四邊形整章復(fù)習(xí)

數(shù)學(xué)一點通四邊形平行四邊形定義:有兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形．性質(zhì)：(1)平行四邊形是中心對稱圖形，對角線的交點是它的對稱中心；

(2)平行四邊形的對邊平行且相等；(3)平行四邊形的對角相等，鄰角互補；

(4)平行四邊形的對角線互相平分．

面積：

平行四邊形的面積等于它的底和該底上的高的積．

如圖1，拓展：同底(等底)同高(等高)的平行四邊形面積相等．

如圖2，

判定：

三角形中位線定理

定義：連接三角形兩邊中點的線段叫做三角形中位線；

定理：三角形的中位線平行于三角形的第三邊，并且等于第三邊的一半。

作用：(1)位置關(guān)系：可以證明兩條直線平行；

(2)數(shù)量關(guān)系：可以證明線段的相等或倍分．

拓展：(1)三角形共有三條中位線，并且它們又重新構(gòu)成一個新的三角形；

(2)要會區(qū)別三角形的中線與中位線．

矩形

定義：有一個角是直角的平行四邊形叫做矩形．

拓展：矩形首先是一個平行四邊形，然后增加一個角是直角這個特殊條件。

性質(zhì)：

(1)具有平行四邊形的所有性質(zhì)；

(2)對角線相等；

(3)四個角都是直角；

(4)是軸對稱圖形，它有兩條對稱軸．

直角三角形的性質(zhì)

定理：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半

拓展：己學(xué)過的直角三角形的性質(zhì)主要有：

(1)兩銳角互余；

(2)兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方；

(3)30°角所對的直角邊等于斜邊的一半；

(4)斜邊上的中線等于斜邊的一半．

矩形的判定方法

(1)有一個角是直角的平行四邊形；

(2)有三個角是直角的四邊形；

(3)對角線相等的平行四邊形；

(4)對角線相等且互相平分的四邊形．

矩形的面積

公式：矩形面積=長×寬

菱形

1．定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形．

2．性質(zhì)：(1)具有平行四邊形的一切性質(zhì)；

(2)四條邊都相等；

(3)兩條對角線互相垂直，并且每一組對角線平分一組對角；

(4)既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形，其對稱軸為對角線所在的直線．

拓展：由于菱形的對角線互相垂直平分，許多涉及菱形的問題都會在直角三角形中解

3．判定：(1)定義；

(2)四條邊都相等的四邊形；

(3)對角線互相垂直平分的四邊形；

(4)對角線平分一組對角的平行四邊形．

4．面積：(1)平行四邊形面積公式：底×高(2)兩條對角線乘積的一半．若a、b分別表示兩條對角線的長，則正方形

1．定義：有一組鄰邊相等且有一個角是直角的平行四邊形叫做正方形．

拓展：正方形既是有一組鄰邊相等的矩形，又是有一個角是直角的菱形．

2．性質(zhì)：(1)邊——四條邊都相等，鄰邊垂直，對邊平行；

(2)角——四個角都是直角；

(3)對角線——①相等；②互相垂直平分；③每一條對角線平分一組對角；

兩條對角線將它分成四個全等的等腰直角三角形．

(4)是軸對稱圖形，有4條對稱軸；又是中心對稱圖形，對稱中心就是兩條對角線的交點．

拓展：(1)若正方形的邊長為a，則對角線的長為；

(2)正方形的一條對角線上的一點到另一條對角線的兩個端點的距離相等．

3．判定：(1)先證它是矩形，再證一組鄰邊相等；

(2)先證它是菱形，再證一個角是直角．

4．面積：(1)正方形的面積等于邊長的平方；

(2)正方形的面積等于兩條對角線的乘積的一半．

拓展：周長相等的四邊形中，正方形的面積最大．梯形：1．梯形的面積公式是________________.2．等腰梯形的性質(zhì)：邊__________；_____________.角_______________；__________.對角線_____________________;軸對稱性_____________________等腰梯形的判別方法__________________________________.梯形的中位線長等于__________________________.添輔助線可達到集中已知條件或構(gòu)造基本圖形等目的．梯形經(jīng)常劃分成平行四邊形（矩形）和三角形而加以探索。常用的輔助線如下如圖，梯形ABCD，AD∥BC．(1)添加輔助線，轉(zhuǎn)化成平行四邊形和三角形．(2)思考：各種輔助線分別起到什么作用？

例題分析：

1．如圖，ABCD中，AE=CF，AE與CF交于點O，連結(jié)BO．

求證：∠AOB=∠COB．

解：作BM⊥CF于M，BN⊥AE于N，連接BE、BF；

根據(jù)和AE=CF，可證BN=BM，

于是∠AOB=∠COB．

2．如圖：工人師傅要把一塊三角形的鋼板，通過切割焊接成一個與其面積相等的平行四邊形．請你設(shè)計一種方案并在圖中標出焊接線，然后證明你的結(jié)論．

解：如圖，分別取邊AB、AC的中點D、E，沿線段DE切割開，將△ADE的邊AE與邊EC重合(點A與點C重合、點E與點E重合)后焊接，點D至點F處，則所得四邊形DBCF為平行四邊形．證明略．

3．如圖，ABCD為等腰梯形，AB∥CD，對角線AC，BD交于O，且∠AOB=60°，又E，F(xiàn)，G分別為DO，AO，BC的中點．

求證：△EFG為等邊三角形．

證明：連接EC．∵ABCD為等腰梯形，∴AD=BC，且AC=BD．

又∵DC=DC，∴△ADC≌△BCD，∠ACD=∠BDC，∴△ODC為等腰三角形．

∵∠DOC=∠AOB=60°，∴△ODC為等邊三角形．

又∵E為OD中點，∴∠OEC=90°．

在Rt△BEC中，G為斜邊的中點，∴。同理．

在△OAD中，∵E，F(xiàn)分別為OD，OA的中點．

∴，故△EFG為等邊三角形．

4．已知：平行四邊形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，BD=2AD，E，F(xiàn)，G分別是OC，OD，AB的中點．

求證：(1)BE⊥AC；

(2)EG=EF。

證明：(1)∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD=BC，BD=2BO．

由已知BD=2AD，∴BO=BC，又E是OC中點，∴BE⊥AC．

(2)由(1)BE⊥AC，又G是AB中點，∴

∵EF是△OCD的中位線，∴

又，∴MEDCMEDCBAAEDFBC6已知⊿ABC中，AB=AC，點D在BC上，DEAEDFBC7.已知：平行四邊形ABCD中，E、F分別是BA、DC上的點，且AE∥CF，交BC、AD于點G、H。試說明：EG=FHABABCDEFGH8.如圖，點E、F、G、H分別在□ABCD的各邊上，且AE=CG,BF=DH,求證：EF∥GF.9如圖,在平行四邊形ABCD中,AE=CF,AE與CF交于點0,求證：∠AOB=∠COB10已知：如圖，在四邊形ABCD中，AC與BD相交于點O，AB∥CD，AO=CO．求證：四邊形ABCD是平行四邊形．例題分析

例1如圖：矩形紙片ABCD，AB=2，點E在BC上，且AE=EC．若將紙片沿AE折疊，點B恰好落在AC上，則AC的長是AABCDE例2矩形ABCD中，點E是BC上一點，AE＝AD，DF⊥AE于F，連結(jié)DE，求證：DF＝DC．AABCDFE例3如圖，在中，為上兩點，且，．（例4題）ABC（例4題）ABCDEF（2）四邊形是矩形．解：（1），，，．四邊形是平行四邊形，．在和中，，，，．（2），．四邊形是平行四邊形，．．．四邊形是矩形．例4如圖，四邊形ABCD是矩形，E是AB上一點，且DE=AB，過C作CF⊥DE，垂足為F.（1）猜想：AD與CF的大小關(guān)系；（2）請證明上面的結(jié)論.分析由圖可以直觀看出,AD=CF;根據(jù)矩形的性質(zhì)和三角形全等的判定,可以得到AD,CF所在的兩個三角形△ADE≌△FCD,從而AD=CF.解（1）．（2）四邊形是矩形，又∴△ADE≌△FCD,例5如圖，在中，是邊上的一點，是的中點，過點作的平行線交的延長線于，且，連接．（1）求證：是的中點；（2）如果，試猜測四邊形的形狀，并證明你的結(jié)論．分析要證D是BC的中點,即DB=DC,現(xiàn)已有AF=DC,故只需AF=DB,所以只要證△AEF≌△DEB;已知AF∥DC,又AF=DC,所以四邊形ADCF為平行四邊形.如果AB=AC,D是BC的中點,則有AD⊥BC,從而得到四邊形ADCF為矩形.證明（1），．是的中點，．又，(AAS)．．，．即是的中點．（2）四邊形是矩形，，，四邊形是平行四邊形．，是的中點，．即．四邊形是矩形．典型例題例1：如圖已知菱形ABCD的對角線交于點O，AC=16cm,BD=12

cm,求菱形的高。DDCABOBECDBECDAODCBEAODCBEAO求：（1）的度數(shù)。（2）對角線AC的長。（3）菱形ABCD的面積。DFCBEADFCBEA求證：（1）四邊形AEFD是菱形。（2）如果，AD=5，求菱形AEFD的面積。BBFADCE例5．如圖四邊形ABCD是菱形，F(xiàn)是AB上的一點，DF交AC于E。求證：AFD=CBE。AADCFBE例6．如圖菱形ABCD與等邊有公共頂點A，且AE⊥BC，求B的度數(shù)。AACEBFD例7．如圖，中，AB=AC，AD是角平分線，E為AD延長線上的一點，CF//BE交AD于F，連結(jié)BF、CE。求證：四邊形BECF是菱形。AFDBAFDBECO典例分析1.已知:如圖,△ABC中.∠ABC=90°,BD是角平分線,DE⊥AB,DF⊥BC,垂足分別是E、F.求證：四邊形DEBF是正方形.2.已知：如圖點A’、B’、C’、D’分別是正方形ABCD的四條邊上的點，并且AA'=BB'=CC'=DD'求證：四邊形A'B'C'D'是正方形3.如圖，在正方形ABCD中，E在BC的延長線上，且CE=AC，AE交CD于F，則求∠AFC的度數(shù)。4.如圖，正方形ABCD中，AC、BD相交于O，MN∥AB且MN分別交OA、OB于M、N，求證：BM＝CN。5．已知：如圖在正方形ABCD中，F(xiàn)為CD延長線上一點，CE⊥AF于E，交AD于M，求證：∠MFD＝45°6如圖所示，在正方形ABCD中，E、F分別是AD、DC的交點，AF、BE交于點G，連結(jié)CG，求證：ΔCGB是等腰三角形。ABCDOGNM127如圖，在正方形ABCD中，對角線AC與BD相交于O，MN∥ABABCDOGNM12求證：⑴BM=CN；⑵CN⊥BM．CABDFE8如圖，在正方形ABCD中，E為CD邊上的一點，F(xiàn)為BC延長線上一點，CE=CF．⑴求證：△BCE≌△DCF；⑵若∠BEC=CABDFEABCDOEFH9如圖，已知四邊形ABCD是正方形，對角線AC、BD相交于O，四邊形AEFC是菱形，EH⊥AC，垂足為ABCDOEFH典型例題ABCD1已知，如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=60°，∠C=30°，AD=2，BC=8.求梯形兩腰AB、ABCD2在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，延長CB到E，使EB=AD，連接AE。求證：AE=CA。3在梯形ABCD中，AD∥BC，AC⊥BD，若AD=2，BC=8，BD=6，求：（1）對角線AC的長；（2）梯形ABCD的面積．AACBDE4在梯形ABCD中，AB∥CD，∠A=90°，AB=2，BC=3，CD=1，E是AD中點．求證：CE⊥BE．5．已知：如圖，在梯形ABCD中，A