偏導(dǎo)數(shù)幾何的應(yīng)用

一、空間曲線的切線與法平面二、曲面的切平面與法線第七節(jié)偏導(dǎo)數(shù)的幾何應(yīng)用三、小結(jié)四、作業(yè)1整理ppt設(shè)空間曲線的方程(1)式中的三個(gè)函數(shù)均可導(dǎo).

1.空間曲線的方程為參數(shù)方程一、空間曲線的切線與法平面2整理ppt考察割線趨近于極限位置——上式分母同除以割線的方程為切線的過程3整理ppt曲線在M處的切線方程切向量法平面切線的方向向量稱為曲線在點(diǎn)M處的切向量.過M點(diǎn)且與切線垂直的平面.4整理ppt解.切線方程法平面方程例1.即5整理ppt設(shè)曲線直角坐標(biāo)方程為法平面方程為2.空間曲線的方程為曲線的參數(shù)方程是由前面得到的結(jié)果,在M(x0,y0,z0)處,令切線方程為x為參數(shù),兩個(gè)柱面的交線6整理ppt例2.

在拋物柱面與的交線上,

求對應(yīng)的點(diǎn)處的切向量.x為參數(shù),于是解.所以交線上與對應(yīng)點(diǎn)的切向量為:交線的參數(shù)方程為取7整理ppt設(shè)空間曲線方程為3.空間曲線的方程為確定了隱函數(shù)(此曲線方程仍可用方程組

兩邊分別對表示.)x求全導(dǎo)數(shù):兩個(gè)曲面的交線8整理ppt

利用2.結(jié)果,

9整理ppt法平面方程為切線方程為在點(diǎn)

M(x0,y0,z0)處的10整理ppt解.例3.

切線方程和法平面方程.切線方程

將所給方程的兩邊對x求導(dǎo)法一11整理ppt法平面方程法二12整理ppt法三公式法13整理ppt設(shè)曲線證.

因原點(diǎn)即于是證明此曲線必在以原點(diǎn)為的法平面都過原點(diǎn),在任一點(diǎn)中心的某球面上.曲線過該點(diǎn)的法平面方程為故有

在法平面上,任取曲線上一點(diǎn)例4.14整理ppt

今在曲面Σ上任取一條1.設(shè)曲面Σ的方程為的情形隱式方程二、曲面的切平面與法線

函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)在該點(diǎn)連續(xù)且不同時(shí)為零.點(diǎn)M對應(yīng)于參數(shù)

不全為零.過點(diǎn)M的曲線Γ,設(shè)其參數(shù)方程為15整理ppt

由于曲線Γ在曲面Σ上,所以

在恒等式兩端對t求全導(dǎo)數(shù),

并令那么得假設(shè)記向量

曲線Γ在點(diǎn)M處切線的方向向量記為那么※式可改寫成即向量垂直.※16整理ppt

因?yàn)榍€Γ是曲面Σ上過點(diǎn)M的任意一條曲線,所有這些曲線在點(diǎn)M的切線都與同一向量垂直,因此這些切線必共面,稱為曲面Σ在點(diǎn)M的過點(diǎn)M且垂直于切法線,又是法線的方向向量.向量稱為曲法向量.切平面,由切線形成的這一平面,平面的直線稱為曲面Σ在點(diǎn)M的面Σ在點(diǎn)M的17整理ppt曲面在M(x0,

y0,

z0)處的法向量:切平面方程為法線方程為所以曲面Σ上在點(diǎn)M的18整理ppt解.令切平面方程法線方程

例5.∥19整理ppt2.曲面方程形為的情形曲面在M處的切平面方程為曲面在M處的法線方程為令或顯式方程20整理ppt其中法向量表示曲面的法向量的方向角,并假定法向量的方向是向上的,即使得它與z軸的正向所成的角是銳角,那么法向量的方向余弦為注釋1：關(guān)于21整理ppt因?yàn)?第三個(gè)分量為負(fù)),

求旋轉(zhuǎn)拋物面在任意點(diǎn)P(x,y,z)處向上的法向量(即與z軸夾角為銳角的法向量).解.而為向下的法向量故向上的法向量應(yīng)為:例6.22整理ppt因?yàn)榍嬖贛處的切平面方程:全微分的幾何意義表示切平面上的點(diǎn)的豎坐標(biāo)的增量.切平面上點(diǎn)的豎坐標(biāo)的增量注釋2：23整理ppt

例7.

解.過直線L的平面束方程為即其法向量為求過直線L且與曲面相切之切平面方程.24整理ppt設(shè)曲面與切平面的切點(diǎn)為那么因而故所求切平面方程為或即或25整理ppt解.令得到的旋轉(zhuǎn)面在點(diǎn)處的指向外側(cè)的單位法向量為().旋轉(zhuǎn)面方程為練習(xí)26整理ppt空間曲線的切線與法平面曲面的切平面與法線三、小結(jié)(空間曲線三種不同形式方程的切線與法平面的求法.當(dāng)空間曲線方程為一般式時(shí),求切向量可采用公式法、推導(dǎo)法或