;(2)AP=AB.證明建立平面直角坐標(biāo)系如圖所示,設(shè)AB=2,則A(0,0),B(2,0),C(2,2),E(1,2),F(0,1).(1)BE=(-1,2),CF=(-2,-1).∴BE·CF=(-1)×(-2)+2×(-1)∴BE⊥CF,即BE⊥(2)設(shè)點P坐標(biāo)為(x,y),則FP=(x,y-1),FC=(2,1),∵FP∥∴x=2(y-1),即x=2y-2,同理,由BP∥BE,得y=-2x+4,由x∴點P的坐標(biāo)為65∴|AP|=652+852=2=|能力提升1.在△ABC中,D為BC邊的中點,已知AB=a,AC=b,則下列向量中與AD同向的是()A.a+b|a+b| B.解析AD=12AB+12AC=12(答案A2.在△ABC中,AB=3,AC=2,BD=12BC,則ADA.-52 B.52 C.-54解析因為BD=12BC,所以點D是BC的中點,則AD=12(AB+AC),BD=12BC=12(AC-AB),所以AD·BD=12(答案C3.如圖,在矩形ABCD中,AB=2,BC=2,點E為BC的中點,點F在邊CD上,若AB·AF=2,則AEA.2 B.2C.0 D.1解析∵AF=AD+DF,AB·AF=∴|DF|=1,|CF|=2-1,∴AE·BF=(AB+BE)·(BC+CF)=AB·CF+BE·BC=-2(2-1)+1答案A4.如圖,設(shè)P為△ABC內(nèi)一點,且2PA+2PB+PC=0,則S△ABP∶S△ABC=(A.15 B.25 C.14解析設(shè)AB的中點是D,連接PD(圖略).∵PA+PB=2PD=-∴PD=-14∴P為CD的五等分點,∴△ABP的面積為△ABC的面積的15答案A5.已知△ABC是邊長為1的等邊三角形,點D,E分別是邊AB,BC的中點,連接DE并延長到點F,使得DE=2EF,則AF·BC的值為(A.-58 B.18 C.14解析方法一:以E為坐標(biāo)原點,EC,EA的方向分別為x軸、建立平面直角坐標(biāo)系如圖所示,則A0,32,B-12,0,C12,0,E(0,0),D-14,34,由DE方法二:AF·BC=答案B6.已知A,B是圓心為C,半徑為5的圓上的兩點,且|AB|=5,則AC·CB=解析由弦長|AB|=5,可知∠ACB=60°,故AC·CB=-CA·CB=-|CA||CB|cos答案-57.如圖所示,若D是△ABC內(nèi)的一點,且AB2-AC2=DB2-DC2,求證:AD⊥BC.證明設(shè)AB=a,AC=b,AD=e,DB=c,DC=d,則a=e+c,b=e+d,所以a2-b2=(e+c)2-(e+d)2=c2+2e·c-2e·d-d2,又已知a2-b2=c2-d2,所以e·c=e·d,即e·(c-d)=0,得AD·CB=0,所以AD⊥8.在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=4,AC=6,求兩條直角邊的中線所夾的銳角的余弦值.解方法一:如圖(1),在Rt△ABC中,∠C=90°,D,E分別是BC,AC邊的中點,BC=4,AC=6.(1)則CD=2,CE=3,∴|AD|=AC2+C|BE|=BC2AD·EB=(AC+CD)=AC=6×3+0+0+2×4=26.設(shè)AD與EB的夾角為則cosθ=AD·故直線AD與BE所夾的銳角的余弦值為1310方法二:如圖(2)所示,(2)以C為坐標(biāo)