13.1 軸對稱（原卷版）

2023-2024學年八年級數(shù)學上冊同步配套教學講義與重難點突破（人教版）13.1軸對稱1.理解和掌握軸對稱和軸對稱圖形的概念；2.理解和掌握軸對稱的性質；3.理解和掌握線段垂直平分線的概念和性質。一、軸對稱1.軸對稱圖形(1)概念：如果一個平面圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，那么這個圖形就叫作軸對稱圖形。這條直線叫作這個圖形的對稱軸。【理解與拓展】軸對稱圖形是對一個圖形而言，是一種具有特殊性質的圖形。它能被一條直線分割成兩部分，沿這條直線折疊時，其中一部分能與這個圖形的另一部分重合。(2)對稱軸：對稱軸是一條直線。有的軸對稱圖形只有一條對稱軸，而有些軸對稱圖形有幾條甚至無數(shù)條對稱軸。(3)軸對稱圖形的識別：判斷一個圖形是否是軸對稱圖形可以根據(jù)定義，把圖形沿某一條直線折疊，看直線兩旁的部分是否能夠重合。另外還可以觀察是否有對稱軸，能找到對稱軸也說明是軸對稱圖形。2.軸對稱(1)概念：把一個圖形沿著某一條直線折疊，如果它能夠與另一個圖形重合，那么就說這兩個圖形關于這條直線(成軸)對稱。這條直線叫作對稱軸。【理解與拓展】軸對稱圖形是兩個圖形之間的關系，這兩個圖形沿一條直線折疊后能夠互相重合，即全等。(2)對稱點：折疊后重合的對應點叫對稱點，兩個圖形正是由無數(shù)個對稱點組合而成的，也正是無數(shù)個對稱點的重合構成了圖形的重合。(3)軸對稱的特點：圖形的軸對稱和平移一樣，都是圖形位置的變換，共同的特點是變化后圖形的大小、形狀都沒有改變，不同點是變換的方式不同，所以性質也不盡相同，判斷的方法是看變換方式。(4)軸對稱與軸對稱圖形的區(qū)別：軸對稱圖形：①軸對稱圖形是一個具有特殊形狀的圖形，只對一個圖形而言。②對稱軸不一定只有一條。軸對稱：①軸對稱是指兩個圖形的位置關系，必須涉及兩個圖②只有一條對稱軸。(5)軸對稱與軸對稱圖形的聯(lián)系軸對稱圖形：①沿對稱軸對折，兩部分重合。②如果把軸對稱圖形沿對稱軸分成兩個圖形，那么這兩個圖形就關于這條直線成軸對稱。軸對稱：①沿對稱軸翻折，兩個圖形重合。②如果把兩個成軸對稱的圖形拼在一起，看成一個整體，那么它就是一個軸對稱圖形。題型一軸對稱圖形的識別下面四個圖形分別是綠色食品、低碳、節(jié)能和節(jié)水標志，是軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．1．下列圖標中，是軸對稱圖形的是（

）A． B． C． D．2．下列圖形是汽車的標識，其中不是軸對稱圖形的是（

）A．

B．

C．

D．

題型二根據(jù)軸對稱圖形的特征進行判斷如圖，和關于直線對稱，下列結論中：①；②；③l垂直平分；④直線和的交點不一定在l上，正確的有（）A．4個 B．3個 C．2個 D．1個1．下列說法不正確的是（）A．兩個關于某直線對稱的圖形一定全等B．線段是軸對稱圖形，線段的垂直平分線是它的對稱軸C．成軸對稱的兩個圖形中，對稱軸是對稱點連線的垂直平分線D．平面上兩個全等的圖形一定關于某直線對稱2．如圖，已知，不一定能使的條件是（

）．A． B．C． D．點與點關于所在的直線對稱題型三折疊問題如圖，將一個直角三角形紙片，沿線段折疊，使點B落在處，若，則的度數(shù)為（）A． B． C． D．1．將一張長方形紙片按圖2所示折疊后，再展開．如果，那么的度數(shù)為（

）A． B． C． D．無法確定2．如圖，在四邊形中，，．點M，N分別在，上，將四邊形沿對折，得到，若，則（）A．35° B．70° C．95° D．125°二、線段的垂直平分線的性質1.線段的垂直平分線(1)概念：經(jīng)過線段中點并且垂直于這條線段的直線，叫作這條線段的垂直平分線。(2)性質：線段垂直平分線上的點與這條線段兩個端點的距離相等。(3)判定：與一條線段兩個端點距離相等的點在這條線段的垂直平分線上。(4)線段的垂直平分線可以看作到線段兩端點距離相等的所有點的集合。這是線段垂直平分線的集合定義?！纠斫馀c拓展】①線段的垂直平分線必須同時具備兩個條件：過線段的中點和垂直于這條線段。②線段是軸對稱圖形，線段的垂直平分線是它的一條對稱軸。③線段垂直平分線的性質是證明線段相等的一種方法，運用過程中可以省去證明三角形全等，使得過程更簡便。④線段垂直平分線的判定在運用時，要注意先得到兩個點在線段的平分線上，才能推出過這兩個點的直線是線段的垂直平分線?！纠斫馀c拓展】線段垂直平分線的畫法(1)折疊法：將線段兩端點對齊，沿線段折疊重合，折痕就是線段的垂直平分線。(2)尺規(guī)作圖法：如圖，①分別以A，B為圓心，以大于12AB長為半徑畫弧，兩弧相交于C，②作直線CD。CD即為所求作的直線。題型四線段垂直平分線的性質如圖，在中，邊的中垂線，分別與、邊交于點、兩點，邊的中垂線，分別與、邊交于點、兩點，連接、．若的周長為，．則的長為（

）A． B． C． D．1．如圖，在中，，，邊的垂直平分線分別交，于，兩點，則的周長為（

）A． B． C． D．2．如圖，在中，，的垂直平分線交于，的垂直平分線交與，則的周長等于（）A．6 B．7 C．8 D．12題型五線段垂直平分線的判定如圖，，，邊上存在一點，使得．下列描述正確的是（

）A．是的垂直平分線與的交點 B．是的平分線與的交點C．是的垂直平分線與的交點 D．是的中點1．到三角形三個頂點距離相等的點是(

)的交點．A．三角形三邊垂直平分線的交點 B．三角形三條高的交點C．三角形三條中線的交點 D．三角形三條角平分線的交點2．如圖，將長方形紙片沿折疊后點B落在點E處，則下列關于線段與的關系描述正確的是（

）A． B．和相互垂直平分C．且 D．且平分題型六尺規(guī)作圖根據(jù)要求作圖并解答：（使用鉛筆作圖，保留作圖痕跡）(1)如圖，在中，，，作邊的垂直平分線，交邊于點M，交邊于點N（使用鉛筆作圖，保留作圖痕跡）；(2)圖中表示點B到直線的距離是線段的長度．1．如圖，已知鈍角三角形，其中是鈍角，求作邊上的中線和高．2．如圖，要在公路MN旁修建一個貨物中轉站P，分別向A、B兩個開發(fā)區(qū)運貨．若要求貨站到A、B兩個開發(fā)區(qū)的距離相等，那么貨站應建在那里？不寫作法，保留作圖痕跡．一、單選題1．2022年北京冬奧會冰雪運動項目的圖標中，是軸對稱圖形的是（

）A．

B．

C．

D．

2．下列真命題中，其逆命題也為真命題的是（

）A．直角都相等B．若兩個圖形成軸對稱，則這兩個圖形全等C．鈍角三角形中有兩個銳角D．在直角三角形中，兩個銳角互余3．如圖，與關于直線l對稱，則（

）A． B． C． D．4．如圖，在中，，，，垂足為D，與關于直線對稱，點B的對稱點是點，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．5．如圖是一個臺球桌面的示意圖，圖中四個角上的陰影部分分別表示四個入球孔．若一個球按圖中所示的方向被擊出（球可以經(jīng)過多次反射），則該球最后將落入的球袋是（

）A．1號袋 B．2號袋 C．3號袋 D．4號袋6．如圖，平面鏡放置在水平地面上，墻面于點，一束光線照射到鏡面上，反射光線為，點在上，若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．7．如圖，將一個長方形紙條折成如圖的形狀，若已知，則為（

）A． B． C． D．8．在下面的圖形中，對稱軸條數(shù)最少的圖形是（

）A．圓 B．長方形 C．正三角形 D．正六邊形9．如圖，中，邊的垂直平分線分別交、于點、，，的周長為，則的周長是（

）A． B． C． D．10．如圖，已知，按照以下步驟作圖：①以點O為圓心，任意長為半徑畫弧，分別交，于點C，D；②分別以點C，D為圓心，以大于的長為半徑畫弧，兩弧交于點E；③連接，，，．下列結論錯誤的是（

）A． B．C． D．二、填空題11．如圖，在四邊形中，，將沿翻折，得到．若，，則度．12．如圖，把標有序號①、②、③、④、⑤、⑥中某個小正方形涂上陰影，使它與圖中陰影部分組成的新圖形是軸對稱圖形，那么該小正方形的序號可以是（填一個即可）．13．如圖，點P關于的對稱點是D，點P關于的對稱點是C，若，則的度數(shù)是．14．如圖，在中，是的垂直平分線，，的周長為，則的周長為．15．若點在線段的垂直平分線上，則、的關系是．16．如圖，在中，邊的垂直平分線與邊的垂直平分線交于點，這兩條垂直平分線分別交于點、，已知的周長為，分別連接、、，若的周長為，則的長為．三、解答題17．如圖，中，，分別為、的垂直平分線，E、G分別為垂足，若的周長為16，求的長．18．如圖，在中，，是的垂直平分線，交于點，交于點．已知，求的度數(shù)？19．尺規(guī)作圖（保留作圖痕跡）(1)在上找一點P，使點P到和的距離相等；(2)在射線上找一點Q，使．20．如圖，和關于直線m對稱．(1)結合圖形指出對稱點．(2)和有什么關系？若，，求的度數(shù)．(3)分別連接，直線m與線段有什么關系？線段之間有什么關系？(4)延長線段AC與，它們的交點與直線m有怎樣的關系？其他對應線段（或其延長線）的交點呢？你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律，請敘述出來與同伴交流．21．在中，已知，，平分，于E，請解答下列問題：(1)若，則D點到邊的距離是．(2)