2023年吉林省長春市德惠市中考數(shù)學二模試卷

2023年吉林省長春市德惠市中考數(shù)學二模試卷

一、選擇題（本大題共8小題，共24.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）

1.下列汽車車標中，既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是（）

BG88D0

2.截至2021年12月31日，長江干流六座梯級水電站全年累計發(fā)電量達2628.83億千瓦時,

相當于減排二氧化碳約2.2億噸，將262883000000用科學記數(shù)法表示應為（）

A.26.2883XIO10B.2.62883x1011C.2.62883x1012D,0.262883x1012

3.實數(shù)a,b在數(shù)軸上的對應點的位置如圖所示，下列結論中正確的是（）

ab

_J_____UI____I_____!_■I____L_>

-3-2-10123

A.a<—2B.b<1C.a>bD.—a>b

4.若一個正多邊形的一個內角是108。，則這個正多邊形的邊數(shù)為（）

A.8B.7C.6D.5

5.如圖，直線力B〃CD,連接BC,點E是上一點，乙4=15°,A^―—-------—

“=27。，則44EC的大小為（）

A.27°

cc"-----------------D

B.42°

C.45°

D.70°

6.如圖，某飛機于空中4處探測到正下方的地面目標C,此時飛

機高度4c為1400米，從飛機上看地面控制點B的俯角為a,則8、

C之間的距離為（）

B.1400tcma米

C.1400sina米

D.1400cosa米

7.如圖，在△4BC中，zC=90°,NB=30。，以4為圓心，

任意長為半徑畫弧分別交4B、4c于點M和N,再分別以M、N

為圓心，大于MN的長為半徑畫弧，兩弧交于點P,連接4P并

延長交BC于點D,以下結論錯誤的是（）

A.AD是NB4C的平分線B./-ADC=60°

C.點。在線段4B的垂直平分線上D.SAAB。：SA4BC=1：2

8.在平面直角坐標系xOy中，點力（-1,2）,B（2,3）,y=aM的圖象如圖所示，則口的值可以

為（）

C.2D.2.1

二、填空題（本大題共6小題，共18.0分）

9.因式分解：4x3—36x=.

10.不等式組｛]]；；；的解集是.

11.如果一個矩形內部能用一些正方形鋪滿，既不重疊，又無縫隙，就稱它為“優(yōu)美矩形”，

如圖所示，“優(yōu)美矩形"ABCD的周長為52,則正方形d的邊長為.

A|--------------------------------------------|D

b

a

b

d

BC

12.將一塊含30。角的三角板如圖放置，三角板的一個頂點C落在以4B為直徑的半圓上，斜

邊恰好經過點B,一條直角邊與半圓交于點。，若48=2,則筋的長為（結果保留兀）.

13.據(jù)《墨經沙記載，在兩千多年前，我國學者墨子和他的學生做了世界上第1個“小孔成

像”的實驗，闡釋了光的直線傳播原理，如圖（1）所示.如圖（2）所示的小孔成像實驗中，若

物距為10cm,像距為15cm,蠟燭火焰倒立的像的高度是6cm,則蠟燭火焰的高度是cm.

14.如圖，平面直角坐標系中，直線CD與支軸、y軸分別交于點C、D,

點4、B為線段CD的三等分點，且4、B在反比例函數(shù)y=^（x>0,k>0）

的圖象上，若A40C的面積為12,則k的值為.

三、解答題（本大題共10小題，共78.0分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）

15.（本小題6.0分）

先化簡，再求值：（1一工）+吃空，其中。=一2.

'a-Va2-l

16.（本小題6.0分）

一只不透明的袋子中裝有2個臼球、1個紅球，這些球除顏色外都相同.

（1）攪勻后從中任意摸出一個球，摸到紅球的概率等于:

（2）攪勻后從中任意摸出一個球，記錄顏色后放回、攪勻，再從中任意摸出一個球.用列表或

畫樹狀圖的方法，求2次都摸到紅球的概率.

17.（本小題6.0分）

某市政工程隊承擔著1200米長的道路維修任務.為了減少對交通的影響，在維修了240米后

通過增加人數(shù)和設備提高了工程進度，工作效率是原來的4倍，結果共用了6小時就完成了任

務.求原來每小時維修多少米？

18.（本小題6.0分）

圖①，圖②，圖③均是4x4的正方形網(wǎng)格，每個小正方形的頂點稱為格點，線段的端點均

在格點上，在圖①，圖②，圖③給定的網(wǎng)格中按要求畫圖.（保留作圖痕跡）

（1）在圖①中，在線段48上畫出點M,使AM=3BM.

（2）在圖②中，畫出一個格點C,使△ABC是以為斜邊的等腰直角三角形.

（3）在圖③中，在線段上畫出點P,使tan/BPH=1.

圖①圖②圖③

19.（本小題7.0分）

如圖，點E,F分別在。4BCO的邊4B,BC上，AE=CF,連接OE,。用請從以下三個條件:

①41=42；②DE=DF；③43=44中，選擇一個合適的作為已知條件，使％1BCD為菱形.

（1）你添加的條件是（填序號）；

（2）添加了條件后，請證明。4BCD為菱形.

20.（本小題8.0分）

某校為引導學生傳承紅色精神，爭當時代新人，在全校開展“紅色教育”學習活動，并讓學

生利用周末的時間，在家觀看與“紅色教育”相關的視頻，為了解學生觀看“紅色教育”相

關視頻的時間情況，學校隨機調查了部分學生最近一周周末在家觀看“紅色教育”相關視頻

的時間，根據(jù)調查結果繪制了如下統(tǒng)計圖表（均不完整）.

組別時間"頻數(shù)頻率

A0-1.0180.12

B1.0?2.0450.3

C2.0?3.0a0.4

D3.0?4.027b

根據(jù)以上信息，解答下列問題：

(1)共調查了名學生；統(tǒng)計表中，a=,b=；并將條形統(tǒng)計圖補充完整；

(2)被調查的學生觀看“紅色教育”相關視頻的時間的中位數(shù)在組；

(3)已知4、B、C、。四組數(shù)據(jù)的平均數(shù)分別為0.5,1.5,2.5,3.5,請你估計該校學生最近一

周周末觀看“紅色教育”相關視頻的時間的平均數(shù).

21.(本小題8.0分)

小林同學從家出發(fā)，步行到離家a米的公園散步，速度為50米/分鐘；6分鐘后哥哥也從家出

發(fā)沿著同一路線騎自行車到公園，哥哥到達公園后立即以原速返回家中，兩人離家的距離y(米

)與小林出發(fā)的時間x(分鐘)的函數(shù)關系如圖所示.

⑴a=---------；

(2)求CD所在直線的函數(shù)表達式；

(3)小林與哥哥第二次相遇時距離公園還有多遠？

22.（本小題9.0分）

【自主學習】（1）填空：

如圖1,點C是NMON的平分線OP上一點，點4在。M上，用圓規(guī)在ON上截取0B=04

連接4C,BC,可得△OAC三,其理由根據(jù)是；

【理解運用】（2）如圖2,在RtAABC中，44cB=90。，44=60。，CO平分NACB交邊48于

點0,試判斷BC和4C、4D之間的數(shù)量關系并寫出證明過程.

【拓展延伸】（3）如圖3,在△ABC中，44=60。，CD,BE分別是NACB,NZBC的平分線，CD,

BE交于點F,若CE=3,BD=2,請直接寫出BC的長.

23.（本小題10.0分）

如圖，在矩形ABCD中，AB=4,AD=6,E為邊4。的中點，點P從點B出發(fā)沿射線BE以每

秒2個單位的速度運動，Q為線段BP的中點，過點P作8E的垂線，過點Q作BC的平行線，兩線

交于點M.設點P運動的時間為t秒（t>0）.

（1）直接寫出線段QM的長.（用含t的代數(shù)式表示）

（2）當點M落在邊CD上時，求t的值.

（3）當4PQM與矩形4BCO重合部分圖形為四邊形時，求t的取值范圍.

（4）當點Q與點M到矩形4BCD的一個內角的角平分線距離相等時，直接寫出t的值.

24.(本小題12.0分)

在平面直角坐標系中，拋物線y=x2+bx+c的對稱軸是直線x=1,與y軸交點的坐標(0,-2).

(1)求拋物線對應的函數(shù)表達式.

(2)①當一2<x<2時，y的取值范圍是.

②若nWxW3時，一3WyWl,則n的取值范圍是.

(3)二次函數(shù)y=/+加；+。圖象上一點「，其橫坐標為m.過點P作PQlx軸于點Q,點”(3-

m,0),以PQ、QM為邊構建矩形PQMN,當矩形PQMN的邊與二次函數(shù)y=/+bx+c的圖

象只有三個交點時，直接寫出TH的取值范圍.

答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：4該圖形是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故此選項不合題意；

員該圖形既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，故此選項符合題意；

C.該圖形是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故此選項不合題意；

。該圖形是中心對稱圖形，不是軸對稱圖形，故此選項不合題意.

故選:B.

根據(jù)中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念，進行判斷即可.把一個圖形繞某一點旋轉180。，如果旋

轉后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形；如果一個圖形沿一條直

線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形.

本題考查的是中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念，常見的中心對稱圖形有平行四邊形、圓形、正

方形、長方形等等.常見的軸對稱圖形有等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圓等等.

2.【答案】B

【解析】解：262883000000用科學記數(shù)法表示應為2.62883x1011.

故選:B.

把一個大于10的數(shù)記成ax10”的形式，其中a是整數(shù)數(shù)位只有一位的數(shù)，n是正整數(shù)，這種記數(shù)

法叫做科學記數(shù)法，由此即可得到答案.

本題考查科學記數(shù)法一表示較大的數(shù)，關鍵是掌握用科學記數(shù)法表示數(shù)的方法.

3.【答案】D

【解析】解：根據(jù)圖形可以得到：

-2<a<0<l<h<2；

所以：4、B、C都是錯誤的；

故選：D.

利用數(shù)軸得與實數(shù)得關系，及正負數(shù)在數(shù)軸上的表示求解.

本題考查了數(shù)軸與實數(shù)的關系，理解并正確運用是解題的關鍵.

4.【答案】D

【解析】解：???正多邊形的每個內角都相等，且為108。,

其一個外角度數(shù)為180。-108°=72°,

則這個正多邊形的邊數(shù)為360+72=5.

故選：D.

通過內角求出外角，利用多邊形外角和360度，用360。除以外角度數(shù)即可.

本題主要考查了多邊形的內角與外角公式，求正多邊形的邊數(shù)時，內角轉化為外角，利用外角和

360。知識求解更簡單.

5.【答案】B

【解析】解：???AB〃CD,，=27。，

Z.ABE=Z.C=27°,

v44=15°,

Z.AEC=44+/.ABE=42°,

故選:B.

由平行線的性質可得乙4BE=47=27°,再由三角形外角性質可得44EC=NA+乙4BE即可求解.

本題考查平行線的性質，三角形的外角性質，解題的關鍵是熟練掌握平行線的性質和三角形的外

角性質，

6.【答案】4

【解析】解：根據(jù)題意可得：4c=1200米，^ABC=a,

AC

■:tana=—,

DC

BC=警（米）.

tana''

故選：A.

由題可知，在直角三角形中，知道已知角和對邊，只需根據(jù)正切值即可求出BC.

本題考查解直角三角形的應用-仰角俯角問題，本題的關鍵是結合圖形利用三角函數(shù)解直角三角

形.

7.【答案】D

【解析】解：由作法得4。平分NBAC,所以4選項的結論正確；

vZC=90°,=30°,

???/.BAC=60°,

???ACAD=匕BAD=30°,

/.^ADC=90°-4CAD=90°-30°=60°,所以B選項的結論正確；

???乙B=乙BAD,

:.DA=DB,

.??點。在48的垂直平分線上，所以C選項的結論正確；

在At△ACD中，

???Z,CAD=30°,

:.AD=2CD,

而8。=AD,

.??BD=2CD,

???BD：BC=2：3,

??：

.S"BDS^ABC=2：3,所以。選項的結論錯誤?

故選：0.

利用基本作圖可對4選項進行判斷；通過角度的計算得到ZBAC=6O。，^CAD=^BAD=30°,則

可對B選項的結論正確；利用NB=/BAD得到D4=DB,則根據(jù)線段的垂直平分線的性質定理的

逆定理可對。選項進行判斷；根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關系得到4。=2CD,則BD=2CD,

所以8D：BC=2：3,然后根據(jù)三角形面積公式可對。選項進行判斷.

本題考查了作圖-基本作圖：熟練掌握5種基本作圖（作一條線段等于已知線段；作一個角等于已

知角；作已知線段的垂直平分線；作已知角的角平分線；過一點作已知直線的垂線）是解題的關

鍵.也考查了角平分線的性質和線段垂直平分線的性質.

8.【答案】B

【解析】解：vx=一1時，y<2,即Q<2；

3

當%=2時，y>3,即4a>3,4-

所以,<a<2.

4

故選：B.

利用久=一1時，y<2和當久=2時，y>3得到a的范圍，然后對各選項進行判斷.

本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關系：對于二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a。。)，二次項系數(shù)a決

定拋物線的開口方向和大小.當a>0時，拋物線向上開口；當a<0時，拋物線向下開口；一次

項系數(shù)b和二次項系數(shù)a共同決定對稱軸的位置.當a與b同號時(即ab>0),對稱軸在y軸左側；

當a與b異號時(即ab<0),對稱軸在y軸右側.

9.【答案】4x(x+3)(%-3)

【解析】解：原式=4x(%2—9)=4x(x+3)(x—3).

故答案為：4x(x+3)(x-3).

首先提公因式4x,然后利用平方差公式即可分解.

本題考查了用提公因式法和公式法進行因式分解，一個多項式有公因式首先提取公因式，然后再

用其他方法進行因式分解，同時因式分解要徹底，直到不能分解為止.

10.【答案】1<x<3

【解析】解：由得：x<3,

由2—%<1,得：x>1,

則不等式組的解集為1<“<3,

故答案為：l<x<3.

分別求出每一個不等式的解集，根據(jù)口訣：同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小找

不到確定不等式組的解集.

本題考查的是解一元一次不等式組，正確求出每一個不等式解集是基礎，熟知“同大取大：同小

取小；大小小大中間找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關鍵.

11.【答案】10

【解析】解：設正方形a、b、c、d的邊長分別為m、n,s、t,

?.?“優(yōu)美矩形”4BCD的周長為52,

???4t+2s=52,

vm=2n,s=m+n,t=m+s,

S—371,

???n=-s,

???t=2九+s=|s,則s=

??,4t+=52,

:*t=10,

???正方形d的邊長為10,

故答案為：10.

設正方形a、氏c、d的邊長分別為m、n,s、t,分別求得n=gs,s=|t,由“優(yōu)美矩形”4BCD的

周長得4t+2s=52,列式計算即可求解.

本題考查了整式加減的應用，認真觀察圖形，根據(jù)長方形的周長公式推導出所求的答案是解題的

關鍵.

12.【答案】1

【解析】解：連接。。，

由圓周角定理得，4B。。=24(7=60。,

???防的長=需=緊

AOUJ

連接。。，根據(jù)圓周角定理求出4B。。，根據(jù)弧長公式計算即可.

本題考查的是弧長的計算、圓周角定理，掌握弧長公式是解題的關鍵.

13.【答案】4

【解析】解：設蠟燭火焰的高度是xan,

由相似三角形的性質得到：*=

156

解得x=4.

即蠟燭火焰的高度是4cm.

故答案為：4.

直接利用相似三角形的對應邊成比例解答.

本題考查相似三角形的判定與性質的實際應用及分析問題、解決問題的能力.利用數(shù)學知識解決

實際問題是中學數(shù)學的重要內容.解決此問題的關鍵在于正確理解題意的基礎上建立數(shù)學模型，

把實際問題轉化為數(shù)學問題.

14.【答案】8

【解析】解：「4在反比例函數(shù)丫=5?！?,卜>0）的圖象上，

二設點4（ni，5），

???點4、B為線段CD的三等分點，

:.DA：DC=1：3,

.,?點C為（3m,0）,

???△AOC的面積為12,

:-3m?—=12>

2m

k=8.

故答案為：8.

設出點4坐標，利用三等分點的已知條件表示出點C的坐標，再根據(jù)AAOC的面積為12,求出k即

可.

本題考查了反比例函數(shù)的關系式的求法，利用面積表示點的坐標是解題關鍵.

15.【答案】解：（1一言）十金普=.a-1二(所2)2_a-2(a+l)(a-l)_a+1

a—1a—r(a+l)(a—1)a—1X(a—2)2a—2,

把a=-2代入上式得:

原式=-2+1_1

—2—24

【解析】先把括號中通分后，利用同分母分式的減法法則計算，同時將除式的分子分解因式后，

再利用除以一個數(shù)等于乘以這個數(shù)的倒數(shù)把除法運算化為乘法運算，約分后得到最簡結果，再把

a=-2代入進行計算即可.

此題考查了分式的化簡求值，關鍵是通分，找出最簡公分母，分式的乘除運算關鍵是約分，約分

的關鍵是找公因式，化簡求值題要將原式化為最簡后再代值.

16.【答案】解：(1)1；

(2)畫樹狀圖如下：

開始

白白紅

A\/T\A\

白白紅白白紅白白紅

共有9種等可能的結果，其中2次都摸到紅球的結果有1種,

2次都摸到紅球的概率為今

【解析】

【分析】

本題考查的是用樹狀圖法求概率.樹狀圖法可以不重復不遺漏的列出所有可能的結果，適合兩步

或兩步以上完成的事件.用到的知識點為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比.

(1)直接由概率公式求解即可；

(2)畫樹狀圖，共有9種等可能的結果，其中2次都摸到紅球的結果有1種，再由概率公式求解即可.

【解答】

解：(1)攪勻后從中任意摸出一個球，摸到紅球的概率等于擊=%

故答案為:

(2)見答案.

17.【答案】解：設原來每小時維修x米.

根據(jù)題意得理+普生=6,

x4x

解得X=80,

經檢驗，久=80是原方程的解，且符合題意.

答：原來每小時維修80米.

【解析】設原來每小時維修式米，則后來每小時維修4x米，等量關系是：原來維修240米所用時間

+后來維修(1200-240)米所用時間=6小時，依此列出方程求解即可.

本題考查分式方程的應用，分析題意，找到合適的等量關系是解決問題的關鍵.

18.【答案】解：(1)如圖①中，點M即為所求;

圖①

(2)如圖②中，點C即為所求;

圖②

(3)如圖③中，點P即為所求;

【解析】(1)利用平行線分線段成比例定理作出圖形即可；

(2)構造等腰直角三角形即可；

⑶根據(jù)tan/BPH=1,則NBPH=45。作出對應圖形即可.

本題考查作圖一應用與設計作圖，勾股定理等知識，解題的關鍵是學會利用數(shù)形結合的思想解決

問題.

19.【答案】⑴①；

(2)證明：?.?四邊形4BCD是平行四邊形，

：■Z-A=乙C,

在和△CDF中,

zl=z2

Z-A=Z-C,

AE=CF

:.AD=CD,

??.Q4BCD為菱形.

【解析】(1)解：添加的條件是N1=N2,

故答案為：①；

(2)證明：?.?四邊形4BCD是平行四邊形，

???Z.A—Z.C?

在△4。6和4CDF中，

zl=Z2

Z-A—z.C>

.AE=CF

.?.△ADEWACDF(AAS),

AD=CD,

???。力BCD為菱形.

(1)添加合適的條件即可；

(2)證△40E三△CDFQL4S),得40=CO,再由菱形的判定即可得出結論.

本題考查了菱形的判定、平行四邊形的性質、全等三角形的判定與性質等知識，熟練掌握菱形的

判定，證明三角形全等是解題的關鍵.

20.【答案】600.18

【解析】解：(1)本次共調查的學生人數(shù)是：18+0.12=150(名),

則a=150x0.4=60,b=27+150=0.18,

補全的條形統(tǒng)計圖如圖所示：

60

60

50

40

30

20

0

ABCD組別

故答案為:60,0.18；

(2)本次調查共150名學生，觀看“紅色教育”相關視頻的時間從小到大排序處于第75和76的兩名

學生的觀看時間都是在C組，

???中位數(shù)位于C組，

故答案為：C；

(3)：4、B、C、。四組數(shù)據(jù)的平均數(shù)分別為0.5,1.5,2.5,3.5,

???150名學生觀看“紅色教育”相關視頻的時間的平均數(shù)為：(18x0.5+45x1.5+60x2.5+

27x3.5)+150=2.14(h),

.??估計該校學生最近一周周末觀看“紅色教育”相關視頻的時間的平均數(shù)為2.14八.

(1)由4組的頻數(shù)十頻率即可得出本次調查的總人數(shù)，進而求出a,b的值即可；

(2)根據(jù)中位數(shù)的定義進行解答即可；

(3)根據(jù)加權平均數(shù)的定義進行解答即可.

本題考查了統(tǒng)計與調查，熟練掌握總體和頻數(shù)、頻率之間的關系，中位數(shù)定義和加權平均數(shù)的定

義是解題的關鍵.

21.【答案】600

【解析】解：(1)由圖象可得，

小林家與公園之間的路程為：12x50=600(米)，

故答案為:600；

(2)設C(m,n),由題意得：m=6+-^=9

由圖象得：n=600,

C(9,600)；

由圖象得：0(12,0)；

設CD所在直線的函數(shù)表達式為：y=kx+b,

則有:朦案北

解得:憶竟；

y=-200%+2400.

(3)根據(jù)題意可知：

04所在直線的函數(shù)表達式為：y=50x.

由—200%+2400=50%,

解得：x=9.6,

600—50x9.6=120(米).

故小林與哥哥第二次相遇時距離公園還有120米

(1)根據(jù)圖象中的數(shù)據(jù)和小林的速度，可以求得小林家與公園之間的路程；

(2)根據(jù)圖象可知：點(9,600),(12,0)在哥哥返回家的過程中y與x之間的函數(shù)圖象上，然后即可求

得該函數(shù)的解析式；

(3)可以分別計算出兩次時間，然后作差即可得到小林與哥哥先后兩次相遇的時間間隔.

本題考查一次函數(shù)的應用，解答本題的關鍵是明確題意，利用數(shù)形結合的思想解答.

22.【答案】W：(l)ZkOBC；SAS

(2)8C=AC+AD.

證明：在CB上截取CE=AC,連接

???CO平分4AC8,

:.Z.ACD=乙BCD,

在△AG)和△ECD中，

AC=EC

Z.ACD=(ECD,

CD=CD

/.△71CD=AEC0(S4S),

???AD=DE,

:.Z-CAD=Z-CED=60°,

v^ACB=90°,

???(B=30°,

???乙EDB=30°,

艮|J4EDB=zF,

.?.DE=EB,

?：BC=CE+BE,

BC=AC+DE,

???BC=AC+AD.

⑶BC=5

【解析】分析：

⑴由角平分線的定義得出410C=4BOC,根據(jù)SAS可證明△。4。三4OBC；

(2)先截取CE=CA,連接DE,根據(jù)SAS判定△CAD/CED,得出4。=DE,乙4=MED=60°,

AC=CE,進而得出結論BC=AC+AD；

(3)在BC上取一點M,使CM=CE,證明△CEF三△CMF(SAS),由全等三角形的性質得出NCFE=

/.CFM=60°,證明AFSM三△FBD(4S4),由全等三角形的性質得出BM=BD,則可求出答案.

解：(1)、?點C是ZMON的平分線。P上一點，

Z-AOC=/.BOC,

在AOACffAOBC中，

OA=OB

Z.AOC=Z.BOC,

OC=OC

???△04C三△OBC(SAS),

故答案為：&OBC；SAS；

(2)BC=AC+AD.

證明：在CB上截取4C=EC,

???CD平分乙4CB,

Z.ACD=/.BCD,

在△ACO和AEC。中,

AC=EC

Z.ACD=乙ECD,

CD=CD

???△AC。三△ECD(SAS),

???Z,CAD=乙CED=60°,

v乙ACB=90°,

???Z,B=30°,

???乙EDB=30°,

即NEDB=乙B,

:.DE=EB，

??,BC=CE+BE,

???BC=AC+DE,

ABC=AC+AD.

(3)在8c上取一點M,使CM=CE,

圖3

在△ABC中，乙4++乙4cB=180。，

???AA=60°,

???/.ABC4-乙ACB=180°-ZLA=120°,

A乙BFC=180°一(ZBCF+乙CBF)=180°一1(乙ACB+/.ABC)=120°,

???Z.CFE=60°,

???乙BFD=乙CFE=60°,

vCD平分4AC8,

???乙ECF=乙MCF,

在尸和ACM尸中，

CE=CM

Z.ECF=乙MCF,

CF=CF

??.△CEF=LCMF(SAS),

???Z.CFE=Z.CFM=60°,

???乙BFM=乙BFC一乙CFM=60°,

???乙BFM=乙BFD=60°,

???BE是乙4cB的平分線,

???zJFBM=Z.FBD,

在4/80中，

ZBFM=乙BFD

BF=BF，

Z.FBM=乙FBD

??.△FBM>FBDQ4SA),

.?.BM=BD,

??,BC=CM+BM=CE+BD=3+2=5.

本題是三角形綜合題，主要考查了全等三角形的判定與性質，等邊三角形的判定與性質，角平分

線的性質以及等腰三角形的性質的綜合應用，解決問題的關鍵是作輔助線構造全等三角形，根據(jù)

線段的和差關系進行推導.

23.【答案】解：(1)如圖1,???四邊形4BC。是矩形，AB=4,AD=6,E為

邊4D的中點，

???乙4=90°,AE=DE=^AD=3,

BE=732+42=5-

圖1

?：BP=2t,Q為線段BP的中點，

PQ=BQ=加=3

vPM1BE,

???乙MPQ=90°,

???QM//BC//AD,

???乙PQM=Z-AEB,

?,?券=coszPQM=cosZ-AEB=|,

??.QM=|t.

(2)當點M落在邊CD上時;如圖2,延長MQ交AB于點G,圖2

v乙4GM=/.ABC=90°,乙4=4。=90°,

四邊形4GMD是矩形,

???GQ+QM=GM=AD=6,

??,Z.BGQ=Zi4=90°,

.嚼=siM4BE=|,

33

.??GQ屋BQ=1t,

35,

**?-t4~-t=6.

解得t=魯

(3)①如圖2,從點P與點E重合之后到點M落在邊CD上，與矩形4BCD重合部分圖形為四邊

形，人

二|t+|t46，/\

53/OA/

解得|<t<g;/

---------------------

②如圖3,從PM經過點。到點Q與點E重合之前，與矩形ABCD圖3

重合部分圖形為四邊形，

v乙PED=Z.AEB,

PE3

???-T7：=cosZ-PED=cosZ-AEB=:，

DE5

???PE屋3X3=右9

??.8P=5+g9=機34

.?伊4，

It<5

解得

綜上所述，t的取值范圍是|<tW意或］wt<5.

(4)延長MQ交4B于點G,則GQ=|t,

BG5「4圖4

訪=

￡>(/COSZ.ABE=□

4

??.=9.

如圖4,4B4O的平分線交QM于點。，作Q/_L4。于點/,町_1_4。于點/,

.:乙QO1=(MOJ,乙OIQ=〃)JM=90。,QI=MJ,

???AQOIWAMOJ(AAS),

???OQ=OM=：QM=:x上=與，

LLiO

VAOGA=90°,/.GAO=^Z-BAD=45°,

???Z.GOA=LGAO=45°,

???OG=AG,

解得t=黨

67

如圖5,/BCD的平分線交QM于點。，交84的延長線于點H,同理可得。Q=OM=",

vZ-OGH=90°,乙GOH=乙BCH=；（BCD=45°,

???ZH=(GOH=乙BCH=45°,

AOG=HG,BH=BC=6,

354

-t+-t=6—-1,

□OD

解得”詈；

o/

如圖6,N40C的平分線交QM于點0,交4B的延長線于點”，同理可

得OQ=0M=，

???Z-0GH=90°,乙GOH=/-ADH=^ADC=45°,

???乙H=Z.G0H=Z.ADH=45°,

AOG=HG,AH=AD=6,

???8H=6—4=2,

354

???9+0=2+9，

565

解得t=~

如圖7,乙4BC的平分線交QM于點3QM的中點為。,

v乙LGB=90°,乙GBL==45°,

???4GLB=乙GBL=45°,圖7

4

/.LG=BG=-1,

/.LQ35”—針一尹

.,?點L不可能與QM的中點0重合，

???不存在點Q與點M到/ABC的平分線距離相等的情況，

綜上所述，t=若或"嚶或t=繇

O/O/IV

【解析】(1)先由4B=4,AD=6,E為邊4。