2023-2024年新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)培優(yōu)教案5.4《復(fù)數(shù)》 (教師版)

頁第四節(jié)復(fù)數(shù)核心素養(yǎng)立意下的命題導(dǎo)向1.通過方程的解，認(rèn)識復(fù)數(shù)．2．結(jié)合復(fù)數(shù)的代數(shù)表示及其幾何意義，考查復(fù)數(shù)的實(shí)部、虛部，共軛復(fù)數(shù)，復(fù)數(shù)的模等概念的認(rèn)識，凸顯邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)．3．結(jié)合復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則，考查復(fù)數(shù)的加、減、乘、除運(yùn)算，凸顯數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)．[理清主干知識]1．復(fù)數(shù)的定義及分類(1)復(fù)數(shù)的定義：形如a＋bi(a，b∈R)的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，其中實(shí)部是a，虛部是b.(2)復(fù)數(shù)的分類：eq\a\vs4\al(復(fù)數(shù)z＝a＋bi,a，b∈R)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(實(shí)數(shù)b＝0，,虛數(shù)b≠0\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(純虛數(shù)a＝0，,非純虛數(shù)a≠0.))))2．復(fù)數(shù)的有關(guān)概念復(fù)數(shù)相等a＋bi＝c＋di?a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)共軛復(fù)數(shù)a＋bi與c＋di共軛?a＝c且b＝－d(a，b，c，d∈R)復(fù)數(shù)的模向量OZ→的模叫做復(fù)數(shù)z＝a＋bi的模，記作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝r＝eq\r(a2＋b2)(r≥0，a，b∈R)3.復(fù)數(shù)的幾何意義復(fù)平面的概念建立直角坐標(biāo)系來表示復(fù)數(shù)的平面叫做復(fù)平面實(shí)軸、虛軸在復(fù)平面內(nèi)，x軸叫做實(shí)軸，y軸叫做虛軸，實(shí)軸上的點(diǎn)都表示實(shí)數(shù)；除原點(diǎn)以外，虛軸上的點(diǎn)都表示純虛數(shù)復(fù)數(shù)的幾何表示復(fù)數(shù)z＝a＋bi復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Z(a，b)平面向量eq\o(OZ,\s\up7(→))4.復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則設(shè)z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，則：(1)z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；(2)z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；(3)z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；(4)eq\f(z1,z2)＝eq\f(a＋bi,c＋di)＝eq\f(a＋bic－di,c＋dic－di)＝eq\f(ac＋bd,c2＋d2)＋eq\f(bc－ad,c2＋d2)i(c＋di≠0)．5．復(fù)數(shù)運(yùn)算的幾個重要結(jié)論(1)|z1＋z2|2＋|z1－z2|2＝2(|z1|2＋|z2|2)．(2)eq\x\to(z)·z＝|z|2＝|eq\x\to(z)|2.(3)若z為虛數(shù)，則|z|2≠z2.(4)(1±i)2＝±2i.(5)eq\f(1＋i,1－i)＝i；eq\f(1－i,1＋i)＝－i.(6)i4n＝1；i4n＋1＝i；i4n＋2＝－1；i4n＋3＝－i.[澄清盲點(diǎn)誤點(diǎn)]一、關(guān)鍵點(diǎn)練明1．(復(fù)數(shù)的概念)復(fù)數(shù)z＝eq\f(i,5＋i)的虛部為()A.eq\f(5,26)B．eq\f(5,26)iC．－eq\f(5,26)D．－eq\f(5,26)i解析：選Az＝eq\f(i,5＋i)＝eq\f(i5－i,5＋i5－i)＝eq\f(1＋5i,26)＝eq\f(1,26)＋eq\f(5,26)i.故選A.2．(復(fù)數(shù)的模)復(fù)數(shù)z＝(1＋i)2，則|z|＝()A．0B．1C．2D．3解析：選C由題得z＝2i，所以|z|＝2.故選C.3．(復(fù)數(shù)的幾何意義)復(fù)數(shù)z＝eq\f(5,2－i)在復(fù)平面上的對應(yīng)點(diǎn)位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限解析：選Az＝eq\f(5,2－i)＝eq\f(5\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2＋i)),\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－i))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2＋i)))＝2＋i，在復(fù)平面上的對應(yīng)點(diǎn)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，1))，位于第一象限．故選A.4．(復(fù)數(shù)的運(yùn)算)若復(fù)數(shù)z滿足z·i＝1＋i(i是虛數(shù)單位)，則z的共軛復(fù)數(shù)是________．解析：由z·i＝1＋i，得z＝eq\f(1＋i,i)＝eq\f(1＋i－i,－i2)＝1－i，∴eq\o(z,\s\up6(－))＝1＋i.答案：1＋i二、易錯點(diǎn)練清1．(概念理解錯誤)i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)eq\f(4＋3i,3－4i)的虛部是()A．－1B．1C．iD．－i解析：選B由題意得，eq\f(4＋3i,3－4i)＝eq\f(4＋3i3＋4i,3－4i3＋4i)＝eq\f(25i,25)＝i，所以復(fù)數(shù)的虛部是1.故選B.2．(混淆絕對值與復(fù)數(shù)模的含義)若z＝3＋4i，則|z|＝()A.eq\r(5)B．5C．7D．25解析：選B因?yàn)閦＝3＋4i，所以|z|＝eq\r(32＋42)＝eq\r(25)＝5.考點(diǎn)一復(fù)數(shù)的概念1．已知a∈R，若a－1＋(a－2)i(i為虛數(shù)單位)是實(shí)數(shù)，則a＝()A．1B．－1C．2D．－2解析：選C因?yàn)閍－1＋(a－2)i是實(shí)數(shù)，所以a－2＝0，所以a＝2，故選C.2．若z＝1＋2i＋i3，則|z|＝()A．0B．1C.eq\r(2)D．2解析：選C因?yàn)閦＝1＋2i＋i3＝1＋2i－i＝1＋i，所以|z|＝eq\r(12＋12)＝eq\r(2)，故選C.3．(多選)已知i為虛數(shù)，且復(fù)數(shù)z滿足z(1＋2i)＝1＋i3，則下列關(guān)于復(fù)數(shù)z的命題中正確的為()A．復(fù)數(shù)z的虛部為－eq\f(3,5)B．|z|＝eq\f(2\r(5),5)C．復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點(diǎn)在第三象限D(zhuǎn)．z<1＋2i解析：選ACz＝eq\f(1－i,1＋2i)＝eq\f(1－i1－2i,5)＝eq\f(－1－3i,5)，則復(fù)數(shù)z的虛部為－eq\f(3,5)，故A正確；|z|＝eq\f(\r(10),5)，故B錯誤；復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點(diǎn)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,5)，－\f(3,5)))，為第三象限內(nèi)的點(diǎn)，故C正確；虛數(shù)不能比較大小，故D錯誤．故選A、C.4．(多選)設(shè)z1，z2，z3為復(fù)數(shù)，z1≠0.下列命題中正確的是()A．若|z2|＝|z3|，則z2＝±z3B．若z1z2＝z1z3，則z2＝z3C．若eq\x\to(z)2＝z3，則|z1z2|＝|z1z3|D．若z1z2＝|z1|2，則z1＝z2解析：選BC由復(fù)數(shù)的形式知選項(xiàng)A顯然不正確；當(dāng)z1z2＝z1z3時，有z1z2－z1z3＝z1(z2－z3)＝0，又z1≠0，所以有z2＝z3，故選項(xiàng)B正確；當(dāng)eq\x\to(z)2＝z3時，則z2＝eq\x\to(z)3，|z1z2|2－|z1z3|2＝(z1z2)(eq\x\to(z)1eq\x\to(z)2)－(z1z3)(eq\x\to(z)1eq\x\to(z)3)＝z1z2eq\x\to(z)1eq\x\to(z)2－z1z3eq\x\to(z)1eq\x\to(z)3＝0，故選項(xiàng)C正確；當(dāng)z1z2＝|z1|2時，則z1z2＝|z1|2＝z1eq\x\to(z)1?z1z2－z1eq\x\to(z)1＝z1(z2－eq\x\to(z)1)＝0，又z1≠0，所以eq\x\to(z)1＝z2，故選項(xiàng)D不正確．5．已知復(fù)數(shù)z＝eq\f(a,2－i)＋eq\f(2－i,5)的實(shí)部與虛部的和為2，則實(shí)數(shù)a的值為________．解析：易知z＝eq\f(a,2－i)＋eq\f(2－i,5)＝eq\f(a2＋i,5)＋eq\f(2－i,5)＝eq\f(2a＋2,5)＋eq\f(a－1i,5)，由題意得eq\f(2a＋2,5)＋eq\f(a－1,5)＝2，解得a＝3.答案：3[方法技巧]解決復(fù)數(shù)概念問題的方法及注意事項(xiàng)(1)求一個復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部，只需將已知的復(fù)數(shù)化為代數(shù)形式z＝a＋bi(a，b∈R)，則該復(fù)數(shù)的實(shí)部為a，虛部為b.(2)求一個復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)，只需將此復(fù)數(shù)整理成標(biāo)準(zhǔn)的代數(shù)形式，實(shí)部不變，虛部變?yōu)橄喾磾?shù)，即得原復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)．復(fù)數(shù)z1＝a＋bi與z2＝c＋di共軛?a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)．(3)復(fù)數(shù)是實(shí)數(shù)的條件：①z＝a＋bi∈R?b＝0(a，b∈R)；②z∈R?z＝eq\x\to(z)；③z∈R?z2≥0.(4)復(fù)數(shù)是純虛數(shù)的條件：①z＝a＋bi是純虛數(shù)?a＝0且b≠0(a，b∈R);②z是純虛數(shù)?z＋eq\x\to(z)＝0(z≠0)；③z是純虛數(shù)?z2<0.考點(diǎn)二復(fù)數(shù)代數(shù)形式的運(yùn)算[典題例析](1)(1＋2i)(2＋i)＝()A．－5iB．5iC．－5D．5(2)若z＝1＋i，則|z2－2z|＝()A．0B．1C.eq\r(2)D．2(3)eq\f(2－i,1＋2i)＝()A．1B．－1C．iD．－i[解析](1)(1＋2i)(2＋i)＝2＋4i＋i－2＝5i，故選B.(2)法一：∵z＝1＋i，∴|z2－2z|＝|(1＋i)2－2(1＋i)|＝|2i－2－2i|＝2.故選D.法二：∵z＝1＋i，∴|z2－2z|＝|z||z－2|＝eq\r(2)×|－1＋i|＝eq\r(2)×eq\r(2)＝2.故選D.(3)eq\f(2－i,1＋2i)＝eq\f(2－i1－2i,1＋2i1－2i)＝eq\f(－5i,5)＝－i.[答案](1)B(2)D(3)D[方法技巧]復(fù)數(shù)代數(shù)形式運(yùn)算問題的解題策略復(fù)數(shù)的加減法在進(jìn)行復(fù)數(shù)的加減法運(yùn)算時，可類比合并同類項(xiàng)，運(yùn)用法則(實(shí)部與實(shí)部相加減，虛部與虛部相加減)計算即可復(fù)數(shù)的乘法復(fù)數(shù)的乘法類似于多項(xiàng)式的四則運(yùn)算，可將含有虛數(shù)單位i的看作一類同類項(xiàng)，不含i的看作另一類同類項(xiàng)，分別合并即可復(fù)數(shù)的除法除法的關(guān)鍵是分子分母同乘以分母的共軛復(fù)數(shù)，解題中要注意把i的冪寫成最簡形式[針對訓(xùn)練]1．復(fù)數(shù)eq\f(1,1＋2i)＋eq\f(i,2)的共軛復(fù)數(shù)的虛部為()A.eq\f(1,10)B．－eq\f(1,10)C.eq\f(3,10)D．－eq\f(3,10)解析：選B∵eq\f(1,1＋2i)＋eq\f(i,2)＝eq\f(1－2i,1＋2i1－2i)＋eq\f(i,2)＝eq\f(1－2i,5)＋eq\f(i,2)＝eq\f(1,5)－eq\f(2,5)i＋eq\f(i,2)＝eq\f(1,5)＋eq\f(1,10)i，∴復(fù)數(shù)eq\f(1,1＋2i)＋eq\f(i,2)的共軛復(fù)數(shù)為eq\f(1,5)－eq\f(1,10)i，虛部為－eq\f(1,10).故選B.2．計算：(1)eq\f(1＋2i2＋31－i,2＋i)＝________；(2)eq\f(1－i,1＋i2)＋eq\f(1＋i,1－i2)＝________.解析：(1)eq\f(1＋2i2＋31－i,2＋i)＝eq\f(－3＋4i＋3－3i,2＋i)＝eq\f(i,2＋i)＝eq\f(i2－i,5)＝eq\f(1,5)＋eq\f(2,5)i.(2)eq\f(1－i,1＋i2)＋eq\f(1＋i,1－i2)＝eq\f(1－i,2i)－eq\f(1＋i,2i)＝eq\f(－2i,2i)＝－1.答案：(1)eq\f(1,5)＋eq\f(2,5)i(2)－1考點(diǎn)三復(fù)數(shù)的幾何意義[典例](1)在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是(1,2)，則i·z＝()A．1＋2iB．－2＋iC．1－2iD．－2－i(2)在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)eq\f(m＋i,m－i)(i為虛數(shù)單位)對應(yīng)的點(diǎn)位于第一象限，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()A．(－∞，－1)B．(－∞，0)C．(0，＋∞)D．(1，＋∞)[解析](1)由題意知，z＝1＋2i，所以i·z＝i·(1＋2i)＝－2＋i，故選B.(2)eq\f(m＋i,m－i)＝eq\f(m＋i2,m－im＋i)＝eq\f(m2－1,m2＋1)＋eq\f(2m,m2＋1)i.∵該復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)位于第一象限，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(m2－1,m2＋1)>0，,\f(2m,m2＋1)>0，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m2－1>0，,2m>0，))解得m>1，∴實(shí)數(shù)m的取值范圍是(1，＋∞)，故選D.[答案](1)B(2)D[方法技巧]復(fù)數(shù)幾何意義問題的解題策略(1)復(fù)數(shù)z、復(fù)平面上的點(diǎn)Z及向量OZ→相互聯(lián)系，即z＝a＋bi(a，b∈R)?Z(a，b)?OZ→.(2)由于復(fù)數(shù)、點(diǎn)、向量之間建立了一一對應(yīng)的關(guān)系，因此可把復(fù)數(shù)、向量與解析幾何聯(lián)系在一起，解題時可運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方法，使問題的解決更加直觀．[針對訓(xùn)練]1．復(fù)數(shù)z＝eq\f(1－i,3＋i)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限解析：選D∵z＝eq\f(1－i,3＋i)＝eq\f(1－i3－i,3＋i3－i)＝eq\f(2－4i,10)＝eq\f(1,5)－eq\f(2i,5)，∴在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)，－\f(2,5)))，位于第四象限，故選D.2．設(shè)復(fù)數(shù)z滿足條件|z|＝1，那么|z＋2eq\r(2)＋i|的最大值是()A．3B．2eq\r(3)C．1＋2eq\r(2)D．4解析：選D|z|＝1表示單位圓上的點(diǎn)，那么|z＋2eq\r(2)＋i|表示在單位圓上的點(diǎn)到(－2eq\r(2)，－1)的距離，求最大值轉(zhuǎn)化為點(diǎn)(－2eq\r(2)，－1)到原點(diǎn)的距離加上圓的半徑．因?yàn)辄c(diǎn)(－2eq\r(2)，－1)到原點(diǎn)的距離為3，所以最大值為4.3．設(shè)復(fù)數(shù)z滿足|z－i|＝|z＋i|(i為虛數(shù)單位)，且z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為Z(x，y)，則下列結(jié)論一定正確的是()A．x＝1B．y＝1C．x＝0D．y＝0解析：選D∵滿足|z－i|＝|z＋i|的點(diǎn)為復(fù)平面內(nèi)到點(diǎn)(0，－1)和(0,1)的距離相等的點(diǎn)的集合，∴Z(x，y)的軌跡為x軸，其方程為y＝0.故選D.eq\a\vs4\al([課時跟蹤檢測])1．已知i為虛數(shù)單位，z＝eq\f(4,1－i)，則復(fù)數(shù)z的虛部為()A．－2iB．2iC．2D．－2解析：選Cz＝eq\f(4,1－i)＝eq\f(41＋i,1－i1＋i)＝eq\f(41＋i,2)＝2＋2i，虛部即為i的系數(shù)，為2，故選C.2．設(shè)復(fù)數(shù)z＝eq\f(1－i,1＋i)，f(x)＝x2020＋x2019＋…＋x＋1，則f(z)＝()A．iB．－iC．1D．－1解析：選C∵z＝eq\f(1－i,1＋i)＝eq\f(1－i2,1＋i1－i)＝eq\f(－2i,2)＝－i，∴f(z)＝f(－i)＝(－i)2020＋(－i)2019＋…＋(－i)＋1.∵(－i)＋(－i)2＋(－i)3＋(－i)4＝－i－1＋i＋1＝0，∴f(z)＝505×0＋1＝1.故選C.3．若z＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m2＋m－6))＋(m－2)i為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)m的值為()A．－2B．2C．－3D．3解析：選C因?yàn)閦＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m2＋m－6))＋(m－2)i為純虛數(shù)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m－2m＋3＝0，,m－2≠0，))解得m＝－3，故選C.4．復(fù)數(shù)z＝eq\f(2i4,1＋i)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限解析：選D由題得復(fù)數(shù)z＝eq\f(2,1＋i)＝eq\f(21－i,1＋i1－i)＝eq\f(21－i,2)＝1－i，所以復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點(diǎn)位于復(fù)平面第四象限，故選D.5．“a＝－2”是“復(fù)數(shù)z＝(a＋2i)(－1＋i)(a∈R)為純虛數(shù)”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件解析：選C當(dāng)a＝－2時，z＝(－2＋2i)(－1＋i)＝－4i，則z為純虛數(shù)，可知“a＝－2”是“復(fù)數(shù)z＝(a＋2i)(－1＋i)(a∈R)為純虛數(shù)”的充分條件；當(dāng)z＝(a＋2i)(－1＋i)＝(－a－2)＋(a－2)i為純虛數(shù)時，有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－a－2＝0，,a－2≠0，))解得a＝－2，可知“a＝－2”是“復(fù)數(shù)z＝(a＋2i)(－1＋i)(a∈R)為純虛數(shù)”的必要條件．綜上所述，“a＝－2”是“復(fù)數(shù)z＝(a＋2i)(－1＋i)(a∈R)為純虛數(shù)”的充要條件．6．已知a∈R，i是虛數(shù)單位，若z＝a＋eq\r(3)i，z·eq\x\to(z)＝4，則a＝()A．1或－1B．eq\r(7)或－eq\r(7)C．－eq\r(3)D．eq\r(3)解析：選A∵z＝a＋eq\r(3)i，∴eq\x\to(z)＝a－eq\r(3)i，∴z·eq\x\to(z)＝(a＋eq\r(3)i)(a－eq\r(3)i)＝a2＋3＝4，∴a2＝1，∴a＝±1，故選A.7．已知m∈R，復(fù)數(shù)z1＝1＋3i，z2＝m＋2i，且z1·eq\x\to(z)2為實(shí)數(shù)，則m＝()A．－eq\f(2,3)B．eq\f(2,3)C．3D．－3解析：選B因?yàn)閦1·eq\x\to(z)2＝(1＋3i)(m－2i)＝(m＋6)＋(3m－2)i為實(shí)數(shù)，所以3m－2＝0，解得m＝eq\f(2,3).故選B.8．已知復(fù)數(shù)z1，z2在復(fù)平面內(nèi)的對應(yīng)點(diǎn)關(guān)于實(shí)軸對稱，z1＝3－i(i為虛數(shù)單位)，則eq\f(z1,z2)＝()A.eq\f(4,5)－eq\f(3,5)iB．－eq\f(4,5)＋eq\f(3,5)iC．－eq\f(4,5)－eq\f(3,5)iD．eq\f(4,5)＋eq\f(3,5)i解析：選A由題意，復(fù)數(shù)z1，z2在復(fù)平面內(nèi)的對應(yīng)點(diǎn)關(guān)于實(shí)軸對稱，z1＝3－i，則z2＝3＋i，則根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算，得eq\f(z1,z2)＝eq\f(3－i,3＋i)＝eq\f(4,5)－eq\f(3,5)i.9．已知z＝a＋bi，其中a，b∈R，且滿足(a＋i)2＝bi5，則|z|＝()A．5B．eq\r(5)C．3D．eq\r(3)解析：選B由已知得(a＋i)2＝bi，所以a2－1＋(2a－b)i＝0，所以a2－1＝0且2a－b＝0，解得a＝1，b＝2或a＝－1，b＝－2，所以|z|＝eq\r(a2＋b2)＝eq\r(5).10．設(shè)z是復(fù)數(shù)，|z－i|≤2(i是虛數(shù)單位)，則|z|的最大值是()A．1B．2C．3D．4解析：選C∵|z－i|≤2，∴復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點(diǎn)在以(0,1)為圓心，2為半徑的圓上及其內(nèi)部(如圖)．∴|z|的最大值為3.11．已知ABCD是復(fù)平面內(nèi)的平行四邊形，A，B，C三點(diǎn)對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別是－2＋i,1－i,2＋2i，則點(diǎn)D對應(yīng)的復(fù)數(shù)為()A．4－iB．－3－2iC．5D．－1＋4i解析：選D由題得A(－2,1)，B(1，－1)，C(2,2)，設(shè)D(x，y)，則eq\o(AB,\s\up7(→))＝(3，－2)，eq\o(DC,\s\up7(→))＝(2－x,2－y)，因?yàn)閑q\o(AB,\s\up7(→))＝eq\o(DC,\s\up7(→))，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2－x＝3，,2－y＝－2，))解得x＝－1，y＝4.所以點(diǎn)D的坐標(biāo)為(－1,4)，所以點(diǎn)D對應(yīng)的復(fù)數(shù)為－1＋4i.12．(多選)已知復(fù)數(shù)z滿足z(2－i)＝i(i為虛數(shù)單位)，復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)為eq\x\to(z)，則()A．|z|＝eq\f(3,5)B.eq\x\to(z)＝－eq\f(1＋2i,5)C．復(fù)數(shù)z的實(shí)部為－1D．復(fù)數(shù)z對應(yīng)復(fù)平面上的點(diǎn)在第二象限解析：選BD因?yàn)閺?fù)數(shù)z滿足z(2－i)＝i，所以z＝eq\f(i,2－i)＝eq\f(i2＋i,2－i2＋i)＝－eq\f(1,5)＋eq\f(2,5)i，所以|z|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,5)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))2)＝eq\f(\r(5),5)，故A錯誤；eq\x\to(z)＝－eq\f(1,5)－eq\f(2,5)i，故B正確；復(fù)數(shù)z的實(shí)部為－eq\f(1,5)，故C錯誤；復(fù)數(shù)z對應(yīng)復(fù)平面上的點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,5)，\f(2,5)))在第二象限，故D正確．13．已知i為虛數(shù)單位，且復(fù)數(shù)z滿足z－2i＝eq\f(1,1－i)，則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為()A.eq\f(13,2)B．eq\f(\r(26),2)C.eq\f(\r(10),2)D．eq\f(5,2)解析：選B由z－2i＝eq\f(1,1－i)，得z＝2i＋eq\f(1,1－i)＝2i＋eq\f(1＋i,1－i1＋i)＝eq\f(1,2)＋eq\f(5,2)i，∴復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(5,2)))，到原點(diǎn)的距離為eq\r(\f(1,4)＋\f(25,4))＝eq\f(\r(26),2).14．(多選)已知集合M＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(m|m＝in，n∈N))，其中i為虛數(shù)單位，則下列元素屬于集合M的是()A．(1－i)(1＋i)B．eq\f(1－i,1＋i)C.eq\f(1＋i,1－i)D．(1－i)2解析：選BC根據(jù)題意，M＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(m|m＝in，n∈N))，∴M＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－1，1，i，－i)).選項(xiàng)A中，(1－i)(1＋i)＝2,2?M；選項(xiàng)B中，eq\f(1－i,1＋i)＝eq\f(1－i2,1＋i1－i)＝－i∈M；選項(xiàng)C中，eq\f(1＋i,1－i)＝eq\f(1＋i2,1－i1＋i)＝i∈M；選項(xiàng)D中，(1－i)2＝－2i?M，故選B、C.15．設(shè)復(fù)數(shù)z1，z2滿足|z1|＝|z2|＝2，z1＋z2＝eq\r(3)＋i，則|z1－z2|＝_______.解析：法一：設(shè)z1＝a＋bi(a，b∈R)，則z2＝eq\r(3)－a＋(1－b)i，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|z1|2＝a2＋b2＝4，,|z2|2＝\r(3)－a2＋1－b2＝4，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＋b2＝4，,\r(3)a＋b＝2，))所以|z1－z2|2＝(2a－eq\r(3))2＋(2b－1)2＝4(a2＋b2)－4(eq\r(3)a＋b)＋4＝4×4－4×2＋4＝12，所以|z1－z2|＝2eq\r(3).法二：題設(shè)可等價轉(zhuǎn)化為