基本不等式 省賽獲獎

§3.4基本不等式:(一)新課引入ab問2：Rt△ABF,Rt△BCG,Rt△CDH,Rt△ADE是全等三角形，它們的面積和是S’=———問1：在正方形ABCD中,設(shè)AF=a,BF=b,則正方形的面積為S=————，問3：S與S’有什么樣的關(guān)系？從圖形中易得，s>s’,即問題1：s,

S’有相等的情況嗎？何時(shí)相等？

圖片說明：當(dāng)直角三角形變?yōu)榈妊苯侨切?，即a=b時(shí)，正方形EFGH縮為一個(gè)點(diǎn)，這時(shí)有

形的角度數(shù)的角度

當(dāng)a=b時(shí)

a2+b2－2ab

=(a－b)2=0ADBCEFGHab不等式：一般地，對于任意實(shí)數(shù)a、b，我們有當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，等號成立。ABCDE(FGH)ab

如果a，b∈R，那么a2+b2≥2ab（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取“=”）證明：1．指出定理適用范圍：2．強(qiáng)調(diào)取“=”的條件：定理：

如果a,b∈R+，那么

（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，式中等號成立）證明：∵∴

即：當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)均值定理：注意：1．適用的范圍：a,b

為非負(fù)數(shù).2．語言表述：兩個(gè)非負(fù)數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)。稱為a，b的算術(shù)平均數(shù)，3.我們把不等式(a≥0,b≥0)稱為基本不等式稱的幾何平均數(shù)。為a，b把看做兩個(gè)正數(shù)a，b的等差中項(xiàng)，看做正數(shù)a，b的等比中項(xiàng)，那么上面不等式可以敘述為：

兩個(gè)正數(shù)的等差中項(xiàng)不小于它們的等比中項(xiàng)。幾何直觀解釋：令正數(shù)a，b為兩條線段的長，用幾何作圖的方法，作出長度為和的兩條線段，然后比較這兩條線段的長。具體作圖如下：（4）連接AC，BC，CA，則當(dāng)a≠b時(shí)，OC>CD，即當(dāng)a=b時(shí)，OC=CD，即（1）作線段AB=a+b，使AD=a，DB=b,（2）以AB為直徑作半圓O；（3）過D點(diǎn)作CD⊥AB于D，交半圓于點(diǎn)C例1．已知ab>0，求證：，并推導(dǎo)出式中等號成立的條件。證明：因?yàn)閍b>0，所以，根據(jù)均值不等式得即當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即a2=b2時(shí)式中等號成立，因?yàn)閍b>0，即a，b同號，所以式中等號成立的條件是a=b.例2．（1）一個(gè)矩形的面積為100m2，問這個(gè)矩形的長、寬各為多少時(shí)，矩形的周長最短？最短周長是多少？（2）已知矩形的周長是36m，問這個(gè)矩形的長、寬各為多少時(shí)，矩形的面積最大？最大面積是多少？解：（1）設(shè)矩形的長、寬分別為x(m)，y(m)，依題意有xy=100(m2)，因?yàn)閤>0，y>0，所以，因此，即2(x+y)≥40。當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)，式中等號成立，此時(shí)x=y=10。因此，當(dāng)這個(gè)矩形的長與寬都是10m時(shí)，它的周長最短，最短周長是40m.（2）設(shè)矩形的長、寬分別為x(m)，y(m)，依題意有2(x+y)=36，即x+y=18，因?yàn)閤>0，y>0，所以，因此將這個(gè)正值不等式的兩邊平方，得xy≤81,當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)，式中等號成立，此時(shí)x=y=9，因此，當(dāng)這個(gè)矩形的長與寬都是9m時(shí)，它的面積最大，最大值是81m2。規(guī)律：

兩個(gè)正數(shù)的積為常數(shù)時(shí)，它們的和有最小值；

兩個(gè)正數(shù)的和為常數(shù)時(shí)，它們的積有最大值。應(yīng)用要點(diǎn)：一正二定三相等（1）把36寫成兩個(gè)正數(shù)的積，當(dāng)這兩個(gè)正數(shù)取什么值時(shí)，它們的和最?。浚?）把18寫成兩個(gè)正數(shù)的和，當(dāng)這兩個(gè)正數(shù)取什么值時(shí)，它們的積最大？ab=36∴當(dāng)a=b=6時(shí)，和a+b最小為12∵∵a+b=18∴當(dāng)a=b=9時(shí)，積ab最大為81【應(yīng)用練習(xí)】

1.已知x>0,y>0,xy=24,求4x+6y的最小值，并說明此時(shí)x,y的值．4.已知x>0,y>0,且x+2y=1,求的最小值．2.已知