兩種等價(jià)權(quán)函數(shù)的抗差效果比較分析

兩種等價(jià)權(quán)函數(shù)的抗差效果比較分析

一、等價(jià)權(quán)函數(shù)不同時(shí),其最大效果指ls估值的合成眾所周知，最小二乘估算（ls）通常使用統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)方法進(jìn)行測(cè)量粗差，以確定和消除粗差。然而，由于各種因素的影響，其效果并不理想。抗差估計(jì)在剔除觀測(cè)值中可能存在粗差的同時(shí),可獲得與LS估值完全相同或十分接近的參數(shù)估值。但抗差估計(jì)的效果主要取決于等價(jià)權(quán)函數(shù)的形式,當(dāng)?shù)葍r(jià)權(quán)函數(shù)不同時(shí),其抗差效果是不同的。本文利用兩類不同的獨(dú)立觀測(cè)值為算例,從多余觀測(cè)分量的角度,對(duì)IGGI抗差估計(jì)方案和有界影響抗差估計(jì)的兩種等價(jià)權(quán)函數(shù)的抗差效果進(jìn)行了比較分析。二、觀測(cè)值的殘余觀測(cè)分量設(shè)有觀測(cè)值Li(i=1,2,…,n),其權(quán)矩陣為P。待估參數(shù)X的估值為?Xm,l?X?m,l?其近似值X0的改正數(shù)為δ?XX?,則有誤差方程:Vn,l=An,mδ?Xm,l-fn,lVn,l=An,mδX?m,l?fn,l(1)根據(jù)協(xié)因數(shù)陣傳播律,可得殘差V的協(xié)因數(shù)陣為:QVV=P-1-AN-1AT(2)經(jīng)推導(dǎo)可得:V=-(QVVP)f(3)若f是以待估參數(shù)的真值代入觀測(cè)值的函數(shù)模型計(jì)算求得,則f顯然代表了觀測(cè)值的真誤差ε,此時(shí)式(3)可以寫成:V=-(QVVP)ε(4)第i個(gè)觀測(cè)值的多余觀測(cè)分量ri為:ri=(QVVΡ)ii,r=n∑i=1riri=(QVVP)ii,r=∑i=1nri(5)當(dāng)觀測(cè)值獨(dú)立時(shí),有0≤ri≤1。由式(4)和式(5)可知,某一觀測(cè)值的觀測(cè)誤差εi在其殘差νi中僅得到部分反映,即:ν*i=-riεi(6)其程度大小主要取決于該觀測(cè)值的多余觀測(cè)分量ri。當(dāng)ri較小時(shí),即使εi較大,ν*i仍然較小。此時(shí)觀測(cè)值Li不能從νi中得到正確的改正,導(dǎo)致對(duì)參數(shù)估值?XX?產(chǎn)生破壞性的影響。由式(2)和式(4)知,ri的大小取決于平差網(wǎng)形結(jié)構(gòu)(矩陣A)和觀測(cè)值的觀測(cè)精度(權(quán)P),即由控制網(wǎng)的設(shè)計(jì)方案來決定。所以,觀測(cè)值的多余觀測(cè)分量,從控制網(wǎng)設(shè)計(jì)完善程度的角度上反映了平差成果的可靠性程度。對(duì)某一控制網(wǎng)而言,有時(shí)雖然其平均多余觀測(cè)分量ˉrrˉ較大,但當(dāng)某些觀測(cè)值ri較小時(shí),平差成果也不一定可靠。利用式(6)可對(duì)第i個(gè)觀測(cè)值中的粗差估值Δ?ll?i進(jìn)行估計(jì):Δ?li=-νi/riΔl?i=?νi/ri(7)該方法對(duì)于大、中等粗差十分有效。三、異常值粗差的抑制作用從LS估計(jì)的極值函數(shù)VΤΡV=n∑i=1piν2i=minVTPV=∑i=1npiν2i=min中可以看出:遠(yuǎn)離樣本群體的觀測(cè)值(通常是粗差或異常值)對(duì)殘差平方和的影響大。要使殘差平方和極小,就必然遷就那些異常值,從而導(dǎo)致LS估計(jì)失去了對(duì)粗差的抵抗能力。由此可見,通過對(duì)觀測(cè)值的權(quán)進(jìn)行改化,即以等價(jià)權(quán)函數(shù)代替先驗(yàn)權(quán)陣,就可達(dá)到抑制異常值對(duì)參數(shù)估值影響的目的,從而獲得具有抗差性的參數(shù)估值?？共罟烙?jì)正是基于這一想法提出的,其效果的好壞取決于等價(jià)權(quán)函數(shù)ˉΡPˉˉˉ。本文對(duì)適用于獨(dú)立觀測(cè)值的以下兩種等價(jià)權(quán)函數(shù)的抗差效果進(jìn)行分析。1.粗差觀測(cè)值的計(jì)算IGGI抗差方案的等價(jià)權(quán)函數(shù)為:式中,k0和k1分別為分位參數(shù)和淘汰點(diǎn),一般取k0=1.5,k1=2.5??σk0=1.5,k1=2.5?σ?是剔除粗差觀測(cè)值后的單位權(quán)中誤差。2.-ri入安立有界等價(jià)權(quán)函數(shù)為:其中:Di=√(1-ri)piνi/[ri?σ(i)]Di=(1?ri)??????√piνi/[riσ?(i)](10)將式(7)代入式(10)得:Di=-√(1-ri)piΔ?li/?σ(i)Di=?(1?ri)pi????????√Δl?i/σ?(i)(11)其中,?σσ?(i)為在n個(gè)觀測(cè)值中去掉第i個(gè)觀測(cè)值后求得的單位權(quán)中誤差,其計(jì)算公式為:?σ(i)=√(VΤΡV-piν2i/ri)/(n-m-1)σ?(i)=(VTPV?piν2i/ri)/(n?m?1)?????????????????????????√式(9)中的k0和k1的意義同式(8),但一般取k0=1.5√m/n,k1=3.0√m/nk0=1.5m/n????√,k1=3.0m/n????√。四、各方案抗差估計(jì)本文以水準(zhǔn)網(wǎng)(圖1)和測(cè)角網(wǎng)(圖2)為算例,通過在觀測(cè)值(經(jīng)過一些預(yù)處理后,認(rèn)為不含粗差)中加入粗差的方法,制定了近30個(gè)方案進(jìn)行抗差計(jì)算,以比較上述兩種等價(jià)權(quán)函數(shù)的抗差效果。對(duì)這些方案分別進(jìn)行LS估計(jì)和抗差估計(jì)。原始觀測(cè)值作為零方案,其LS估計(jì)和抗差估計(jì)的結(jié)果是完全一致的,因此,在以下的分析中,均以零方案的結(jié)果為標(biāo)準(zhǔn)。鑒于篇幅所限,僅從其中抽出幾個(gè)方案列于表1中。1.等價(jià)權(quán)函數(shù)的判定根據(jù)抗差估計(jì)的特點(diǎn),當(dāng)觀測(cè)值i中含有粗差時(shí),其等價(jià)權(quán)ˉpipˉi應(yīng)為零。因此,抗差估計(jì)迭代收斂后,若ˉpi=0piˉˉˉ=0,則認(rèn)為第i個(gè)觀測(cè)值中含有粗差。從表1中可以看出,兩種等價(jià)權(quán)函數(shù)對(duì)粗差的判定結(jié)果并不完全相同。當(dāng)粗差定位完全準(zhǔn)確時(shí),不論采用哪一種等價(jià)權(quán)函數(shù),等價(jià)權(quán)為零的觀測(cè)值的殘差與其所含的粗差,符號(hào)相反,絕對(duì)值基本相同。對(duì)于水準(zhǔn)網(wǎng)而言,最大相差2.6mm;測(cè)角網(wǎng)最大相差僅0.6″,即此時(shí)獲得了可靠的粗差。2.粗差定位對(duì)參數(shù)估值的影響表2和表3分別列出了水準(zhǔn)網(wǎng)和測(cè)角網(wǎng)各方案抗差估計(jì)后的參數(shù)估值與零方案的參數(shù)估值之間的差異。從表中可以看出,不論采用哪一種等價(jià)權(quán)函數(shù),當(dāng)粗差定位準(zhǔn)確時(shí),其參數(shù)估值與單位權(quán)中誤差(對(duì)于測(cè)角網(wǎng)還包括點(diǎn)位中誤差M)與零方案的結(jié)果極為接近,說明此時(shí)粗差對(duì)參數(shù)估值沒有影響,因而抗差估計(jì)獲得了成功。反之,則抗差估計(jì)遭到失敗。3.等價(jià)權(quán)元素pi抗差估計(jì)的效果在于是否完全剔除了含粗差的觀測(cè)值,但是否剔除某一觀測(cè)值是由等價(jià)權(quán)函數(shù)式(8)或式(9)確定的。因此,分析抗差估計(jì)的效果,應(yīng)從等價(jià)權(quán)函數(shù)入手。對(duì)于等價(jià)權(quán)函數(shù)式(8),是根據(jù)νi及?σ來確定是否剔除某一觀測(cè)值。從式(6)可知,觀測(cè)值i中含有的粗差εi,僅能在其殘差νi中得到部分反映。當(dāng)該觀測(cè)值的多余觀測(cè)分量ri較大時(shí),εi在vi中能得到充分反映,即νi較大;反之,νi總是較小。所以,在按式(8)計(jì)算等價(jià)權(quán)元素ˉpi時(shí),若ri較大的觀測(cè)值中含有粗差(如E2、E3、F1、F2、F3等方案),則νi較大,故ˉpi=0。若ri較小,即使εi較大,但νi仍較小,則有ˉpi=pi,即未剔除含粗差的觀測(cè)值(如E1等方案)。所以,對(duì)于式(8)的等價(jià)權(quán)函數(shù),當(dāng)含粗差觀測(cè)值的多余觀測(cè)分量均較大時(shí),就可獲得良好的抗差效果;否則抗差估計(jì)就會(huì)失敗。從等價(jià)權(quán)函數(shù)式(9)可以看出:當(dāng)觀測(cè)值中含有粗差,即Δ?li較大時(shí),對(duì)于ri較小的觀測(cè)值,其Di也較大,此時(shí)ˉpi=0;對(duì)ri較大的觀測(cè)值,當(dāng)Δ?li相對(duì)更大時(shí)(如E3方案的第一個(gè)粗差觀測(cè)值)或各Δ?li相差不大時(shí)(如E2、F1方案),則ˉpi=0,獲得了良好的抗差效果;否則,ˉpi=pi(如E3方案的3,5兩個(gè)含粗差的觀測(cè)值),仍達(dá)不到抗差效果?？共罟烙?jì)獲得成功時(shí),觀測(cè)值的殘差νi與其粗差相當(dāng)(見表1),可作如下解釋。將式(2)代入式(5),有:ri=(1-AN-1ATP)ii抗差估計(jì)迭代收斂后權(quán)p的第i列元素均為零,此時(shí)有ri=1。將ri=1代入式(6)有ν*i=-εi。即第i個(gè)觀測(cè)值中的粗差在其殘差中得到了充分反映,二者在數(shù)值上相近,但符號(hào)相反。五、有粗差時(shí)的抗差設(shè)計(jì)抗差估計(jì)的效果取決于等價(jià)權(quán)函數(shù)。對(duì)于IGGI方案,僅適用于含粗差的觀測(cè)值的多余觀測(cè)分量均較大的情況,對(duì)測(cè)角網(wǎng)特別有效;對(duì)于有界影響抗差估計(jì),當(dāng)觀測(cè)分量較小的觀測(cè)值中含有粗差時(shí),可獲得良好的抗差效果。在實(shí)際工作中,我們事先既不知道觀測(cè)值中是否有粗差,更不知道哪種觀測(cè)值中含有粗差。因此,可用這兩種等價(jià)權(quán)函數(shù)分別進(jìn)行抗差估計(jì),然后通