重慶市渝北中學(xué)2023-2024學(xué)年高三上學(xué)期11月月考數(shù)學(xué)試題

渝北中學(xué)20232024學(xué)年高三11月月考質(zhì)量監(jiān)測(cè)數(shù)學(xué)試題（全卷共四大題22小題總分150分考試時(shí)長(zhǎng)120分鐘）注意事項(xiàng)：1.答題前，考生務(wù)必將姓名、班級(jí)填寫清楚.2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用毫米黑色簽字筆書寫，字體工整、筆跡清晰.3.請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡相應(yīng)區(qū)域作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無(wú)效；在試卷和草稿紙上答題無(wú)效.一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由集合的交并補(bǔ)運(yùn)算可求.【詳解】由得，又，.故選：C.2.已知角終邊上有一點(diǎn)，則是（

）A.第一象限角 B.第二象限角C.第三象限角 D.第四象限角【答案】B【解析】【分析】首先由點(diǎn)的坐標(biāo)確定角終邊的位置，再確定所在象限.【詳解】，，即,點(diǎn)在第四象限，即角的終邊在第四象限，的終邊為角終邊的反向延長(zhǎng)線，那么的終邊在第二象限.故選：B3.現(xiàn)有一張正方形剪紙，沿只過其一個(gè)頂點(diǎn)的一條直線將其剪開，得到2張紙片，再?gòu)闹腥芜x一張，沿只過其一個(gè)頂點(diǎn)的一條直線剪開，得到3張紙片，……，以此類推，每次從紙片中任選一張，沿只過其一個(gè)頂點(diǎn)的一條直線剪開，若經(jīng)過10次剪紙后，得到的所有多邊形紙片的邊數(shù)總和為（）A.33 B.34 C.36 D.37【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意可得次剪紙得到的多邊形紙片的邊數(shù)成公差為3的等差數(shù)列，進(jìn)而可得結(jié)果.【詳解】設(shè)沒剪之前正方形的邊數(shù)為，即，沿只過其一個(gè)頂點(diǎn)的一條直線將其剪開得到一個(gè)三角形和一個(gè)四邊形，，然后無(wú)論是選擇三角形或四邊形，剪一次后邊數(shù)都增加3，所以可知次剪紙得到的多邊形紙片的邊數(shù)成公差為3的等差數(shù)列，即，故經(jīng)過10次剪紙后，得到的所有多邊形紙片的邊數(shù)總和為，故選：B.4.設(shè)，是兩個(gè)平面，直線與垂直的一個(gè)充分條件是（）A.且 B.且 C.且 D.且【答案】D【解析】【分析】結(jié)合空間線面以及面面的位置關(guān)系，判斷各選項(xiàng)中條件能否推出直線與垂直，即可判斷出答案.【詳解】A，當(dāng)且時(shí)，則或或，不能得出一定是，A錯(cuò)誤，B，當(dāng)且時(shí)，則或，不能得出，B錯(cuò)誤，C，當(dāng)且時(shí)，則或或或與相交不垂直，不能得出一定是，C錯(cuò)誤，D，當(dāng)且時(shí)，則，故“且”是直線與垂直的一個(gè)充分條件，D正確，故選：D．5.已知，且，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由二倍角的余弦公式可得的二次方程，再由同角三角函數(shù)基本關(guān)系可求.【詳解】，，由，或（舍），則，．故選：D.6.如圖，在邊長(zhǎng)為2的等邊三角形中，點(diǎn)為中線的三等分點(diǎn)靠近點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，則（

）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由已知可推得，，，進(jìn)而根據(jù)平面向量數(shù)量積的運(yùn)算求解即可得出結(jié)果.【詳解】由已知，，，，所以.由已知是的中點(diǎn)，所以，，.所以，所以，.故選：B.7.若都是正實(shí)數(shù)，且，則的最小值為（

）A. B. C.4 D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)條件，變形，再利用基本不等式，即可求解.【詳解】，即，，當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立.即，則，則，解得：，，或，解得：，，所以的最小值為.故選：A8.若，是函數(shù)的兩個(gè)不同的零點(diǎn)，且，，這三個(gè)數(shù)可適當(dāng)排序后成等比數(shù)列，也可適當(dāng)排序后成等差數(shù)列，則關(guān)于的不等式的解集為（

）A.{或} B.{或}C.{或} D.{或}【答案】C【解析】【分析】利用等差中項(xiàng)與等比中項(xiàng)的性質(zhì)分類討論解不等式即可.【詳解】依題意，由，是函數(shù)的兩個(gè)不同的零點(diǎn)，可知，是一元二次方程的兩個(gè)不同的根，由根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，可得，因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，，這三個(gè)數(shù)可適當(dāng)排序后成等比數(shù)列，所以只有為該等比數(shù)列的等比中項(xiàng)才滿足題意，即，因?yàn)?，，這三個(gè)數(shù)可適當(dāng)排序后成等差數(shù)列，所以只有不能為該等差數(shù)列的中項(xiàng)，當(dāng)為等差中項(xiàng)時(shí)，根據(jù)等差中項(xiàng)性質(zhì)有，當(dāng)為等差中項(xiàng)時(shí)，根據(jù)等差中項(xiàng)的性質(zhì)有，綜合，可得，所以不等式，解得或.故選：C二、多項(xiàng)選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)是符合題目要求的.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分）9.已知向量，，且，則（）A. B.C.向量與向量的夾角是 D.向量在向量上的投影向量坐標(biāo)是【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)公式求出向量判斷A，利用向量模的坐標(biāo)運(yùn)算判斷B，利用數(shù)量積的夾角坐標(biāo)公式求解判斷C，利用數(shù)量積的幾何意義求解判斷D.【詳解】因?yàn)橄蛄?，，所以，由得，解得，所以，故A正確；又，所以，故B錯(cuò)誤；設(shè)向量與向量的夾角為，因?yàn)?，，所以，又，所以，即向量與向量的夾角是，故C正確；向量在向量上的投影向量坐標(biāo)是，故D正確.故選：ACD.10.如圖，在棱長(zhǎng)為的正方體中，，，，分別是，，，的中點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的有（）A.，，，四點(diǎn)共面B.與所成角的大小為C.若M是線段中點(diǎn)，則平面D.在線段上任取一點(diǎn)，三棱錐的體積為定值【答案】ABD【解析】【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量的共面定理可判斷A選項(xiàng)，利用坐標(biāo)法求異面直線夾角可直接判斷B選項(xiàng)，直接利用向量法即可判斷C選項(xiàng)；證明平面，即可判斷D選項(xiàng).【詳解】如圖，以點(diǎn)為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，則，故，設(shè)，即，所以，解得，所以共面，又為公共始點(diǎn)，所以，，，四點(diǎn)共面，故A正確；，則，所以，所以與所成角余弦值為，所以與所成角的大小為，故B正確；對(duì)于C，M是線段中點(diǎn)，則，，則，故，所以與不垂直，所以與平面不垂直，故C錯(cuò)誤；，則，所以，又不共面，所以，又平面，平面，所以平面，所以點(diǎn)到平面的距離即為點(diǎn)到平面的距離，為定值，又的面積為定值，所以三棱錐的體積為定值，故D正確.故選：ABD.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求空間角的常用方法：（1）定義法：由異面直線所成角、線面角、二面角的定義，結(jié)合圖形，作出所求空間角，再結(jié)合題中條件，解對(duì)應(yīng)的三角形，即可求出結(jié)果；（2）向量法：建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，通過計(jì)算向量的夾角（兩直線的方向向量、直線的方向向量與平面的法向量、兩平面的法向量）的余弦值，即可求得結(jié)果.11.已知函數(shù)定義域?yàn)?，是奇函?shù)，，函數(shù)在上遞增，則下列命題為真命題的是（）A. B.函數(shù)在上遞減C.若，則 D.若，則【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)是奇函數(shù)判斷A，再判斷即可得到的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，從而判斷B、C，根據(jù)對(duì)稱性得到，即可判斷D.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以，故A錯(cuò)誤；因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，即有，所以，所以的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞減，故B正確；因?yàn)?，所以，即，故C正確；因?yàn)?，且，由函?shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，得，解得，故C正確.故選：BCD.12.已知函數(shù)的部分圖象如圖1所示，分別為圖象的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)，過作軸的垂線，交軸于，點(diǎn)為該部分圖象與軸的交點(diǎn).將繪有該圖象的紙片沿軸折成直二面角，如圖2所示，此時(shí)，則下列四個(gè)結(jié)論正確的有（）A.B.C.圖2中，D.圖2中，是及其內(nèi)部的點(diǎn)構(gòu)成的集合.設(shè)集合，則表示的區(qū)域的面積大于【答案】AC【解析】【分析】在圖2中，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、的方向分別為、軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)已知條件求出的值，即可判斷A；結(jié)合的取值范圍求出的值，可判斷B；利用空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可判斷C；求出，結(jié)合扇形的面積公式可判斷D.【詳解】函數(shù)的最小正周期為，在圖2中，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、的方向分別為、軸的正方向建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)，則點(diǎn)、，，因?yàn)?，解得，故A正確；所以，，則，可得，又因?yàn)楹瘮?shù)在附近單調(diào)遞減，且，所以，，故B錯(cuò)誤；因?yàn)?，可得，又因?yàn)辄c(diǎn)是函數(shù)的圖象在軸左側(cè)距離軸最近的最高點(diǎn)，則，可得，所以，，因?yàn)辄c(diǎn)是函數(shù)在軸右側(cè)的第一個(gè)對(duì)稱中心，所以，，可得，翻折后，則有、、、，所以，，，所以，在圖2中，，故C正確；在圖2中，設(shè)點(diǎn)，，可得，，，，易知為銳角，則，所以，區(qū)域是坐標(biāo)平面內(nèi)以點(diǎn)為圓心，半徑為，且圓心角為的扇形及其內(nèi)部，故區(qū)域的面積，故D錯(cuò)誤.故選：AC【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查翻折問題，解題的關(guān)鍵在于建立空間直角坐標(biāo)系，通過空間向量法來(lái)求解相應(yīng)問題.三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13.已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，則______．【答案】12【解析】【分析】根據(jù)等比數(shù)列前項(xiàng)和的性質(zhì)即可求解.【詳解】法一：設(shè)等比數(shù)列的公比為，由，得，而，于是，所以．法二：因?yàn)闉榈缺葦?shù)列，所以也成等比數(shù)列，即成等比數(shù)列，即.故答案為：1214.正四棱錐P－ABCD的所有棱長(zhǎng)均相等，E是PC的中點(diǎn)，那么異面直線BE與PA所成角的余弦值為______.【答案】【解析】【分析】連接AC交BD于O點(diǎn)，連接OE，則OEPA，所以就是異面直線BE與PA所成的角，在直角三角形EOB中求解即可.【詳解】如下圖：連接AC交BD于O點(diǎn)，連接OE，則OEPA，所以就是異面直線BE與PA所成的角，連接，因?yàn)槊鍭BCD，所以，又因?yàn)?，，所以面，所以，所以直在角三角形EOB中，設(shè)，則，.故答案為：.15.已知函數(shù)在區(qū)間上值域?yàn)?，則___________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)三角函數(shù)值域的知識(shí)求得.【詳解】依題意，函數(shù)在區(qū)間上的值域?yàn)椋捎?，所以，此時(shí)，當(dāng)時(shí)取得最小值，符合題意，所以.故答案為：16.設(shè)函數(shù)，.若在區(qū)間上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)，得到在區(qū)間上沒有零點(diǎn)，求導(dǎo)，分，與三種情況，由函數(shù)單調(diào)性和極值最值，得到不等式，求出a的取值范圍.【詳解】由于，即在區(qū)間上沒有零點(diǎn)．因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，①當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞增，時(shí)，，符合題意；②當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞減，時(shí)，，符合題意；③當(dāng)時(shí)，令，解得，令，解得，故上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，只需即可，所以，綜上，的取值范圍是.故答案為：四、解答題（本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過程或演算步驟）17.已知是首項(xiàng)為1的等比數(shù)列，且，，成等差數(shù)列.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，根據(jù)已知根據(jù)等差中項(xiàng)的性質(zhì)列出關(guān)系式，求解即可得出；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論得出，，然后根據(jù)錯(cuò)位相減法求和，即可得出答案.【小問1詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，，因?yàn)?，，成等差?shù)列，所以，即，化簡(jiǎn)可得，解得.又，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為.【小問2詳解】因?yàn)?，所以，則，①，，②①②得，所以.18.內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為，，，已知，，的面積為．（1）求的值；（2）若點(diǎn)是邊上一點(diǎn)，且，求的長(zhǎng)．【答案】（1）（2）2【解析】【分析】（1）由三角形面積公式直接計(jì)算即可；（2）利用余弦定理求邊，角B，結(jié)合正弦的和角公式可得，再利用正弦定理計(jì)算即可.【小問1詳解】由三角形的面積公式及已知得：，解得，；【小問2詳解】由（1）可知：，∵，∴，，由余弦定理得：，則，所以，由正弦定理，．19.某商場(chǎng)對(duì)，兩類商品實(shí)行線上銷售（以下稱“渠道”）和線下銷售（以下稱“渠道”）兩種銷售模式．類商品成本價(jià)為120元件，總量中有40%將按照原價(jià)200元/件的價(jià)格走渠道銷售，有50%將按照原價(jià)折的價(jià)格走渠道銷售；類商品成本價(jià)為160元/件，總量中有20%將按照原價(jià)300元/件的價(jià)格走渠道銷售，有40%將按照原價(jià)折的價(jià)格走渠道銷售．這兩種商品剩余部分促銷時(shí)按照原價(jià)6折的價(jià)格銷售，并能全部售完．（1）通過計(jì)算比較這兩類商品中哪類商品單件收益的均值更高（收益＝售價(jià)－成本）；（2）某商場(chǎng)舉行讓利大甩賣活動(dòng)，全場(chǎng)，兩類商品走渠道銷售，假設(shè)每位線上購(gòu)買，商品的顧客只選其中一類購(gòu)買，每位顧客限購(gòu)1件，且購(gòu)買商品的顧客中購(gòu)買類商品的概率為．已知該商場(chǎng)當(dāng)天這兩類商品共售出5件，設(shè)為該商場(chǎng)當(dāng)天所售類商品的件數(shù)，為當(dāng)天銷售這兩類商品帶來(lái)的總收益，求和的期望．【答案】（1）類商品單件收益的均值更高；（2），元【解析】【分析】（1）計(jì)算出類，類商品單件收益平均值，比較后得到結(jié)論；（2）得到，計(jì)算出，且，計(jì)算出，從而得到.【小問1詳解】設(shè)類，類商品單件收益分別為元，元，則元，元，，故類商品單件收益的均值更高；【小問2詳解】由題意可知，，，，∴，元，又元，∴元．20.如圖，在幾何體中，是邊長(zhǎng)為2的正三角形，D，E分別是，的中點(diǎn)，，平面，．（1）若，求證：平面；（2）若，且平面與平面夾角的余弦值為，求直線與平面所成角的正弦值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）取AC的中點(diǎn)O，連接OD，結(jié)合中點(diǎn)及線面垂直的性質(zhì)可得平面ABC，進(jìn)而建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量證明，，進(jìn)而求證即可；（2）設(shè)，可得，結(jié)合空間向量表示出平面與平面夾角的余弦值，建立方程可求得，進(jìn)而求解直線與平面所成角的正弦值．【小問1詳解】證明：取AC的中點(diǎn)O，連接OD，∵D是的中點(diǎn)，∴，∵平面ABC，∴平面ABC，又為2的正三角形，則，以O(shè)為原點(diǎn)，OA，OB，OD所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，∴，，，，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵，平面，∴平面.【小問2詳解】設(shè)，則，，顯然是平面ABC的一個(gè)法向量，設(shè)是平面的一個(gè)法向量，則，∴，取，則，，∴，∴，解得（舍去）或，當(dāng)時(shí)，，∴，，∴，∴直線DE與平面所成角的正弦值為．21.“太極生兩儀，兩儀生四象，四象生八卦……”，“大衍數(shù)列”來(lái)源于《乾坤譜》，用于解釋中國(guó)傳統(tǒng)文化中太極衍生原理.“大衍數(shù)列”的前幾項(xiàng)分別是：0，2，4，8，12，18，24，…，且滿足其中.（1）求（用表示）；（2）設(shè)數(shù)列滿足：其中，是數(shù)列的前項(xiàng)的和，求證：，.【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）通過連續(xù)遞推公式得到，然后應(yīng)用累加法求和即可；（2）先根據(jù)第一問結(jié)論得到，進(jìn)而得到通項(xiàng)公式，最后得到的通項(xiàng)公式應(yīng)用裂項(xiàng)相消法求和即可.【小問1詳解】即，所以，由累加法可得，即；【小問2詳解】由（1）知，所以，，將代入可得滿足，所以，所以且，所以且，即，所以，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，所以，所以.22.已知（1）若有兩個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍；（2）若方程有兩個(gè)實(shí)根、，且，證明：.【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）解法一：由參變量分離法可知直線與函數(shù)的圖像有兩個(gè)交點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性與極值，數(shù)形結(jié)合可求得實(shí)數(shù)的取值范圍；解法二：直接對(duì)函數(shù)求解，通過對(duì)參數(shù)的分類討論，研究函數(shù)的單調(diào)性與極最值，通過分析原函數(shù)圖像