2022年重慶市渝中區(qū)高考數(shù)學(xué)押題試卷及答案解析

2022年重慶市渝中區(qū)高考數(shù)學(xué)押題試卷

本試卷滿分150分?？荚囉脮r120分鐘。

注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的市（縣、區(qū)）、學(xué)校、班級、姓名、考場號、座

位號和考生號填寫在答題卡上。將條形碼橫貼在每張答題卡右上角“條形碼

粘貼處”。

2.作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆在答題卡上將對應(yīng)題目選項(xiàng)

的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不

能答在試卷上.

3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目

指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動，先畫掉原來的答案，然后再寫上新答案；

不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。

4.考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回。

一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中,

只有一項(xiàng)是符合題目要求的.

3},則圖中陰影部分所表示的集合為（)

A.{-2}B.{0,1,3}C.{0,2,3}D.{1,2,3}

2.復(fù)平面內(nèi)表示復(fù)數(shù)z=弊的點(diǎn)位于（)

L—1

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

3.若拋物線上一點(diǎn)（32）到其焦點(diǎn)的距離等于4,則"2=（）

1

A.8B.4C.2D.

2

4.已知角e的終邊經(jīng)過點(diǎn)P&,—坐），則角e可以為（）

57r2n117T5TT

A.一B.—C.D.

6363

5.已知p：|x+l|>2,q-.x>a,且「p是「q的充分不必要條件，則實(shí)數(shù)。的范圍是（

A.[1,+8）B.（-8,1]C.[-3,+oo）D.（-8,-3]

6.河南洛陽的龍門石窟是中國石刻藝術(shù)寶庫之一，現(xiàn)為世界文化遺產(chǎn)，龍門石窟與莫高窟、

云岡石窟、麥積山石窟并稱中國四大石窟.現(xiàn)有一石窟的某處“浮雕像”共7層，每上

層的數(shù)量是下層的2倍，總共有1016個“浮雕像”，這些“浮雕像”構(gòu)成一幅優(yōu)美的圖

案，若從最下層往上“浮雕像”的數(shù)量構(gòu)成一個數(shù)列僅“},則10g2（。3加5）的值為（)

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A.16B.12C.10D.8

7.已知奇函數(shù)/(x)在R上是增函數(shù),g(x)=xf(x).若a=g(-log25.1),b=g(205),

c=g(3),則mb,c的大小關(guān)系為()

A.a<b<cB.b<a〈cC.c<b<aD.b<c<a

8.PQ為經(jīng)過拋物線夕=2川焦點(diǎn)的任一弦，拋物線的準(zhǔn)線為/,PM垂直于/于M,QN垂

直于/于MPQ繞/一周所得旋轉(zhuǎn)面面積為S\,以MN為直徑的球面積為S2,貝U()

A.Si>S2B.Si<S2C.S\^SiD.S1WS2

二、多項(xiàng)選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，

有多項(xiàng)符合題目要求的，全部選對得5分，選對但不全的得2分，有選錯的得0分.

9.經(jīng)研究，變量y與變量x具有線性相關(guān)關(guān)系，數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如表，并且根據(jù)表中數(shù)據(jù)，求得

y關(guān)于x的線性回歸方程為y=0.8x+a,下列正確的是()

X247101522

y8.19.41214.418.524

A.變量y與x呈正相關(guān)

B.樣本點(diǎn)的中心為(10,14.4)

C.a=6.8

D.當(dāng)x=16時，y的估計(jì)值為13

10.已知函數(shù)/'(%)=cos泵％-2)]-s配貨%+2)],則()

A.函數(shù)/(X)的圖像關(guān)于y軸對稱

B.xG[2,4]時,函數(shù)/(x)的值域?yàn)閇1,V2]

C.函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)(5,0)中心對稱

D.函數(shù)/(x)的最小正周期是8

11.已知曲線C;翠+y2=i,則()

A.曲線C關(guān)于原點(diǎn)對稱

B.曲線C上任意點(diǎn)P滿足|OP]21(。為坐標(biāo)原點(diǎn))

C.曲線C與7-4)2=0有且僅有兩個公共點(diǎn)

D.曲線C上有無數(shù)個整點(diǎn)(整點(diǎn)指橫縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn))

12.己知球。的半徑為4,球心。在大小為60°的二面角a-/-0內(nèi)，二面角a-/-0的

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兩個半平面所在的平面分別截球面得兩個圓。1，。2,若兩圓。1，。2的公共弦AB的長

為4,E為的中點(diǎn)，四面體0A0102的體積為匕則正確的是（）

A.O,E,01，。2四點(diǎn)共圓B.0E=2V3

lV3

C.。1。2=百D.丫的最大值為三

三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.

13.二項(xiàng)式。-會/展開式的常數(shù)項(xiàng)是.

14.已知數(shù)列｛即｝是正項(xiàng)等比數(shù)列，函數(shù)y=7-5x+3的兩個零點(diǎn)是“1，“5,則"3=.

Y_（1Y（J

'一'已知X1<X2，且/（XI）=/（X2），若及-加的最小值為

｛Inx,x>0/

e,則a的值為.

TT

T1-?T*Q-l-bo

16.已知向量出=（1,1）,b=（—,0）,a=a-（?*Z?）b（HGN）,則——+

nnn+12Znnn+1n+1

TTTT

。2.匕4a9bli

----+....+------=.

32102-------

四、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.

17.（10分）已知銳角△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,h=3,sinA+?sinB=

2V3.

（1）求角A；

（2）若asin4+csinC=6sinB,求△ABC的面積.

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18.（12分）已知數(shù)列｛斯｝的前"項(xiàng)和為％,滿足％=|（an-1）,〃€N*.

（1）求數(shù)列｛斯｝的通項(xiàng)公式；

（2）記瓦=an-s譏等，求數(shù)列｛d｝的前100項(xiàng)的和Tioo.

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19.(12分)如圖所示,在四棱錐P-ABCD中,AD〃8C,AZ)_LZ)C,PALAB,BC=CD=^AD,

71

E是邊A。的中點(diǎn)，異面直線必與C￡＞所成角為不

(1)在平面以B內(nèi)找一點(diǎn)何，使得直線CM〃平面P8E,并說明理由；

7T

(2)若二面角P-CO-A的大小為二，求直線以與平面PCE所成角的正弦值.

6

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20.（12分）2019年春節(jié)期間，我國高速公路繼續(xù)執(zhí)行“節(jié)假日高速公路免費(fèi)政策”.某路

橋公司為掌握春節(jié)期間車輛出行的高峰情況，在某高速公路收費(fèi)站點(diǎn)記錄了大年初三上

午9：20?10：40這一時間段內(nèi)通過的車輛數(shù)，統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)這一時間段內(nèi)共有600輛車通

過該收費(fèi)點(diǎn)，它們通過該收費(fèi)點(diǎn)的時刻的頻率分布直方圖如圖所示，其中時間段9：20?

9：40記作區(qū)［20,40）,9：40~10：00記作［40,60）,10：00?10：20記作［60,80）,

10：20-10：40記作［80,100）,例如10點(diǎn)04分，記作時刻64.

（1）估計(jì)這600輛車在9：20~10：40時間內(nèi)通過該收費(fèi)點(diǎn)的時刻的平均值（同一組中

的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表）:

（2）為了對數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，現(xiàn)采用分層抽樣的方法從這600輛車中抽取10輛，再從這

10輛車隨機(jī)抽取4輛，設(shè)抽到的4輛車中，在9：20~10：00之間通過的車輛數(shù)為X,

求X的分布列與數(shù)學(xué)期望；

（3）由大數(shù)據(jù)分析可知，車輛在每天通過該收費(fèi)點(diǎn)的時刻7服從正態(tài)分布N（4。2）,

其中U可用這600輛車在9：20?10：40之間通過該收費(fèi)點(diǎn)的時刻的平均值近似代替，

。2可用樣本的方差近似代替（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表），已知大年初

五全天共有1000輛車通過該收費(fèi)點(diǎn)，估計(jì)在9：46~10：40之間通過的車輛數(shù)（結(jié)果保

留到整數(shù)）.

若T?N3,。2）則o＜TWu+。）=0.6827,PR-2。＜TWp+2。）=0.9545,

P（廠3。＜片口+3。）=0.9973.

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21.(12分)已知函數(shù)/(x)=x—1.

(1)求函數(shù)/(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)設(shè)g(x)=f(x)-|siru,若存在兩個不相等的實(shí)數(shù)a,0,當(dāng)a,醫(yī)(0,+~)

時,g(a)=g(p),求證：ap<m2.

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22.（12分）已知橢圓E：輸+，=l（a>b>0）的左、右焦點(diǎn)分別為Q,尸2,離心率e=芋，

P為橢圓上一動點(diǎn)，△PQF2面積的最大值為2.

（1）求橢圓E的方程；

（2）若C,。分別是橢圓E長軸的左、右端點(diǎn)，動點(diǎn)M滿足MD_LC￡>,連結(jié)CM交橢

圓于點(diǎn)M。為坐標(biāo)原點(diǎn).證明：血?加為定值;

（3）平面內(nèi)到兩定點(diǎn)距離之比是常數(shù)入（入W1）的點(diǎn)的軌跡是圓.橢圓E的短軸上端點(diǎn)

為A,點(diǎn)。在圓/+）2=8上，求2|QA|+|QP|-|PE|的最小值.

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2022年重慶市渝中區(qū)高考數(shù)學(xué)押題試卷

參考答案與試題解析

一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中,

只有一項(xiàng)是符合題目要求的.

1.集合A={-2,0,1,2},B={-2,1,3）,則圖中陰影部分所表示的集合為（）

A.{-2}B.{0,1,3}C.{0,2,3}D.{1,2,3）

解：?集合A={-2,0,1,2）,8={-2,1,3},

；.4UB={-2,0,1,2,3},AC8={-2,1},

圖中陰影部分所表示的集合為：Qus（AAB）={0,2,3）,

故選：C.

2.復(fù)平面內(nèi)表示復(fù)數(shù)z=弊的點(diǎn)位于（）

Z-I

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

解：z=弊==1^121=2+2i,它在復(fù)平面對應(yīng)的點(diǎn)在第一象限.

Z—t優(yōu)-I2）（鋁/十I））D

故選：A.

3.若拋物線上一點(diǎn)（32）到其焦點(diǎn)的距離等于4,則"?=（）

1

84C2-

A.B.D.2

解：拋物線/=沖的焦點(diǎn)為（o,-）,準(zhǔn)線方程為產(chǎn)一景

由拋物線上一點(diǎn)（32）到其焦點(diǎn)的距離等于4,

由拋物線的定義可得2+竿=4,

解得"7=8,

故選：A.

4.己知角e的終邊經(jīng)過點(diǎn)P8,-易，則角e可以為（）

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解：?.?角e的終邊經(jīng)過點(diǎn)p8,_1),

二。是第四象限角,且cosO=/，sinS=—整，

則0=等

故選：D.

5.已知p：|x+l|>2,<?：x>a,且「p是「4的充分不必要條件，則實(shí)數(shù)。的范圍是()

A.[1,+8)B.(-°°,1]C.[-3,+°°)D.(-°°,-3]

解：p；|x+l|>2=x+l<-2或x+l>2=x<-3或x>l,

「p是「4的充分不必要條件O4是p的充分不必要條件，

可知(a,+8)些(-8,-3)U(1,+8),

c(6[l>+8).

故選：A.

6.河南洛陽的龍門石窟是中國石刻藝術(shù)寶庫之一，現(xiàn)為世界文化遺產(chǎn)，龍門石窟與莫高窟、

云岡石窟、麥積山石窟并稱中國四大石窟.現(xiàn)有一石窟的某處“浮雕像”共7層，每上

層的數(shù)量是下層的2倍，總共有1016個“浮雕像”，這些“浮雕像”構(gòu)成一幅優(yōu)美的圖

案，若從最下層往上“浮雕像”的數(shù)量構(gòu)成一個數(shù)列則1og2(。3加5)的值為()

A.16B.12C.10D.8

解：現(xiàn)有一石窟的某處“浮雕像”共7層，每上層的數(shù)量是下層的2倍，總共有1016個

“浮雕像”，

這些“浮雕像”構(gòu)成一幅優(yōu)美的圖案，

從最下層往上“浮雕像”的數(shù)量構(gòu)成一個數(shù)列

則｛斯｝是以2為公比的等比數(shù)列，

:)=1016,127m=1016,

解得ai=8,

24

/.Iog2(。3?。5)=log2(8x2x8x2)=12.

故選：B.

7.已知奇函數(shù)/(x)在R上是增函數(shù)，g(x)=4(x).若。=g(-log25.1),b=g(2°$),

c=g(3),貝Ijmh,c的大小關(guān)系為()

A.a<b<cB.b<a<cC.c<b<aD.b<c<a

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解：奇函數(shù)f(x)在R上是增函數(shù)，g(x)=xf(x),

可得g(-x)=-xfC-x)=xf(x)=g(x),即g(x)為偶函數(shù)，

當(dāng)x20時，g'(x)=/(x)+xf(x)與0,即有g(shù)(x)在［0,+8)單調(diào)遞增.

因?yàn)閍=g(-log25.1)=g(log25.1),

5

2<log25.1<3,l<2°-<2,

則l<2°5v2<log25.1V3,

可得g(2°,5)<g(log25.1)<g(3),即b<a〈c,

故選：B.

8.PQ為經(jīng)過拋物線夕=2內(nèi)焦點(diǎn)的任一弦，拋物線的準(zhǔn)線為/,PM垂直于/于M,QN垂

直于/于N,P。繞/一周所得旋轉(zhuǎn)面面積為S\,以MN為直徑的球面積為S2,則()

A.Si>52B.5I<S2C.SI\S2D.S1WS2

解：設(shè)PQ與x軸夾角為仇令|PF|=m，\QF\^n,

則|PM=m，\QN\=n,

222

VSi=n(|PM+|QM)?|PQ|=n(m+n),S2=7r(m+n)sin0,

，Si》S2當(dāng)且僅當(dāng)。=90°時，等號成立.

故選：C.

二、多項(xiàng)選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，

有多項(xiàng)符合題目要求的，全部選對得5分，選對但不全的得2分，有選錯的得0分.

9.經(jīng)研究，變量y與變量x具有線性相關(guān)關(guān)系，數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如表，并且根據(jù)表中數(shù)據(jù)，求得

y關(guān)于x的線性回歸方程為y=0.8x+a,下列正確的是()

X247101522

y8.19.41214.418.524

A.變量y與x呈正相關(guān)

B.樣本點(diǎn)的中心為(10,14.4)

C.a=6.8

D.當(dāng)x=16時，y的估計(jì)值為13

解：對于A,關(guān)于x的線性回歸方程為y=0.8x+a,0.8>0,

???變量y與x呈正相關(guān)，故A正確，

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11

對于B,元屋x(2+4+7+10+15+22)=10,:屋X(8.1+9.4+12+14.4+

18.5+24)=14.4,

故樣本點(diǎn)的中心為(10,14.4),故8正確，

將樣本的中心(10,14.4)代入y=0.8x+a可得，14.4=0.8X10+a,解得a=6.4,故C

錯誤，

將x=16代入回歸方程可得，y=0.8x16+6.4=19.2,故￡>錯誤.

故選:AB.

10.已知函數(shù)/'(X)=cos耳(尤-2)]-sin岑(x+2)],則()

A.函數(shù)/(x)的圖像關(guān)于y軸對稱

B.xG[2,4]時，函數(shù)/G)的值域?yàn)閇1,V2]

C.函數(shù)/(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)(5,0)中心對稱

D.函數(shù)f(x)的最小正周期是8

解:/(x)=cos琮(x—2)]-+2)]

7T兀TC冗7T71

不)

=cos(-4x—277)-sin(4r+2=sin4-x-co4s-x

=V2sin(-x—

4，

A：當(dāng)x=0時，則f(0)=V2sin(-J)=-1W士夜,錯誤，

B：當(dāng)x6[2,4],即—患[]，丁1時，sin(1x+Q[，，1]>.*./(x)G[1,V2],.,.B

正確，

C：當(dāng)x=5時，則/(5)=魚sinn=0,，C正確，

Q-TT..

。：?.?7=卞~=8,.?.函數(shù)f(x)的最小正周期是8,二。正確，

4

故選：BCD.

11.已知曲線C；孥+V=1,則()

A.曲線C關(guān)于原點(diǎn)對稱

B.曲線C上任意點(diǎn)P滿足|OP|21(O為坐標(biāo)原點(diǎn))

C.曲線C與7-4f=0有且僅有兩個公共點(diǎn)

D.曲線C上有無數(shù)個整點(diǎn)(整點(diǎn)指橫縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn))

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解：選項(xiàng)A,（2,0）滿足—+y2=l,故點(diǎn)（2,0）在曲線上，但（-2,0）不滿

4

足泡+2=1,故點(diǎn)（-2,0）不在曲線上，故曲線C不關(guān)于原點(diǎn)對稱，故A錯誤;

4

選項(xiàng)8,設(shè)P（x,y）在曲線上，故|OP|=y/x2+y2=Jx24-1-

當(dāng)x?0時，|OP|=J/+1一9J竽+121,

當(dāng)xVO時，|0P|=卜+1+竽=J孚+1>1,

故曲線C上任意點(diǎn)P滿足|OP]21（。為坐標(biāo)原點(diǎn)），故B正確；

選項(xiàng)C,聯(lián)立4+'-,故小|+/=4,

（X2—4y2=0

x<0時，0=4,無解，

故曲線C與/-4y2=0且僅有兩個公共點(diǎn)，故c正確；

選項(xiàng)D,當(dāng)x20時、曲線C為丁+y?=1,

22

若為整點(diǎn)，則丁=1，y2—0或7=0，y2=

故有（2,0）,（0,1）,（0,-1）三個整點(diǎn)；

當(dāng)x<0時，曲線C為一1+y2=i,

若為整點(diǎn)，貝k=2k,k&Z,y=iVlTF,

若y=±V1+Hez,則&=0,與xVO矛盾，

故曲線C上只有三個整點(diǎn)，故。不正確；

故選：BC.

12.已知球。的半徑為4,球心。在大小為60°的二面角a-/-0內(nèi)，二面角a-/-0的

兩個半平面所在的平面分別截球面得兩個圓01,02,若兩圓。，02的公共弦A8的長

為4,E為AB的中點(diǎn)，四面體0Aoi。2的體積為V,則正確的是（）

A.O,E,0\,。2四點(diǎn)共圓B.OE=2V3

「V3

C.。1。2=遍D.V的最大值為三

解：因?yàn)楣蚕褹8在棱/上，連結(jié)OE,0\E,OiE,。。2，0A,

則0E=y/OA2-AE2=2百，故B正確；

因?yàn)槎娼莂-/-。的兩個半平面分別截球面得兩個圓。，02,。為球心，

所以004a,。。2，仇

第13頁共23頁

又OiEu平面a,O2EU平面p,

所以O(shè)O1_LO1E,OO21O2E,

故O,E,O\,O2四點(diǎn)共圓，故選項(xiàng)A正確；

因?yàn)镋為弦AB的中點(diǎn)，

故01ELA8,OiELAB,故/0化。2即為二面角a-/-B的平面角,

所以/0止。2=60°,

故OiO2=OEsin60°=3,故選項(xiàng)C錯誤，

設(shè)。。1=4,002=di，

在△OO1O2中，由余弦定理可得，。1。12=9=42+422+力流23”展2,

所以did2W3,故S^00^2~

所以V=j*AE*SAOOQ—亨,

當(dāng)且僅當(dāng)力=心時取等號，故選項(xiàng)。正確.

故選：ABD.

三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.

13.二項(xiàng)式。-會）6展開式的常數(shù)項(xiàng)是

解：由二項(xiàng)式（X-東）6展開式的通項(xiàng)公式為%1=北%6-（_東）r=（_A）r^X—

令12-3r=0,

解得r=4,

即二項(xiàng)式（％—義）6展開式的常數(shù)項(xiàng)是（-）公=會，

故答案為：號.

16

14.已知數(shù)列｛斯｝是正項(xiàng)等比數(shù)列，函數(shù)y=7-5x+3的兩個零點(diǎn)是〃5,則〃3=—V3.

解：數(shù)列｛如｝是正項(xiàng)等比數(shù)列，函數(shù)y=7-5x+3的兩個零點(diǎn)是m,不，

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??^32==3，

.?.。3=V3.

故答案為：V3.

支_QVVf）

'一'已知X1VX2，且f（X|）=f（X2）,若12-的最小值為

｛Inx,x>0,

e,則a的值為1-e.

解：令/（用）—f（X2）=t,由圖象可知正（-8,-a\.

因?yàn)閖qVx2，則制-〃=3bw2=t,

得制=，+〃，％2=e'，

所以-x\=el-t-a.

令g(r)=ef-t-a(W-Q),

則g1(r)=ef-1(K-a),

所以當(dāng)時，g(力在(-8,-a］上單調(diào)遞減，

所以g(r)min=g(p)=ea^a-ci=ea=e.

解得。=-1與。20矛盾，舍去；

當(dāng)〃V0時，g(/)在(-8,0］上單調(diào)遞減，在(0,-〃］上單調(diào)遞增，

所以g(r)min=g(0)=e°-0-a=e,解得。=l-e〈O,符合題意.

綜上可得a=\-e.

故答案為：I-e.

TT

一，一—TT1TT-?TT*?,CL\'bo

16.已知向量為=(L1),b=(—,0),a=a—(a9b)b(〃EN),則——+

nnn+12n/nn+1n+1

TTT_

口2,匕4Qg?匕27

..-+...+-----=---?

32102—220—

TTT—T113TTT—T

b

解：a2=a1-(ax-h2)b2=(1,D一^①，0)=Q,1),a3=a2-(a2?^3=

第15頁共23頁

弓3，1)一今1得1,0)=修2，1),

歸納出，Zn=(嘯，1)，neN*,接下來用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明：

當(dāng)n=時，的=滿足題意；

1乙XJL,1)=(1,1)

Tj>4-1TTTT->

假設(shè)當(dāng)〃=左時，a=(-^r-,1),則當(dāng)幾=-1時，ak+i=ak一??bk+Jbk+i

k乙K

為+1i\r/k+14、/1c、i/1c、/k+2八/k+1+1"、.L

=(W1)-Kw1),(肝T。)](肝I，。)=(2(k+l”D=(2(k+l”D，故

n+1

斯=(登，1)，n€N*,

其中而?如+2=(石’1).(外‘°)=1/11)

、(n+l)2(n+1)22n(n+l)(n+2)4^n(n+l)(n+l)(n+2)

TTTTTT

口-心3,a-ba?bn111.11..1

所以——4--+24…+------^="(z-------------+-------------+…+--------—

22321024vlx22x32X33x49x10

1111_27

10X11)-4(2-110)~220

27

故答案為：—

220

四、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.

17.(10分)已知銳角AABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,b=3,sinA+asin8=

2V3.

(1)求角4

(2)若asirL4+csinC=6sin8,求△ABC的面積.

解：(1)?.,〃=3,sinA+?sinB=2A/3,且〃sin8=bsinA,

叵

/.sirh4+3sirL4=2V3,得sinA=丁，

〈A為銳角，

.71

..44=于

(2)VA=J,

又t7sin4+csinC=6sinB,結(jié)合正弦定理可得t72+c2=6fe=18,

1

由余弦定理可得，a1=h2+c2-2bc?cosA,即18-c2=9+c2-6c-=9+c2-3c,

2

/?2c2-3c-9=0,解得c=-5(舍去)，或c=3.

S^BC=^bc*sinA=,x3X3x^=

」「第16頁共23頁

18.(12分)已知數(shù)列｛斯｝的前"項(xiàng)和為S“，滿足％=|(an—1),〃6N*.

(1)求數(shù)列｛斯｝的通項(xiàng)公式；

(2)記瓦=an-sin等，求數(shù)列｛d｝的前100項(xiàng)的和Tioo.

解：(1)當(dāng)〃22時，%=Sn-SnT=式。九一1)一式Qn_i-1),

整理得—=-2,

an-l

又=Si=可(％-1),得41=-2

則數(shù)列僅〃｝是以-2為首項(xiàng)，-2為公比的等比數(shù)列.

n

則0n=(-2),nCN*

(2)已知/7n=an-sin等，

當(dāng)n=4k,髭N*時，b4k=(-2)4k?s仇竽=0,

當(dāng)〃=4%-l,髭N*時，b4i=(-2產(chǎn)1?s譏(叱1"=24f

4/2

當(dāng)n=4k-2,k€N*時，h4k_2=(一2產(chǎn)-2.sin(^-)^=。，

4k34k3

當(dāng)n=4k-3,k€N*時，b4k_3=(-2)--sin的與迦=-2-,

則Aoo=瓦+匕2+匕3+…+瓦oo=—(2+2,+…+297)+(23+2’+…+2")

n?97?1?99

-2-22-2=?"97

-1-2+1-2-.

19.(12分)如圖所示，在四棱錐P-ABCD中,A￡?〃BC,AO_LDC,PAYAB,BC=CD=%。,

71

E是邊AO的中點(diǎn)，異面直線也與CO所成角為y.

(1)在平面PAB內(nèi)找一點(diǎn)M,使得直線CM〃平面PBE,并說明理由；

TC

(2)若二面角P-CC-A的大小為7求直線刑與平面PCE所成角的正弦值.

6

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解：(1)延長A8交直線CZ)于點(diǎn)M,?.?點(diǎn)E為A￡>的中點(diǎn)，

BC=CD=^AD,ED=BC,

'：AD//BC,BPED//BC.二四邊形BC￡>E為平行四邊形，即E8〃CO.

"：ABHCD=M,：.M&CD,J.CM//BE,

,：8Eu平面PBE,：.CM〃平面PBE,

'JMeAB,A8u平面以8,

平面處8,故在平面的8內(nèi)可以找到一點(diǎn)M(M=A8nCO),使得直線CM〃平面

PBE.

(2)如圖所示，：/A￡>C=/B4B=90°,異面直線必與C。所成的角為90°,ABH

CD=M,

.?.”_1_平面488

J.CDLPD,PAYAD.

71

因此NPD4是二面角P-CD-A的平面角，大小為一，

6

：.PA=^-AD.

不妨設(shè)AD=6,貝ljBC=CD=%￡>=3.：.P(0,0,2遮)，E(0,3,0),C(-3,6,

0),

：.EC=(-3,3,0),PE=(0,3,-2V3),AP=(0,0,2V3),

設(shè)平面P"的法向量為蔡=(x,y,z),則舊.■二°,可得：戶匕―2fz=0

令z=?則y=2,x=2,：.n=(2,2,遮).

設(shè)直線PA與平面PCE所成角為0,

TT

,-tAP-n6J2

貝Usin0=|cos<AP,n>\=|—~~-1=—7=~/=-T==

|AP|.而273x74+4+3y/li11

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20.(12分)2019年春節(jié)期間，我國高速公路繼續(xù)執(zhí)行“節(jié)假日高速公路免費(fèi)政策”.某路

橋公司為掌握春節(jié)期間車輛出行的高峰情況，在某高速公路收費(fèi)站點(diǎn)記錄了大年初三上

午9：20~10：40這一時間段內(nèi)通過的車輛數(shù)，統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)這一時間段內(nèi)共有600輛車通

過該收費(fèi)點(diǎn)，它們通過該收費(fèi)點(diǎn)的時刻的頻率分布直方圖如圖所示，其中時間段9：20-

9：40記作區(qū)［20,40),9：40~10：00記作［40,60),10：00~10：20記作［60,80),

10：20—10；40記作［80,100),例如10點(diǎn)04分，記作時刻64.

(1)估計(jì)這600輛車在9：20?10：40時間內(nèi)通過該收費(fèi)點(diǎn)的時刻的平均值(同一組中

的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表)；

(2)為了對數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，現(xiàn)采用分層抽樣的方法從這600輛車中抽取10輛，再從這

10輛車隨機(jī)抽取4輛，設(shè)抽到的4輛車中，在9：20?10：00之間通過的車輛數(shù)為X,

求X的分布列與數(shù)學(xué)期望；

(3)由大數(shù)據(jù)分析可知，車輛在每天通過該收費(fèi)點(diǎn)的時刻T服從正態(tài)分布NR,。2),

其中N可用這600輛車在9：20~10：40之間通過該收費(fèi)點(diǎn)的時刻的平均值近似代替，

。2可用樣本的方差近似代替(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表)，已知大年初

五全天共有1000輛車通過該收費(fèi)點(diǎn)，估計(jì)在9：46?10：40之間通過的車輛數(shù)(結(jié)果保

留到整數(shù)).

若T?N(p,o2)則P(|i-。＜TW|i+。)=0.6827,P(|i-2o＜TW［i+2。)=0.9545,

P(|i-3。＜TWR+3。)=0.9973.

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解：(1)這600輛車在9：20~10：40時間段內(nèi)通過該收費(fèi)點(diǎn)的時刻的平均值為(30X

0.005+50X0.015+70X0.020+90X0.010)X20=64,即10：04

(2)結(jié)合頻率分布直方圖和分層抽樣的方法可知，抽取的10輛車中，在10：00前通過

的車輛數(shù)就是位于時間分組中在［20,60)這一區(qū)間內(nèi)的車輛數(shù)，即(0.005+0.015)X20

X10=4,所以X的可能的取值為0,1,2,3,4.

所以P(X=0)=黑=吉，

cio

P(X=l)=^^=畀

cic,3

P(X=2)=^-^=y,

cic,4

P(X=3)=

P(X=4)==

所以x的分布列為:

X01234

P18341

1421735210

1QQA1Q

所以E(X)=0x訶+1x五+2x+3x毋+4x=耳.

(3)由(1)得p=64,

。2=(30-64)2x0.1+(50-64)2X0.3+(70-64)2X0.4+(90-64)2X0.2=324,

所以。=18,估計(jì)在9：46-10：40之間通過的車輛數(shù)也就是在［46,100)通過的車輛

數(shù)，

由T?N(64,182),得P(64-18WTW64+2X18)=+

員匕寫且皿=0.8186,

所以估計(jì)在在9：46~10：40之間通過的車輛數(shù)為1000X0.8186-819輛.

21.(12分)已知函數(shù)/(x)=x—y/nx+1.

(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)設(shè)g(x)=f(x)-isiru,若存在兩個不相等的實(shí)數(shù)a,0,當(dāng)a,醫(yī)(0,+~)

第20頁共23頁

時，g(a)=g(p),求證：ap<m2.

解：(1)函數(shù)/(x)的定義域是(0,+8),

_1m2x—m

(x)=l~2^=~2T~

當(dāng)膽WO時，，(x)>0,f(x)在(0,+8)遞增，無遞減區(qū)間，

當(dāng)機(jī)>0時，由/(x)>0,解得：x理