![一維雙原子鏈諧振器的色散關(guān)系_第1頁(yè)](http://file4.renrendoc.com/view11/M02/3D/16/wKhkGWV5u-GANmEDAANsS0zW7NM473.jpg)
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一維雙原子鏈諧振器的色散關(guān)系
網(wǎng)格振動(dòng)是研究晶體宏觀性質(zhì)和微觀過(guò)程的重要基礎(chǔ)。由于網(wǎng)格的周期性,網(wǎng)格的振動(dòng)模型具有波的形狀,通常被稱為格波。在固體物理中,格波的頻率和波數(shù)之間的關(guān)系通常被稱為網(wǎng)格振動(dòng)的色散關(guān)系。祖母行業(yè)的具體研究形式是研究晶體的一個(gè)重要方面。它在研究晶體的性質(zhì)、熱學(xué)性質(zhì)、物理性質(zhì)、超導(dǎo)電性、磁性、結(jié)構(gòu)函數(shù)學(xué)等方面發(fā)揮著重要作用。然而,由于晶體中的原子數(shù)量很大,原子和原子之間存在相互作用,實(shí)際靜氣中的原子鏈可能含有一定的雜質(zhì),因此很難嚴(yán)格解決網(wǎng)格振動(dòng)。為了探索網(wǎng)格振動(dòng)的基本特征,采用了幾種近似方法,包括簡(jiǎn)單的和諧近似、當(dāng)前相鄰形狀和周期性邊界條件。在簡(jiǎn)合近似和當(dāng)前相鄰特征的情況下,討論分析了自由邊界和駐波邊境下二維雙原子鏈振動(dòng)的振動(dòng)模式和色散關(guān)系,并確定了不同邊界條件下的色散關(guān)系是相同的。在小波的情況下,本文討論了非簡(jiǎn)合元素對(duì)二維雙原子鏈骨骼振動(dòng)色散關(guān)系的影響。在簡(jiǎn)合近似和周期性邊界條件下,我們研究了相鄰相鄰近似和所有原子之間的光束振動(dòng)關(guān)系,并研究了不同相鄰原子作用下色散關(guān)系的差異。1[u2n][1]考慮由2N個(gè)正負(fù)離子(N個(gè)原胞)組成的一維雙原子鏈,離子質(zhì)量分別為m和M(m<M)、電荷為±e,正負(fù)離子的平衡間距為a,即原胞的大小為2a.在簡(jiǎn)諧近似下,正負(fù)離子間的庫(kù)侖作用力常數(shù)β=(d2Udr2)r=aβ=(d2Udr2)r=a,則第一近鄰原子間的庫(kù)侖作用力常數(shù)為β=-2e2/a3,第二到第四近鄰的庫(kù)侖作用力常數(shù)依次為β2=-β/8、β3=β/27、β4=-β/64,其他的多近鄰原子間庫(kù)侖作用如此類(lèi)推,即距離為ka的原子間對(duì)應(yīng)的庫(kù)侖作用力常數(shù)為βk=(-1)k+1β/k3,其中k=1,2,…,2N-1.假設(shè)第一近鄰原子間作用力常數(shù)為β′1=α+β,其中α是短程力常數(shù),所用約化單位取為1,此時(shí)β的大小表示了庫(kù)侖力和短程力的抗?fàn)?而其他原子間不考慮短程力作用.只考慮離子沿鏈的方向上運(yùn)動(dòng),第2n-1和2n個(gè)離子偏離平衡位置的位移分別用u2n-1和u2n表示,其中n=1,2,…,N.因此,在周期性邊界條件下,考慮多近鄰原子作用的原子運(yùn)動(dòng)方程為:{Μ¨u2n-1=S∑k=1{(-1)k+1βk3[u2n-1+k+u2Ν+2n-1-k-2u2n-1]}+α[u2n+u2Ν+2n-2-2u2n-1]m¨u2n=S∑k=1{(-1)k+1βk3[u2n+k+u2Ν+2n-k-2u2n]}+α[u2n+1+u2n-1-2u2n](1)?????????????????????????Mu¨2n?1=∑k=1S{(?1)k+1βk3[u2n?1+k+u2N+2n?1?k?2u2n?1]}+α[u2n+u2N+2n?2?2u2n?1]mu¨2n=∑k=1S{(?1)k+1βk3[u2n+k+u2N+2n?k?2u2n]}+α[u2n+1+u2n?1?2u2n](1)式中,S取正整數(shù)且S≤(2N-1),當(dāng)S=1時(shí),表示只考慮了最近鄰原子的作用;當(dāng)S=2時(shí),表示考慮了從第一近鄰原子到第二近鄰原子的作用,即考慮到了次近鄰原子的作用;當(dāng)S=2N-1時(shí),表示考慮了N個(gè)原胞中所有原子的作用.由晶格的周期性,可設(shè)方程組式(1)的試探解為{u2n-1=Bei[ωt-(2n-1)aq]u2n=Aei[ωt-(2n)aq](2)式中,q為波矢,ω為晶格振動(dòng)的頻率,A和B表示兩種原子的振幅.根據(jù)式(1)和式(2),下面將具體推導(dǎo)出3種不同近鄰原子作用下的色散關(guān)系:(1)當(dāng)S=1時(shí),只考慮了最近鄰原子作用,式(1)的原子運(yùn)動(dòng)方程變?yōu)?{Μ¨u2n-1=(α+β)(u2n+u2Ν+2n-2-2u2n-1)m¨u2n=(α+β)(u2n+1+u2n-1-2u2n)(1a)將試探解式(2)代入方程組式(1a),并利用波恩-卡曼周期性邊界條件u2n-1=u2N+2n-1、u2n=u2N+2n,得到方程組:{(2β′1cosaq)A+(Μω2-2β′1)B=0(mω2-2β′1)A+(2β′1cosaq)B=0(3)方程組式(3)可看作是以A、B為未知數(shù)的線性齊次方程.根據(jù)其有解的條件是其系數(shù)行列式的值為零,得到如下方程:mΜω4-2β′1(m+Μ)ω2+4β′21(1-cos2aq)=0(4)令C=-2β′1=-2α-2β?D=2β′1cosaq=2αcosaq+2βcosaq(5)可以得到:mΜω4+C(m+Μ)ω2+C2-D2=0(6)解方程式(6),得到最近鄰近似下一維雙原子鏈晶格振動(dòng)的色散關(guān)系表達(dá)式:{ω2o=12mΜ{-C(m+Μ)+[C2(m+Μ)2-4mΜ(C2-D2)]12}ω2A=12mΜ{-C(m+Μ)-[C2(m+Μ)2-4mΜ(C2-D2)]12}(7)把式(5)代入式(7),可得最近鄰近似下的色散關(guān)系:{ω2o=β′1mΜ{(m+Μ)+[m2+Μ2+2mΜcos(2qa)]12}ω2A=β′1mΜ{(m+Μ)-[m2+Μ2+2mΜcos(2qa)]12}(8)式(8)即為一般教科書(shū)中最近鄰近似下一維雙原子鏈晶格振動(dòng)的色散關(guān)系.其中屬于ωo的格波稱為光學(xué)波,屬于ωA的格波稱為聲學(xué)波.(2)當(dāng)S=2時(shí),表示考慮了從第一近鄰原子到第二近鄰原子的庫(kù)侖作用,即考慮到了次近鄰原子的作用.因此,式(1)的原子運(yùn)動(dòng)方程變?yōu)?{Μ¨u2n-1=(α+β)(u2n+u2Ν+2n-2-2u2n-1)-β8(u2n+1+u2Ν+2n-3-2u2n-1)=α(u2n+u2Ν+2n-2-2u2n-1)+β(u2n+u2Ν+2n-2-74u2n-1-18u2n+1-18u2Ν+2n-3)Μ¨u2n=(α+β)(u2n+1+u2n-1-2u2n)-β8(u2n+2+u2Ν+2n-2-2u2n)=α(u2n+1+u2n-1-2u2n)+β(u2n+1+u2n-1-74u2n-18u2n+2-18u2Ν+2n-2)(1b)仍然取式(2)形式的試探解,代入式(1b)并利用波恩-卡曼周期性邊界條件得:{(2αcosqa+2βcosqa)A+[Μω2+(-2α)+(-14cos2qa-74)β]B=0[mω2+(-2α)+(-14cos2qa-74)β]A+(2αcosqa+2βcosqa)B=0(9)令:C=-2α+(-14cos2qa-74)β?D=2αcosqa+2βcosqa(10)同理,可得與式(6)相同的方程:mMω4+C(m+M)ω2+C2-D2=0.解上述方程,得到考慮次近鄰近似下一維雙原子鏈晶格振動(dòng)的色散關(guān)系表達(dá)式:{ω2o=12mΜ{-C(m+Μ)+[C2(m+Μ)2-4mΜ(C2-D2)]12}ω2A=12mΜ{-C(m+Μ)-[C2(m+Μ)2-4mΜ(C2-D2)]12}上式與式(7)相同,只是其中C和D由式(10)確定.(3)當(dāng)S=2N-1時(shí),表示考慮了N個(gè)原胞中所有原子的長(zhǎng)程庫(kù)侖作用.由于距離為ka的原子間對(duì)應(yīng)的庫(kù)侖作用為βk=(-1)k+1β/k3,其中k=1,2,…,2N-1.當(dāng)k為奇數(shù)時(shí),令k=2l-1;當(dāng)k為偶數(shù)時(shí),令k=2l,其中l(wèi)=1,2,…,N.式(1)的原子運(yùn)動(dòng)方程變?yōu)閧Μ¨u2n-1=Ν∑l=1{β(2l-1)3[u2n+2l-2+u2Ν+2n-2l-2u2n-1]}+Ν∑l=1{β(2l)3[2u2n-1-u2n+2l-1-u2Ν+2n-2l-1]}+α(u2n+u2Ν+2n-2-2u2n-1)m¨u2n=Ν∑l=1{β(2l-1)3[u2n+2l-1+u2Ν+2n-2l+1-2u2n]}+Ν∑l=1{β(2l)3[2u2n-u2Ν+2n+2l-u2n+2l]}+α(u2n+1+u2n-1-2u2n)(1c)將試探解式(2)代入方程組式(1c),并利用波恩-卡曼周期性邊界條件,得到方程組:{{Ν∑l=1β2(2l-1)3cos[(2l-1)qa]+2αcosqa}A+{Μω2+Ν∑l=1β[2(2l)3(1-cos2lqa)-2(2l-1)3]-2α}B=0{mω2+Ν∑l=1β[2(2l)3(1-cos2lqa)-2(2l-1)3]-2α}A+{Ν∑l=1β2(2l-1)3cos[(2l-1)qa]+2αcosqa}B=0(11)同理,方程組式(11)有解的條件是其系數(shù)行列式為零,從而可得到考慮所有原子相互作用下一維雙原子鏈晶格振動(dòng)的色散關(guān)系表達(dá)式:{ω2o=12mΜ{-C(m+Μ)+[C2(m+Μ)2-4mΜ(C2-D2)]12}ω2A=12mΜ{-C(m+Μ)-[C2(m+Μ)2-4mΜ(C2-D2)]12}上式同樣與式(7)相同,只是其中C和D由下式?jīng)Q定.{C=-2α+Ν∑l=1β[2(2l)3(1-cos2lqa)-2(2l-1)3]D=2αcosqa+Ν∑l=1β2(2l-1)3cos[(2l-1)qa](12)當(dāng)N的取值足夠大時(shí),就可以得到考慮所有原子相互作用的無(wú)限長(zhǎng)一維雙原子鏈晶格振動(dòng)的色散關(guān)系.2原子間庫(kù)侖作用的影響根據(jù)以上推導(dǎo)的3種色散關(guān)系表達(dá)式,考慮N=50個(gè)原胞的一維雙原子鏈晶格振動(dòng),并給定兩離子質(zhì)量分別為M=1.0、m=0.5.在最近鄰原子短程力常數(shù)α=1不變下,分析和討論原子間庫(kù)侖作用(這里用第一近鄰原子間的庫(kù)侖作用力常數(shù)β值表示)對(duì)色散關(guān)系的影響,并在第一布里淵區(qū)中比較上述3種色散關(guān)系,以揭示不同近鄰原子作用下色散關(guān)系的差異.2.13布里淵區(qū)中心的開(kāi)展圖1給出了3種色散關(guān)系在第一布里淵區(qū)中心和邊緣的ωo和ωA隨β的變化情況,其中a表示只考慮最近鄰近似的情況、b表示考慮到次近鄰近似的情況、c表示考慮了所有原子相互作用的情況.如圖1所示,3種色散關(guān)系在第一布里淵區(qū)中心的ωo和邊緣的ωo及ωA都隨β絕對(duì)值的增大而減小;最近鄰近似的色散關(guān)系在布里淵區(qū)中心的光學(xué)模頻率始終大于邊緣的光學(xué)模頻率,光學(xué)支和聲學(xué)支被一個(gè)禁帶隔開(kāi);但是,次近鄰近似和所有原子相互作用的色散關(guān)系在布里淵區(qū)中心的光學(xué)模頻率并不總是大于邊緣的光學(xué)模和聲學(xué)模頻率.由圖1可見(jiàn),次近鄰近似和所有原子相互作用的色散關(guān)系在布里淵區(qū)中心的光學(xué)模頻率曲線與邊緣的光學(xué)模和聲學(xué)模頻率曲線依次相交,交點(diǎn)分別表示布里淵區(qū)中心的光學(xué)模頻率ωo與邊緣的光學(xué)模頻率ωo和聲學(xué)模頻率ωA相等;并且,隨著β絕對(duì)值的增大,交點(diǎn)就是布里淵區(qū)中心的ωo從大于變?yōu)樾∮谶吘壍摩豲及ωA的臨界點(diǎn).于是,由這些臨界點(diǎn)和布里淵區(qū)中心ωo等于零的點(diǎn)可確定相應(yīng)的β值變化區(qū)間.對(duì)于次近鄰近似的色散關(guān)系,當(dāng)|β|>0.666時(shí)(點(diǎn)A),布里淵區(qū)中心的光學(xué)模頻率降低,而邊緣的光學(xué)模挪到了光學(xué)支的最高頻,但仍有明顯的禁帶;到|β|>0.886時(shí)(點(diǎn)B),光學(xué)支就開(kāi)始掉入聲學(xué)支中,禁帶消失;直到|β|=1.0時(shí)(點(diǎn)C),布里淵區(qū)中心的光學(xué)模頻率降為零.對(duì)于所有原子相互作用的色散關(guān)系,當(dāng)|β|>0.642時(shí)(點(diǎn)D),布里淵區(qū)中心的光學(xué)模頻率小于邊緣的光學(xué)模頻率,也仍有明顯的帶隙;到|β|>0.844時(shí)(點(diǎn)E),布里淵區(qū)中心的光學(xué)模頻率不僅小于邊緣的光學(xué)模頻率,而且小于邊緣的聲學(xué)模頻率,禁帶消失;而到|β|≥0.953時(shí)(點(diǎn)F),布里淵區(qū)中心的光學(xué)模頻率已經(jīng)降為零.由此可見(jiàn),次近鄰近似和所有原子相互作用的色散關(guān)系在布里淵區(qū)中心的光學(xué)模因大的β絕對(duì)值而向低頻方向移動(dòng),而且所有原子相互作用下布里淵區(qū)中心的光學(xué)振動(dòng)模軟化更顯著.2.23種以為依托的3種分離法根據(jù)上述圖1的結(jié)果分析,若給定β=-0.2,-0.75,-0.953時(shí),圖2分別給出了相同β值的3種色散關(guān)系曲線.其中,a表示只考慮最近鄰近似的情況,b表示考慮到次近鄰近似的情況,c表示考慮了所有原子相互作用的情況.由圖2可見(jiàn),隨著β絕對(duì)值的增大,3種晶格振動(dòng)色散關(guān)系的頻率逐漸減小、頻隙位置降低、頻隙不斷減小,但最近鄰近似的色散關(guān)系曲線形狀基本不變,而次近鄰近似和所有原子相互作用下的色散關(guān)系在布里淵區(qū)中心的光學(xué)模逐漸向低頻方向移動(dòng),并且所有原子的相互作用比次近鄰原子的相互作用使布里淵區(qū)中心光學(xué)模向低頻方向移動(dòng)更快,這一結(jié)果與圖1是完全一致的.即使在相同的β值(β≠0)條件下,3種色散關(guān)系曲線在第一布里淵區(qū)中總是按bca從上到下依次排列,并且不同近鄰原子作用下的色散關(guān)系也有差異.如圖2(a)所示,當(dāng)β絕對(duì)值較小時(shí),3種色散關(guān)系都被一個(gè)禁帶隔開(kāi),布里淵區(qū)中心的光學(xué)支頻率總是大于邊緣的光學(xué)支頻率;但是,最近鄰原子的相互作用對(duì)色散關(guān)系影響最大,次近鄰原子的相互作用也比較大,其它更遠(yuǎn)距離原子的相互作用的影響不是很明顯.然而,當(dāng)β絕對(duì)值較大時(shí),如圖2(b)和2(c)所示,次近鄰原子的相互作用和所有原子相互作用對(duì)色散關(guān)系光學(xué)支的影響非常顯著;β絕對(duì)值越大,這兩種色散關(guān)系在布里淵區(qū)中心的光學(xué)模頻率不僅小于邊緣的光學(xué)模頻率,而且小于邊緣的聲學(xué)模頻率,并且所有原子的相互作用比次近鄰原子的相互作用使布里淵區(qū)中心光學(xué)模軟化更顯著.3不同近鄰原子作用下3種以明確規(guī)定的染色關(guān)系在簡(jiǎn)諧近似和周期性邊界條件下,得到了最近鄰近似、次近鄰近似和所有原子相互作用下一維雙原子鏈晶格振動(dòng)的色散關(guān)系.當(dāng)最近鄰原子間短程作用相同時(shí),分析和討論了原子間庫(kù)侖作用(用β值表示)對(duì)色散關(guān)系的影響,并在第一布里淵區(qū)中比較了不同近鄰原子作用下色散關(guān)系的差異.結(jié)果表明:隨著β絕對(duì)值的增大,3種色散關(guān)系的頻率減小、頻隙位置降低、頻隙逐漸減小直到消失;而且不同近鄰原子作用下色散關(guān)系的差異也變大.具體表現(xiàn)為:當(dāng)原子間庫(kù)侖作用較弱時(shí),3種色散關(guān)系在布里淵區(qū)中心的光學(xué)支頻率總是大于邊緣的光學(xué)支頻率,對(duì)色散關(guān)系貢獻(xiàn)最大的是最近鄰原子的相互作用,次近鄰原子的相互作用也
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