量子計(jì)算智能 課件 第 5 章 量子粒子群優(yōu)化

1提綱第5章量子粒子群優(yōu)化2提綱第5章量子粒子群優(yōu)化5.1協(xié)同量子粒子群優(yōu)化

5.1.1協(xié)同量子粒子群算法5.1.2改進(jìn)的協(xié)同量子粒子群算法

5.1.3實(shí)驗(yàn)結(jié)果及分析5.2基于多次塌陷-正交交叉的量子粒子群優(yōu)化

5.2.1量子多次塌陷5.2.2正交交叉試驗(yàn)簡(jiǎn)介5.2.3多次塌陷-正交交叉的量子粒子群算法5.2.4實(shí)驗(yàn)及分析5.3結(jié)論與討論3提綱第5章量子粒子群優(yōu)化5.1協(xié)同量子粒子群優(yōu)化

5.1.1協(xié)同量子粒子群算法5.1.2改進(jìn)的協(xié)同量子粒子群算法

5.1.3實(shí)驗(yàn)結(jié)果及分析5.2基于多次塌陷-正交交叉的量子粒子群優(yōu)化

5.2.1量子多次塌陷5.2.2正交交叉試驗(yàn)簡(jiǎn)介5.2.3多次塌陷-正交交叉的量子粒子群算法5.2.4實(shí)驗(yàn)及分析5.3結(jié)論與討論45.1協(xié)同量子粒子群優(yōu)化

量子機(jī)制的粒子群算法是指粒子的搜索過(guò)程是滿(mǎn)足量子行為的粒子的運(yùn)動(dòng)過(guò)程，和粒子群算法是兩種不同的運(yùn)動(dòng)方式，并不是在粒子算法的基礎(chǔ)上添加算子，因此理論上并不會(huì)增加算法復(fù)雜度，即量子粒子群算法和粒子群算法的復(fù)雜度是相當(dāng)?shù)?。雖然QPSO算法的全局搜索能力遠(yuǎn)遠(yuǎn)優(yōu)于一般的PSO算法。但是與標(biāo)準(zhǔn)的PSO算法一樣，在QPSO算法中同樣存在早熟的趨勢(shì)，也就是當(dāng)群體進(jìn)化的時(shí)候，群體的多樣性不可避免地減少。這是因?yàn)槊總€(gè)粒子都是通過(guò)學(xué)習(xí)自身的當(dāng)前局部最優(yōu)值和全局最優(yōu)值進(jìn)行下一步的搜索，而不管自身的信息是否有趨向局部最優(yōu)的傾向。如果搜索空間是有許多局部最優(yōu)值的復(fù)雜系統(tǒng)，在這種情況下，粒子就很有可能陷入局部最優(yōu)。55.1.1協(xié)同量子粒子群算法

近幾年來(lái)國(guó)內(nèi)外學(xué)者提出了多種關(guān)于協(xié)作思想的算法。VanDenBergh[1]提出了一種協(xié)作的方法，將粒子間的協(xié)作思想加入到粒子群算法中來(lái)。在粒子群算法中，每個(gè)粒子都代表一個(gè)潛在的解，每一步更新都在這個(gè)粒子的所有維的基礎(chǔ)上更新，這將會(huì)導(dǎo)致粒子中的某些分量越來(lái)越靠近最優(yōu)解而另一些分量越來(lái)越遠(yuǎn)離最優(yōu)解。但是粒子群的更新過(guò)程卻只考慮這個(gè)粒子的整體性能是好的，忽略了其中的很差的一些分量，因此對(duì)于一個(gè)高維的問(wèn)題就很難去找到這個(gè)全局最優(yōu)解。H.Gao[2]等人又將協(xié)作的思想引入到量子粒子群算法中來(lái)，提出了協(xié)同量子粒子群算法，全局搜索能力進(jìn)一步提高了。在協(xié)同量子粒子群算法中，跟以往量子粒子算法不同的是，這里是每一個(gè)粒子去一65.1.1協(xié)同量子粒子群算法維一維的優(yōu)化，而不是整體去優(yōu)化一個(gè)個(gè)體。也就是說(shuō)本書(shū)不僅從這個(gè)粒子的整體來(lái)評(píng)價(jià)測(cè)試這個(gè)粒子的好壞，還去評(píng)價(jià)它的每一維的好壞。每個(gè)粒子的分量分別去優(yōu)化，那么就不能直接計(jì)算這個(gè)粒子的適應(yīng)度值，因?yàn)樵诓煌膫€(gè)體里它在每一維的貢獻(xiàn)是沒(méi)法直接被描述的。為了解決這個(gè)問(wèn)題，文中提出了背景變量(contextvector)的概念，它提供一個(gè)合適的背景使得粒子的每一維能在一個(gè)公平的環(huán)境下進(jìn)行評(píng)價(jià)。文章用全局最優(yōu)作為背景變量。為了計(jì)算粒子第維的適應(yīng)度值，背景變量的第維被粒子的第維代替，然后計(jì)算這個(gè)更新后的背景變量來(lái)評(píng)價(jià)這個(gè)粒子在第維上是否得到了一個(gè)比個(gè)體最優(yōu)和全局最優(yōu)更精確的值。因此這個(gè)方法中粒子的每一維都對(duì)種群做出了貢獻(xiàn)。這樣就完成了粒子間的協(xié)作。75.1.1協(xié)同量子粒子群算法下面介紹一個(gè)證明協(xié)作的重要性的例子。給一個(gè)三維變量和一個(gè)誤差函數(shù)，其中。也就是全局最優(yōu)等于?，F(xiàn)在，假設(shè)一個(gè)種群包含由量子粒子群更新公式得到的兩個(gè)個(gè)體和，假設(shè)在代個(gè)體為：

(5-1)(5-2)(5-3)利用上面的誤差函數(shù)評(píng)價(jià)上面的個(gè)體可以得到，，這表明比全局最優(yōu)位置好，如果是沒(méi)有協(xié)作的量子粒子群算法，那么直接被所代替，而就會(huì)被丟棄掉。然而，的第一維分量20卻是最優(yōu)值的一個(gè)分量，它卻沒(méi)有為全局最優(yōu)做任何85.1.1協(xié)同量子粒子群算法貢獻(xiàn)，而卻得到了這個(gè)比較差的分量中的5。協(xié)作方法可以幫助取得合適的分量。用背景變量分別一維一維去評(píng)價(jià)的各個(gè)分量可以得到，，，因此說(shuō)明的第二維分量是可以給全局最優(yōu)做出貢獻(xiàn)的，那么用此維數(shù)據(jù)去代替全局最優(yōu)的此維數(shù)據(jù)，得到最終的這一代的全局最優(yōu)位置為，這樣就得到了一個(gè)比沒(méi)有協(xié)作思想的量子粒子群算法更精確的值?；谏厦娴乃枷耄琀.Gao等人提出了協(xié)同量子粒子群算法，算法的性能得到了提高。95.1.2改進(jìn)的協(xié)同量子粒子群算法1.算法提出大多數(shù)的隨機(jī)搜索算法（包括粒子群算法和遺傳算法）都存在維數(shù)災(zāi)難的問(wèn)題，也就是會(huì)隨著維數(shù)的增多性能會(huì)下降。種群中的每個(gè)粒子的適應(yīng)度值(fitnessvalue)都是同時(shí)由它的每一維決定的，所以有些粒子的某一維可能已經(jīng)達(dá)到全局最優(yōu)卻因?yàn)槠渌S的壞的搜索結(jié)果而要被放棄，這種情況下個(gè)體中好的分量就被丟棄了。從前面的描述可以看出協(xié)作思想的重要性，這樣思想的出現(xiàn)就避免了浪費(fèi)很多時(shí)間代價(jià)得到的新個(gè)體因?yàn)檎w的不好而直接丟棄掉造成浪費(fèi)，可以分別去評(píng)價(jià)每一維數(shù)據(jù)，將有用的信息保存下來(lái)，加快收斂速度，對(duì)于多維問(wèn)題的優(yōu)化是有很大幫助的。受此啟發(fā)，本書(shū)105.1.2改進(jìn)的協(xié)同量子粒子群算法提出了改進(jìn)的協(xié)同量子粒子群算法（Improvedcooperativequantum-behavedparticleswarmoptimization,ICQPSO），并將其在函數(shù)優(yōu)化上進(jìn)行了測(cè)試。量子力學(xué)中的不確定性原理告訴我們，量子世界是概率支配的世界，不存在精確預(yù)言，只有發(fā)生某一件事的概率。即量子粒子群算法在更新的過(guò)程中是遵循量子力學(xué)中量子世界的運(yùn)動(dòng)規(guī)律的，它是一個(gè)完全不確定的位置，它可以搜索到遠(yuǎn)離目前個(gè)體最優(yōu)的位置，正因?yàn)槿绱耍鼍植孔顑?yōu)的可能才大大提高了，但是要評(píng)價(jià)一個(gè)粒子的好壞必須有它的具體位置，那么本書(shū)利用蒙特卡洛思想進(jìn)行觀(guān)測(cè)，以往存在的量子粒子群算法，一個(gè)個(gè)體更新只進(jìn)行了一次觀(guān)測(cè)得到一個(gè)新位置，這樣并沒(méi)有充分利用到量子的思想。在[3]中，作者提到了115.1.2改進(jìn)的協(xié)同量子粒子群算法“對(duì)每個(gè)量子染色體按不同的觀(guān)察方式產(chǎn)生個(gè)個(gè)體”，受此啟發(fā)并為了充分利用量子力學(xué)的不確定性原理，本書(shū)在QPSO算法中提出了多次測(cè)量的思想，并利用了協(xié)作思想，提出了改進(jìn)的協(xié)作量子粒子群算法。2.算法描述量子粒子群算法粒子更新過(guò)程中是通過(guò)觀(guān)測(cè)而得到的新個(gè)體，觀(guān)測(cè)之前粒子處在一個(gè)未知的狀態(tài)，而且以一定的概率出現(xiàn)在一個(gè)位置，即給定一個(gè)概率去觀(guān)測(cè)它，那么本書(shū)就會(huì)得到它的一個(gè)位置，對(duì)于一個(gè)個(gè)體，本書(shū)隨機(jī)產(chǎn)生多個(gè)概率，利用蒙特卡洛測(cè)量進(jìn)行了多次觀(guān)測(cè)，得到多個(gè)個(gè)體，并選這多個(gè)個(gè)體中適應(yīng)度值最好的與個(gè)體最優(yōu)值進(jìn)行比較，然后選取個(gè)體最優(yōu)作為背景個(gè)體，再來(lái)依次評(píng)價(jià)其余個(gè)體的每一維分量，最終得到下一代個(gè)體，如此進(jìn)行一步步搜索。125.1.2改進(jìn)的協(xié)同量子粒子群算法改進(jìn)的協(xié)同量子粒子群算法改進(jìn)部分在多次測(cè)量產(chǎn)生多個(gè)個(gè)體和通過(guò)協(xié)作產(chǎn)生新個(gè)體部分，其中多次測(cè)量是根據(jù)下面的量子粒子群算法更新公式給定不同的隨機(jī)數(shù)即可分別產(chǎn)生多個(gè)個(gè)體，假設(shè)產(chǎn)生了五個(gè)新個(gè)體、、、、。（5-4）（5-5）觀(guān)測(cè)次數(shù)越多，不確定性利用越充分，收斂速度也越快，但是同時(shí)時(shí)間也是成線(xiàn)性增長(zhǎng)的，因此實(shí)際問(wèn)題中可以根據(jù)需要設(shè)置觀(guān)測(cè)的次數(shù)。算法的流程圖如圖5-1所示：135.1.2改進(jìn)的協(xié)同量子粒子群算法圖5-1改進(jìn)的協(xié)同量子粒子群算法流程圖145.1.2改進(jìn)的協(xié)同量子粒子群算法圖5-2改進(jìn)的協(xié)同量子粒子群算法過(guò)程:初始化種群:XiPbest=XiGbest=bestPbestift<Gmaxforeachparticle

根據(jù)QPSO更新公式產(chǎn)生5個(gè)粒子

令Xi=XLXc=XljforeachparticleXkforeachdimensionjiff(Xc(j,Xkj))<f(Xc)Xij=XkjEndifXc=XLendendiff(Xi)<f(pbesti)pbesti=Xiendififf(pbesti)<f(gbest)

gbest=pbestiendifend155.1.2改進(jìn)的協(xié)同量子粒子群算法協(xié)作的具體操作方法為，從多次測(cè)量得到的五個(gè)個(gè)體中根據(jù)適應(yīng)度值選出適應(yīng)度最好的一個(gè)個(gè)體，假設(shè)為，將設(shè)為背景變量（contextvector）即，并令，分別用的每一維分量來(lái)代替背景變量的相應(yīng)維度的變量得到新的背景變量，然后計(jì)算此時(shí)的背景變量的適應(yīng)度值，若好于，則說(shuō)明這一維分量是可以為全局最優(yōu)做貢獻(xiàn)的，那么用這個(gè)數(shù)據(jù)來(lái)替代的相應(yīng)維度的數(shù)據(jù)，這樣用就可依次將其余四個(gè)個(gè)體中較好維度的信息評(píng)價(jià)出來(lái)，得到最后的，后面就可根據(jù)量子粒子群算法進(jìn)化原則求得個(gè)體最優(yōu)和全局最優(yōu)個(gè)體。過(guò)程如圖5-2所示。協(xié)作的過(guò)程也可參考下面的圖5-3。165.1.2改進(jìn)的協(xié)同量子粒子群算法圖5-3改進(jìn)的協(xié)同量子粒子群算法協(xié)作過(guò)程175.1.3實(shí)驗(yàn)結(jié)果及分析1.實(shí)驗(yàn)條件為了能夠直觀(guān)的考察“改進(jìn)的協(xié)同量子粒子群算法”的性能，本書(shū)列舉了改進(jìn)的協(xié)同量子粒子群算法（Improvedcooperativequantum-behavedparticleswarmoptimization,ICQPSO）與量子粒子群算法（quantum-behavedparticleswarmoptimization,QPSO）[4]、帶權(quán)值的量子粒子群算法（quantum-behavedparticleswarmoptimizationalgorithmwithweightedmeanbestposition,WQPSO）[5]、孫俊等人提出的協(xié)同量子粒子群算法（cooperativequantum-behavedparticleswarmoptimization,CQPSO）[2]的比較。圖5-3改進(jìn)的協(xié)同量子粒子群算法協(xié)作過(guò)程185.1.3實(shí)驗(yàn)結(jié)果及分析表5-1基準(zhǔn)函數(shù)測(cè)試的函數(shù)包括表1中的五個(gè)基準(zhǔn)函數(shù)和文獻(xiàn)[6]中復(fù)雜函數(shù)。其中基準(zhǔn)函數(shù)是最小值為0的最小化問(wèn)題，初始化范圍和限制范圍在表5-1中，下面詳細(xì)描述測(cè)試的復(fù)雜函數(shù)，包括F4、F5、F7、F8、F13和F14。F4(ShiftedSchwefel’sProblem1.2withNoiseinFitness)函數(shù)是一個(gè)對(duì)基本Schwefel’s問(wèn)題進(jìn)行旋轉(zhuǎn)加噪聲的問(wèn)題，表達(dá)式如下：函數(shù)名表達(dá)式初始化區(qū)間最大范圍Spherefunction(-50,100)100Rosenbrockfunction(15,30)100Rastrigrinfunction(2.56,5.12)10Griewankfunction(-300,600)600DeJong,sfunction

(-30,100)100195.1.3實(shí)驗(yàn)結(jié)果及分析（5-6）其中，，，。圖5-4函數(shù)F4三維圖205.1.3實(shí)驗(yàn)結(jié)果及分析

F5(Schwefel’sProblem2.6withGlobalOptimumonBounds)是一個(gè)全局最優(yōu)值在邊界上的Schwefel’s問(wèn)題，表達(dá)式如下：

（5-7）其中，是一個(gè)的矩陣，是-500到500間的隨進(jìn)整數(shù)，是的第行，，，是一個(gè)D*1的向量，是-100到100間的隨機(jī)數(shù)。時(shí)，，，，，，，最小值。圖5-5函數(shù)F5三維圖215.1.3實(shí)驗(yàn)結(jié)果及分析

F7(ShiftedRotatedGriewank’sFunctionwithoutBounds)是一個(gè)無(wú)邊界旋轉(zhuǎn)函數(shù)，表達(dá)式如下：（5-8）其中，,是線(xiàn)性轉(zhuǎn)換矩陣，conditionnumber=3，最小值。圖5-6函數(shù)F7三維圖225.1.3實(shí)驗(yàn)結(jié)果及分析F8(ShiftedRotatedAckley’sFunctionwithGlobalOptimumonBounds)是一個(gè)全局最優(yōu)值在邊界上的旋轉(zhuǎn)函數(shù)，表達(dá)式如下：（5-9）其中，

，

是分布在搜索空間的隨數(shù)，

，

，

，最小值

。圖5-7函數(shù)F8三維圖235.1.3實(shí)驗(yàn)結(jié)果及分析

F13(ShiftedExpandedGriewank’splusRosenbrock’sFunction(F8F2)是由兩個(gè)函數(shù)F2和F8復(fù)合成的旋轉(zhuǎn)函數(shù)，表達(dá)式如下：F8:Griewank’sFunction:F2:Rosenbrock’sFunction:（5-10）其中，

，

，

，最小值

。245.1.3實(shí)驗(yàn)結(jié)果及分析圖5-8函數(shù)F13三維圖F14(ShiftedRotatedExpandedScaffer’sF6Function)是一個(gè)旋轉(zhuǎn)函數(shù)，表達(dá)式如下：（5-11）其中

，

，

是線(xiàn)性轉(zhuǎn)換矩陣，conditionnumber=3，

，

，最小值

。255.1.3實(shí)驗(yàn)結(jié)果及分析圖5-9函數(shù)F14三維圖

實(shí)驗(yàn)中，四種算法種群數(shù)目都為20，在QPSO和WQPSO中，

從1.0線(xiàn)性遞減到0.5，并且WQPSO中的權(quán)重值

根據(jù)適應(yīng)度從1.5線(xiàn)性遞減到0.5，CQPSO參數(shù)和QPSO參數(shù)設(shè)置相同，在本書(shū)提出的算法ICQPSO中，多次測(cè)量的次數(shù)設(shè)為5，其他參數(shù)與QPSO相同。對(duì)于基準(zhǔn)函數(shù)，分別獨(dú)立運(yùn)行50次，比較不用維度下不同迭代次數(shù)的平均最好適應(yīng)度值和方差。對(duì)于復(fù)雜函數(shù)，分別獨(dú)立運(yùn)行25次，比較不用維265.1.3實(shí)驗(yàn)結(jié)果及分析度下不同迭代次數(shù)的平均最好適應(yīng)度值和方差。

實(shí)驗(yàn)所用微機(jī)的CPU為IntelCore2Duo2.33GHz，內(nèi)存為2GB，編程平臺(tái)為MatlabR2009a。

2.實(shí)驗(yàn)結(jié)果及分析1)測(cè)量次數(shù)

本書(shū)提出了多次觀(guān)測(cè)的思想，為了確定觀(guān)測(cè)次數(shù)不同造成的影響，本書(shū)對(duì)基準(zhǔn)函數(shù)f1(Spherefunction)和復(fù)雜函數(shù)F4進(jìn)行了測(cè)試，分別設(shè)定觀(guān)測(cè)次數(shù)為1、2、3、4和5，如下圖5-10和圖5-11所示，圖5-12為f1不同測(cè)量次數(shù)相同迭代次數(shù)下所花費(fèi)的時(shí)間圖。275.1.3實(shí)驗(yàn)結(jié)果及分析

圖5-10f1不同測(cè)量次數(shù)收斂速度比較

圖5-10f4不同測(cè)量次數(shù)收斂速度比較020406080100100105迭代次數(shù)/次算法適應(yīng)度

x1x1234546810121416182022迭代次數(shù)/次時(shí)間/秒

圖5-10f1不同測(cè)量次數(shù)下的時(shí)間比較算法適應(yīng)度值285.1.3實(shí)驗(yàn)結(jié)果及分析

從圖5-10和圖5-11可以看出，測(cè)量次數(shù)越多，收斂速度越快，圖5-11中線(xiàn)段收斂結(jié)束的表明已收斂到最優(yōu)值0，因?yàn)閳D中是用適應(yīng)度值的對(duì)數(shù)來(lái)表示的，所以達(dá)到0線(xiàn)段即終止，同時(shí)圖5-12也可以看出，測(cè)量次數(shù)越多，時(shí)間代價(jià)也會(huì)呈線(xiàn)性增長(zhǎng)，本書(shū)取測(cè)量次數(shù)為5。2)測(cè)試基準(zhǔn)函數(shù)

表5-2和表5-3為QPSO算法、WQPSO算法、CQPSO算法和本書(shū)提出的ICQPSO算法的運(yùn)行，每個(gè)測(cè)試函數(shù)運(yùn)行50次，記錄平均最優(yōu)適應(yīng)度值和方差。為了測(cè)試算法的穩(wěn)定性和算法對(duì)于不同函數(shù)的性能，維數(shù)分別為20、30和100，迭代次數(shù)為1500次、2000次和3000次，種群數(shù)為20。295.1.3實(shí)驗(yàn)結(jié)果及分析

從表5-2和表5-3可以看出，本書(shū)提出的改進(jìn)的協(xié)同量子粒子群算法的平均最優(yōu)結(jié)果和方差都好于QPSO和WQPSO，大部分也都好于孫俊等人提出的協(xié)同量子粒子群算法，在很大程度上全局搜索能力提高了。表5-2QPSO和WQPSO測(cè)試基準(zhǔn)函數(shù)結(jié)果比較fMDGmaxQPSOWQPSOMeanMinSt.VarMeanMinSt.Varf1202015001.3208E-233.3218E-232.4267E-385.8824E-383020001.5767E-154.0566E-156.9402E-321.2879E-3110030001.5077E+011.5926E+014.2014E-114.0006E-11f2202015009.0260E+011.3274E+024.4948E+015.8837E+013020001.8484E+022.6972E+027.6625E+011.0193E+0210030001.9117E+051.7949E+052.4832E+021.9868E+02f3202015001.5697E+015.6303E+001.2945E+014.0725E+003020003.0375E+017.3978E+002.4259E+017.9174E+0010030003.0458E+023.8518E+012.1121E+023.5535E+01f4202015001.8823E-021.9380E-022.4863E-022.3981E-023020004.7967E-037.8878E-039.0994E-031.2641E-0210030001.1076E+003.3209E-014.4359E-039.0706E-03f5202015001.4444E-306.7034E-302.4224E-501.5425E-493020003.0627E-181.1664E-171.5686E-405.9721E-4010030001.8609E+053.4648E+057.7518E-117.8925E-11305.1.3實(shí)驗(yàn)結(jié)果及分析

基準(zhǔn)函數(shù)維數(shù)為20維、迭代次數(shù)為1500，運(yùn)行次數(shù)50時(shí)，畫(huà)出各個(gè)方法的盒圖比較圖，如圖5-13-圖5-17所示，可以看出，ICQPSO不管是最小值還是穩(wěn)定程度都取得了較好的結(jié)果，只有在Rastrigrin函數(shù)稍差于孫俊提出的CQPSO算法，但是也優(yōu)于QPSO算法和WQPSO算法。說(shuō)明本書(shū)提出的算法在優(yōu)化性能上得到了提高。表5-3sunCQPSO和ICQPSO測(cè)試基準(zhǔn)函數(shù)結(jié)果比較fMDGmaxCQPSOICQPSOMeanMinSt.VarMeanMinSt.Varf1202015004.946880e-3170.0000E+000.0000E+000.0000E+003020000.0000E+000.0000E+004.4466E-3230.0000E+0010030002.4209E-2180.0000E+003.6129E-982.5448E-97f2202015003.7499E+014.8401E+012.9140E+015.6023E+013020005.5191E+016.4979E+012.9660E+014.6534E+0110030008.4586E+014.2951E+011.4697E+029.3562E+01315.1.3實(shí)驗(yàn)結(jié)果及分析表5-3sunCQPSO和ICQPSO測(cè)試基準(zhǔn)函數(shù)結(jié)果比較

圖5-13Sphere函數(shù)盒圖

圖5-14Rosenbrock函數(shù)盒圖fMDGmaxCQPSOICQPSOMeanMinSt.VarMeanMinSt.Varf3202015000.0000E+000.0000E+001.2198E+016.4537E+003020005.9698E-022.3869E-011.8049E+016.3279E+0010030009.1352E+007.0400E+001.1293E+021.7379E+01f4202015004.2273E-024.3296E-021.9176E-021.6191E-023020006.1817E-026.9100E-021.0279E-021.5108E-0210030004.4409E-182.1977E-172.6110E-035.1311E-03f5202015000.0000E+000.0000E+000.0000E+000.0000E+003020000.0000E+000.0000E+000.0000E+000.0000E+0010030005.3694E-2850.0000E+003.7938E-1041.4349E-103目標(biāo)函數(shù)值目標(biāo)函數(shù)值算法算法325.1.3實(shí)驗(yàn)結(jié)果及分析

圖5-15Rastrigrin函數(shù)盒圖

圖5-16Griewank函數(shù)盒圖圖5-17DeJong,s函數(shù)盒圖目標(biāo)函數(shù)值目標(biāo)函數(shù)值目標(biāo)函數(shù)值算法算法算法335.1.3實(shí)驗(yàn)結(jié)果及分析3)測(cè)試復(fù)雜函數(shù)

為了更好的檢驗(yàn)本書(shū)提出的改進(jìn)協(xié)同量子粒子群算法的性能，又對(duì)復(fù)雜函數(shù)進(jìn)行了測(cè)試，測(cè)試結(jié)果如表5-4和表5-5。從表5-4和表5-5可以看出，本書(shū)提出的ICQPSO算法的性能遠(yuǎn)遠(yuǎn)優(yōu)于QPSO算法和WQPSO算法，雖然在F7和F8中CQPSO算法取得了相對(duì)好的結(jié)果，但是隨著維數(shù)的增高，ICQPSO算法在F7取得了好的結(jié)果。說(shuō)明了隨著問(wèn)題越來(lái)越復(fù)雜和維數(shù)越來(lái)越高，ICQPSO算法的優(yōu)勢(shì)越來(lái)越明顯，由此可說(shuō)明ICQPSO算法的搜索能力提高了。345.1.3實(shí)驗(yàn)結(jié)果及分析表5-4QPSO和WQPSO測(cè)試復(fù)雜函數(shù)結(jié)果比較FMinDGmaxQPSOWQPSOMeanMinSt.VarMeanMinSt.VarF4-450101000-449.93641.2208E-01-448.08669.3343E-013030003816.72803.4424E+032712.26602.0903E+0350500035606.90001.1361E+0423635.23007.2601E+03F5-310101000-309.93242.2213E-01-305.41611.3473E+003030003193.76801.0230E+033041.38501.0065E+035050006630.84801.4831E+035908.65701.6307E+03F7-180101000-179.54213.1670E-01-179.07441.2846E-01303000-179.96632.8176E-02-177.95863.1768E-01505000-179.85971.9968E-01-176.12825.3809E-01F8-140101000-119.54019.4892E-02-119.54518.9466E-02303000-118.98415.2917E-02-118.97535.6180E-02505000-118.81863.4865E-02-118.80493.4791E-02F13-130101000-128.76935.2452E-01-128.57785.3839E-01303000-125.42012.3376E+00-121.18742.3874E+00505000-117.74734.2147E+00-108.75924.5567E+00F14-300101000-299.94263.8619E-02-299.93703.5529E-02303000-299.74057.6293E-02-299.73035.5841E-02505000-299.58021.4488E-01-299.56411.1844E-01355.1.3實(shí)驗(yàn)結(jié)果及分析表5-5CQPSO和ICQPSO測(cè)試復(fù)雜函數(shù)結(jié)果比較FMinDGmaxCQPSOICQPSOMeanMinSt.VarMeanMinSt.VarF4-450101000-450.00002.5043E-06-450.00007.6966E-14303000-358.69356.5472E+01-450.00001.7589E-1050500010018.28005.3364E+03-449.99565.4487E-03F5-310101000294.07561.2651E+03-309.99923.2831E-033030007562.14702.0838E+032628.13106.5155E+0250500017936.75003.0209E+034317.44601.1770E+03F7-180101000-179.08616.0709E-01-179.27873.3788E-01303000-179.97792.6466E-02-179.97781.7880E-02505000-178.17289.0499E+00-179.99559.1090E-03F8-140101000-119.68911.7260E-01-119.76834.4329E-02303000-119.42851.6130E-01-119.17644.0630E-02505000-119.40072.0131E-01-118.97292.4966E-02F13-130101000-129.33493.4762E-01-129.41011.6906E-01303000-128.28434.8307E-01-127.27983.5150E-01505000-125.78721.6563E+00-125.52637.3139E-01F14-300101000-299.93394.6257E-02-299.99678.8522E-03303000-299.77851.2705E-01-299.99525.0671E-03505000-299.33261.7327E+00-299.99633.5155E-03365.1.3實(shí)驗(yàn)結(jié)果及分析

同樣，本書(shū)將復(fù)雜函數(shù)維數(shù)為10維、迭代次數(shù)為1000，運(yùn)行次數(shù)25時(shí)，畫(huà)出各個(gè)方法的盒圖比較圖，如圖5-18-圖5-23所示，可以看出，ICQPSO不管是最小值還是穩(wěn)定程度都全部取得了最好的結(jié)果。進(jìn)一步說(shuō)明本書(shū)提出的算法在優(yōu)化性能上得到了提高，并且對(duì)于復(fù)雜的函數(shù)效果更明顯。

圖5-18F4函數(shù)盒圖

圖5-19F5函數(shù)盒圖目標(biāo)函數(shù)值目標(biāo)函數(shù)值算法算法375.1.3實(shí)驗(yàn)結(jié)果及分析

圖5-20F7函數(shù)盒圖

圖5-21F8函數(shù)盒圖

圖5-22F13函數(shù)盒圖

圖5-23F14函數(shù)盒圖目標(biāo)函數(shù)值目標(biāo)函數(shù)值目標(biāo)函數(shù)值目標(biāo)函數(shù)值385.1.3實(shí)驗(yàn)結(jié)果及分析

為了更進(jìn)一步說(shuō)明本書(shū)算法的性能，本書(shū)進(jìn)行了t-test實(shí)驗(yàn)，基準(zhǔn)函數(shù)維數(shù)是20，迭代次數(shù)1500，復(fù)雜函數(shù)維數(shù)是10，迭代次數(shù)是1000。數(shù)據(jù)如下表5-6。其中s+表示前面算法明顯好于后面算法，s-表示前面算法明顯壞于后面算法，+表示前面算法好于后面算法，-表示前面算法壞于后面算法。

從表中同樣可以看出，ICQPSO在大部分情況下是明顯好于其他量子粒子群算法的，更說(shuō)明了該算法的良好搜索性能。表5-6ICQPSO,QPSO,WQPSOandCQPSOt-test測(cè)試結(jié)果t-testResultf1f2f3f4f5F4F5F7F8F13F14ICQPSO-QPSOs+s+s-+s+++s-s+s+s+ICQPSO-WQPSO+s+-++s+s+s+s+s+s+ICQPSO-CQPSOs++s-+s++s+s+s++s+39提綱第5章量子粒子群優(yōu)化5.1協(xié)同量子粒子群優(yōu)化

5.1.1協(xié)同量子粒子群算法5.1.2改進(jìn)的協(xié)同量子粒子群算法

5.1.3實(shí)驗(yàn)結(jié)果及分析5.2基于多次塌陷-正交交叉的量子粒子群優(yōu)化

5.2.1量子多次塌陷5.2.2正交交叉試驗(yàn)簡(jiǎn)介5.2.3多次塌陷-正交交叉的量子粒子群算法5.2.4實(shí)驗(yàn)及分析5.3結(jié)論與討論405.2基于多次坍塌-正交交叉的量子粒子群優(yōu)化

優(yōu)化問(wèn)題是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的一個(gè)重要課題，優(yōu)化方法的理論研究對(duì)改進(jìn)算法、擴(kuò)展算法應(yīng)用領(lǐng)域和完善算法體系具有重要作用。在實(shí)驗(yàn)中，優(yōu)化測(cè)試函數(shù)代替實(shí)際問(wèn)題評(píng)價(jià)，作為比較不同算法的性能的衡量。在現(xiàn)有的解決優(yōu)化問(wèn)題的算法中，啟發(fā)式優(yōu)化算法代替經(jīng)典優(yōu)化算法被廣泛研究，粒子群算法是其中的一個(gè)代表。但是，眾所周知，粒子群算法并不是全局算法，易陷入局部最優(yōu)?；诹孔訖C(jī)制的量子粒子群算法(QPSO)可以解決上面的問(wèn)題，該算法已經(jīng)被證實(shí)具有全局尋優(yōu)性，且具有較快的收斂速度。415.2基于多次坍塌-正交交叉的量子粒子群優(yōu)化

本書(shū)把QPSO應(yīng)用到函數(shù)優(yōu)化問(wèn)題上，其全局搜索的優(yōu)勢(shì)得到發(fā)揮。而在深入研究其性能的過(guò)程中發(fā)現(xiàn)，量子體系的概率不確定性并沒(méi)有得到較好的利用，結(jié)合正交交叉實(shí)驗(yàn)，本書(shū)提出了多次塌陷-正交交叉的量子粒子群算法。在優(yōu)化測(cè)試函數(shù)的選取上，本書(shū)選取公認(rèn)的常用函數(shù)測(cè)試基準(zhǔn)函數(shù)，并對(duì)較復(fù)雜的CEC05復(fù)合函數(shù)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，該算法不僅可以更有效地搜索到全局最優(yōu)值，而且收斂速度更快，局部和全局的搜索平衡能力更強(qiáng)。425.2.1量子多次坍塌

(5-12)(5-13)

一個(gè)粒子從量子不確定狀態(tài)獲得一個(gè)具體位置的過(guò)程被稱(chēng)為單次塌陷。正如公式(5-13)所示，每個(gè)u對(duì)應(yīng)著一個(gè)位置X，因此，多次塌陷就意味著通過(guò)公式(5-13)和(5-14)需使用多個(gè)不同的u值以獲得若干個(gè)不同的X值。這個(gè)過(guò)程就被稱(chēng)為多次塌陷。(5-14)435.2.2正交交叉試驗(yàn)簡(jiǎn)介

正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)[8][9]能夠均衡地在解空間進(jìn)行采樣，對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行量化的分析和預(yù)測(cè)，這些優(yōu)秀的特性也吸引了算法設(shè)計(jì)領(lǐng)域的眾多專(zhuān)家對(duì)其進(jìn)行研究和借鑒。香港學(xué)者Leung等人于1999年首次將正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)應(yīng)用于優(yōu)化流媒體組播路由的遺傳算法中，創(chuàng)新地提出了正交交叉算子，并提出了用于離散變量的正交遺傳算法。

本書(shū)的工作是將正交交叉算子引入到量子粒子群算法中，設(shè)計(jì)出了多次塌陷-正交交叉量子粒子群算法。445.2.2正交交叉試驗(yàn)簡(jiǎn)介1.正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)

正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)是多因素的優(yōu)化試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法，也稱(chēng)正交設(shè)計(jì)，一般是從實(shí)驗(yàn)的全部樣本點(diǎn)中挑選出部分有代表性的樣本點(diǎn)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，利用這些代表點(diǎn)所做的實(shí)驗(yàn)?zāi)軌蚍从吵雒總€(gè)因素各個(gè)水平對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果的影響。由于這些代表點(diǎn)具有正交性，因此稱(chēng)這組實(shí)驗(yàn)為正交試驗(yàn)，挑選正交的樣本點(diǎn)，安排正交試驗(yàn)的過(guò)程，稱(chēng)為正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)。

正交試驗(yàn)一般用正交表（orthogonalarray）來(lái)安排實(shí)驗(yàn)，表5.7為4因素(factor)、3個(gè)水平(level)的正交表，記為

，其中L代表正交表，M表示要做M次實(shí)驗(yàn)；

表示有N個(gè)因素，每個(gè)因素有Q個(gè)水平。表中每一縱裂代表同一因素的不同水平；每一橫行代表要運(yùn)行的一次實(shí)驗(yàn)，實(shí)驗(yàn)完成后，將實(shí)驗(yàn)結(jié)果(Ri)寫(xiě)在右側(cè)。455.2.2正交交叉試驗(yàn)簡(jiǎn)介

表5-7正交矩陣

正交矩陣的正交性包含以下三種含義[10][11]：(1)對(duì)于每一列的因素，每個(gè)水平作用的次數(shù)相等。(2)對(duì)于任何兩列的兩個(gè)因素，兩個(gè)水平的組合發(fā)生的次數(shù)相同。(3)所選出的組合均勻地分布在所有可能組合的整個(gè)空間。利用正交表來(lái)安排實(shí)驗(yàn)，其優(yōu)點(diǎn)是明顯的：1)減少實(shí)驗(yàn)次數(shù)。對(duì)于上述實(shí)驗(yàn)，如果要進(jìn)行全面實(shí)驗(yàn)共需要34=81次實(shí)驗(yàn)，而按照正交表的安排只需要9次實(shí)驗(yàn)，也就是說(shuō)只需要部分實(shí)驗(yàn)實(shí)驗(yàn)數(shù).因素實(shí)驗(yàn)結(jié)果RABCD11111R121222R231333R342123R452231R562312R673132R783213R893321R9465.2.2正交交叉試驗(yàn)簡(jiǎn)介即可。2)樣本點(diǎn)分布的均衡性。在正交表的每一列中，不同的數(shù)字出現(xiàn)的次數(shù)相等，且都為M/Q次；將任意兩列中同一行的兩個(gè)數(shù)字看成有序數(shù)對(duì)，則每種數(shù)對(duì)出現(xiàn)的次數(shù)相等，都為M/Q2次。圖5-24所示的

的空間模型可以進(jìn)一步說(shuō)明正交實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)的均衡性。圖中每個(gè)軸線(xiàn)代表一個(gè)因素，正方體的8個(gè)頂點(diǎn)代表了全面實(shí)驗(yàn)的8個(gè)實(shí)驗(yàn)點(diǎn)，用正交表確定的4個(gè)樣本點(diǎn)（墨點(diǎn)所示）均衡散布其中。具體來(lái)說(shuō)，正方體每個(gè)面4個(gè)頂點(diǎn)中恰有2個(gè)點(diǎn)是樣本點(diǎn)；每條棱上2個(gè)頂點(diǎn)中恰有1個(gè)是樣本點(diǎn)；分別沿軸線(xiàn)方向投射，在映射面上樣本點(diǎn)恰好完全遍布其中。這些特點(diǎn)適應(yīng)于一般情況。475.2.2正交交叉試驗(yàn)簡(jiǎn)介圖5-24正交矩陣

的正交性示意圖

利用正交表來(lái)安排實(shí)驗(yàn)的另一個(gè)顯著優(yōu)點(diǎn)是可以獨(dú)立地量化評(píng)價(jià)同一個(gè)因素的各個(gè)水平，從而對(duì)未進(jìn)行實(shí)驗(yàn)的因素組合進(jìn)行預(yù)測(cè)。有如下定義：(5-15)因素3因素2因素1(2,1,2)(1,2,2)(2,2,1)(1,1,1):選擇的因素水平組合485.2.2正交交叉試驗(yàn)簡(jiǎn)介其中，

表示因素j的水平對(duì)實(shí)驗(yàn)的主要影響，

表示輸出結(jié)果。當(dāng)?shù)趇個(gè)實(shí)驗(yàn)中因素j的水平等于k時(shí)，=1；否則，=0；例如，

觀(guān)察表5-7可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)因素A中同一水平的輸出結(jié)果相加時(shí)，因素B的水平在3個(gè)相加結(jié)果中恰好都存在，因此，

，

和

就可以判斷出因素A中3個(gè)水平對(duì)實(shí)驗(yàn)的不同影響，同理也可以忽略C和D的影響。這樣，通過(guò)比較

，

和

就可以判斷出A中3個(gè)水平對(duì)實(shí)驗(yàn)的不同影響。分別計(jì)算

就可以得到每個(gè)因素各個(gè)水平對(duì)于實(shí)驗(yàn)的影響，從而可以預(yù)測(cè)出最佳的因素水平組合搭配方式。通過(guò)計(jì)算同一因素各個(gè)水平主要影響的標(biāo)準(zhǔn)方差還可以判斷出各個(gè)因素對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果影響的劇烈程度。495.2.2正交交叉試驗(yàn)簡(jiǎn)介

正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)既保證了樣本點(diǎn)分布的均衡性，也能在整個(gè)實(shí)驗(yàn)過(guò)程中獨(dú)立地評(píng)價(jià)每個(gè)因素的各個(gè)水平，而且能夠估計(jì)各個(gè)因素對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果影響的劇烈程度。這些特性對(duì)于增加算法的搜索效率、減少函數(shù)的評(píng)價(jià)次數(shù)、判斷不同變量對(duì)函數(shù)優(yōu)化的影響，必定大有裨益。文獻(xiàn)[9]給出了產(chǎn)生一般正交表的構(gòu)造方法。B.基于正交矩陣的正交交叉

在這部分，本書(shū)將正交設(shè)計(jì)引入到交叉操作并采用正交矩陣來(lái)進(jìn)行一個(gè)合理的有代表性的交叉并得到在整個(gè)空間均勻分布的子代，這個(gè)過(guò)程被稱(chēng)為正交交叉。

為了簡(jiǎn)要地說(shuō)明正交交叉的主要思想，如圖5-25所示，本書(shū)采用正交矩陣

來(lái)指導(dǎo)兩個(gè)二進(jìn)制父代交叉。

有三個(gè)因素，于是父代被分為三部分，隨之產(chǎn)生四個(gè)二進(jìn)制子串。505.2.2正交交叉試驗(yàn)簡(jiǎn)介圖5-25基于

的正交交叉

一般地，通常選擇正交矩陣

來(lái)指導(dǎo)正交交叉，其中，用來(lái)交叉的父代的個(gè)數(shù)是Q，通過(guò)正交交叉得到的組合的個(gè)數(shù)是M。詳細(xì)過(guò)程如下所示[9]：515.2.2正交交叉試驗(yàn)簡(jiǎn)介輸入：Q個(gè)父代

，

；輸出：M個(gè)子代

，

；步驟1：獨(dú)立隨機(jī)產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)

，

，;步驟2：基于正交矩陣

中因素和水平的第i個(gè)組合

產(chǎn)生新子串

,.

一般地，正交矩陣越大，產(chǎn)生的新組合數(shù)越多，多樣性也越好，然而，所帶來(lái)的計(jì)算復(fù)雜度也越高，因此需要在多樣性和算法時(shí)間復(fù)雜度上進(jìn)行平衡。在文章[9]中已被證實(shí)，一般情況下對(duì)于實(shí)際問(wèn)題的規(guī)模

已是一個(gè)較好的選擇。525.2.3多次坍塌-正交交叉的量子粒子群算法

量子粒子群算法將粒子群引入量子空間，利用量子測(cè)不準(zhǔn)原理代替牛頓力學(xué)確定粒子在空間中的位置，通過(guò)采用概率波函數(shù)代替粒子群中固定的運(yùn)動(dòng)軌跡，保證了粒子可以在整個(gè)可行解區(qū)域的搜索，增強(qiáng)了算法的全局搜索能力，理論上保證以概率1收斂到全局最優(yōu)解。然而，量子的不確定特性并沒(méi)有得到很好的利用：通過(guò)一次塌陷粒子得到一個(gè)經(jīng)典值，而實(shí)際上通過(guò)它可能通過(guò)另外一次塌陷會(huì)得到一個(gè)更好的值；通過(guò)式子

，最好的粒子根據(jù)適應(yīng)度值被選出，而可能包含更有用信息的其余的粒子均被丟棄。在某種程度上，可以說(shuō)這是信息的一種浪費(fèi)。535.2.3多次坍塌-正交交叉的量子粒子群算法

算法流程:

基于上面存在的問(wèn)題，結(jié)合多次塌陷和正交交叉算子本書(shū)提出了多次塌陷-正交交叉的量子粒子群算法(multiplecollapsethenorthogonalcrossoverQPSO，MOQPSO)。假設(shè)函數(shù)f是最小化問(wèn)題，MOQPSO的算法流程如下:

步驟1：根據(jù)函數(shù)自變量的取值范圍，隨機(jī)初始化種群中各粒子的位置

；

步驟2：評(píng)價(jià)粒子群的平均最優(yōu)位置mbest；

步驟3：粒子塌陷Q次，得到粒子的Q個(gè)位置。

步驟4：Q個(gè)粒子正交交叉得到M個(gè)新個(gè)體，并根據(jù)粒子的適應(yīng)度值選出最優(yōu)的作為該粒子的位置信息。545.2.3多次坍塌-正交交叉的量子粒子群算法

步驟5：評(píng)價(jià)粒子的當(dāng)前適應(yīng)值，并與前一次迭代的個(gè)體最好適應(yīng)度比較，如果當(dāng)前適應(yīng)值小于前一次迭代的個(gè)體最好適應(yīng)值，即

步驟:6：計(jì)算群體當(dāng)前的全局最優(yōu)位置，即

，其中

步驟7：比較當(dāng)前全局最優(yōu)位置與前一次迭代的全局最優(yōu)位置，如果當(dāng)前全局最優(yōu)位置的位置較好，則群體的全局最優(yōu)位置更新為它的值；

步驟8：更新種群中各粒子的位置；

步驟9：若終止條件滿(mǎn)足，輸出群體的全局最優(yōu)位置；否則，返回步驟2。555.2.3多次坍塌-正交交叉的量子粒子群算法

從上述算法流程中可以看出，MOQPSO采用多次塌陷可以充分利用量子系統(tǒng)的不確定性以提高種群的多樣性，正交交叉不僅保證了采樣樣本的均衡性，而且可以獨(dú)立地評(píng)價(jià)每個(gè)組合的優(yōu)劣以便選出最優(yōu)者。這也是與QPSO的主要區(qū)別之處。這些特點(diǎn)可能改進(jìn)的算法的性能可以通過(guò)實(shí)驗(yàn)得到驗(yàn)證。MOQPSO的結(jié)構(gòu)圖如圖5-26所示：565.2.3多次坍塌-正交交叉的量子粒子群算法圖5-26MOQPSO的結(jié)構(gòu)圖575.2.4實(shí)驗(yàn)及分析1.實(shí)驗(yàn)設(shè)置

為了測(cè)試改進(jìn)算法MOQPSO的性能，十個(gè)基準(zhǔn)測(cè)試函數(shù)和兩個(gè)CEC05復(fù)合函數(shù)被用來(lái)進(jìn)行測(cè)試，并與QPSO、WQPSO、AQPSO、PSO進(jìn)行比較。

所選函數(shù)都是最小化問(wèn)題，為了較全面地測(cè)試MOQPSO的性能，所選的函數(shù)既包括最優(yōu)值為零和非零的簡(jiǎn)單基準(zhǔn)測(cè)試函數(shù)，又包括具有轉(zhuǎn)換和旋轉(zhuǎn)特性的復(fù)合函數(shù)。其中，Sphere函數(shù)是單峰函數(shù)，其在原點(diǎn)最優(yōu)值零，因此它經(jīng)常被用來(lái)測(cè)試算法的局部搜索能力；Rosenbrock函數(shù)是一個(gè)多峰函數(shù)，而且它的最優(yōu)值位于一個(gè)狹窄的區(qū)域內(nèi)很難被搜索到，因此它經(jīng)常被用來(lái)測(cè)試算法的局部和全局搜索能力；Rastrigrin函數(shù)是多峰函數(shù)經(jīng)常被用來(lái)測(cè)試算法的全局搜索能力。復(fù)合函數(shù)F1和F2是從較新的用來(lái)測(cè)試算法性能的CEC05函數(shù)集[12]中585.2.4實(shí)驗(yàn)及分析提取的。

為了測(cè)試算法的穩(wěn)定性，首先，不同的種群規(guī)模、迭代次數(shù)和粒子維數(shù)被采用。種群的規(guī)模分別是20、40、80，最大迭代次數(shù)依次為1000、1500和2000，對(duì)應(yīng)的維數(shù)分別為10、20、30.其次，在依次測(cè)試完Sphere、Rosenbrock和Rastrigrin函數(shù)后，為保證測(cè)試的效率，在研究測(cè)試結(jié)果之后本書(shū)將種群規(guī)模、迭代次數(shù)和維數(shù)分別選定為40、1000和10來(lái)測(cè)試其余的七個(gè)基準(zhǔn)函數(shù)和兩個(gè)復(fù)合函數(shù)。

為保證比較的合理性，測(cè)試算法中的所有參數(shù)設(shè)置均根據(jù)相關(guān)文獻(xiàn)取值以保證各算法均取得最佳效果。在PSO中，系數(shù)C1=C2=2，初始權(quán)重W從0.9降到0.4.在QPSO和MOQPSO中，收縮-擴(kuò)張因子

的最大值是1.0，最小值為0.5。在WQPSO中，權(quán)重系數(shù)因子根據(jù)適應(yīng)度值595.2.4實(shí)驗(yàn)及分析從1.5到0.5線(xiàn)性遞減。在MOQPSO中，所采用的正交矩陣為

，塌陷次數(shù)Q=3。三個(gè)測(cè)試函數(shù)如表5-8所示，10個(gè)基準(zhǔn)函數(shù)如表5-9所示。表5-8三個(gè)測(cè)試函數(shù)函數(shù)公式變量區(qū)域最優(yōu)值Spherefunctionf1[-100,100]0Rosenbrockfunctionf2[-100,100]0Rastrigrinfunctionf3[-10,10]0605.2.4實(shí)驗(yàn)及分析表5-9所測(cè)試的10個(gè)基準(zhǔn)函數(shù)（D表示變量維數(shù)，

表示變量區(qū)域，Min表示最優(yōu)值）問(wèn)題維度變量區(qū)域最優(yōu)值10[-100,100]010[-100,100]010[-10,10]010[-10,10]010[-100,100]010[-5,5]-78.332362[-10,10]-186.732[-1,1]-2.262[-1,1]-0.2400352[-5.12,5.12]-1.031628615.2.4實(shí)驗(yàn)及分析2.實(shí)驗(yàn)結(jié)果及分析1)基準(zhǔn)測(cè)試函數(shù)的測(cè)試結(jié)果及分析。

首先，本書(shū)測(cè)試了表5-9中的十個(gè)優(yōu)化函數(shù)問(wèn)題，并與PSO、QPSO算法進(jìn)行比較。

表5-10-5-12分別給出了Sphere、Rosenbrock、Rastrigrin三個(gè)函數(shù)在不同種群規(guī)模、空間維數(shù)、迭代次數(shù)條件下獨(dú)立運(yùn)行50代所取得的平均最優(yōu)值和均方差。從Sphere的結(jié)果上可以看出，MOQPSO在最優(yōu)值和方差上均為零，也就是說(shuō)總能較好地搜索到最優(yōu)值，較前兩種算法有所改善。這說(shuō)明，改進(jìn)后的算法具有較好的局部搜索能力。由于Rosenbrock函數(shù)比較特殊，一般的算法都較難搜索到最優(yōu)值，效果都不太理想。盡管如此，表5-11顯示，MOQPSO搜索到的結(jié)果相對(duì)來(lái)說(shuō)625.2.4實(shí)驗(yàn)及分析比PSO、QPSO都要好很多，因此，可以說(shuō)改進(jìn)后的算法在局部和全局的搜索能力和平衡能力上均有所提高。對(duì)于Rastrigrin函數(shù)，表5-12顯示的結(jié)果表明改進(jìn)后的算法在全局搜索能力上明顯提高。表5-10Sphere函數(shù)的平均值和方差MDGer.PSOQPSOMOQPSOMeanbestSt.dev.MeanbestSt.dev.MeanbestSt.dev.201010000.52710.61381.9898e-279.4410e-27002015003.58521.93445.8370e-142.2693e82083.42325.0027e-091.3539e-0800401010000.09100.14123.6428e-551.8209e-54002015001.99941.39041.6300e-291.1451e-28003020004.95792.52604.5547e-213.0213e-2000801010000.04730.16629.9341e-786.5523e-77002015000.83250.68336.9710e-544.8015e-53003020004.14483.82018.3320e-414.9279e-4000635.2.4實(shí)驗(yàn)及分析

從上述結(jié)果中還可以發(fā)現(xiàn)，在相同的種群規(guī)模下，隨著維數(shù)和迭代次數(shù)的增加，函數(shù)的結(jié)果隨之變壞；而在空間維數(shù)和迭代代數(shù)保持不變的情況下，隨著種群規(guī)模的增大，函數(shù)的實(shí)驗(yàn)結(jié)果越好。這是因?yàn)殡S著種群規(guī)模的增大，種群的多樣性得到提高，因此搜索到的結(jié)果也會(huì)有所改善。但種群規(guī)模越大，算法計(jì)算復(fù)雜度的代價(jià)也會(huì)越大，在綜合考慮搜索復(fù)雜度和優(yōu)化結(jié)果之后，本書(shū)將種群規(guī)模、空間維數(shù)和迭代代數(shù)分別設(shè)定為40、10、1000，并測(cè)試后續(xù)的基準(zhǔn)函數(shù)和復(fù)合函數(shù)。645.2.4實(shí)驗(yàn)及分析表5-11ROSENBROCK函數(shù)的平均值和方差表5-12RASTRIGRIN函數(shù)的平均值和方差MDGer.PSOQPSOMOQPSOMeanbestSt.dev.MeanbestSt.dev.MeanbestSt.dev.2010100084.160980.630547.814490.12046.36680.6404201500170.9015106.0103102.5762184.673716.56101.0230302000342.0081127.6591121.7741160.748826.23741.5560e35557.875734.841567.04096.23746.2944e-1520150087.036544.459946.461944.378216.23741.4083e0328113.128167.366182.551726.30210.4575801010005.73714.04533.50273.70746.23744.2500e-1520150057.873638.200634.046533.427316.23728.8926e761461.320144.630842.880326.23741.9212e-14MDGer.PSOQPSOMOQPSOMeanbestSt.dev.MeanbestSt.dev.MeanbestSt.dev.2010100026.176110.40055.31872.58550.55710.782620150099.540219.457818.32195.23390.59691.2585302000180.600431.277236.53447.76630.91532.16344010100020.24498.76333.36781.71740.29840.731620150071.000721.066314.16025.19870.21880.4163302000150.356436.126328.98347.33270.19890.40208010100022.734712.23462.33031.61430020150061.794224.598211.44604.47670.03970.1969302000123.24029.018023.06856.09980.01980.1407655.2.4實(shí)驗(yàn)及分析表5-13十個(gè)測(cè)試函數(shù)的平均值和方差

表5-13給出了PSO、QPSO和MOQPSO三種算法對(duì)十個(gè)基準(zhǔn)測(cè)試函數(shù)的實(shí)驗(yàn)結(jié)果，包括平均值和方差。表中結(jié)果可以看出，MOQPSO的搜索結(jié)果均等于或非常接近函數(shù)的最優(yōu)值，且具有較小的方差，尤其對(duì)于函數(shù)1、2、3、5和7。這證實(shí)了本書(shū)提出的算法的有效性。函數(shù)PSOQPSOMOQPSOMeanbestSt.dev.MeanbestSt.dev.MeanbestSt.dev.f10.15440.46722.3904e-581.5590e-5700f244.916443.319628.713866.368.10048.9719e-15f321.307110.67013.49261.839500f42.5261e-34.3049e-33.8873e-041.9232e-31.9431e-41.3740e-3f53.64812.74735.2673e-283.5928e-2700f6-66.73137.8987-76.07042.7394-74.54362.3279f7-186.69380.0888-183.966219.5478-186.73097.2012e-7f8-Inf-Inf-2.25991.8080e-7-2.25991.0917e-9f9-0.23992.8037e-17-0.23998.7196e-12-0.22340.0818f10-1.03166.7289e-16-1.03161.5692e-9-1.03165.8053e-11665.2.4實(shí)驗(yàn)及分析迭代次數(shù)/代迭代次數(shù)/代迭代次數(shù)/代迭代次數(shù)/代迭代次數(shù)/代迭代次數(shù)/代f1f3f4f1f5f6f2675.2.4實(shí)驗(yàn)及分析迭代次數(shù)/代迭代次數(shù)/代迭代次數(shù)/代迭代次數(shù)/代f7f8f9f10圖5-27三個(gè)算法在十個(gè)測(cè)試函數(shù)上獨(dú)立運(yùn)行50代的收斂曲線(xiàn)圖比較685.2.4實(shí)驗(yàn)及分析

為了證實(shí)算法的收斂速度，圖5-27給出了三種算法對(duì)十個(gè)測(cè)試函數(shù)分別獨(dú)立運(yùn)行50次之后得到的收斂曲線(xiàn)圖?？梢园l(fā)現(xiàn)，對(duì)于大多數(shù)函數(shù)，MOQPSO的收斂速度均為最快。因?yàn)樵赒PSO和MOQPSO中算法的參數(shù)設(shè)置是一樣的，因此可以說(shuō)新算法中引入的多次塌陷和正交交叉起了積極作用。695.2.4實(shí)驗(yàn)及分析適應(yīng)度值適應(yīng)度值適應(yīng)度值適應(yīng)度值適應(yīng)度值適應(yīng)度值適應(yīng)度值適應(yīng)度值函數(shù)（1）函數(shù)（2）函數(shù)（3）函數(shù)（4）函數(shù)（5）函數(shù)（6）函數(shù)（7）函數(shù)（8）705.2.4實(shí)驗(yàn)及分析圖5-28PSO、QPSO、MOQPSO三種算法對(duì)十個(gè)測(cè)試函數(shù)的盒圖測(cè)試結(jié)果比較

每一個(gè)函數(shù)獨(dú)立運(yùn)行50次的結(jié)果的盒圖描述如圖5-28所示。其中，M代表MOQPSO算法，Q代表QPSO算法，而P代表PSO算法。盒圖常用來(lái)測(cè)評(píng)算法的魯棒性。圖示結(jié)果顯示，M所獲得的函數(shù)值較密集于最優(yōu)值周?chē)?，也就是說(shuō)，MOQPSO的魯棒性均要優(yōu)于QPSO，除了函數(shù)9；同時(shí)在大多數(shù)函數(shù)上也要優(yōu)于PSO，除了函數(shù)9和10?？傮w來(lái)看，MOQPSO的統(tǒng)計(jì)結(jié)果顯示其性能是由于其它兩種算法的，尤其在函適應(yīng)度值適應(yīng)度值函數(shù)（9）函數(shù)（10）715.2.4實(shí)驗(yàn)及分析數(shù)2、3、4、5、6和8上效果更加明顯。總之，在測(cè)試上述是個(gè)函數(shù)的過(guò)程中不難發(fā)現(xiàn)，無(wú)論是在算法收斂速度、魯棒性，還是在優(yōu)化結(jié)果上，改進(jìn)后的算法都更勝一籌。2)復(fù)合函數(shù)測(cè)試結(jié)果及分析

為了進(jìn)一步測(cè)試算法的性能，本書(shū)采用四個(gè)具有轉(zhuǎn)換和旋轉(zhuǎn)特性的CEC05復(fù)合函數(shù)進(jìn)行測(cè)試。測(cè)試函數(shù)F1、F3分別為具有轉(zhuǎn)換特性的ShiftedSphere、Rosenbrock’s函數(shù)，在原點(diǎn)取得最優(yōu)值-450、390；F2、F4分別為具有轉(zhuǎn)換和旋轉(zhuǎn)特性的ShiftedRotatedWeierstrass、Ackley’s函數(shù)，最優(yōu)值為90、-140。725.2.4實(shí)驗(yàn)及分析表5-14CEC05復(fù)合函數(shù)的測(cè)試結(jié)果problemsPSOQPSOMOQPSOMeanbestSt.dev.MeanbestSt.dev.MeanbestSt.dev.F12.1801e+32.2248e+3-4500-4500F297.93841.3479101.57642.952295.49202.9946F39.6533e+062.2919e+07396.76127.2330394.27283.5650F4-119.66388.9924e-02 119.570.0645-119.70200.0578735.2.4實(shí)驗(yàn)及分析迭代次數(shù)/代迭代次數(shù)/代f1f20250500026x109迭代次數(shù)/次適應(yīng)度值

MOQPSOQPSOPSO05001000-119.7-119.3-119-118.7迭代次數(shù)/次適應(yīng)度值

MOQPSOQPSOPSO適應(yīng)度值適應(yīng)度值圖5-29三個(gè)算法分別對(duì)復(fù)合函數(shù)獨(dú)立測(cè)試50次的收斂曲線(xiàn)圖745.2.4實(shí)驗(yàn)及分析圖5-29三個(gè)算法分別對(duì)復(fù)合函數(shù)獨(dú)立測(cè)試50次的收斂曲線(xiàn)圖0200040006000MQP函數(shù)(1)9296100104MQP函數(shù)(1)0246x107MQP-119.8-119.7-119.6-119.5MQP適應(yīng)度值適應(yīng)度值適應(yīng)度值適應(yīng)度值f1f2f3f4圖5-30三種算法對(duì)復(fù)合函數(shù)獨(dú)立運(yùn)行50次的測(cè)試結(jié)果的盒圖

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