三個基本結(jié)論.三類高考試題

三個基本結(jié)論.三類高考試題在解三角形中,有兩類典型問題:①已知一邊和二角,求三角形面積;巧變?nèi)切蔚拿娣e公式可得其通用公式;②已知兩邊和其中一邊的對角,利用余弦定理可解決此問題;射影定理與正余弦定理具有同等的功能.[母題結(jié)構(gòu)]:(Ⅰ)(面積公式)△ABC的面積S△ABC=a2;(Ⅱ)(解的個數(shù))在△ABC中,己知二邊a,b(a>0,b>0)及其中一邊a的對角A(00<A<1800),則滿足條件的△ABC的個數(shù)等于關(guān)于c的一元二次方程c2-2bccosA+b2-a2=0正實根的個數(shù);(Ⅲ)(射影定理)在△ABC中,a=bcosC+ccosB,b=ccosA+acosC,c=acosB+bcosA.[母題解析]:(Ⅰ)由△ABC的面積S△ABC=absinC=a2sinC=a2.同理可得:S△ABC=b2,S△ABC=c2;(Ⅱ)若c是方程c2-2bccosA+b2-a2=0的正實根,則c2-2bccosA+b2-a2=0a2=b2+c2-2bccosA2=(+)2||=|+|(又00<A<1800)存在△ABC.(Ⅲ)在△ABC中,由sinA=sin(B+C)sinA=sinBcosC+cosBsinCa=bcosC+ccosB;同理可證其它.1.巧變?nèi)切蚊娣e子題類型Ⅰ:(2013年重慶高考試題)在△ABC中,內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且a2=b2+c2+bc.(Ⅰ)求A;(Ⅱ)設(shè)a=,S為△ABC的面積,求S+3cosBcosC的最大值,并指出此時B的值.[解析]:(Ⅰ)由a2=b2+c2+bccosA=-A=;(Ⅱ)由S=absinC=a2sinC=a2=3sinBsinCS+3cosBcosC=3cos(B-C)當(dāng)B=C,即B=時,S+3cosBcosC取最大值3.[點評]:該三角形面積公式不僅可直解“已知一邊和二角,求三角形面積”問題,而且還有許多變式應(yīng)用,本題就是一個典型的例證;利用該三角形面積公式還可解決已知一邊及其對角,求三角形面積最大值問題.[同類試題]:1.(2015年浙江高考文科試題)在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,已知tan(+A)=2.(Ⅰ)求的值;(Ⅱ)若B=,a=3,求△ABC的面積.2.(2015年浙江高考理科試題)在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,已知A=,b2-a2=c2.(Ⅰ)求tanC的值;(Ⅱ)若△ABC的面積為3,求b的值.2.通解“邊邊角”子題類型Ⅱ:(2015年陜西高考試題)△ABC的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,向量m=(a,b)與n=(cosA,sinB)平行.(Ⅰ)求A;(Ⅱ)若a=,b=2,求△ABC的面積.[解析]:(Ⅰ)由m∥na:b=cosA:sinBasinB=bcosAsinAsinB=sinBcosAtanA=A=;(Ⅱ)由a2=b2+c2-2bccosAc2-2c-3=0c=3S△ABC=bcsinA=.[點評]:對己知二邊a,b(a>0,b>0)及其中一邊a的對角A的△ABC問題,利用余弦定理:a2=b2+c2-2bccosA,或先求c,然后解決其它問題;或討論關(guān)于c的一元二次方程c2-2bccosA+b2-a2=0正實根的個數(shù),得△ABC的個數(shù).[同類試題]:3.(2007年天津高考試題)在△ABC中,己知AC=2,BC=3,cosA=-.(Ⅰ)求sinB的值;(Ⅱ)求sin(2B+)的值.4.(2017年北京高考試題)在△ABC中,∠A=600,c=a.(Ⅰ)求sinC的值;(Ⅱ)若a=7,求△ABC的面積.3.妙用射影定理子題類型Ⅲ:(2011年山東高考試題)在△ABC中,內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c.已知=.(Ⅰ)求的值;(Ⅱ)若cosB=,b=2,求△ABC的面積S.[解析]:(Ⅰ)在ΔABC中,由sinA=sin(B+C)sinA=sinBcosC+cosBsinCa=bcosC+ccosB;同理可得:c=acosB+bcosA;由=bcosA-2bcosC=2ccosB-acosBacosB+bcosA=2(bcosC+ccosB)c=2a=2;(Ⅱ)由b2=a2+c2-2accosB4=a2+4a2-a2a=1,c=2;又由cosB=sinB=S=.[點評]:對于既含邊又含角的余弦值的式子,一般可利用射影定理整體代入,尋求“爽快”解答;至于用到哪一個射影定理？可對已知條件進行等價變形,從中逆向?qū)ひ?[同類試題]:5.(2012年課標(biāo)高考試題)已知a、b、c分別為△ABC三個內(nèi)角A、B、C的對邊,acosC+asinC-b-c=0.(Ⅰ)求A;(Ⅱ)若a=2,△ABC的面積為,求b、c.6.(2016年高考全國乙卷試題)ΔABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別別為a,b,c,已知2cosC(acosB+bcosA)=c.(Ⅰ)求C;(Ⅱ)若c=,ΔABC的面積為,求ΔABC的周長.4.子題系列:7.(2008年全國Ⅰ高考試題)在△ABC中,cosB=-,cosC=.(Ⅰ)求sinA;(Ⅱ)設(shè)△ABC的面積S△ABC=,求BC的長.8.(2009年江西高考試題)在△ABC中,角A、B、C所對的邊長分別為a、b、c,tanC=,sin(B-A)=cosC.(Ⅰ)求A,C;(Ⅱ)若S△ABC=3+,求a,c.9.(2017年全國Ⅰ高考試題)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知△ABC的面積為.(Ⅰ)求sinBsinC;(Ⅱ)若6cosBcosC=1,a=3,求△ABC的周長.10.(2013年課標(biāo)Ⅱ高考試題)設(shè)△ABC在內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c,已知a=bcosC+csinB.(Ⅰ)求B;(Ⅱ)若b=2,求△ABC面積的最大值.11.(2008年四川延考試題)在△ABC中,內(nèi)角A,B,C對邊的邊長分別是a,b,c,已知a2+c2=2b2.(Ⅰ)若B=,且A為鈍角,求內(nèi)角A與C的大小;(Ⅱ)若b=2,求△ABC面積的最大值.12.(2012年天津高考試題)在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對的邊分別是a,b,c,已知a=2,c=,cosA=-.(Ⅰ)求sinC和b的值;(Ⅱ)求cos(2A+)的值.13.(2007年上海春招試題)通常用a、b、c分別表示△ABC的三個內(nèi)角A、B、C所對邊的邊長,R表示△ABC的外接圓半徑.(Ⅰ)如圖,在以O(shè)為圓心,半徑為2的圓O中,BC和BA是圓O的弦,其中BC=2,∠ABC=450,求弦AB的長;(Ⅱ)在△ABC中,若∠C是鈍角,求證:a2+b2<4R2;(Ⅲ)給定三個正實數(shù)a、b、R,其中b≤a,問a、b、R滿足怎樣的關(guān)系時,以a、b為邊長,R為外接圓半徑的△ABC不存在、存在一個或存在兩個？在△ABC存在的情況下,用a、b、R表示c.14.(2011年江西高考試題)在△ABC中,角A,B,C的對邊是a,b,c,已知3acosA=ccosB+bcosC.(Ⅰ)求cosA的值;(Ⅱ)若a=1,cosB+cosC=,求邊c的值.15.(2013年課標(biāo)Ⅱ高考試題)設(shè)△ABC在內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c,已知a=bcosC+csinB.(Ⅰ)求B;(Ⅱ)若b=2,求△ABC面積的最大值.16.(2016年四川高考試題)在△ABC中,角A、B、C所對的邊分別是a、b、c,且+=.(Ⅰ)證明:sinAsinB=sinC;(Ⅱ)若b2+c2-a2=bc,求tanB.17.(2016年山東高考試題)在△ABC中,角A、B、C的對邊分別為a、b、c,已知2(tanA+tanB)=+.(Ⅰ)證明:a+b=2c;(Ⅱ)求cosC的最小值.5.子題詳解:1.解:(Ⅰ)由tanA==;(Ⅱ)由tanA=S△ABC=absinC=a2sinC=a2=9.2.解:(Ⅰ)由a2=b2+c2-2bccosAa2=b2+c2-bc;又b2-a2=c2b=ca=ccosC=tanC=2;(Ⅱ)由sinC=sinB=sinC=;又S△ABC=absinC=b2sinC=b2=b2=3b=3.3.解:(Ⅰ)由BC2=AB2+AC2-2ABACcosAAB2+AB-5=0AB=cosB=sinB=;(Ⅱ)由sin2B=2sinBcosB=,cos2B=2cos2B-1=sin(2B+)=sin2B+cos2B=.4.解:(Ⅰ)由c=asinC=sinA=;(Ⅱ)由a2=b2+c2-2bccosAb=8S△ABC=6.5.解:(Ⅰ)由acosC+asinC-b-c=0asinC-c=ccosAsinAsinC-sinC=sinCcosAsinA-1=cosAA=;(Ⅱ)由S△ABC=bcsinA=bc=4;又由a2=b2+c2-2bccosAb2+c2=8b=c=2.6.解:(Ⅰ)由2cosC(acosB+bcosA)=c2cosC=1cosC=,C∈(0,π)C=;(Ⅱ)a+b+c=5+.7.解:(Ⅰ)由cosB=-,cosC=sinB=,sinC=sinA=;(Ⅱ)由S△ABC=a2=a=.8.解:(Ⅰ)由tanC=sin(C-A)=sin(B-C)A+B=2CC=,A+B=;又由sin(B-A)=cosC=B-A=B=,A=;(Ⅱ)由S△ABC=a2=3+a=2,同理可得:c=2.9.解:(Ⅰ)由△ABC的面積S△ABC=absinC=a2=a2;又由S△ABC=sinBsinC=;(Ⅱ)由6cosBcosC=1cosA=-cos(B+C)=sinBsinC-cosBcosC=;由b2+c2-2bccosA=a2b2+c2-bc=9;又由sinBsinC=sinBsinC=sin2Abc=a2=8b2+c2=17(b+c)2=b2+c2+2bc=33△ABC周長=3+.10.解:(Ⅰ)由a=bcosC+csinBbcosC+ccosB=bcosC+csinBcosB=sinBtanB=1B=;(Ⅱ)由S△ABC=absinC=b2sinC=b2=2sinAsinC=sin(2A-)+1△ABC面積取最大值+1.11.解:(Ⅰ)由a2+c2=2b2sin2A+sin2C=2sin2Bsin2A+sin2C=1sin2C=cos2A(A為鈍角cosA<0)sinC=-cosAcos(+C)=cosA(A,+C∈(,π))+C=A,又A+C=A=,C=;(Ⅱ)由a2+c2=2b2sin2A+sin2C=2sin2B2sin2B≥2sinAsinCsin2B≥sinAsinC,當(dāng)sinA=sinC,即a=c=2,B=時,等號成立;由S△ABC=absinC=b2sinC=b2=2≤2=2sinB=△ABC面積的最大值=.12.解:(Ⅰ)由a2=b2+c2-2bccosAb2+b=2b=1cosC=sinC=;(Ⅱ)cos(2A+)=.13.解:(Ⅰ)由R=2AC=2RsinB=2,又由AC2=AB2+BC2-2AB.BCcosBAB2-2AB-4=0AB=+;(Ⅱ)∠C是鈍角a2+b2<c2a2+b2<4R2sin2Ca2+b2<4R2;(Ⅲ)在△ABC中,由b≤aB是銳角,所以,b2=a2+c2-2accosBc2-2ac+a2-b2=0…(☆);令f(x)=x2-2ax+a2-b2.則:①△ABC不存在a>2R,或a=b=2R;②△ABC存在一個a=2R,或a=b<2R;當(dāng)a=2R時,∠A=900,c=;當(dāng)a=b<2R時,c=2bcosA=2b=;③△ABC存在兩個c=(ab).14.解:(Ⅰ)由3acosA=ccosB+bcosC3acosA=acosA=;(Ⅱ)由cosA=sinA=cosB=-cos(A+C)=-cosC+sinC;又由cosB+cosC=sinC+cosC=sinC=c==.15.解:(Ⅰ)由a=bcosC+csinBbcosC+ccosB=bcosC+csinBcosB=sinBtanB=1B=450;(Ⅱ)由b2=a2+