漆安慎《力學(xué)》教案第07章-剛體力學(xué)

第七章剛體力學(xué)

注意：本PPT可能出現(xiàn)文字等重疊，這不是失誤，在播放時，這些內(nèi)容是替換顯示的。第七章剛體力學(xué)

§7.1

剛體運動的描述§7.2

剛體的動量和質(zhì)心運動定理

§7.3

剛體定軸轉(zhuǎn)動的角動量.轉(zhuǎn)動慣量§7.4

剛體定軸轉(zhuǎn)動的動能定理§7.5

剛體平面運動的動力學(xué)§7.6

剛體的平衡(自學(xué))§7.7

自轉(zhuǎn)與旋進(jìn)(自學(xué))§7.1

剛體運動的描述§7.1.2

剛體繞固定軸的轉(zhuǎn)動§7.1.1

剛體的平動§7.1.3

角速度矢量

§7.1.4

剛體的平面運動.

主要內(nèi)容：剛體——在任何情況下形狀和大小都不發(fā)生變化的力學(xué)研究對象.

是一種理想模型.特點

(1)剛體可以看成由許多質(zhì)點組成的質(zhì)點系，每一個質(zhì)點叫做剛體的一個質(zhì)元(2)剛體內(nèi)任意兩點間的距離保持不變.

所以將剛體稱為“不變質(zhì)點系”.剛體概念研究剛體的基本方法將剛體看作質(zhì)點系，并運用已知的質(zhì)點系的運動規(guī)律去研究.§7.1.1

剛體的平動

⑴平動概念——剛體運動時,剛體內(nèi)任一直線恒保持平行的運動.§7.1

剛體運動的描述

剛體最基本的運動形式有：⑴平動；⑵繞固定軸的轉(zhuǎn)動；⑶平面運動⑵剛體作平動運動的特征剛體中各質(zhì)元具有相同的速度、加速度及相同的軌跡.⑶對剛體平動的處理方法用剛體上任一質(zhì)元的運動代表整個剛體的運動.Oij如圖所示:且為恒矢量轉(zhuǎn)動：剛體運動時,其上各質(zhì)元都繞同一直線作圓周運動.這種運動稱轉(zhuǎn)動.該直線稱為轉(zhuǎn)軸.若轉(zhuǎn)軸不動，稱為定軸轉(zhuǎn)動.§7.1.2剛體繞固定軸的轉(zhuǎn)動

(1)剛體上各點都在垂直于固定軸的平面內(nèi)(轉(zhuǎn)動平面)做圓周運動.其圓心都在一條固定不動的直線(轉(zhuǎn)軸)上.

(2)剛體上各點到轉(zhuǎn)軸的垂直線在同樣的時間內(nèi)所轉(zhuǎn)過的角度都相同.因而可用角量描述剛體的運動.1.定軸轉(zhuǎn)動的特征

OO′轉(zhuǎn)動平面轉(zhuǎn)軸xOp角坐標(biāo)或角位置用

表示.規(guī)定逆時針轉(zhuǎn)向時，

為正.順時針轉(zhuǎn)向時，

為負(fù)2.定軸轉(zhuǎn)動的描述

(1)角坐標(biāo)

剛體定軸轉(zhuǎn)動的運動學(xué)方程

(2)角位移

t

時間內(nèi)剛體所轉(zhuǎn)過的角度稱為角位移，用

表示.

=

(t)

xOp(3)角速度和角加速度

在定軸轉(zhuǎn)動中,只有兩個轉(zhuǎn)向角速度用每分n

轉(zhuǎn)表示時：

角速度

可正可負(fù),當(dāng)

與

同號時,轉(zhuǎn)動加快,異號時轉(zhuǎn)動減慢.

角加速度xOP(t)P(t+

t

)

+

t

時刻,角坐標(biāo)為

t+

t

時刻,角坐標(biāo)為

+

類似地可得：逆時針轉(zhuǎn)動時

>0；順時針轉(zhuǎn)動時

<0.小結(jié)：剛體作定軸轉(zhuǎn)動時運動方程

=

(t)

對時間的一階導(dǎo)數(shù)角速度為：角加速度為：運動方程

=

(t)

對時間的二階導(dǎo)數(shù)(4)剛體定軸轉(zhuǎn)動時由速度或加速度求運動方程勻速轉(zhuǎn)動時

=常量勻變速轉(zhuǎn)動時

=常量

與質(zhì)點作勻速或勻變速直線運動的公式完全對應(yīng)!!!(5)

角量與線量的關(guān)系剛體上某質(zhì)元作(定軸)圓周運動時的線量——位置r、速度vt、加速度a

剛體上某質(zhì)元作(定軸)圓周運動時的角量——

位置

、角速度

、角加速度

注意:

r的原點必須在轉(zhuǎn)軸上.

弧長

線速度切向加速度法向加速度r

sOxy角量與線量的關(guān)系角量與線量的矢量關(guān)系式為

OP

供擴(kuò)展了解用§7.1.3角速度矢量

角速度是矢量，其方向沿轉(zhuǎn)軸且與剛體轉(zhuǎn)動方向成右手螺旋關(guān)系.

如果剛體同時參與兩個軸的轉(zhuǎn)動，則合成角速度按平行四邊形法則進(jìn)行合成.O注意：角速度總是與無限小角位移相聯(lián)系,無限小角位移是矢量,所以角速度也是矢量.而有限角位移不是矢量.O角速度和角加速度在直角坐標(biāo)系的正交分解式為

其中

當(dāng)剛體作定軸轉(zhuǎn)動時，可令轉(zhuǎn)軸與z

軸重合，

則有§7.1.4剛體的平面運動

概念：剛體上各點均在平面內(nèi)運動，且這些平面均與某一固定平面平行1.

剛體平面運動及其特征(1)每一質(zhì)元的運動軌跡都是一條平面曲線；(3)剛體內(nèi)垂直于固定平面的直線上的各質(zhì)元，運動狀況都相同.(2)轉(zhuǎn)軸總是保持平行，并與固定平面垂直；(4)可用與固定平面平行的平面在剛體內(nèi)截出一平面圖形來代表剛體.特征：——剛體的平面運動——作為研究平面運動的對象xOyz剛體作平面運動2.剛體作平面運動的位置(運動方程)

⑴建立坐標(biāo)系Oxyz，使平面圖形(研究對象)在Oxy平面內(nèi),z軸與屏幕垂直且向外.

A⑶以基點B為原點，建立與O系坐標(biāo)軸彼此平行的動坐標(biāo)系為了確定剛體的位置：僅用基點位矢還不能確定剛體的位置⑷在剛體上任選一點A，則A點的位置可用相對位置矢量與軸的夾角

唯一地確定.B⑵在平面圖形上任取一點B，稱為基點，其位矢為；結(jié)論：要描述剛體平面運動，必須給出：⑴基點位置⑵圖形繞基點B

轉(zhuǎn)過的角度(注意：該角度以A點為參考，而A點可任意選擇)或用三個標(biāo)量方程來描述：刻畫任意選定的基點之平動刻畫剛體繞通過基點軸的轉(zhuǎn)動所以=+剛體平面運動剛體上基點的平動剛體繞基點的轉(zhuǎn)動BA用上述結(jié)論可對“大”運動分解：BABABA先平后轉(zhuǎn)先轉(zhuǎn)后平BABA可以判斷：大分解時，先后順序?qū)ψ罱K結(jié)果無影響但對中間過程卻不一定相同如將過程分解成一個個無限小的過程，那么對每一個小過程來說，平和轉(zhuǎn)就和先后的順序無關(guān)了!!!要點：平動和定軸轉(zhuǎn)動是剛體最簡單的運動形式，剛體更復(fù)雜的運動都可看作是平動與轉(zhuǎn)動的合成.3.作平面運動的剛體上，任意一點的速度平面上A點相對于Oxyz系的位置矢量

如剛體繞過基點軸的角速度為則——平面運動的速度公式所以

AB(總是沿z

軸的)4.一個特例——柱體作無滑滾動的特點和條件

特點：

圓柱體邊緣在與支承面接觸時，相對于支承面的瞬時速度為零.條件：

當(dāng)邊緣上一點P與支承面接觸的瞬時，車輪作無滑滾動時，地面上會留下清晰的輪胎花紋，說明在接觸地面時，瞬時速度為零例子：即在坐標(biāo)中寫出投影式以圓柱體中心軸線上一點C為基點,則邊緣上一點的速度為

yxvcC如圖即PxyOCryC2

r中心軸的速度：

圓柱作無滑滾動時，圓柱邊緣一點A

的空間軌跡是擺線，或叫旋輪線.當(dāng)柱體作無滑滾動一周時,其中心軸前進(jìn)的距離為中心軸加速度：

中心軸的位置：圓柱邊緣的點,如A、Ｂ、Ｐ等的速度可表示為:APB[例題7-1]

如圖所示,初時方輪一尖角在鏈槽夾角處，經(jīng)轉(zhuǎn)過90°,相鄰尖角進(jìn)入相鄰尖槽。轉(zhuǎn)45°

時，方形一邊中點恰好在鏈座最高點處.方形輪到中心A至鏈座支持面SS保持等距離.取方輪1/8，中心A與方輪的邊和鏈座曲線之切點的連線總與SS垂直.R=AB表示輪中心至其尖角的距離.求鏈座表面的曲線.xyOABETP

[解]

取鏈座某尖槽處為坐標(biāo)原點建立Oxy坐標(biāo)系.按已知條件，取A至切點T連線并延長至P，它垂直于x軸.因中心A總保持同樣高度，故(2)(1)故得所求曲線的方程用

表示角位移,它表示鏈座曲線為一懸鏈連.采用，（1）式變成取方程（2）變?yōu)椴榉e分表并積分得

回到原來變量y，有第七章剛體力學(xué)

§7.1

剛體運動的描述§7.2

剛體的動量和質(zhì)心運動定理

§7.3

剛體定軸轉(zhuǎn)動的角動量.轉(zhuǎn)動慣量§7.4

剛體定軸轉(zhuǎn)動的動能定理§7.5

剛體平面運動的動力學(xué)§7.6

剛體的平衡(自學(xué))§7.7

自轉(zhuǎn)與旋進(jìn)(自學(xué))§7.2

剛體的動量和質(zhì)心運動定理§7.2.1

剛體的質(zhì)心

§7.2.2

剛體的動量和質(zhì)心運動定理這是對剛體質(zhì)心的總體描述.主要內(nèi)容:§7.2.1剛體的質(zhì)心

在O-xyz坐標(biāo)中，質(zhì)點系的質(zhì)心坐標(biāo)為對質(zhì)量連續(xù)分布的剛體，可將上式改寫為：剛體是特殊質(zhì)點系，上述各式同樣適用于剛體.引入體密度

均質(zhì)物體——密度是常量[例題7-2]求質(zhì)量均勻，半徑為R的半球的質(zhì)心位置.[解]

設(shè)半球的密度為

，將半球分割成許多厚為dx的圓片，任取其一.由對稱性得

xROyzy關(guān)于質(zhì)心的求法技巧，見P.225

中部由對稱性知：質(zhì)心應(yīng)在x

軸上[例題7-3]

在半徑為R的均質(zhì)等厚大圓板的一側(cè)挖掉半徑為R/2的小圓板,大小圓板相切,如圖所示.求余下部分的質(zhì)心.xyO[解]

由對稱性知，yc=0

余下部分設(shè)平板面密度為

,大圓板小圓板故質(zhì)心一定在x

軸上§7.2.2剛體的動量和質(zhì)心運動定理將質(zhì)心運動定理用于剛體，有同樣的表達(dá)式剛體的質(zhì)心加速度剛體的總質(zhì)量剛體所受的外力矢量和剛體是特殊的質(zhì)點系(不變質(zhì)點系)當(dāng)然應(yīng)該服從質(zhì)點系的所有力學(xué)規(guī)律，如動量定理、動能定理等，當(dāng)滿足動量、機(jī)械能守恒條件時，剛體的動量、機(jī)械能也將守恒.如動量守恒時有：=常矢量[例題補(bǔ)]一圓盤形均質(zhì)飛輪質(zhì)量為m=5.0kg，半徑為r=0.15m,轉(zhuǎn)速為n=400r/min.飛輪作勻速轉(zhuǎn)動.飛輪質(zhì)心距轉(zhuǎn)軸d=0.001m，求飛輪作用于軸承的壓力.計入飛輪質(zhì)量但不考慮飛輪重量（這意味著僅計算由于飛輪的轉(zhuǎn)動使軸承受到的壓力，不考慮飛輪所受重力對該壓力的影響）.[解]

根據(jù)質(zhì)心運動定理第七章剛體力學(xué)

§7.1

剛體運動的描述§7.2

剛體的動量和質(zhì)心運動定理

§7.3

剛體定軸轉(zhuǎn)動的角動量.轉(zhuǎn)動慣量§7.4

剛體定軸轉(zhuǎn)動的動能定理§7.5

剛體平面運動的動力學(xué)§7.6

剛體的平衡(自學(xué))§7.7

自轉(zhuǎn)與旋進(jìn)(自學(xué))§7.3

剛體定軸轉(zhuǎn)動的角動量·轉(zhuǎn)動慣量§7.3.1剛體定軸轉(zhuǎn)動對軸上一點的角動量§7.3.2剛體定軸轉(zhuǎn)動對軸的角動量——轉(zhuǎn)動慣量§7.3.3剛體定軸轉(zhuǎn)動的角動量定理和轉(zhuǎn)動定理§7.3.4剛體的重心§7.3.5典型例子.主要內(nèi)容:§7.3.1剛體定軸轉(zhuǎn)動對軸上一點的角動量1.轉(zhuǎn)軸為對稱軸

zm1m2Or1r2

如圖,對O點

因m1=m2=m

故總角動量

2.轉(zhuǎn)軸為非對稱軸

如圖,對O點同樣有總角動量與轉(zhuǎn)軸成

角.

剛體繞對稱軸轉(zhuǎn)動時，剛體對軸上任一點的角動量與角速度方向相同.一般情況，剛體定軸轉(zhuǎn)動對軸上一點的角動量并不一定沿角速度的方向，而是與之成一定夾角.詳見P.227倒第10-6行zm1m2O

2

1

§7.3.2剛體定軸轉(zhuǎn)動對軸的角動量——轉(zhuǎn)動慣量1.轉(zhuǎn)動慣量

剛體作定軸轉(zhuǎn)動時，對轉(zhuǎn)軸的角動量又有什么特殊呢？已知質(zhì)點系對軸的角動量為當(dāng)質(zhì)點系中所有質(zhì)點都繞z

軸作圓周運動時

所以如將上式應(yīng)用于剛體時，每一質(zhì)元的角速度都應(yīng)相同，可用表示.于是上式變?yōu)椋阂奝.176式5.2.6此時，剛體對Oz

軸的角動量可表示為

可以看出，上式括號里的量僅取決于剛體的質(zhì)量分布及轉(zhuǎn)軸的位置.把它稱為剛體對定軸Oz的轉(zhuǎn)動慣量，以表示.即與質(zhì)點的動量相比，質(zhì)量m

是平動慣性的量度，那么轉(zhuǎn)動慣量應(yīng)是轉(zhuǎn)動慣性的量度.從轉(zhuǎn)動慣量的定義可以看出：質(zhì)量越大，質(zhì)量分布越遠(yuǎn)離轉(zhuǎn)軸，那么轉(zhuǎn)動慣量也就越大.轉(zhuǎn)動慣量的單位dim

I=ML2⑵質(zhì)量連續(xù)分布的剛體：

式中、、

分別為質(zhì)量的線密度、面密度和體密度.⑵轉(zhuǎn)軸的位置;⑶質(zhì)量分布.⑴總質(zhì)量；決定轉(zhuǎn)動慣量大小的因素：⑴質(zhì)量為分離的質(zhì)點系：轉(zhuǎn)動慣量的計算線分布面分布體分布質(zhì)量分布[例7-4]

求均質(zhì)圓盤(m,R)繞過盤心且與盤面垂直的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量

.

[解]xyzrdr設(shè)盤的厚度為h,且將盤視為由許多半徑為r、寬度為dr

的環(huán)組成.

則環(huán)的轉(zhuǎn)動慣量dI為式中（求繞z軸的轉(zhuǎn)動慣量)2.幾種典型形狀剛體的轉(zhuǎn)動慣量

圓筒

細(xì)圓環(huán)I=mR2

ωRm圓柱

細(xì)棒ωR1R2圓球

球殼

3.回轉(zhuǎn)半徑

任何轉(zhuǎn)動慣量均有I=mk2

k稱為回轉(zhuǎn)半徑質(zhì)量相同的剛體，k

，

I

ωRωR(1)平行軸定理

ABCdxmi

i

i

i

對C軸垂直于紙面的A軸平行C

軸（質(zhì)心軸）對A軸由圖

4.反映轉(zhuǎn)動慣量性質(zhì)的兩個重要定理

ICm

d2得(2)垂直軸定理（正交軸定理）mi

ixyz

yixiO(3)可疊加原理

若一個復(fù)雜形狀的物體是由許多簡單形體組成，則這個復(fù)雜物體對某軸的轉(zhuǎn)動慣量等于各簡單形體對同一轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量之和.注意:垂直軸定理只適用于薄板狀剛體.——垂直軸定理

——平行軸定理§7.3.3剛體定軸轉(zhuǎn)動的角動量定理和轉(zhuǎn)動定理角動量定理的微分形式

角動量定理的積分形式

質(zhì)點系對軸的角動量定理對剛體定軸轉(zhuǎn)動而言有式中質(zhì)點系受到的對該軸的合外力矩對剛體定軸轉(zhuǎn)動，如果

Iz

=常量則由剛體的角動量定理可得到定軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動定理說明：略去一切足碼⑵式中各量都是對同一轉(zhuǎn)軸而言的⑶若I=常量，則⑷若M=0,則α=0，ω=恒量，——定軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動定理⑴

與地位相當(dāng)§7.3.4剛體的重心重心——剛體處于不同方位時,重力作用線都要通過的那一點.如圖被懸掛剛體處于靜止,C為重心,因C不動,故可視為轉(zhuǎn)軸.又因為剛體靜止,所以全體質(zhì)元的重力對C

軸的力矩之和應(yīng)為零.ABDWCCABDWxzCy則重心坐標(biāo)與質(zhì)心坐標(biāo)相同(即重心和質(zhì)心重合)，但概念不同：質(zhì)心是質(zhì)量中心，其運動服從質(zhì)心運動定理.重心是重力合力作用線通過的那一點.若?、呸D(zhuǎn)動定理⑵質(zhì)心運動定理⑶牛頓運動定律運用可以討論許多有關(guān)轉(zhuǎn)動的動力學(xué)問題一般采用直角坐標(biāo)系Oxyz,并令z

軸與轉(zhuǎn)軸重合且垂直紙面向外，使沿逆時針方向的量均取正值.重心坐標(biāo)：§7.3.5典型例子[例題7-6]

如圖(a)表示半徑為R的放水弧形閘門，可繞圖中左方支點轉(zhuǎn)動，總質(zhì)量為m,質(zhì)心在距轉(zhuǎn)軸2R/3處，閘門及鋼架對支點的總轉(zhuǎn)動慣量為

,可用鋼絲繩將弧形閘門提起放水，近似認(rèn)為在開始提升時鋼架部分處于水平，弧形部分的切向加速度a=0.1g，g為重力加速度,不計摩擦,不計水浮力.圖(a)

COR（1）求開始提升時的瞬時，鋼絲繩對弧形閘門的拉力和支點對閘門鋼架的支承力.（2）若以同樣加速度提升同樣重量的平板閘門[圖(b)]需拉力是多少？圖(b)

xyO圖(a)

[解]（1）以弧形閘門及鋼架為隔離體，受力如圖(a)所示.建立直角坐標(biāo)系Oxy，向x及y軸投影:根據(jù)轉(zhuǎn)動定理起動時根據(jù)質(zhì)心運動定理

x向y向即起動瞬時繩對閘板的拉力為67/90(mg)

，支點O對閘門鋼架的支承力豎直向上，大小等于29/90(mg).圖(b)

(2)

用表示提升平板形閘門所用的拉力，對閘門應(yīng)用牛頓第二定律，得：比較上面結(jié)果，可見提升弧形閘門所用的拉力較小.解以上方程可得：[例題7-7]

如圖表示一種用實驗方法測量轉(zhuǎn)動慣量的裝置。待測剛體裝在轉(zhuǎn)動架上，線的一端繞在轉(zhuǎn)動架的輪軸上，線與線軸垂直，輪軸的軸體半徑為r，線的另一端通過定滑輪懸掛質(zhì)量為m的重物，已知轉(zhuǎn)動架的轉(zhuǎn)動慣量為I0

，并測得m自靜止開始下落h高度的時間為t

,求待測物體的轉(zhuǎn)動慣量I，不計兩軸承處的摩擦，不計滑輪和線的質(zhì)量，線的長度不變.hII0rm[解]分別以質(zhì)點m

和轉(zhuǎn)動系統(tǒng)I+I0

作為研究對象，受力分析和如圖（俯視圖）.xyOz解以上五個方程得：第七章剛體力學(xué)

§7.1

剛體運動的描述§7.2

剛體的動量和質(zhì)心運動定理

§7.3

剛體定軸轉(zhuǎn)動的角動量.轉(zhuǎn)動慣量§7.4

剛體定軸轉(zhuǎn)動的動能定理§7.5

剛體平面運動的動力學(xué)§7.6

剛體的平衡(自學(xué))§7.7

自轉(zhuǎn)與旋進(jìn)(自學(xué))§7.4剛體定軸轉(zhuǎn)動的動能定理

§7.4.1力矩的功§7.4.2剛體定軸轉(zhuǎn)動的動能定理§7.4.3剛體的重力勢能主要內(nèi)容:剛體中P點在力的作用下位移則力做的元功

§7.4.1力矩的功

POxyr對有限角位移當(dāng)剛體轉(zhuǎn)動時，力所做的功等于該力對轉(zhuǎn)軸的力矩對角坐標(biāo)的積分.

由于功用力矩和角位移表達(dá)，又叫力矩做的功，但其本質(zhì)還是力做的功.積分限也可以表示為(在自然坐標(biāo)下將力分解)如果上式中力矩為恒量，則力矩做的功：即恒力矩做的功等于力矩與角位移的乘積力矩的功率：即力矩的功率等于力矩與角速度的乘積對比：恒力做的功等于力與位移的乘積(標(biāo)積)

對比：力的功率等于力與速度的乘積(標(biāo)積)§7.4.2

剛體定軸轉(zhuǎn)動的動能定理

當(dāng)剛體繞定軸轉(zhuǎn)動時,其動能為所有質(zhì)元作圓周運動的動能之總和.任意質(zhì)元的動能為：1.定軸轉(zhuǎn)動剛體的動能

剛體的動能

對比：質(zhì)點的動能2.剛體定軸轉(zhuǎn)動的動能定理

作用于剛體的所有外力對固定軸的力矩所做的功等于剛體繞定軸轉(zhuǎn)動時，轉(zhuǎn)動動能的增量.——剛體定軸轉(zhuǎn)動的動能定理對比：質(zhì)點平動動能定理

所以可得：§7.4.3

剛體的重力勢能

剛體的重力勢能與質(zhì)量集中在質(zhì)心上的一個質(zhì)點的重力勢能相同.剛體的重力勢能：

應(yīng)為所有質(zhì)元對同一參考點的重力勢能的代數(shù)和[例題7-9]裝置如圖所示，均質(zhì)圓柱體質(zhì)量為m1，半徑為R，重錘質(zhì)量為m2

，將重錘由靜止釋放下落并帶動柱體旋轉(zhuǎn)，求重錘下落h高度時的速率v，不計阻力，不計繩的質(zhì)量及伸長.hR[解]方法1.利用質(zhì)點和剛體轉(zhuǎn)動的動能定理求解.由質(zhì)點平動動能定理

由剛體定軸轉(zhuǎn)動動能定理

隔離物體，受力分析，建立坐標(biāo)，可得：xyz約束關(guān)系

聯(lián)立得

方法2.

利用質(zhì)點系動能定理求解將轉(zhuǎn)動柱體、下落物體視作質(zhì)點系由質(zhì)點系動能定理約束關(guān)系聯(lián)立得[例題7-10]均質(zhì)桿的質(zhì)量為m，長為l,一端為光滑的支點.最初處于水平位置，釋放后桿向下擺動，如圖所示.O⑴求桿在圖示的豎直位置時，其下端點的線速度v，⑵求桿在圖示的豎直位置時，桿對支點的作用力.CEp=0Ｏ[解](1)由機(jī)械能守恒得解得

(2)受力分析建立自然坐標(biāo)寫出投影式法向切向根據(jù)質(zhì)心運動定理取質(zhì)心最低時，為重力勢能的零點說說為什么?取的什么系統(tǒng)?桿處于鉛直位置時不受力矩作用，由轉(zhuǎn)動定理可知，角加速度為零，從而act=0

所以方向向上.

又

CEp=0Ｏ第七章剛體力學(xué)

§7.1

剛體運動的描述§7.2

剛體的動量和質(zhì)心運動定理

§7.3

剛體定軸轉(zhuǎn)動的角動量.轉(zhuǎn)動慣量§7.4

剛體定軸轉(zhuǎn)動的動能定理§7.5

剛體平面運動的動力學(xué)§7.6

剛體的平衡(自學(xué))§7.7

自轉(zhuǎn)與旋進(jìn)(自學(xué))§7.5

剛體平面運動的動力學(xué)

§7.5.1剛體平面運動的基本動力學(xué)方程§7.5.2作用于剛體上的力§7.5.3剛體平面運動的動能§7.5.4滾動摩擦力偶矩§7.5.5汽車輪的受力汽車的極限速度.主要內(nèi)容:§7.5.1剛體平面運動的基本動力學(xué)方程§7.5.2作用于剛體上的力§7.5.3剛體平面運動的動能自學(xué)§7.5

剛體平面運動的動力學(xué)

§7.5.1

剛體平面運動的基本動力學(xué)方程

平面運動=基點的平動+繞基點的定軸轉(zhuǎn)動

1.求質(zhì)心(基點)的運動

剛體作平面運動，其受力必在Oxy

平面內(nèi)

在Oxyz

系中,對剛體應(yīng)用質(zhì)心運動定理得在討論動力學(xué)問題時，必須將基點取在“質(zhì)心”處其投影式為2.剛體繞質(zhì)心軸的定軸轉(zhuǎn)動

在質(zhì)心坐標(biāo)系中，剛體應(yīng)作定軸轉(zhuǎn)動.

選質(zhì)心坐標(biāo)系,設(shè)為過質(zhì)心而垂直于固定平面的軸.質(zhì)點系對質(zhì)心C

的角動量定理為將它投影于軸得(略去足碼“外”)用于剛體時，角動量為于是得：在質(zhì)心系中，先考慮質(zhì)點系的情形：⑴將基點取在“質(zhì)心”處總結(jié)研究剛體平面動力學(xué)的要點：⑵滿足剛體平面運動的兩個基本動力學(xué)方程.①質(zhì)心運動定理②對質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動定理那么剛體受力,作平面運動,為什么會滿足以上兩個動力學(xué)方程呢?為此,就要研究作用于剛體上的力具有什么樣的特性!!§7.5.2

作用于剛體上的力

1.作用于剛體上的力之特點

·滑移矢量

(1)

施于剛體的力之特點

作用力好象只作用于質(zhì)心，作用力對質(zhì)心好象不起作用，CC效果1：效果2：根據(jù)質(zhì)心運動定理僅使剛體產(chǎn)生平動.根據(jù)對質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動定理而對質(zhì)心軸不產(chǎn)生力矩僅對質(zhì)心軸產(chǎn)生力矩,使剛體產(chǎn)生角加速度.——兩種效果(2)

施于剛體的力是滑移矢量作用于剛體的力的三要素是：

大小、方向和作用線.

則其作用效果不變!!!ABC右圖中,剛體的B點受到力F的作用為了顯示力的作用效果,可在其延長線上的A點施以大小相同,方向相反的力.表明:作用于剛體上的力可沿作用線滑移.所以:因而稱滑移矢量如果用施于B點的力代替,2.力偶和力偶矩

力偶：力偶矩大?。?/p>

可以看出:力偶矩與參考點的選擇無關(guān).

Om1m2d

一般情況下，作用于剛體的力可等效于一作用線通過質(zhì)心的力和一力偶，這力的方向和大小與原力相同，而力偶矩等于原力對質(zhì)心軸的力矩.

大小相等，方向相反，彼此平行的一對力.

力偶矩：力偶對某參考點O的力矩之矢量和.方向:⊙

一般情況下，作用于剛體的力可等效于一個作用線通過質(zhì)心的力和一個力偶，這力的方向和大小與原力相同，而力偶矩等于原力對質(zhì)心軸的力矩.

CFM=F·d=CFd[例題7-12]如圖，固定斜面傾角為

，質(zhì)量為m

半徑為R

的均質(zhì)圓柱體順斜面向下作無滑滾動，求圓柱體質(zhì)心的加速度ac及斜面作用于柱體的摩擦力F

.x

yOC[解]由質(zhì)心運動定理y

軸上投影由質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動定理由無滑滾動條件

P.245聯(lián)立⑴⑵⑶⑴⑵⑶得建立坐標(biāo)，受力分析[例題7-13]

質(zhì)量為m的汽車在水平路面上急剎車，前后輪均停止轉(zhuǎn)動.前后輪相距L，與地面的摩擦因數(shù)為

.汽車質(zhì)心離地面高度為h，與前輪軸水平距離為l

.求前后車輪對地面的壓力.Oxy[解]

汽車受力分析.

y

軸投影對質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動定理,根據(jù)質(zhì)心運動定理C建立坐標(biāo):hLl有關(guān)參數(shù)如圖:由上面方程根據(jù)牛頓第三定律，前后輪對地面的壓力大小分別為FN1、FN2

，但方向向下.可以解出:討論:設(shè)質(zhì)心C位于前后軸的中點,則FN1＞FN2一般轎車都是前置發(fā)動機(jī),質(zhì)心總是偏前軸,故剎車時,前輪對地面的壓力要大于后輪.關(guān)于與車靜止時的比較,請閱讀教材P.246§7.5.3剛體平面運動的動能

剛體平面運動動能

平面運動動能定理

如果剛體不太大，若剛體在運動中只有保守力作功，則系統(tǒng)的機(jī)械能也守恒.由克尼希定理知，P.154倒10行剛體作平面運動的動能為：剛體質(zhì)心的平動動能與繞質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動動能之和[例題7-14]

在例題7-12中，設(shè)圓柱體自靜止開始滾下，求質(zhì)心下落高度h時，圓柱體質(zhì)心的速率.[解]

因為是無滑滾動，靜摩擦力F

不做功，只有重力W做功，機(jī)械能守恒.x

yOCx′

y′

末機(jī)械能初機(jī)械能將無滑滾動條件代入上式可求得§7.5.4滾動摩擦力偶矩滾動摩擦發(fā)生的原因：是物體與接觸面處的非彈性形變引起.設(shè)滾輪在接觸區(qū)無形變，地面有非彈性形變.OO

OM滾如圖對質(zhì)心產(chǎn)生反向力矩——滾動摩擦力矩M滾

——摩擦因數(shù)，由實驗測.M滾

使物體角速度減小，則接觸面各點有向前滑動趨勢，從而產(chǎn)生反向摩擦力（滾動摩擦）使物體減速.r是輪半徑.滾動阻力因數(shù)常見汽車輪在幾種典型路面上的值

0.010~0.030結(jié)冰路面0.100~0.250泥濘土路（雨季或解凍）0.035~0.050坑洼的卵石路面0.018~0.020一般的瀝青或混凝土路面0.010~0.018良好的瀝青或混凝土路面路面類型滾動摩擦<<滑動摩擦CM滾CA設(shè)滾子勻速滾動，則阻力和阻力矩分別為聯(lián)立得若滾子勻速平動查閱教材表7.2與表3.2可知，§7.5.5汽車輪的受力汽車的極限速度CM滾M驅(qū)M滾驅(qū)CM滾驅(qū)動輪被動輪汽車牽引力[例題4]桑塔納汽車勻速行駛,汽車橫截面積為S=1.89m2,空氣阻力因數(shù)Cv=0.425.

發(fā)動機(jī)功率為P發(fā)=60kW,設(shè)經(jīng)內(nèi)部傳動機(jī)構(gòu)能量損失10%,空氣密度

=1.2258N·s2/m4.汽車行駛所受空氣阻力求汽車沿水平路面行駛的最高速率vmax[解]取發(fā)動機(jī)燃燒物以外的整個汽車為質(zhì)點系功功率

P外=P發(fā)+滾動摩擦力偶矩功率+空氣阻力功率P阻

不計滾動摩擦力偶矩功率估算滾動摩擦力偶矩的功率滾動摩擦力偶矩的功率,W為總車重取得滾動摩擦力偶矩的功率7.0kW

影響最高速度的主要因素是空氣阻力.第七章剛體力學(xué)

§7.1

剛體運動的描述§7.2

剛體的動量和質(zhì)心運動定理

§7.3

剛體定軸轉(zhuǎn)動的角動量.轉(zhuǎn)動慣量§7.4

剛體定軸轉(zhuǎn)動的動能定理§7.5

剛體平面運動的動力學(xué)§7.6

剛體的平衡(自學(xué))§7.7

自轉(zhuǎn)與旋進(jìn)(自學(xué))§7.6剛體的平衡§7.6.1剛體的平衡方程§7.6.2桿的受力特點主要內(nèi)容:§7.6剛體的平衡§7.6.1剛體的平衡方程

無平動（對某定點如A）剛體平衡的充要條件無轉(zhuǎn)動當(dāng)兩條件滿足時，外力對任何定點的力矩的矢量和也為零.對共面力系,在直角坐標(biāo)系O-xyz中平衡條件化為共面力系——

所有力的作用線位于同一平面內(nèi).是力對z軸力矩的代數(shù)和為零,其中剛體平衡方程的其它形式z軸是垂直于Oxy面的任意軸.(1)

諸力對任意軸的力矩和為零.在力的作用平面內(nèi)選O和

兩個參考點，

連線不與Ox軸正交則(2)

在力的作用平面