第14章 勾股定理 章末檢測卷（解析版）

第14章勾股定理章末檢測卷（華東師大版）姓名：__________________班級(jí)：______________得分：_________________注意事項(xiàng)：本試卷滿分100分，考試時(shí)間90分鐘，試題共26題．答卷前，考生務(wù)必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級(jí)等信息填寫在試卷規(guī)定的位置．一、選擇題（本大題共12小題，每小題3分，共36分）在每小題所給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．（2021·山西八年級(jí)期末）根據(jù)勾股定理，任意直角三角形的兩條直角邊長，，和斜邊長都是含三個(gè)未知數(shù)的方程的一組解，而每一組勾股數(shù)（例如3，4，5；5，12，13；等）都是這個(gè)方程的正整數(shù)解．高于二次的方程，，，…是否也有正整數(shù)解呢？法國數(shù)學(xué)家費(fèi)馬經(jīng)過研究得出結(jié)論：當(dāng)自然數(shù)時(shí)，方程沒有正整數(shù)解．這個(gè)命題的證明引起了世界各國數(shù)學(xué)家的關(guān)注，最終由英國數(shù)學(xué)家懷爾斯于1995年完成了證明．困擾了數(shù)學(xué)家300多年歷史的數(shù)學(xué)難題終于得到解決，在解決這一數(shù)學(xué)難題的過程中，反映了一代代數(shù)學(xué)家艱苦探索、不屈不撓的科學(xué)精神和聰明慧．這個(gè)定理的證明被稱為“世紀(jì)性的成就”．這個(gè)定理指的是（）A．費(fèi)馬大定理 B．懷爾斯大定理 C．勾股定理 D．勾股定理的逆定理【答案】A【分析】根據(jù)“法國數(shù)學(xué)家費(fèi)馬經(jīng)過研究得出結(jié)論：當(dāng)自然數(shù)時(shí)，方程沒有正整數(shù)解，”即可得到答案．【詳解】法國數(shù)學(xué)家費(fèi)馬經(jīng)過研究得出結(jié)論：當(dāng)自然數(shù)時(shí)，方程沒有正整數(shù)解．∴這個(gè)定理指的是費(fèi)馬大定理故選A【點(diǎn)睛】本題主要考查了學(xué)生對(duì)于數(shù)學(xué)課外閱讀的認(rèn)知程度，解題的關(guān)鍵是要多了解有關(guān)數(shù)學(xué)的課外知識(shí)．2．（2020·成都市初二期中聯(lián)考）某航空公司經(jīng)營中有A、B、C、D這四個(gè)城市之間的客運(yùn)業(yè)務(wù)．它的部分機(jī)票價(jià)格如下：A﹣B為2000元；A﹣C為1600元；A﹣D為2500元；B﹣C為1200元；C﹣D為900元．現(xiàn)在已知這家公司所規(guī)定的機(jī)票價(jià)格與往返城市間的直線距離成正比，則B﹣D的機(jī)票價(jià)格（）A．1400元 B．1500元 C．1600元 D．1700元【答案】B【分析】這家公司所規(guī)定的機(jī)票價(jià)格與往返城市間的直線距離成正比，不妨把兩地價(jià)格看為是兩點(diǎn)間的距離，則由AC2+BC2=AB2可以知道∠ACB是直角．又AD=AC+CD，故A，C，D在一條直線上，利用勾股定理即可解出BD的長，即是B﹣D的機(jī)票價(jià)格．【解析】把兩地價(jià)格看為是兩點(diǎn)間的距離，則AB＝2000，AC＝1600，AD＝2500，BC＝1200，CD＝900．∵16002+12002=20002，∴AC2+BC2=AB2，∴∠ACB是直角，∵2500＝1600+900，即AD=AC+CD，∴A，C，D在一條直線上，∴∠BCD是直角，∴BD=＝＝1500，即B﹣D的機(jī)票價(jià)格為1500元.故選B.【點(diǎn)睛】本題考查了兩點(diǎn)間的距離、勾股定理及其逆定理.利用勾股定理的逆定理判斷出∠ACB為直角是解題的關(guān)鍵.3．（2021·陜西九年級(jí)）如圖，在的網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長均為1，點(diǎn)A，B，C都在格點(diǎn)上，于點(diǎn)D，則AD的長為（）A．1 B．2 C． D．【答案】B【分析】根據(jù)勾股定理計(jì)算BC的長，再利用面積差可得三角形ABC的面積，由三角形的面積公式即可得到結(jié)論．【詳解】解：由勾股定理得：，∵，∴，∴，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，三角形的面積的計(jì)算，掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．4．（2021·江蘇九年級(jí)一模）如圖，等邊中，，點(diǎn)是邊上一點(diǎn)，則的最小值是（）A．3 B．4 C．5 D．【答案】D【分析】過A點(diǎn)作AH⊥BC于H，如圖，利用等邊三角形的性質(zhì)得到BH＝CH＝3，利用勾股定理計(jì)算出AH＝3，然后根據(jù)垂線段最短解決問題．【詳解】解：過A點(diǎn)作AH⊥BC于H，如圖，

∵△ABC為等邊三角形，∴BH＝CHBC＝3，∴AH3，當(dāng)P點(diǎn)與H點(diǎn)重合時(shí)，AP的值最小，∴AP的最小值是3．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，等邊三角形的性質(zhì)：等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角都相等，且都等于60°．等邊三角形是軸對(duì)稱圖形，它有三條對(duì)稱軸；它的任意一角的平分線都垂直平分對(duì)邊，三邊的垂直平分線是對(duì)稱軸．也考查了垂線段最短．5．（2021·河南八年級(jí)期末）如圖，正方形的邊長為2，其面積標(biāo)記為，以為斜邊作等腰直角三角形，以該等腰直角三角形的一條直角邊為邊向外作正方形，其面積標(biāo)記為，…按照此規(guī)律繼續(xù)下去，則的值為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得出，寫出部分的值，根據(jù)數(shù)的變化找出變化規(guī)律“”（n≥3），依此規(guī)律即可得出結(jié)論．【詳解】解：在圖中標(biāo)上字母，如圖所示．∵正方形的邊長為2，為等腰直角三角形，∴，，∴．觀察，發(fā)現(xiàn)規(guī)律：，，，S，…，∴．當(dāng)時(shí)，，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)、勾股定理以及規(guī)律型中數(shù)的變化規(guī)律，解題關(guān)鍵是找出規(guī)律“”，解決該題目時(shí)，寫出部分的值，根據(jù)數(shù)值的變化找出變化規(guī)律是關(guān)鍵．6．（2021·陜西八年級(jí)期中）如圖所示有一“工”字形的機(jī)器零件它是軸對(duì)稱圖形，圖中所有的角都是直角，圖中數(shù)據(jù)單位：，那么、兩點(diǎn)之間的距離為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】作于點(diǎn)，求出BC，AC，然后根據(jù)勾股定理計(jì)算即可．【詳解】解：作于點(diǎn)，如下圖所示由圖可得，由勾股定理得：即A、B兩點(diǎn)之間的距離為故選A．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，構(gòu)造出直角三角形是解題關(guān)鍵．7．（2021·河南八年級(jí)期末）如圖，桌上有一個(gè)圓柱形玻璃杯（無蓋）高6厘米，底面周長16厘米，在杯口內(nèi)壁離杯口1.5厘米的A處有一滴蜜糖，在玻璃杯的外壁，A的相對(duì)方向有一小蟲P，小蟲離杯底的垂直距離為1.5厘米，小蟲爬到蜜糖處的最短距離是（）A．厘米 B．10厘米 C．厘米 D．8厘米【答案】B【分析】把圓柱沿著點(diǎn)A所在母線展開，把圓柱上最短距離轉(zhuǎn)化為將軍飲馬河型最短問題求解即可.【詳解】把圓柱沿著點(diǎn)A所在母線展開，如圖所示，作點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)B，連接PB，則PB為所求，根據(jù)題意，得PC=8，BC=6，根據(jù)勾股定理，得PB=10，故選B.【點(diǎn)睛】本題考查了圓柱上的最短問題，利用圓柱展開，把問題轉(zhuǎn)化為將軍飲馬河問題，靈活使用勾股定理是解題的關(guān)鍵.8．（2021·黑龍江省樺南實(shí)驗(yàn)中學(xué)初二期中）△ABC中，AB=15，AC=13，高AD=12，則△ABC的周長為A．42 B．32 C．42或32 D．37或33【答案】C【分析】存在2種情況，△ABC是銳角三角形和鈍角三角形時(shí)，高AD分別在△ABC的內(nèi)部和外部【解析】情況一：如下圖，△ABC是銳角三角形∵AD是高，∴AD⊥BC∵AB=15，AD=12∴在Rt△ABD中，BD=9∵AC=13，AD=12∴在Rt△ACD中，DC=5∴△ABC的周長為：15+12+9+5=42情況二：如下圖，△ABC是鈍角三角形在Rt△ADC中，AD=12，AC=13，∴DC=5在Rt△ABD中，AD=12，AB=15，∴DB=9∴BC=4∴△ABC的周長為：15+13+4=32故選：C【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理，解題關(guān)鍵是多解，注意當(dāng)幾何題型題干未提供圖形時(shí)，往往存在多解情況.9．（2021·山西八年級(jí)期末）如圖，圖1是我國古代著名的“趙爽弦圖”的示意圖，它是由四個(gè)全等的直角三角形圍成的，若，將四個(gè)直角三角形中的邊長為的直角邊分別向外延長一倍，得到圖2所示的“數(shù)學(xué)風(fēng)車”，則這個(gè)風(fēng)車的外圍周長是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】由題意∠ACB為直角，AD=6，利用勾股定理求得BD的長，進(jìn)一步求得風(fēng)車的外圍周長．【詳解】解：依題意∠ACB為直角，AD=6，∴CD=6+6=12，由勾股定理得，BD2=BC2+CD2，∴BD2=122+52=169，所以BD=13，所以“數(shù)學(xué)風(fēng)車”的周長是：(13+6)×4=76．故選：D．【點(diǎn)睛】本題是勾股定理在實(shí)際情況中應(yīng)用，熟練掌握勾股定理是解答本題的關(guān)鍵．在直角三角形中，如果兩條直角邊分別為a和b，斜邊為c，那么a2+b2=c2．10．（2021·江蘇西附初中八年級(jí)月考）如圖，中，，，，將邊AC沿CE翻折，使點(diǎn)A落在AB上的點(diǎn)D處；再將邊BC沿CF翻折，使點(diǎn)B落在CD的延長線上的點(diǎn)處，兩條折痕與斜邊AB分別交于點(diǎn)E、F，則線段的長為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)可知AC=CD，∠A=∠CDE，CE⊥AB，Rt△ABC中根據(jù)勾股定理求得AB=5，再根據(jù)三角形的面積可求得B′F的長．【詳解】解：∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，∴AB＝5，根據(jù)折疊的性質(zhì)可知AC＝CD，∠A＝∠CDE，CE⊥AB，∴B′D＝BC﹣CD＝4﹣3＝1，∠DCE+∠B′CF＝∠ACE+∠BCF，∵∠ACB＝90°，∴∠ECF＝45°，∴△ECF是等腰直角三角形，∴EF＝CE，∠EFC＝45°，∴∠BFC＝∠B′FC＝135°，∴∠B′FD＝90°，∵S△ABC＝AC?BC＝AB?CE，∴AC?BC＝AB?CE，∴CE＝，∴EF＝，ED＝AE＝，∴DF＝EF﹣ED＝∴B′F＝．選：A．【點(diǎn)睛】此題主要考查了翻折變換，勾股定理的應(yīng)用等，根據(jù)折疊的性質(zhì)求得相等的角是本題的關(guān)鍵．11．（2021·湖南八年級(jí)期末）如圖，在中，，，點(diǎn)D，E為BC上兩點(diǎn)．，F(xiàn)為外一點(diǎn)，且，，則下列結(jié)論：①；②；③；④，其中正確的是

A．①②③④ B．①②④ C．①③④ D．②③【答案】A【分析】①利用全等三角形的判定得≌，再利用全等三角形的性質(zhì)得結(jié)論；②利用全等三角形的判定和全等三角形的性質(zhì)得，再利用勾股定理得結(jié)論；③利用等腰三角形的性質(zhì)得，再利用三角形的面積計(jì)算結(jié)論；④利用勾股定理和等腰直角三角形的性質(zhì)計(jì)算得結(jié)論．【詳解】解：如圖：

對(duì)于①，因?yàn)?，所以，，因此．又因?yàn)?，所以．又因?yàn)?，所以．因此≌，所以．故①正確．對(duì)于②，由①知≌，所以．又因?yàn)?，所以，連接FD，因此≌．所以．在中，因?yàn)?，所以．故②正確．對(duì)于③，設(shè)EF與AD交于G．因?yàn)?，所以．因此．故③正確．對(duì)于④，因?yàn)?，又在中，又是以EF為斜邊的等腰直角三角形，所以因此，故④正確．故選A．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定，全等三角形的性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)和三角形的面積．12．（2021·全國初二課時(shí)練習(xí)）如圖，已知直線a∥b，且a與b之間的距離為4，點(diǎn)A到直線a的距離為2，點(diǎn)B到直線b的距離為3，AB2．試在直線a上找一點(diǎn)M，在直線b上找一點(diǎn)N，滿足MN⊥a且AM+MN+NB的長度和最短，則此時(shí)AM+NB＝（）A．6

B．8 C．10 D．12【答案】B【分析】MN表示直線a與直線b之間的距離，是定值，只要滿足AM+NB的值最小即可．過A作直線a的垂線，并在此垂線上取點(diǎn)A′，使得AA′＝MN，連接A'B，則A'B與直線b的交點(diǎn)即為N，過N作MN⊥a于點(diǎn)M．則A'B為所求，利用勾股定理可求得其值．【解析】過A作直線a的垂線，并在此垂線上取點(diǎn)A′，使得AA′＝4，連接A′B，與直線b交于點(diǎn)N，過N作直線a的垂線，交直線a于點(diǎn)M，連接AM，過點(diǎn)B作BE⊥AA′，交射線AA′于點(diǎn)E，如圖，∵AA′⊥a，MN⊥a，∴AA′∥MN．又∵AA′＝MN＝4，∴四邊形AA′NM是平行四邊形，∴AM＝A′N．由于AM+MN+NB要最小，且MN固定為4，所以AM+NB最?。蓛牲c(diǎn)之間線段最短，可知AM+NB的最小值為A′B．∵AE＝2+3+4＝9，AB2=120，∴BE2．∵A′E＝AE﹣AA′＝9﹣4＝5，∴A′B8．所以AM+NB的最小值為8．故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用、平行線之間的距離，解答本題的關(guān)鍵是找到點(diǎn)M、點(diǎn)N的位置，難度較大，注意掌握兩點(diǎn)之間線段最短．二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分．不需寫出解答過程，請把答案直接填寫在橫線上）13．（2021·江蘇中考真題）《九章算術(shù)》中有一道“引葭赴岸”問題：“僅有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，適與岸齊．問水深，葭長各幾何？”題意是：有一個(gè)池塘，其地面是邊長為10尺的正方形，一棵蘆葦AB生長在它的中央，高出水面部分BC為1尺．如果把蘆葦沿與水池邊垂直的方向拉向岸邊，那么蘆葦?shù)捻敳緽恰好碰到岸邊的B'（示意圖如圖，則水深為__尺．【答案】12【分析】依題意畫出圖形，設(shè)蘆葦長AB=AB'=x尺，則水深A(yù)C=（x﹣1）尺，因?yàn)锽'E=10尺，所以B'C=5尺，利用勾股定理求出x的值即可得到答案．【詳解】解：依題意畫出圖形，設(shè)蘆葦長AB=AB'=x尺，則水深A(yù)C=（x﹣1）尺，因?yàn)锽'E=10尺，所以B'C=5尺，在Rt△AB'C中，52+（x﹣1）2=x2。解之得x=13，即水深12尺，蘆葦長13尺．故答案為：12．．【點(diǎn)睛】此題考查勾股定理的實(shí)際應(yīng)用，正確理解題意，構(gòu)建直角三角形利用勾股定理解決問題是解題的關(guān)鍵．14．（2021·山東八年級(jí)期中）如圖，在中，，，，則內(nèi)部五個(gè)小直角三角形的周長的和為______．【答案】30cm【分析】由圖形可知，內(nèi)部小三角形直角邊是大三角形直角邊平移得到的，故內(nèi)部五個(gè)小直角三角形的周長為大直角三角形的周長．【詳解】解：∵在△ABC中，∠C=90°，AC=5，BC=12，∴AB==13，由圖形可以看出：內(nèi)部小三角形直角邊是大三角形直角邊平移得到的，故內(nèi)部五個(gè)小直角三角形的周長為AC+BC+AB=30(cm)．故答案為：30cm．【點(diǎn)睛】本題考查了平移的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題．需要注意的是：平移前后圖形的大小、形狀都不改變．15．（2020·浙江省開化縣第三初級(jí)中學(xué)八年級(jí)期中）如圖，以的三邊為直徑，分別向外作半圓，構(gòu)成的兩個(gè)月牙形面積分別為、，的面積．若，，則的值為________．【答案】12【分析】根據(jù)勾股定理和圓的面積公式即可求得的值．【詳解】解：設(shè)Rt△ABC的三邊分別為a、b、c，則，觀察圖形可得：，即，∵，∴=，∴=4+8=12，故答案為：12．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理、圓的面積，熟記圓的面積公式，利用等面積法得出等量關(guān)系是解答的關(guān)鍵．16．（2020·遼寧大石橋）如圖，，，，一機(jī)器人在點(diǎn)B處看見一個(gè)小球從點(diǎn)A出發(fā)沿著方向勻速滾向點(diǎn)，機(jī)器人立即從點(diǎn)B出發(fā)，沿直線勻速前進(jìn)攔截小球，恰好在點(diǎn)C處截住了小球，如果小球滾動(dòng)的速度與機(jī)器人行走的速度相等，則機(jī)器人行走的路程BC為__________．【答案】5m【分析】由題意根據(jù)小球滾動(dòng)的速度與機(jī)器人行走的速度相等，得到BC=AC，設(shè)BC=AC=xm，根據(jù)勾股定理求出x的值即可．【解析】解：∵小球滾動(dòng)的速度與機(jī)器人行走的速度相等，∴BC=AC，設(shè)BC=AC=xm，則OC=（9-x）m，在Rt△BOC中，∵OB2+OC2=BC2，∴32+（9-x）2=x2，解得x=5．故答案為：5m．【點(diǎn)睛】本題考查的是勾股定理的應(yīng)用，熟知在應(yīng)用勾股定理解決實(shí)際問題時(shí)勾股定理與方程的結(jié)合是解決實(shí)際問題常用的方法，關(guān)鍵是從題中抽象出勾股定理這一數(shù)學(xué)模型，畫出準(zhǔn)確的示意圖．17．（2021·貴州九年級(jí)）如圖，矩形中，，，將矩形繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到矩形，邊與交于點(diǎn)，延長交于點(diǎn)，若，則的長為______．【答案】【分析】連接，過點(diǎn)作，設(shè)，分別解得的長，繼而證明，由全等三角形的性質(zhì)得到，由此解得，最后在中，利用勾股定理解得的值，據(jù)此解題．【詳解】如圖，連接，過點(diǎn)作，設(shè)，則矩形中在與中，在中，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查旋轉(zhuǎn)變換、矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，是重要考點(diǎn)，掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．18．（2021·四川省內(nèi)江市第六中學(xué)九年級(jí)）如圖，在RtABC的紙片中，∠C＝90°，AC＝7，AB＝25．點(diǎn)D在邊BC上，以AD為折痕將ADB折疊得到，與邊BC交于點(diǎn)E．若為直角三角形，則BD的長是_____．【答案】17或【分析】由勾股定理可以求出的長，由折疊可知對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等，當(dāng)為直角三角形時(shí)，可以分為兩種情況進(jìn)行考慮，分別利用勾股定理可求出的長．【詳解】解：在中，，（1）當(dāng)時(shí)，如圖1，過點(diǎn)作，交的延長線于點(diǎn)，由折疊得：，，設(shè)，則，，在中，由勾股定理得：，即：，解得：（舍去），，因此，．（2）當(dāng)時(shí)，如圖2，此時(shí)點(diǎn)與點(diǎn)重合，由折疊得：，則，設(shè)，則，，在△中，由勾股定理得：，解得：，因此．故答案為：17或．【點(diǎn)睛】本題考查了翻折變換，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是：分類討論思想的應(yīng)用注意分類的原則是不遺漏、不重復(fù)．三、解答題（本大題共8小題，共66分．請?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）19．（2021·山東七年級(jí)期末）年是第六屆全國文明城市創(chuàng)建周期的第三年，是“強(qiáng)基固本、全力沖刺”的關(guān)鍵之年．“創(chuàng)城”，既能深入改變一座城市的現(xiàn)代化進(jìn)程，也能深刻影響生活在此間的人們．某小區(qū)在社區(qū)管理人員及社區(qū)居民的共同努力之下，在臨街的拐角清理出了一塊可以綠化的空地．如圖，已知，，，，技術(shù)人員在只有卷尺的情況下，通過測量某兩點(diǎn)之間距離，便快速確定了．（1）請寫出技術(shù)人員測量的是哪兩點(diǎn)之間的距離以及確定的依據(jù)；（2）若平均每平方米空地的綠化費(fèi)用為元，試計(jì)算綠化這片空地共需花費(fèi)多少元？【答案】（1）測量的是點(diǎn)，之間的距離，依據(jù)是：如果三角形的三邊長，，滿足，那么這個(gè)三角形是直角三角形．（或：勾股定理的逆定理），見解析；（2）綠化這片空地共需要元【分析】（1）根據(jù)勾股定理的逆定理即可判斷；（2）由（1）中BD的長度，再根據(jù)勾股定理的逆定理判斷出△BCD的形狀，再利用三角形的面積公式，最后計(jì)算費(fèi)用即可．【詳解】（1）測量的是點(diǎn)，之間的距離；依據(jù)是：如果三角形的三邊長，，滿足，那么這個(gè)三角形是直角三角形．（或：勾股定理的逆定理）．（2）如圖，連接，，，，，由勾股定理，得，又，，，是直角三角形，．．綠化費(fèi)用為：（元）．答：綠化這片空地共需要元．【點(diǎn)睛】本題考查的是勾股定理，勾股定理的逆定理及三角形的面積，能根據(jù)勾股定理的逆定理判斷出△ABD的形狀是解答此題的關(guān)鍵．20．（2021·湖南八年級(jí)期末）定義：如圖，點(diǎn)、把線段分割成、、，若以、、為邊的三角形是一個(gè)直角三角形，則稱點(diǎn)、是線段的勾股分割點(diǎn)．（1）已知、把線段分割成、、，若，，，則點(diǎn)、是線段的勾股分割點(diǎn)嗎？請說明理由．（2）已知點(diǎn)、是線段的勾股分割點(diǎn)，且為直角邊，若，，求的長．【答案】（1）是，理由見解析；（2）或【分析】（1）根據(jù)勾股定理逆定理即可判斷．（2）設(shè)BN＝x，則MN＝12﹣AM﹣BN＝7﹣x，分兩種情形①當(dāng)MN為斜邊時(shí)，依題意MN2＝AM2+NB2；②當(dāng)BN為斜邊時(shí)，依題意BN2＝AM2+MN2；分別列出方程即可解決問題．【詳解】解：（1）是．理由：，，，、、為邊的三角形是一個(gè)直角三角形．故點(diǎn)、是線段的勾股分割點(diǎn)．（2）設(shè)，則，①當(dāng)為最大線段時(shí)，依題意，即，解得；②當(dāng)為最大線段時(shí)，依題意．即，解得綜上所述的長為或．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理逆定理，解題的關(guān)鍵是理解題意，分類討論，熟練運(yùn)用勾股定理逆定理列出方程．21．（2020·江西八年級(jí)期中）如圖，地面上放著一個(gè)小凳子，點(diǎn)距離墻面，在圖①中，一根細(xì)長的木桿一端與墻角重合，木桿靠在點(diǎn)處，．在圖②中，木桿的一端與點(diǎn)重合，另一端靠在墻上點(diǎn)處．（1）求小凳子的高度；（2）若，木桿的長度比長，求木桿的長度和小凳子坐板的寬．【答案】（1）30cm；（2）木桿長100cm，AB=40cm．【分析】（1）如圖①，過作垂直于墻面，垂足于點(diǎn)，由，利用勾股定理在中，即可；（2）如圖②，延長交墻面于點(diǎn)，可得，利用勾股定理在中，構(gòu)造方程求解即可．【詳解】解：（1）如圖①，過作垂直于墻面，垂足于點(diǎn)，根據(jù)題意可得：，在中，，即凳子的高度為；（2）如圖②，延長交墻面于點(diǎn)，可得，設(shè)，則，，，在中，，，，．

【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理的應(yīng)用，掌握勾股定理應(yīng)用的條件與結(jié)論，關(guān)鍵是構(gòu)造出符合條件的圖形是解題關(guān)鍵．22．（2021·山東八年級(jí)期末）如圖，筆直的公路上A、B兩點(diǎn)相距22km，C、D為公交公司兩停車場，CA⊥AB于點(diǎn)A，DB⊥AB于點(diǎn)B，已知CA=6km，DB=16km，現(xiàn)在要在公路的AB段上建一個(gè)加油站M，使得C、D公交公司兩停車場到加油站M的距離CM=DM，則加油站M應(yīng)建在離B點(diǎn)多遠(yuǎn)處？【答案】6km【分析】根據(jù)CM=DM，CA⊥AB于點(diǎn)A，DB⊥AB于點(diǎn)B，可得∠A=∠B=90°，由勾股定理得AC2+AM2=BM2+BD2，設(shè)BM=xkm，AM=(22-x)km，可得方程，解之即可．【詳解】解：∵使得C、D公交公司兩停車場到加油站M的距離相等，∴CM=DM，∵CA⊥AB于點(diǎn)A，DB⊥AB于點(diǎn)B，∴∠A=∠B=90°，∴AC2+AM2=CM2，BM2+BD2=MD2，∴AC2+AM2=BM2+BD2，設(shè)BM=xkm，AM=(22-x)km，CA=6km，DB=16km，∴，解得，加油站M應(yīng)建在離B點(diǎn)6km遠(yuǎn)．【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理應(yīng)用，拓展一元一次方程，掌握勾股定理使用條件，一元一次方程的解法是解題關(guān)鍵．23．（2020·山西八年級(jí)期末）閱讀材料，并解決問題．有趣的勾股數(shù)定義：勾股數(shù)又名畢氏三元數(shù)．凡是可以構(gòu)成一個(gè)直角三角形三邊長的一組正整數(shù)，稱之為勾股數(shù)．一般地，若三角形三邊長，，都是正整數(shù)，且滿足，那么數(shù)組稱為勾股數(shù)．公元263年魏朝劉徽著《九章算術(shù)注》，文中除提到勾股數(shù)以外，還提到，，，等勾股數(shù)．?dāng)?shù)學(xué)小組的同學(xué)研究勾股數(shù)時(shí)發(fā)現(xiàn)：設(shè)，是兩個(gè)正整數(shù)，且，三角形三邊長，，都是正整數(shù)．下表中的，，可以組成一些有規(guī)律的勾股數(shù)．213453251213411581743724255221202954940416135123765116061724528537433566576138485通過觀察這個(gè)表格中的數(shù)據(jù)，小明發(fā)現(xiàn)勾股數(shù)可以寫成．解答下列問題：（1）表中可以用，的代數(shù)式表示為_____________．（2）若，，則勾股數(shù)為______________．（3）小明通過研究表中數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)：若，則勾股數(shù)的形式可表述為（為正整數(shù)），請你通過計(jì)算求此時(shí)的．(用含的代數(shù)式表示)【答案】（1）；（2）；（3）【分析】（1）根據(jù)表格中提供的數(shù)據(jù)可得答案；（2）把，代入即可求解；（3）根據(jù)勾股定理求解即可；【詳解】（1）∵4=2×2×1，12=2×3×2，8=2×4×1，24=2×4×3，…，∴，故答案為：；（2）當(dāng)，時(shí)，a=m2-n2=42-22=12，=2×4×2=16，c=m2+n2=42+22=20，∴勾股數(shù)為，故答案為：；（3）根據(jù)題意，得，∴，解得．【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)字類規(guī)律探究，以及勾股定理，熟練掌握勾股定理是解答本題的關(guān)鍵．在直角三角形中，如果兩條直角邊分別為a和b，斜邊為c，那么a2+b2=c2．也就是說，直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方．24．（2021·山東濱州市·八年級(jí)期末）勾股定理是人類重大科學(xué)發(fā)現(xiàn)之一．我國古代數(shù)學(xué)書《周髀算經(jīng)》記載，約公元前11世紀(jì)，我國古代勞動(dòng)人民就知道“若勾三，股四，則弦五”，比西方早500多年．請你運(yùn)用學(xué)到的知識(shí)、方法和思想探究以下問題．（探究一）我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽創(chuàng)制了“趙爽弦圖”，通過圖形切割、拼接，巧妙地利用面積關(guān)系證明了勾股定理．古往今來，人們對(duì)勾股定理的證明一直保持著極大的熱情．意大利著名畫家達(dá)·芬奇用兩張一樣的紙片，拼出不一樣的空洞，利用空洞面積相等也成功地證明了勾股定理（如圖）．請你寫出這一證明過程（圖中所有的四邊形都是正方形，三角形都是直角三角形）．（探究二）在學(xué)習(xí)勾股定理的過程中，我們獲得了以下數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)：分別以直角三角形的三邊為邊向外側(cè)作正方形（如圖2），它們的面積，，之間滿足的等量關(guān)系是：__________．遷移應(yīng)用：如圖3，圖中所有的四邊形都是正方形，三角形都是直角三角形．若正方形，，，的邊長分別是，，，，則正方形的面積是________．（探究三）如圖4，分別以直角三角形的三邊為直徑向外側(cè)作半圓，則它們的面積，，之間滿足的等量關(guān)系是________．遷移應(yīng)用：如圖5，直角三角形的兩條直角邊長分別為，，斜邊長為，分別以三邊為直徑作半圓．若，，則圖中陰影部分的面積等于________．（探究四）《九章算術(shù)》卷九“勾股”中記載：今有立木，系索其末，委地三尺．引索卻行，去本八尺而索尺．問索長幾何．譯文：今有一豎立著的木柱，在木樁的上端系有繩索，繩索從木柱上端順木柱下垂后，堆在地面的部分尚有尺．牽著繩索（繩索與地面接觸）退行，在距木柱根部尺處時(shí)繩索用盡．問繩索長多少？【答案】【探究一】：見解析；【探究二】：S1+S2=S3；遷移應(yīng)用：47；【探究三】S1+S2=S3；遷移應(yīng)用：30；【探究四】繩索長為尺．【分析】【探究一】根據(jù)直角三角形以及正方形的面積公式計(jì)算即可解決問題．【探究二】由正方形面積公式以及勾股定理得S1+S2=S3；遷移應(yīng)用：根據(jù)正方形的面積公式，結(jié)合勾股定理，能夠?qū)С稣叫蜛，B，C，D的面積和即為正方形E的面積；【探究三】利用直角△ABC的邊長就可以表示出半圓S1、S2、S3的大??；遷移應(yīng)用：求出陰影部分的面積等于直角三角形的面積，然后列式計(jì)算即可得解；【探究四】設(shè)繩索長為x尺，根據(jù)勾股定理列出方程解答即可．【詳解】解：【探究一】：由題意得：②的面積為a2+b2+2ab=a2+b2+ab；圖③的面積為c2+2ab=c2+ab，∴a2+b2+ab=c2+ab，即a2+b2=c2；【探究二】S1+S2=S3．證明如下：∵S3=c2，S1=a2，S2=b2，∴S1+S2=a2+b2=c2=S3；故答案為：S1+S2=S3；遷移應(yīng)用：根據(jù)勾股定理的幾何意義，可知SE=SF+SG=SA+SB+SC+SD=32+52+32+22=47；故答案為：47；【探究三】S1+S2=S3．證明如下：∵S3=πc2，S1=πa2，S2=πb2，∴S1+S2=πa2+πb2=πc2=S3；故答案為：S1+S2=S3；遷移應(yīng)用：陰影部分面積和=S1+S2+ab-S3=ab，∵a=5，c=13，∴12，∴陰影部分面積和=×5×12=30，故答案為：30；【探究四】設(shè)繩索長為x尺，根據(jù)題意得：x2-（x-3）2=82，解得：x=，答：繩索長為尺．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的證明及應(yīng)用，讀懂題目材料的信息并用兩種方法準(zhǔn)確表示出同一個(gè)圖形的面積是解題的關(guān)鍵．25．（2020·河北大名）如圖，中，，，，若點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以每秒的速度沿折線運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒.（1）若點(diǎn)在上，且滿足時(shí)，求出此時(shí)的值；（2）若點(diǎn)恰好在的角平分線上，求的值；（3）在運(yùn)動(dòng)過程中，直接寫出當(dāng)為何值時(shí)，為等腰三角形.【答案】（1）；（2）；（3），，或.【分析】（1）設(shè)存在點(diǎn)P，使得PA=PB，此時(shí)PA=PB=2t，PC=4-2t，根據(jù)勾股定理列方程即可求出答案；（2）過P作PE⊥AB，此時(shí)，根據(jù)角平分線的性質(zhì)和勾股定理列方程進(jìn)行解答即可（3）分類討論：當(dāng)CP=CB時(shí)；當(dāng)PC=PB時(shí)，當(dāng)BP=BC時(shí)，列方程進(jìn)行解答即可得出答案【解析】解：（1）在中，設(shè)存在點(diǎn)，使得，此時(shí)，，在中，，即：，解得：當(dāng)時(shí)，；（2）當(dāng)點(diǎn)在的平分線上時(shí)，如圖1，過點(diǎn)作于點(diǎn)，圖1圖2圖3此時(shí)，，，在中，，即：，解得：，當(dāng)時(shí)，在的角平分線上；（3）根據(jù)題意得：，①當(dāng)在上時(shí)，為等腰三角形，，即，，②當(dāng)在上時(shí)，為等腰三角形，（i）若，點(diǎn)在的垂直平分線上，如圖2，過作于，，，即，解得：，（ii）若，即，解得：，（iii），如圖3，過作于，，當(dāng)，，或時(shí)，為等腰三角形.【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理的應(yīng)用，等腰三角形的性質(zhì)等，解題的關(guān)鍵是掌握勾股定理和分類討論的思想.26．（2021·河北八年級(jí)月考）已知△ABC