2023屆高考數(shù)學考前訓練題及答案解析

2023年高考數(shù)學考前訓練題

1.如圖，在棱長為1的正方體中，E為線段小田的中點，F(xiàn)為線段48

的中點.

(1)求直線尸C到平面/EG的距離；

(2)求平面AEC\與平面EFCC\所成銳二面角的余弦值.

【分析】(1)以以為原點，D\A\,D\C\,OiD所在的直線分別為x軸、y軸、z軸，建

立如圖所示的空間坐標系，求出EC】=(一1,士,0),尸C=(-l,云0)，推出FC〃E。，

得到尸C〃平面AECy，點F到平面AEC\的距離即為直線FC到平面AEC\的距離，求出

平面的法向量,4F=(0,0),然后利用空間向量的數(shù)量積求解點尸到平面/EC

的距離.

(2)求出平面EFCC\的法向量，利用空間向量的數(shù)量積求解平面AEC\與平面EFCCi

所成銳二面角的余弦值即可.

【解答】解：(1)以5為原點，功小，D\C\,QiD所在的直線分別為x軸、y軸、z軸，

建立如圖所示的空間坐標系，

則/(1,0,1),C(0,1,1),Ci(0,1,0),E(L0),F(L1).

：.AE=(0,-1),ECI=(-1,0),FC=(-1,0),

AF=(0,今，0),EF=(0,0,1).

VFC=B1C1=(-1,10).

：.FC//EC\,，尸C〃平面4ECi，

???點廠到平面4EG的距離即為直線產(chǎn)。到平面的距離，

設平面AEG的法向量為1=(x,y,z),則，與一°

n-EC1=0

J^y-z=0,(2x=y

?1一+就=(r"y=2z，

取z=l,則x=l,y—2,'.n=(1,2,1),

又第1=(0,I，0),

|(O,I，0)-(1,2,1)|V6

；?點F到平面AEC\的距離為"型=

|n|?\/66

(2)設平面EFCC\的法向量為藐=Qi，Zi),貝IJ?-EF=0

m?EC1=0

z】=°,"Zi=0

—%i+2%=ob71=2%i

取用=1,則yi=2,?,?薪=(L2,0),

TT/

_m-n_5_V30

/.cos{m,

切=版=7^=丁

平面AEC\與平面EFCC\所成銳二面角的余弦值”.

6

【點評】本題考查二面角的平面角的求法，直線與平面平行的判斷，點到平面的距離的

求法，考查空間想象能力，邏輯推理能力以及計算能力.

2.如圖，四棱錐尸-48CD中，底面/BCD是邊長為1的正方形，PB=PC=1,E為/。中

1

點，PE=^.

(1)求證：平面處。J_平面P8C；

(2)求CP與平面所成角的正弦值.

【分析】(1)取BC的中點尸，連接￡尸，PF,利用勾股定理證明PELPR從而可證明

8C_L平面PER則8cl.P￡,進一步得到尸E_L平面P8C,由此即可證明結論；

(2)建立合適的空間直角坐標系，求出所需點的坐標和向量的坐標，然后利用待定系數(shù)

法求出平面PAB的法向量，由向量的夾角公式求解即可.

【解答】(1)證明：取8C的中點尸，連接EF,PF,

因為P8=PC=1,底面N8C。是邊長為1的正方形，￡為的中點，

所以￡7:\LBC,BCLPF,PF=y/PC2-CF2=EF=\,

i

又因為P￡=與

所以PF2+PE2=E盧,則PELPF,

又EFCPF=F,EF,PEu平面PEF,

所以8C_L平面PER又PEu平面PEF,

貝|J8C_LPE,又PFCBC=F,PF,8Cu平面。8C,

所以PE_L平面必C,又PEu平面心O,

故平面均。，平面PBC-,

(2)解：過點尸作交EF于點0,

由(1)可知，平面尸￡7口_平面ABCD,又平面PEFQ平面ABCD=EF,

貝I]PO_L平面/8處

在RtZkPEF中，PE'PF=EF'PO,解得P。=￡,

所以E0=y/PE2-P02=小OF=EF-EO=本

以點O為坐標原點建立空間直角坐標系如圖所示，

則P(0,0,務％,V，0),BG,0),C(-1,0),

所以PC=(-,，一?)，P"=(；，—A8=(0,110),

設平面RIB的法向量為I=Q,y,z）,

（t-（y=0

則里？=0,即11只

^PA-n=0（2X~4y~~4z=0

令z=l,則x=除，y=0,

故71=，0,1）,

..AT、|\PC-n\得x（T）+lx（一*）|V21

所GR以I.1|cosVPC，n>|=/J=

|PC||n|3+4+/x成+l

【點評】本題考查了立體幾何的綜合應用，涉及了線面垂直的判定定理和面面垂直的判

定定理的應用，在求解有關空間角問題的時候，一般會建立合適的空間直角坐標系，將

空間角問題轉化為空間向量問題進行研究，屬于中檔題.

3.如圖幾何體中，AA\,BB\,CCi都垂直于底面/181C1,己知小囪=8iCj=1,ZA\B\C\

=90°,AA\=\,88i=2,CC\=3.

（1）求該幾何體的體積；

（2）求平面N8C與平面小囪。所成銳二面角的余弦值.

瓦1

4

【分析】(1)原幾何體補形得一個底面為等腰直角三角形的直三棱柱，利用體積轉化求

解即可.

(2)建立空間直角坐標系，求出平面N8C的法向量，平面小BiCi的一個法向量利用空

間向量的數(shù)量積求解二面角的平面角的余弦函數(shù)值即可.

【解答】解：(1)如圖所示，原幾何體補形得一個底面為等腰直角三角形的直三棱柱，

-_**_1°1(l+2)xld_3

川V幾何體ABC-A、B\C1~V三棱柢FC-A\B1C\一丫四棱錐C-AEFB=2X3-321~2~

(2)建立如圖所示的空間直角坐標系,

設平面/8C的法向量為i=(x,y,z),AB=(-1,0,1),BC=(0,1,1),

；：：：1°=取京=(1,-1,1),平面381cl的一個法向量為藍=(0,