新疆烏魯木齊市第五中學(xué)2023-2024學(xué)年高三上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)試題

烏魯木齊市第五中學(xué)20232024學(xué)年高三上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)試題總分150分考試時(shí)間120分鐘一、單項(xiàng)選擇題（8小題每題5分共40分）1.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對應(yīng)點(diǎn)位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】B【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、幾何意義即可得出．【詳解】復(fù)數(shù)z的對應(yīng)點(diǎn)位于第二象限．故選：B．2.已知集合，集合.若，則實(shí)數(shù)的取值集合為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)是的子集列方程，由此求得的取值集合.【詳解】由于，所以，所以實(shí)數(shù)m的取值集合為.故選：C3.從6名女生、4名男生中，按性別采用分層抽樣的方法抽取5名學(xué)生組成課外小組，則不同的抽取方法種數(shù)為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用分層抽樣的特點(diǎn)得到男女生應(yīng)該抽取的人數(shù)后，再根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理可得結(jié)果.【詳解】根據(jù)分層抽樣的特點(diǎn)可知，女生抽3人，男生抽2人，所以不同的抽取方法種數(shù)為.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查了分層抽樣，考查了分步計(jì)數(shù)原理，屬于基礎(chǔ)題.4.設(shè)偶函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由偶函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合單調(diào)性分析即可.【詳解】由題意，偶函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則，結(jié)合偶函數(shù)的性質(zhì)可得，故.故選：C5.已知，是橢圓上關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩點(diǎn)，是該橢圓上不同于，的一點(diǎn)，若直線的斜率的取值范圍為，則直線的斜率的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】設(shè)點(diǎn)，，，求出，由把用表示，從而上的范圍得的取值范圍．【詳解】設(shè)點(diǎn)，，，則，∴.又∵，∴，故選：B.【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：本題考查直線與橢圓位置關(guān)系。在橢圓中，是橢圓上關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩點(diǎn)，是橢圓上不同于的點(diǎn)，則（斜率存在時(shí)）．6.若函數(shù)有三個(gè)單調(diào)區(qū)間，則b的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】首先求導(dǎo)數(shù)，根據(jù)條件，轉(zhuǎn)化為導(dǎo)數(shù)有2個(gè)變號零點(diǎn)，即可求解.【詳解】，因?yàn)楹瘮?shù)有三個(gè)單調(diào)區(qū)間，所以，解得：.故選：A7.已知，，則等于A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)余弦的半角公式化簡、運(yùn)算，即可求解，得到答案．【詳解】由題意，可知，則，又由半角公式可得，故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角函數(shù)的化簡、求值問題，其中解答中熟練應(yīng)用余弦函數(shù)的半角公式，準(zhǔn)確運(yùn)算是解答的關(guān)鍵，著重考查了運(yùn)算與求解能力，屬于基礎(chǔ)題．8.已知遞增等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，且，則與的關(guān)系是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，由已知列式求得，再由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前項(xiàng)和求解.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，由，得，所以，又，所以，所以，，所以即故選：D二、多選題（共4小題每題五分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分.）9.已知半徑為1的球內(nèi)切于半徑為，高為的一個(gè)圓錐（球與圓錐的側(cè)面、底面都相切），則下列說法正確的是（）A. B.圓錐的體積與表面積之比為定值C.圓錐表面積的最小值是 D.當(dāng)圓錐的表面積最小時(shí)，圓錐的頂角為60°【答案】BC【解析】【分析】由圓錐的半徑和高，表示出母線長，利用球內(nèi)切于圓錐，求出與的關(guān)系驗(yàn)證選項(xiàng)A；表示出圓錐的體積與表面積，驗(yàn)證選項(xiàng)B；利用基本不等式求圓錐表面積的最小值，并求此時(shí)母線長，驗(yàn)證選項(xiàng)CD.【詳解】如圖所示，圓錐的高，底面半徑，母線，，，，∽，，，，，得，所以，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；圓錐的體積，圓錐的表面積，圓錐的體積與表面積之比為，為定值，B選項(xiàng)正確；，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號成立，圓錐的表面積，則時(shí)圓錐表面積有最小值，C選項(xiàng)正確；當(dāng)圓錐的表面積最小時(shí)，，，，，圓錐的頂角不是60°，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：BC10.在棱長為1的正方體中，在側(cè)面（含邊界）內(nèi)運(yùn)動(dòng)，在底面（含邊界）內(nèi)運(yùn)動(dòng)，則下列說法正確的是（）A.若直線與直線所成角為30°，則點(diǎn)的軌跡為圓弧B.若直線與平面所成角為30°，則點(diǎn)的軌跡為雙曲線的一部分C.若，則點(diǎn)的軌跡為線段D.若到直線的距離等于到平面的距離，則點(diǎn)的軌跡為拋物線的一部分【答案】ABD【解析】【分析】畫出正方體，根據(jù)各選項(xiàng)的不同條件對圖形進(jìn)行分析并運(yùn)算即可得出軌跡問題的結(jié)論.【詳解】直線與直線所成角即為，在中，，∴，故在以為圓心，為半徑的圓落在側(cè)面內(nèi)的圓弧上，A正確；過作于點(diǎn)（如圖），設(shè)，，直線與平面所成角即為，在中，，從而，故點(diǎn)的軌跡為雙曲線的一部分，故B正確；在中，，從而，故在以為圓心，為半徑的圓落在底面內(nèi)的圓弧上，C錯(cuò)誤；到直線的距離等于到平面的距離，即到點(diǎn)的距離等于到直線的距離，故點(diǎn)的軌跡為拋物線的一部分，故D正確.故選：ABD.11.下列四個(gè)命題是真命題的是（）A.若函數(shù)的定義域?yàn)?，則函數(shù)的定義域?yàn)锽.函數(shù)的值域?yàn)镃.若函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)都在區(qū)間為內(nèi)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為D.已知在上是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是【答案】ACD【解析】【分析】選項(xiàng)A根據(jù)抽象函數(shù)的定義域可得；選項(xiàng)B運(yùn)用換元法可求函數(shù)的值域；選項(xiàng)C根據(jù)二次函數(shù)區(qū)間根問題求參數(shù)可得；選項(xiàng)D根據(jù)分段函數(shù)在上增函數(shù)可得.【詳解】選項(xiàng)A：函數(shù)的定義域?yàn)椋瑒t函數(shù)的中，得，故A正確；選項(xiàng)B：設(shè)，得，則，對稱軸為，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，故，故B錯(cuò)誤；選項(xiàng)C：若函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)都在區(qū)間為內(nèi)，則，得，故C正確；選項(xiàng)D：若在上是增函數(shù)，則，得，故D正確.故選：ACD12.已知事件與事件為互斥事件，是事件的對立事件，是事件的對立事件，若，，則（）A. B.C. D.事件與事件不獨(dú)立【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)對立事件、互斥事件、獨(dú)立事件及交事件、和事件的定義，依次分析選項(xiàng)是否正確，即可得出答案.詳解】對于A，，故A正確；對于B，，故B正確；對于C，因?yàn)槭录c事件為互斥事件，事件不一定為互斥事件，則不一定成立，故C不正確；對于D，，故事件與事件D正確.故選：ABD.三、填空題（本題共4小題，每題5分，共20分）13.在中，，，若點(diǎn)G是的重心，則__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)重心的性質(zhì)和向量數(shù)量積的運(yùn)算律即可得到答案.【詳解】因?yàn)橹?，，，則，.故答案為：.14.已知正四棱臺(tái)上底邊長為2，下底邊長為4，側(cè)棱長為3.則四棱臺(tái)的高為______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)給定條件，求出正四棱臺(tái)的對角面等腰梯形的高即可作答.【詳解】正四棱臺(tái)對角面等腰梯形的高即為該正四棱臺(tái)的高，因?yàn)檎睦馀_(tái)上底邊長為2，下底邊長為4，側(cè)棱長為3，則該四棱臺(tái)對角面等腰梯形的上下底邊長分別為，腰長為3，因此等腰梯形高為，所以四棱臺(tái)的高為.故答案為：15.平面直角坐標(biāo)系中,直線被圓截得的弦長為______.【答案】【解析】【分析】先利用點(diǎn)線距離公式求得圓心到直線的距離，再利用弦長公式即可得解.【詳解】因?yàn)榭苫癁?，所以圓心到直線的距離為：，所以直線=被圓=截得的弦長為=.故答案為：.16.“”是“”的______條件.（從“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”“既不充分也不必要”中選擇填空）【答案】充分不必要【解析】【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義，以及三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式，結(jié)合充分條件、必要條件的判定方法，即可求解.【詳解】由，可得或，所以或，當(dāng)時(shí)，可得；當(dāng)時(shí)，可得，即由，可得；反之：當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，所以是的充分不必要條件.故答案為：充分不必要.四、解答題（本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.請根據(jù)答題卡題號及分值在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域的答案無效.）17.在中，角的對邊分別為，且．（1）判斷的形狀；（2）若，點(diǎn)分別在邊上，且，求的面積．【答案】（1）是直角三角形（2）【解析】【分析】（1）利用余弦定理化角為邊，整理即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)求解即可.【小問1詳解】因?yàn)?，由正弦定理得，化簡得，所以是直角三角形；【小?詳解】由（1）得，因?yàn)椋?，則，因?yàn)?，所以?,，，所以.18.已知數(shù)列是等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為，且，，數(shù)列為等比數(shù)列，且，．（1）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；（2）若，設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求證：．【答案】（1），；（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為，由條件可得，可求出，，，結(jié)合等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式可求出.

（2）由（1）可得，利用錯(cuò)位相減法可求和，從而可證結(jié)論.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為，由題意可得，即，解得，.，，解得，因此，.綜上所述，，；（2），，①，②①②得，，，又，則數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列，則.因此，.【點(diǎn)睛】本題考查求等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查錯(cuò)位相減法求和，屬于中檔題.19.我市某校為了解高一新生對物理科與歷史科方向的選擇意向，對1000名高一新生發(fā)放意向選擇調(diào)查表，統(tǒng)計(jì)知，有600名學(xué)生選擇物理科，400名學(xué)生選擇歷史科.分別從選擇物理科和歷史科的學(xué)生中隨機(jī)各抽取20名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績得如下累計(jì)表（下表）：分?jǐn)?shù)段物理人數(shù)歷史人數(shù)（1）利用表中數(shù)據(jù)，試分析數(shù)學(xué)成績對學(xué)生選擇物理科或歷史科的影響，并繪制選擇物理科的學(xué)生的數(shù)學(xué)成績的頻率分布直方圖（如圖）；（2）從數(shù)學(xué)成績不低于70分的選擇物理科和歷史科的學(xué)生中各取一名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績，求選取物理科學(xué)生的數(shù)學(xué)成績至少高于選取歷史科學(xué)生的數(shù)學(xué)成績一個(gè)分?jǐn)?shù)段的概率.【答案】（1）答案見解析（2）【解析】【分析】（1）從統(tǒng)計(jì)表看出選擇理科的學(xué)生的數(shù)學(xué)平均成績高于選擇文科的學(xué)生的數(shù)學(xué)平均成績,反映了數(shù)學(xué)成績對學(xué)生選擇文理科有一定的影響，然后根據(jù)數(shù)據(jù)繪制出直方圖即可；(2)利用互斥事件的加法公式，即可得出結(jié)論.【小問1詳解】解：由表格數(shù)據(jù)知，隨著數(shù)學(xué)成績分?jǐn)?shù)的提升，選擇物理方向?qū)W生的占比有明顯的提升.所以數(shù)學(xué)成績越好，其選擇物理科方向的概率越大.頻率分布直方圖如下：

【小問2詳解】解：設(shè)“選取物理科學(xué)生的數(shù)學(xué)成績至少高于選取歷史科的學(xué)生的數(shù)學(xué)成績一個(gè)分?jǐn)?shù)段”為事件C選擇物理科的學(xué)生考分在，，分別事件，，，選擇歷史科的學(xué)生考分在，，的事件分別為，，由表得?，，因?yàn)椤斑x擇物理科的學(xué)生考分在何分?jǐn)?shù)段”與“選擇歷史科的學(xué)生考分在何分?jǐn)?shù)段”相互獨(dú)立，，，，，，也明顯互斥所以.20.如圖，在四棱錐中，平面，∥，，，分別是棱的中點(diǎn)．（1）求證：∥平面.（2）求證：平面⊥平面.【答案】（1）見解析；（2）見解析；【解析】【分析】（1）、設(shè),連接,,利用三角形中位線可證明∥,利用線面平行的判斷即可證明；（2）、（方法一）證明平面;（方法二）證明平面;然后利用線面垂直證明平面與平面垂直.【小問1詳解】設(shè),連接,,∥，,是棱的中點(diǎn),∥，,四邊形為平行四邊形，是棱的中點(diǎn),∥,又平面,平面,∥平面.【小問2詳解】(方法一)⊥平面,平面,.∥，,是棱的中點(diǎn),∥，,四邊形為平行四邊形，∥，.,四邊形為菱形，,平面,平面,平面,又平面，平面⊥平面.（方法二）連接,平面,平面,∥,,平面,平面,,是棱的中點(diǎn),,由（1）可知，,又是棱的中點(diǎn),,平面,平面,平面.又平面,平面⊥平面.21.有一塊直角三角形的板置于平面直角坐標(biāo)系中，已知，，點(diǎn)是三角形內(nèi)一點(diǎn)，現(xiàn)在由于三角板中陰影部分受到損壞，為把損壞部分鋸掉，可用經(jīng)過點(diǎn)的一條直線，將三角板鋁成，問：應(yīng)該如何鋸法，即直線斜率為多少時(shí)，可使三角板的面積最大？【答案】,【解析】【分析】由已知及直線的斜截式方程求、坐標(biāo)，再由三角形面積公式寫出△的面積S，并指出k的取值范圍由面積S的解析式構(gòu)造函數(shù)，并研究函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而求S的最值．【詳解】依題意，直線MN過點(diǎn)且斜率存在，則MN的方程為，，，直線OA的方程為，直線AB的方程為，由知：且，可得或，由知：且，可得，，故，，，∴，且.設(shè)，，當(dāng)時(shí)，，∵，，，，則，即，在是增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，即時(shí)，．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：應(yīng)用直線的斜截式方程及三角形面積公式寫出面積S及k的范圍，利用函數(shù)的單調(diào)性求S的最值.22.已知函數(shù)，．（1）當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若函數(shù)在上不單調(diào)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【答案】（1）函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減（2）【解析】【分析】（1）當(dāng)時(shí)，確定函數(shù)解析式，求出定義域，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性；（2）由的解析式求出導(dǎo)數(shù)，無法直接判斷導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)，構(gòu)造新函數(shù)再求導(dǎo)，分類討論的單調(diào)性，求出實(shí)數(shù)a的取值范圍.【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，函數(shù)，定義域?yàn)?，易知，令，得，令，得，所以函?shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．【小問2詳解】由題意知，則，令，，則．①當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，不符合題意．