2023-2024年新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)培優(yōu)教案2.4《指數(shù)與指數(shù)函數(shù)》 (教師版)

頁第四節(jié)指數(shù)與指數(shù)函數(shù)核心素養(yǎng)立意下的命題導(dǎo)向1.將根式與指數(shù)冪相結(jié)合考查它們之間的互化，凸顯數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng)．2．與方程、不等式等相結(jié)合考查指數(shù)函數(shù)圖象的應(yīng)用，凸顯直觀想象的核心素養(yǎng)．3．與二次函數(shù)、不等式等問題綜合考查指數(shù)型函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用，凸顯數(shù)學(xué)運算、直觀想象和邏輯推理的核心素養(yǎng)．[理清主干知識]1．根式(1)根式的概念若xn＝a，則x叫做a的n次方根，其中n＞1且n∈N*.式子eq\r(n,a)叫做根式，這里n叫做根指數(shù)，a叫做被開方數(shù)．(2)a的n次方根的表示xn＝a?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\r(n,a)當n為奇數(shù)且n>1時，,x＝±\r(n,a)當n為偶數(shù)且n>1時.))2．有理數(shù)指數(shù)冪冪的有關(guān)概念正分數(shù)指數(shù)冪：aSKIPIF1<0＝eq\r(n,am)(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)負分數(shù)指數(shù)冪：aSKIPIF1<0＝eq\f(1,aSKIPIF1<0)＝eq\f(1,\r(n,am))(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)0的正分數(shù)指數(shù)冪等于_0_，0的負分數(shù)指數(shù)冪無意義有理數(shù)指數(shù)冪的性質(zhì)aras＝ar＋s(a＞0，r，s∈Q)(ar)s＝ars(a＞0，r，s∈Q)(ab)r＝arbr(a＞0，b＞0，r∈Q)3．指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)y＝axa>10<a<1圖象性質(zhì)函數(shù)的定義域為eq\a\vs4\al(R)；值域為(0，＋∞)函數(shù)圖象過定點(0，1)，即當x＝eq\a\vs4\al(0)時，y＝eq\a\vs4\al(1)當x>0時，恒有y>1；當x>0時，恒有0<y<1；當x<0時，恒有0<y<1當x<0時，恒有y>1函數(shù)在定義域R上為增函數(shù)函數(shù)在定義域R上為減函數(shù)4．指數(shù)函數(shù)的圖象與底數(shù)大小的比較如圖是指數(shù)函數(shù)(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的圖象，底數(shù)a，b，c，d與1之間的大小關(guān)系為c>d>1>a>b.由此我們可得到以下規(guī)律：在y軸右(左)側(cè)圖象越高(低)，其底數(shù)越大．[澄清盲點誤點]一、關(guān)鍵點練明1．(指數(shù)型函數(shù)圖象)函數(shù)y＝2x＋1的圖象是()答案：A2．(指數(shù)冪的運算)計算：π0＋2﹣2×(2eq\f(1,4))0.5＝________.答案：eq\f(11,8).3．(根式的意義)若eq\r(2a－12)＝eq\r(3,1－2a3)，則實數(shù)a的取值范圍為________．解析：eq\r(2a－12)＝|2a﹣1|，eq\r(3,1－2a3)＝1﹣2a.因為|2a﹣1|＝1﹣2a.故2a﹣1≤0，所以a≤eq\f(1,2).答案：(∞﹣，eq\f(1,2)]4．(函數(shù)過定點)函數(shù)f(x)＝ax﹣2＋1(a>0且a≠1)的圖象恒過定點________．解析：令x﹣2＝0，得x＝2.此時a0＋1＝2，∴定點為(2，2)．答案：(2，2)5．(指數(shù)函數(shù)的值域)函數(shù)y＝3x2﹣2x的值域為________．解析：設(shè)u＝x2﹣2x，則y＝3u，u＝x2﹣2x＝(x﹣1)2﹣1≥﹣1，所以y＝3u≥3﹣1＝eq\f(1,3)，所以函數(shù)y＝3x2﹣2x的值域是[eq\f(1,3)，+∞).答案：[eq\f(1,3)，+∞)二、易錯點練清1．(化簡eq\r(n,an)(a∈R)時忽略n的范圍)計算eq\r(3,1＋\r(2)3)＋eq\r(4,1－\r(2)4)＝________.答案：2eq\r(2)2．(錯誤理解指數(shù)函數(shù)的概念)若函數(shù)f(x)＝(a2﹣3)·ax為指數(shù)函數(shù)，則a＝________.答案：23．(忽視對底數(shù)a的討論)若函數(shù)f(x)＝ax在[﹣1，1]上的最大值為2，則a＝________.答案：2或eq\f(1,2)考點一指數(shù)冪的化簡與求值[典例]eq\f(a3,\r(a)·\r(5,a4))(a>0)的值是()A．1B．a(chǎn)C．a(chǎn)SKIPIF1<0D．a(chǎn)SKIPIF1<0[解析]eq\f(a3,\r(a)·\r(5,a4))＝eq\f(a3,aSKIPIF1<0·aSKIPIF1<0)＝aSKIPIF1<0＝aSKIPIF1<0.故選D.[答案]D[方法技巧]1．指數(shù)冪運算的一般原則(1)有括號的先算括號里的，無括號的先做指數(shù)運算．(2)先乘除后加減，負指數(shù)冪化成正指數(shù)冪的倒數(shù)．(3)底數(shù)是負數(shù)，先確定符號；底數(shù)是小數(shù)，先化成分數(shù)；底數(shù)是帶分數(shù)的，先化成假分數(shù)．(4)若是根式，應(yīng)化為分數(shù)指數(shù)冪，盡可能用冪的形式表示，運用指數(shù)冪的運算性質(zhì)來解答．2．化簡指數(shù)冪常用的技巧(1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))﹣p＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)))p(ab≠0)；(2)a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(aSKIPIF1<0))m，aeq\f(n,m)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(aSKIPIF1<0))n(式子有意義)；(3)1的代換，如1＝a﹣1a，1＝aSKIPIF1<0aSKIPIF1<0等；(4)乘法公式的常見變形，如(aSKIPIF1<0＋bSKIPIF1<0)(aSKIPIF1<0﹣bSKIPIF1<0)＝a﹣b，(aSKIPIF1<0±bSKIPIF1<0)2＝a±2aSKIPIF1<0bSKIPIF1<0＋b，(aSKIPIF1<0±bSKIPIF1<0)(aSKIPIF1<0?aSKIPIF1<0bSKIPIF1<0＋bSKIPIF1<0)＝a±b.[針對訓(xùn)練]1．已知14a＝7b＝4c＝2，則eq\f(1,a)﹣eq\f(1,b)＋eq\f(1,c)＝________.解析：由題設(shè)可得2SKIPIF1<0＝14，2SKIPIF1<0＝7，2SKIPIF1<0＝4，則2SKIPIF1<0＝eq\f(14,7)＝2，∴2SKIPIF1<0＝2×4＝23，∴eq\f(1,a)﹣eq\f(1,b)＋eq\f(1,c)＝3.答案：32．若x>0，則(2xSKIPIF1<0＋3SKIPIF1<0)(2xSKIPIF1<0﹣3SKIPIF1<0)﹣4xSKIPIF1<0(x﹣xSKIPIF1<0)＝________.解析：因為x>0，所以原式＝(2xSKIPIF1<0)2﹣(3SKIPIF1<0)2﹣4xSKIPIF1<0·x＋4xSKIPIF1<0·xSKIPIF1<0＝4xSKIPIF1<0﹣3SKIPIF1<0﹣4xSKIPIF1<0＋4xSKIPIF1<0＝4xSKIPIF1<0﹣33﹣4xSKIPIF1<0＋4x0＝﹣27＋4＝﹣23.答案：﹣23考點二指數(shù)函數(shù)的圖象及應(yīng)用[典題例析](1)已知函數(shù)f(x)＝(x﹣a)(x﹣b)(其中a>b)的圖象如圖所示，則函數(shù)g(x)＝ax＋b的圖象是()(2)(多選)已知實數(shù)a，b滿足等式2020a＝2021b，下列四個關(guān)系式中成立的關(guān)系式是()A．0<b<aB．0<a<bC．a(chǎn)＝bD．a(chǎn)<b<0(3)函數(shù)y＝|3x﹣2|＋m的圖象不經(jīng)過第二象限，則實數(shù)m的取值范圍是________．[解析](1)由函數(shù)f(x)的圖象可知，b<﹣1<0<a<1，∴g(x)＝ax＋b的圖象是遞減的．又g(0)＝a0＋b＝1＋b<0，∴g(x)的圖象與y軸交于負半軸，故選A.(2)在同一平面直角坐標系中作出y＝2020x與y＝2021x的圖象如圖所示．設(shè)2020a＝2021b＝t.當t>1時，0<b<a，A正確．當t＝1時，a＝b＝0，C正確．當0<t<1時，a<b<0，D正確．故選A、C、D.(3)作出函數(shù)y＝|3x﹣2|的圖象如圖所示．由圖可知，若函數(shù)y＝|3x﹣2|＋m的圖象不經(jīng)過第二象限，則將函數(shù)y＝|3x﹣2|的圖象至少向下移動2個單位，則m≤﹣2.[答案](1)A(2)ACD(3)(﹣∞，﹣2][方法技巧]有關(guān)指數(shù)函數(shù)圖象問題的解題思路(1)已知函數(shù)解析式判斷其圖象，一般是取特殊點，判斷選項中的圖象是否過這些點，若不滿足則排除．(2)對于有關(guān)指數(shù)型函數(shù)的圖象問題，一般是從最基本的指數(shù)函數(shù)的圖象入手，通過平移、伸縮、對稱變換而得到．特別地，當?shù)讛?shù)a與1的大小關(guān)系不確定時應(yīng)注意分類討論．(3)有關(guān)參數(shù)取值范圍問題的求解，往往是利用相應(yīng)的指數(shù)型函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合求解．[針對訓(xùn)練]1．函數(shù)f(x)＝1﹣e|x|的圖象大致是()解析：選A由f(x)＝1﹣e|x|是偶函數(shù)，其圖象關(guān)于y軸對稱，排除B、D.又e|x|≥1，所以f(x)的值域為(﹣∞，0]，排除C，故選A.2.函數(shù)f(x)＝ax﹣b的圖象如圖，其中a，b為常數(shù)，則下列結(jié)論正確的是()A．a(chǎn)>1，b<0B．a(chǎn)>1，b>0C．0<a<1，b>0D．0<a<1，b<0解析：選D由f(x)＝ax﹣b的圖象可以觀察出，函數(shù)f(x)＝ax﹣b在定義域上單調(diào)遞減，所以0<a<1.函數(shù)f(x)＝ax﹣b的圖象是在f(x)＝ax的基礎(chǔ)上向左平移得到的，所以b<0.故選D.3．若函數(shù)f(x)＝(eq\f(1,2))|1﹣x|＋m的圖象與x軸有公共點，則m的取值范圍是________．解析：作出函數(shù)g(x)＝(eq\f(1,2))|1﹣x|的圖象如圖所示，由圖象可知0<g(x)≤1，則m<g(x)＋m≤m＋1，即m<f(x)≤m＋1.要使函數(shù)f(x)＝(eq\f(1,2))|1﹣x|＋m的圖象與x軸有公共點，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＋m≥0，,m<0，))解得﹣1≤m<0.答案：[﹣1，0)考點三指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用考法(一)與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的函數(shù)單調(diào)性問題[例1]若函數(shù)f(x)＝a|2x﹣4|(a>0，且a≠1)，滿足f(1)＝eq\f(1,9)，則f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是()A．(﹣∞，2]B．[2，＋∞)C．[﹣2，＋∞)D．(﹣∞，﹣2][解析]由f(1)＝eq\f(1,9)，得a2＝eq\f(1,9)，解得a＝eq\f(1,3)或a＝﹣eq\f(1,3)(舍去)，即f(x)＝(eq\f(1,3))|2x﹣4|.由于y＝|2x﹣4|在(﹣∞，2]上遞減，在[2，＋∞)上遞增，所以f(x)在(﹣∞，2]上遞增，在[2，＋∞)上遞減，故選B.[答案]B[方法技巧]與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，要弄清復(fù)合函數(shù)由哪些基本初等函數(shù)復(fù)合而成，要注意數(shù)形結(jié)合思想的運用．考法(二)比較指數(shù)式大小[例2]已知f(x)＝2x﹣2﹣x，a＝(eq\f(7,9))﹣0.25，b＝(SKIPIF1<0)0.2，c＝log2eq\f(7,9)，則f(a)，f(b)，f(c)的大小關(guān)系為()A．f(b)<f(a)<f(c)B．f(c)<f(b)<f(a)C．f(c)<f(a)<f(b)D．f(b)<f(c)<f(a)[解析]易知f(x)＝2x﹣2﹣x在R上為增函數(shù)，又a＝(eq\f(7,9))﹣0.25＝(SKIPIF1<0)0.25>(SKIPIF1<0)0.2＝b>0，c＝log2eq\f(7,9)<0，則a>b>c，所以f(c)<f(b)<f(a)．[答案]B[方法技巧]比較指數(shù)冪大小的常用方法單調(diào)性法取中間不同底的指數(shù)函數(shù)化同底后就可以應(yīng)用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小，所以能夠化同底的盡可能化同底值法不同底、不同指數(shù)的指數(shù)函數(shù)比較大小時，先與中間值(特別是0，1)比較大小，然后得出大小關(guān)系圖解法根據(jù)指數(shù)函數(shù)的特征，在同一平面直角坐標系中作出它們的函數(shù)圖象，借助圖象比較大小考法(三)解指數(shù)方程或不等式[例3]設(shè)函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x－7，x<0，,\r(x)，x≥0，))若f(a)<1，則實數(shù)a的取值范圍是()A．(﹣∞，﹣3)B．(1，＋∞)C．(﹣3，1)D．(﹣∞，﹣3)∪(1，＋∞)[解析]當a<0時，不等式f(a)<1可化為(eq\f(1,2))a﹣7<1，即(eq\f(1,2))a<8，即(eq\f(1,2))a<(eq\f(1,2))﹣3，因為0<eq\f(1,2)<1，所以a>﹣3，此時﹣3<a<0；當a≥0時，不等式f(a)<1可化為eq\r(a)<1，所以0≤a<1.故a的取值范圍是(﹣3，1)．[答案]C[方法技巧]簡單的指數(shù)方程或不等式的求解問題解決此類問題應(yīng)利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，要特別注意底數(shù)a的取值范圍，并在必要時進行分類討論．考法(四)與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的函數(shù)最值問題[例4](1)已知集合A＝{x|(2﹣x)·(2＋x)>0}，則函數(shù)f(x)＝4x﹣2x＋1﹣3(x∈A)的最小值為()A．4B．2C．﹣2D．﹣4(2)若函數(shù)f(x)＝(eq\f(1,3))SKIPIF1<0有最大值3，則a＝________.[解析](1)由題知集合A＝{x|﹣2<x<2}．又f(x)＝(2x)2﹣2×2x﹣3，設(shè)2x＝t，則eq\f(1,4)<t<4，所以f(x)＝g(t)＝t2﹣2t﹣3＝(t﹣1)2﹣4，且函數(shù)g(t)的對稱軸為直線t＝1，所以最小值為g(1)＝﹣4.故選D.(2)令h(x)＝ax2﹣4x＋3，y＝(eq\f(1,3))h(x)，由于f(x)有最大值3，所以h(x)應(yīng)有最小值﹣1，因此必有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0，,\f(12a－16,4a)＝－1，))解得a＝1，即當f(x)有最大值3時，a的值為1.[答案](1)D(2)1[方法技巧]解決形如y＝a2x＋b·ax＋c(a>0，且a≠1)型函數(shù)最值問題，多利用換元法，即令t＝ax，轉(zhuǎn)化為y＝t2＋bt＋c的最值問題，注意根據(jù)指數(shù)函數(shù)求t的范圍．[針對訓(xùn)練]1．設(shè)a＝0.60.6，b＝0.61.5，c＝1.50.6，則a，b，c的大小關(guān)系是()A．a(chǎn)<b<cB．a(chǎn)<c<bC．b<a<cD．b<c<a解析：選C因為函數(shù)y＝0.6x在R上單調(diào)遞減，所以b＝0.61.5<a＝0.60.6<1.又c＝1.50.6>1，所以b<a<c.2．(多選)對于給定的函數(shù)f(x)＝ax﹣a﹣x(x∈R，a>0，且a≠1)，下面給出四個命題，其中真命題是()A．函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于原點對稱B．函數(shù)f(x)在R上不具有單調(diào)性C．函數(shù)f(|x|)的圖象關(guān)于y軸對稱D．當0<a<1時，函數(shù)f(|x|)的最大值是0解析：選ACD∵f(﹣x)＝﹣f(x)，∴f(x)為奇函數(shù)，f(x)的圖象關(guān)于原點對稱，A是真命題；當a>1時，f(x)在R上為增函數(shù)，當0<a<1時，f(x)在R上為減函數(shù)，B是假命題；y＝f(|x|)是偶函數(shù)，其圖象關(guān)于y軸對稱，C是真命題；當0<a<1時，y＝f(|x|)在(﹣∞，0)上為增函數(shù)，在[0，＋∞)上為減函數(shù)，∴當x＝0時，y＝f(|x|)的最大值為0，D是真命題．故選A、C、D.3．函數(shù)f(x)＝SKIPIF1<0的單調(diào)遞增區(qū)間是()A.(﹣∞，eq\f(1,2)]B．[0，eq\f(1,2)]C.[eq\f(1,2)，+∞)D．[eq\f(1,2)，1]解析：選D令x﹣x2≥0，得0≤x≤1，所以函數(shù)f(x)的定義域為[0，1]，因為y＝(eq\f(1,2))t是減函數(shù)，所以函數(shù)f(x)的增區(qū)間就是函數(shù)y＝﹣x2＋x在[0，1]上的減區(qū)間[eq\f(1,2)，1]，故選D.4．若不等式1＋2x＋4x·a>0在x∈(﹣∞，1]時恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是________．解析：從已知不等式中分離出實數(shù)a，得a>﹣(eq\f(1,4))x＋(eq\f(1,2))x.因為函數(shù)y＝(eq\f(1,4))x和y＝(eq\f(1,2))x在R上都是減函數(shù)，所以當x∈(﹣∞，1]時，(eq\f(1,4))x≥eq\f(1,4)，(eq\f(1,2))x≥eq\f(1,2)，所以(eq\f(1,4))x＋(eq\f(1,2))x≥eq\f(1,4)＋eq\f(1,2)＝eq\f(3,4)，從而得﹣(eq\f(1,4))x＋(eq\f(1,2))x≤﹣eq\f(3,4).故實數(shù)a的取值范圍為(﹣eq\f(3,4)，+∞).答案：(﹣eq\f(3,4)，+∞).一、創(chuàng)新命題視角——學(xué)通學(xué)活巧遷移1．能說明“已知f(x)＝2|x﹣1|，若f(x)≥g(x)對任意的x∈[0，2]恒成立，則在[0，2]上，f(x)min≥g(x)max”為假命題的一個函數(shù)g(x)＝________.(填出一個函數(shù)即可)解析：易知函數(shù)f(x)＝2|x﹣1|在x∈[0，2]上的最小值是1，取g(x)＝x﹣eq\f(1,2)，作出f(x)，g(x)在[0，2]上的圖象如圖所示，滿足f(x)≥g(x)對任意的x∈[0，2]恒成立，但g(x)＝x﹣eq\f(1,2)在[0，2]上的最大值是eq\f(3,2)，不滿足f(x)min≥g(x)max，所以g(x)＝x﹣eq\f(1,2)能說明題中命題是假命題．答案：x﹣eq\f(1,2)(答案不唯一)2．已知a，b，c，m都是正數(shù)，am＝bm＋cm，當m取何值時，長分別為a，b，c的三條線段能構(gòu)成三角形？解：由于am＝bm＋cm，且a，b，c，m都是正數(shù)，所以a>b>0且a>c>0.因此要使長分別為a，b，c的三條線段能構(gòu)成三角形，則只要b＋c>a即可．注意到f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))x＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,a)))x在R上單調(diào)遞減．若m＝1，則b＋c＝a，顯然此時不能構(gòu)成三角形；若m>1，則f(m)<f(1)，又f(m)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))m＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,a)))m＝eq\f(bm＋cm,am)＝1，f(1)＝eq\f(b＋c,a)，所以eq\f(b＋c,a)>1，即b＋c>a，此時可以構(gòu)成三角形；若0<m<1，則f(m)>f(1)，即eq\f(b＋c,a)<1，即b＋c<a，顯然此時不能構(gòu)成三角形．綜上可知，當m>1時，長分別為a，b，c的三條線段能構(gòu)成三角形．二、創(chuàng)新考查方式——領(lǐng)悟高考新動向1．對于函數(shù)f(x)，若在定義域內(nèi)存在實數(shù)x0滿足f(﹣x0)＝﹣f(x0)，則稱函數(shù)f(x)為“倒戈函數(shù)”．設(shè)f(x)＝3x＋2m﹣1(m∈R，且m≠0)是定義在[﹣1，1]上的“倒戈函數(shù)”，則實數(shù)m的取值范圍是()A.[﹣eq\f(1,3)，0]B.[﹣eq\f(1,3)，0)C.[eq\f(1,3)，+∞]D．(﹣∞，0)解析：選B∵f(x)＝3x＋2m﹣1是定義在[﹣1，1]上的“倒戈函數(shù)”，∴?x0∈[﹣1，1]滿足f(﹣x0)＝﹣f(x0)，∴3﹣x0＋2m﹣1＝﹣3x0﹣2m＋1，∴4m＝﹣3﹣x0﹣3x0＋2.構(gòu)造函數(shù)g(x)＝﹣3﹣x﹣3x＋2，x∈[﹣1，1]，令t＝3x，則t∈[eq\f(1,3)，3]，則g(x)可轉(zhuǎn)化為h(t)＝﹣eq\f(1,t)﹣t＋2，易知h(t)＝﹣eq\f(1,t)﹣t＋2在[eq\f(1,3)，3]上單調(diào)遞增，在[1，3]上單調(diào)遞減，∴y＝h(t)∈[﹣eq\f(4,3)，0].又m≠0，∴﹣eq\f(4,3)≤4m<0，∴﹣eq\f(1,3)≤m<0.2．已知函數(shù)y＝f(x)和函數(shù)y＝g(x)的圖象關(guān)于y軸對稱，當函數(shù)y＝f(x)和y＝g(x)在[a，b]上同時遞增或同時遞減時，[a，b]叫做函數(shù)y＝f(x)的“不動區(qū)間”．若[1，2]為函數(shù)y＝|2x＋t|的“不動區(qū)間”，則實數(shù)t的取值范圍為________．解析：因為函數(shù)y＝f(x)與y＝g(x)的圖象關(guān)于y軸對稱，所以g(x)＝f(﹣x)＝|2﹣x＋t|.因為[1，2]為函數(shù)y＝|2x＋t|的“不動區(qū)間”，所以函數(shù)y＝|2x＋t|和函數(shù)g(x)＝|2﹣x＋t|在[1，2]上的單調(diào)性相同．又因為y＝2x＋t和y＝2﹣x＋t的單調(diào)性相反，所以(2x＋t)(2﹣x＋t)≤0在[1，2]上恒成立，即2﹣x≤﹣t≤2x在[1，2]上恒成立，得﹣2≤t≤﹣eq\f(1,2).答案：[﹣2，﹣eq\f(1,2)].3．對于某種類型的口服藥，口服x小時后，由消化系統(tǒng)進入血液中的藥物濃度y(單位)與時間t(時)的關(guān)系為y＝k(e﹣at﹣e﹣bt)，其中k>0，b>a>0，k，a，b為常數(shù)，對于某一種藥物k＝4，a＝1，b＝2.(1)口服藥物后________小時血液中藥物濃度最高；(2)這種藥物服藥n(n∈N*)小時后血液中藥物濃度f(n)如下表：n1234f(n)0.95450.93040.69320.4680n5678f(n)0.30100.18920.11630.0720一個病人上午8：00第一次服藥，要使得病人血液中藥物濃度保持在0.5個單位以上，第三次服藥的時間是________．(時間以整點為準)解析：(1)藥物濃度y(單位)與時間t(時)的關(guān)系為y＝k(e﹣at﹣e﹣bt)，對于某一種藥物k＝4，a＝1，b＝2，代入可得y＝4(e﹣t﹣e﹣2t)＝﹣4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e2t)－\f(1,et)))＝﹣4eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,et)))2－\f(1,et)＋\f(1,4)))＋1＝﹣4(eq\f(1,et)﹣eq\f(1,2))2＋1，所以當eq\f(1,et)﹣eq\f(1,2)＝0，即t＝ln2時取得最大值．(2)由題可知，病人上午8：00第一次服藥，要使得病人血液中藥物濃度保持在0.5個單位以上，則第二次服藥時間在11：00.第一次服藥7個小時后藥物濃度為0.1163，此時為第二次服藥后4個小時，藥物濃度為0.4680，而0.1163＋0.4680＝0.5843>0.5；第一次服藥8個小時后的藥物濃度為0.0720，此時為第二次服藥后5個小時，藥物濃度為0.3010，而0.0720＋0.3010＝0.3730<0.5.綜上可知，若使得病人血液中藥物濃度保持在0.5個單位以上，則第三次服藥時間為第一次服藥后的7個小時，即為15：00.答案：(1)ln2(2)15：004．已知函數(shù)f(x)＝2﹣x，給出下列結(jié)論：①若x>0，則f(x)>1；②對于任意的x1，x2∈R，x1﹣x2≠0，必有(x1﹣x2)·[f(x1)﹣f(x2)]<0；③若0<x1<x2，則x2f(x1)<x1f(x2)；④對于任意的x1，x2∈R，x1﹣x2≠0，必有eq\f(fx1＋fx2,2)>f(eq\f(x1＋x2,2)).其中所有正確結(jié)論的序號是________．解析：f(x)＝2﹣x＝(eq\f(1,2))x.對于①，當x>0時，(eq\f(1,2))x∈(0，1)，故①錯誤．對于②，f(x)＝(eq\f(1,2))x在R上單調(diào)遞減，所以(x1﹣x2)·[f(x1)﹣f(x2)]<0，故②正確．對于③，eq\f(fx,x)表示f(x)圖象上的點與原點連線的斜率，由f(x)＝(eq\f(1,2))x的圖象可知，當0<x1<x2時，eq\f(fx1,x1)>eq\f(fx2,x2)，即x2f(x1)>x1f(x2)，故③錯誤．對于④，由f(x)的圖象可知，eq\f(fx1＋fx2,2)>f(eq\f(x1＋x2,2))，故④正確．綜上所述，所有正確結(jié)論的序號是②④.答案：②④eq\a\vs4\al([課時跟蹤檢測])一、基礎(chǔ)練——練手感熟練度1．函數(shù)y＝ln(2x﹣1)的定義域是()A．[0，＋∞)B．[1，＋∞)C．(0，＋∞)D．(1，＋∞)解析：選C由2x﹣1>0，得x>0，所以函數(shù)的定義域為(0，＋∞).2．函數(shù)y＝(eq\f(1,2))2x﹣x2的值域為()A.[eq\f(1,2)，+∞)B．(-∞，eq\f(1,2)]C.(0，eq\f(1,2)]D．(0，2]解析：選A設(shè)t＝2x﹣x2，則t≤1，所以y＝(eq\f(1,2))t，t≤1，所以y∈[eq\f(1,2)，+∞)，故選A.3．已知函數(shù)f(x)＝4＋2ax﹣1的圖象恒過定點P，則點P的坐標是()A．(1，6)B．(1，5)C．(0，5)D．(5，0)解析：選A由于函數(shù)y＝ax的圖象過定點(0，1)，當x＝1時，f(x)＝4＋2＝6，故函數(shù)f(x)＝4＋2ax﹣1的圖象恒過定點P(1，6)．4．已知a＝20.2，b＝0.40.2，c＝0.40.6，則a，b，c的大小關(guān)系是()A．a(chǎn)＞b＞cB．a(chǎn)＞c＞bC．c＞a＞bD．b＞c＞a解析：選A由0.2＜0.6，0.4＜1，并結(jié)合指數(shù)函數(shù)的圖象可知0.40.2＞0.40.6，即b＞c；因為a＝20.2＞1，b＝0.40.2＜1，所以a＞b.綜上，a＞b＞c.二、綜合練——練思維敏銳度1．已知ab＝﹣5，則aeq\r(－\f(b,a))＋beq\r(－\f(a,b))的值是()A．2eq\r(5)B．0C．﹣2eq\r(5)D．±2eq\r(5)解析：選B由題意知ab<0，aeq\r(－\f(b,a))＋beq\r(－\f(a,b))＝aeq\r(－\f(ab,a2))＋beq\r(－\f(ab,b2))＝aeq\r(\f(5,a2))＋beq\r(\f(5,b2))＝aeq\f(\r(5),|a|)＋beq\f(\r(5),|b|)＝0.故選B.2．已知0<b<a<1，則在ab，ba，aa，bb中最大的是()A．baB．AaC．a(chǎn)bD．bb解析：選C∵0<b<a<1，∴y＝ax和y＝bx均為減函數(shù)，∴ab>aa，ba<bb，又∵y＝xb在(0，＋∞)上為增函數(shù)，∴ab>bb，∴在ab，ba，aa，bb中最大的是ab.故選C.3．函數(shù)y＝(eq\f(1,3))SKIPIF1<0的值域為()A．(0，1)B．(1，＋∞)C．(2，＋∞)D．(0，1)∪(1，＋∞)解析：選D由eq\f(2,x＋1)≠0，得y＝(eq\f(1,3))SKIPIF1<0≠1，又y>0，所以值域為(0，1)∪(1，＋∞)，故選D.4．函數(shù)y＝ax(a>0且a≠1)與函數(shù)y＝(a﹣1)x2﹣2x﹣1在同一個坐標系內(nèi)的圖象可能是()解析：選C兩個函數(shù)分別為指數(shù)函數(shù)和二次函數(shù)，其中二次函數(shù)過點(0，﹣1)，故排除A、D；二次函數(shù)的對稱軸為直線x＝eq\f(1,a－1)，當0<a<1時，指數(shù)函數(shù)遞減，eq\f(1,a－1)<0，C符合題意；當a>1時，指數(shù)函數(shù)遞增，eq\f(1,a－1)>0，B不符合題意，故選C.5．已知定義在R上的函數(shù)f(x)＝2|x﹣m|﹣1為偶函數(shù)，記a＝f(log0.53)，b＝f(log25)，c＝f(2m)，則a，b，c的大小關(guān)系是()A．a(chǎn)<b<cB．a(chǎn)<c<bC．c<a<bD．c<b<a解析：選C函數(shù)f(x)＝2|x﹣m|﹣1為偶函數(shù)，則m＝0，故f(x)＝2|x|﹣1，a＝f(log0.53)＝2|log0.53|﹣1＝2log23﹣1＝2，b＝f(log25)＝2log25﹣1＝4，c＝f(0)＝20﹣1＝0.所以c<a<b，故選C.6．若ea＋πb≥e﹣b＋π﹣a，則有()A．a(chǎn)＋b≤0B．a(chǎn)﹣b≥0C．a(chǎn)﹣b≤0D．a(chǎn)＋b≥0解析：選D令f(x)＝ex﹣π﹣x，則f(x)在R上單調(diào)遞增，因為ea＋πb≥e﹣b＋π﹣a，所以ea﹣π﹣a≥e﹣b﹣πb，則f(a)≥f(﹣b)，所以a≥﹣b，即a＋b≥0.故選D.7．(多選)已知函數(shù)f(x)＝eq\f(2x－1,2x＋1)，下面說法正確的有()A．f(x)的圖象關(guān)于原點對稱B．f(x)的圖象關(guān)于y軸對稱C．f(x)的值域為(﹣1，1)D．?x1，x2∈R，且x1≠x2，eq\f(fx1－fx2,x1－x2)＜0解析：選AC對于選項A，f(x)＝eq\f(2x－1,2x＋1)，定義域為R，則f(﹣x)＝eq\f(2－x－1,2－x＋1)＝eq\f(1－2x,1＋2x)＝﹣f(x)，則f(x)是奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點對稱，故A正確；對于選項B，計算f(1)＝eq\f(2－1,2＋1)＝eq\f(1,3)，f(﹣1)＝﹣eq\f(1,3)≠f(1)，故f(x)的圖象不關(guān)于y軸對稱，故B錯誤；對于選項C，f(x)＝eq\f(2x－1,2x＋1)＝1﹣eq\f(2,1＋2x)，令1＋2x＝t，t∈(1，＋∞)，則f(x)＝g(t)＝1﹣eq\f(2,t)，易知1﹣eq\f(2,t)∈(﹣1，1)，故f(x)的值域為(﹣1，1)，故C正確；對于選項D，易知函數(shù)t＝1＋2x在R上單調(diào)遞增，且y＝1﹣eq\f(2,t)在t∈(1，＋∞)上單調(diào)遞增，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，可知f(x)＝1﹣eq\f(2,1＋2x)在R上單調(diào)遞增，故?x1，x2∈R，且x1≠x2，eq\f(fx1－fx2,x1－x2)>0，故D錯誤．故選A、C.8．化簡：(2eq\r(3,a2)·eq\r(b))(﹣6eq\r(a)·eq\r(3,b))÷(﹣3eq\r(6,a)·eq\r(6,b5))＝_______.解析：(2eq\r(3,a2)·eq\r(b))(﹣6eq\r(a)·eq\r(3,b))÷(﹣3eq\r(6,a)·eq\r(6,b5))＝4aSKIPIF1<0·bSKIPIF1<0＝4a1·b0＝4a.答案：4a9．若函數(shù)f(x)＝ax﹣1(a>0且a≠1)的定義域和值域都是[0，2]，則實數(shù)a的值為________．解析：當0<a<1時，f(x)＝ax﹣1在[0，2]上為減函數(shù)，故f(x)max＝f(0)＝a0﹣1＝0，這與已知條件函數(shù)f(x)的值域是[0，2]相矛盾．當a>1時，f(x)＝ax﹣1在[0，2]上為增函數(shù)，又函數(shù)f(x)的定義域和值域都是[0，2]，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f0＝0，,f2＝a2－1＝2，,a>1，))解得a＝eq\r(3)，所以實數(shù)a的值為eq\r(3).答案：eq\r(3)10．當x∈(﹣∞，﹣1]時，不等式(m2﹣m)·4x﹣2x<0恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是________．解析：∵(m2﹣m)·4x﹣2x<0在(﹣∞，﹣1]上恒成立，∴(m2﹣m)<eq\f(1,2x)在x∈(﹣∞，﹣1]上恒成立．∵y＝eq\f(1,2x)在(﹣∞，﹣1]上單調(diào)遞減，∴當x∈(﹣∞，﹣1]時，y＝eq\f(1,2x)≥2，∴m2﹣m<2，解得﹣1<m<2，故m的取值范圍是(﹣1，2)．答案：(﹣1，2)11．設(shè)a>0，且a≠1，函數(shù)y＝a2x＋2ax﹣1在[﹣1，1]上的最大值是14，求實數(shù)a的值．解：令t＝ax(a>0，且a≠1)，則原函數(shù)化為y＝f(t)＝(t＋1)2﹣2(t>0)．①當0<a<1，x∈[﹣1，1]時，t＝ax∈[a，eq\f(1,a)]，此時f(t)在[a，eq\f(1,a)]上為增函數(shù)．所以f(t)max＝f(eq\f(1,a))＝(eq\f(1,a)+1)2﹣2＝14.所以(eq\f(1,a)+1)2＝16，解得a＝﹣eq\f(1,5)(舍去)或a＝eq\f(1,3).②當a>1時，x∈[﹣1，1]，t＝ax∈[eq\f(1,a)，a]，此時f(t)在[eq\f(1,a)，a]上是增函數(shù)．所以f(t)max＝f(a)＝(a＋1)2﹣2＝14，解得a＝3或a＝﹣5(舍去)．綜上得a＝eq\f(1,3)或3.12．已知函數(shù)f(x)＝2a·4x﹣2x﹣1.(1)當a＝1時，求函數(shù)f(x)在x∈[﹣3，0]上的值域；(2)若關(guān)于x的方程f(x)＝0有解，求a的取值范圍．解：(1)當a＝1時，f(x)＝2·4x﹣2x﹣1＝2(2x)2﹣2x﹣1，令t＝2x，因為x∈[﹣3，0]，所以t∈[eq\f(1,8),1].故y＝2t2﹣t﹣1＝2(t-eq\f(1,4))2﹣eq\f(9,8)，t∈[eq\f(1,8),1]，故值域為[﹣eq\f(9,8),0].(2)設(shè)2x＝m>0，關(guān)于x的方程2a(2x)2﹣2x﹣1＝0有解，等價于方程2am2﹣m﹣1＝0在(0，＋∞)上有解，記g(m)＝2am2﹣m﹣1，當a＝0時，解為m＝﹣1<0，不成立．當a<0時，開口向下，對稱軸m＝eq\f(1,4a)<0，過點(0，﹣1)，不成立．當a>0時，開口向上，對稱軸m＝eq\f(1,4a)>0，過點(0，﹣1)，必有一個根為正．綜上，a的取值范圍為(0，＋∞)．13．已知定義域為R的函數(shù)f(x)＝eq\f(－2x＋b,2x＋1＋a)是奇函數(shù)．(1)求a，b的值；(2)若對任意的t∈R，不等式f(t2﹣2t)＋f(2t2﹣k)<0恒成立，求k的取值范圍．解：(1)因為f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，所以f(0)＝0，即eq\f(－1＋b,2＋a)＝0，解得b＝1，所以f(x)＝eq\f(－2x＋1,2x＋1＋a).又由f(1)＝﹣f(﹣1)知eq