2023-2024學(xué)年人教A版必修第二冊 9-2-3總體集中趨勢的估計(jì) 學(xué)案

9.2.3總體集中趨勢的估計(jì)【學(xué)習(xí)目標(biāo)】(1)會(huì)求樣本數(shù)據(jù)的眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)．(2)理解用樣本的數(shù)字特征、頻率分布直方圖估計(jì)總體的集中趨勢．【問題探究】現(xiàn)從甲、乙、丙三個(gè)廠家生產(chǎn)的同一種耐用家電產(chǎn)品中，各抽取8件產(chǎn)品，對其使用壽命進(jìn)行跟蹤調(diào)查，其結(jié)果如下：(單位：年)甲：3，4，5，6，8，8，8，10；乙：4，6，6，6，8，9，12，13；丙：3，3，4，7，9，10，11，12.三個(gè)廠家廣告中都稱其產(chǎn)品的使用壽命為8年，利用所學(xué)知識(shí)，你能說明為什么嗎？題型1眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)的計(jì)算例1在一次中學(xué)生田徑運(yùn)動(dòng)會(huì)上，參加男子跳高的17名運(yùn)動(dòng)員的成績?nèi)绫硭荆撼煽?單位：m)1.501.601.651.701.751.801.851.90人數(shù)23234111分別求這些運(yùn)動(dòng)員成績的眾數(shù)、中位數(shù)與平均數(shù)．學(xué)霸筆記：眾數(shù)是出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)；計(jì)算中位數(shù)時(shí)，可先將這組數(shù)據(jù)按從小到大或從大到小的順序排列，再根據(jù)相關(guān)數(shù)據(jù)的總數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù)而定；平均數(shù)一般是根據(jù)公式來計(jì)算．跟蹤訓(xùn)練1已知一組數(shù)據(jù)5，2，x，5，8，9，且5<x<8.若該組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是中位數(shù)的56，則該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為(A.6B．6.5C.7D．7.5題型2眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)的應(yīng)用例2甲、乙、丙三家電子廠商在廣告中都聲稱，他們的某型電子產(chǎn)品在正常情況下的待機(jī)時(shí)間都是12h，質(zhì)量檢測部門對這三家銷售產(chǎn)品的待機(jī)時(shí)間進(jìn)行了抽樣調(diào)查，統(tǒng)計(jì)結(jié)果(單位：h)如下：甲：8，9，9，9，9，11，13，16，17，19；乙：10，10，12，12，12，13，14，16，18，19；丙：8，8，8，10，11，13，17，19，20，20.(1)分別求出以上三組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)．(2)這三個(gè)廠商的推銷廣告分別利用了上述哪一種數(shù)據(jù)來表示待機(jī)時(shí)間？(3)如果你是顧客，會(huì)選擇哪個(gè)廠商的產(chǎn)品？為什么？學(xué)霸筆記：(1)樣本的眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)常用來表示樣本數(shù)據(jù)的“中心值”，其中眾數(shù)和中位數(shù)容易計(jì)算，不受少數(shù)幾個(gè)極端值的影響，但只能表達(dá)樣本數(shù)據(jù)中的少量信息，平均數(shù)代表了數(shù)據(jù)更多的信息，但受樣本中每個(gè)數(shù)據(jù)的影響，越極端的數(shù)據(jù)對平均數(shù)的影響也越大．(2)當(dāng)一組數(shù)據(jù)中有不少數(shù)據(jù)重復(fù)出現(xiàn)時(shí)，其眾數(shù)往往更能反映問題，當(dāng)一組數(shù)據(jù)中個(gè)別數(shù)據(jù)較大時(shí)，可用中位數(shù)描述其集中趨勢．跟蹤訓(xùn)練2某小區(qū)廣場上有甲、乙兩群市民正在進(jìn)行晨練，兩群市民的年齡(單位：歲)如下：甲群：13，13，14，15，15，15，15，16，17，17；乙群：54，3，4，4，5，5，6，6，6，57.(1)甲群市民年齡的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)各是多少歲？其中哪個(gè)統(tǒng)計(jì)量能較好地反映甲群市民的年齡特征？(2)乙群市民年齡的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)各是多少歲？其中哪個(gè)統(tǒng)計(jì)量能較好地反映乙群市民的年齡特征？題型3利用頻率分布直方圖求眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)例3某城市正在進(jìn)行創(chuàng)建文明城市的活動(dòng)，為了解居民對活動(dòng)的滿意程度，相關(guān)部門組織部分居民對本次活動(dòng)進(jìn)行打分(分?jǐn)?shù)為正整數(shù)，滿分100分)．現(xiàn)從所有有效數(shù)據(jù)中隨機(jī)抽取一個(gè)容量為100的樣本，統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)分?jǐn)?shù)均在[40，100]，將樣本數(shù)據(jù)整理得到如下頻率分布直方圖．(1)求a的值；(2)根據(jù)頻率分布直方圖，估計(jì)該城市居民打分的眾數(shù)、中位數(shù)(保留一位小數(shù))及平均數(shù)(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表)．學(xué)霸筆記：(1)眾數(shù)即為出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)，所以它的頻率最大，在最高的小矩形中，中位數(shù)即為從小到大中間的數(shù)(或中間兩數(shù)的平均數(shù))．平均數(shù)約為每個(gè)小矩形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)與小矩形面積的乘積之和．(2)用頻率分布直方圖求得的眾數(shù)、中位數(shù)不一定是樣本中的具體數(shù)．跟蹤訓(xùn)練3某中學(xué)舉行電腦知識(shí)競賽，現(xiàn)將高一參賽學(xué)生的成績進(jìn)行整理后分成五組繪制成如圖所示的頻率分布直方圖，已知圖中從左到右的第一、二、三、四、五小組的頻率分別是0.30，0.40，0.15，0.10，0.05.求：高一參賽學(xué)生的成績的眾數(shù)、中位數(shù)．隨堂練習(xí)1．在一次體育測試中，某班的6名同學(xué)的成績(單位：分)分別為66，83，87，83，77，96.關(guān)于這組數(shù)據(jù)，下列說法錯(cuò)誤的是()A．眾數(shù)是83 B．中位數(shù)是83C．極差是30 D．平均數(shù)是832．北京冬奧會(huì)已于2023年2月4日至2月20日順利舉行，這是中國繼北京奧運(yùn)會(huì)，南京青奧會(huì)后，第三次舉辦的奧運(yùn)賽事．之前，為助力冬奧，提高群眾奧運(yùn)法律知識(shí)水平和文明素質(zhì)，某市有關(guān)部門開展冬奧法律知識(shí)普及類線上答題，共計(jì)30個(gè)題目，每個(gè)題目2分，滿分60分，現(xiàn)從參與線上答題的市民中隨機(jī)抽取1000名，將他們的作答成績分成6組，并繪制了如圖所示的頻率分布直方圖．若同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點(diǎn)值為代表，可估計(jì)這次線上答題成績的平均數(shù)為()A．33B．34C．35D．363．我國冰雪健兒自1992年實(shí)現(xiàn)冬奧獎(jiǎng)牌數(shù)0的突破，到北京冬奧會(huì)結(jié)束，共獲得77塊獎(jiǎng)牌．現(xiàn)將1992年以來我國冬奧會(huì)獲得獎(jiǎng)牌數(shù)量統(tǒng)計(jì)如下表：年份199219941998200220062010201420232023獎(jiǎng)牌數(shù)338811119915則1992年以來我國獲得獎(jiǎng)牌數(shù)的中位數(shù)為()A.8B．9C．10D．114．已知一組數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖如下．則眾數(shù)是__________，中位數(shù)是__________，平均數(shù)是__________．課堂小結(jié)1.眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)的計(jì)算．2．眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)的應(yīng)用．3．頻率分布直方圖中的眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)．9．2.3總體集中趨勢的估計(jì)問題探究提示：三個(gè)廠家是從不同角度進(jìn)行了說明，以宣傳自己的產(chǎn)品．其中甲：眾數(shù)為8年；乙：平均數(shù)為8年；丙：中位數(shù)為8年．例1解析：因?yàn)槌煽優(yōu)?.75m的人數(shù)為4，最多，所以17名運(yùn)動(dòng)員的成績的眾數(shù)為：1.75m.根據(jù)中位數(shù)的定義可知，把17名運(yùn)動(dòng)員的成績從小到大排列，第9個(gè)運(yùn)動(dòng)員的成績?yōu)橹形粩?shù)，所以17名運(yùn)動(dòng)員的成績的中位數(shù)為：1.70m.17名運(yùn)動(dòng)員的成績的平均數(shù)為：2×1.50+3×所以這些運(yùn)動(dòng)員成績的眾數(shù)為1.75m，中位數(shù)為1.70m，平均數(shù)約為1.69m．跟蹤訓(xùn)練1解析：∵5<x<8，∴這組數(shù)據(jù)為2，5，5，x，8，9，則該組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是5，又該組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是中位數(shù)的56倍，則中位數(shù)是6，即5+x2＝6，解得x＝7，則該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為2+5+5+7+8+96＝6答案：A例2解析：(1)根據(jù)平均數(shù)的計(jì)算公式可知：甲廠數(shù)據(jù)的平均數(shù)是8+9+9+9+9+11+13+16+17+1910＝12乙廠數(shù)據(jù)的平均數(shù)是10+10+12+12+12+13+14+16+18+1910＝13.6丙廠數(shù)據(jù)的平均數(shù)是8+8+8+10+11+13+17+19+20+2010＝甲廠，乙廠，丙廠的眾數(shù)分別是9，12，8.甲廠數(shù)據(jù)的中位數(shù)為9+112＝10，乙廠數(shù)據(jù)的中位數(shù)為12+132＝12.5，丙廠數(shù)據(jù)的中位數(shù)為11+13(2)甲廠用平均數(shù)作為該電子產(chǎn)品的待機(jī)時(shí)間，乙廠用眾數(shù)作為該電子產(chǎn)品的待機(jī)時(shí)間，丙廠用中位數(shù)作為該電子產(chǎn)品的待機(jī)時(shí)間．(3)我會(huì)選乙廠的產(chǎn)品因?yàn)橐覐S產(chǎn)品的平均數(shù)最大，眾數(shù)最大，中位數(shù)最大，所以待機(jī)時(shí)間更長些，穩(wěn)定性也較好．跟蹤訓(xùn)練2解析：(1)甲群市民年齡的平均數(shù)為13+13+14+15+15+15+15+16+17+1710＝15(歲)中位數(shù)為15歲，眾數(shù)為15歲，平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)相等，因此它們都能較好地反映甲群市民的年齡特征．(2)乙群市民年齡的平均數(shù)為54+3+4+4+5+5+6+6+6+5710＝15(歲)中位數(shù)為5.5歲，眾數(shù)為6歲．由于乙群市民大多數(shù)是兒童，所以中位數(shù)和眾數(shù)能較好地反映乙群市民的年齡特征，而平均數(shù)的可靠性較差．例3解析：(1)由頻率分布直方圖可知(0.004＋0.006＋a＋0.03＋0.024＋0.016)×10＝1，解得a＝0.02.(2)由頻率分布直方圖可知眾數(shù)為70+802＝75由(0.004＋0.006＋0.02)×10＝0.3<0.5，(0.004＋0.006＋0.02＋0.03)×10＝0.6>0.5，所以中位數(shù)位于[70，80)之間，設(shè)中位數(shù)為x，則(0.004＋0.006＋0.02)×10＋(x－70)×0.03＝0.5，解得x＝2303≈76.7平均數(shù)為0.04×45＋0.06×55＋0.2×65＋0.3×75＋0.24×85＋0.16×95＝76.2.跟蹤訓(xùn)練3解析：用頻率分布直方圖中最高矩形所在的區(qū)間的中點(diǎn)值作為眾數(shù)的近似值，得眾數(shù)為60+702＝因?yàn)?.03×10＝0.3<0.5，(0.03＋0.04)×10＝0.7>0.5，所以中位數(shù)在60～70之間，設(shè)中位數(shù)為x，則0.3＋0.04(x－60)＝0.5，解得x＝65，所以中位數(shù)為65.[隨堂練習(xí)]1．解析：由于83出現(xiàn)的次數(shù)最多，所以眾數(shù)是83，故A說法正確；把數(shù)據(jù)66，83，87，83，77，96按從小到大排列為66，77，83，83，87，96，中間兩個(gè)數(shù)為83，83，所以中位數(shù)是83，故B說法正確；極差是96－66＝30，故C說法正確；由于平均數(shù)為(66＋83＋87＋83＋77＋96)÷6＝82，故D說法錯(cuò)誤．答案：D2．解析：由題圖，0.05×5＋0.1×15＋0.2×25＋0.3×35＋0.25×45＋0.1×55＝34.故選B.答案：B3．解析：將自1992年以來我國冬