山東省濟(jì)寧市兗州區(qū)高三上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)

20232024學(xué)年第一學(xué)期期中質(zhì)量檢測高三數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知全集為，集合，滿足，則下列運(yùn)算結(jié)果為的是（）A B. C. D.2.命題p：，，則命題p的否定為（）A， B.，C.， D.，3.函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（）A. B. C. D.4.已知O，N，P在所在平面內(nèi)，且，且，則點(diǎn)O，N，P依次是的（注：三角形的三條高線交于一點(diǎn)，此點(diǎn)為三角型的垂心）A.重心外心垂心 B.重心外心內(nèi)心C.外心重心垂心 D.外心重心內(nèi)心5.2023年8月6日2時(shí)33分，山東平原縣發(fā)生里氏級地震，8月8日3時(shí)28分，菏澤市牡丹區(qū)發(fā)生級地震，短時(shí)間內(nèi)的兩次地震引起了人們對地震災(zāi)害和避險(xiǎn)方法的關(guān)注.地震發(fā)生時(shí)會釋放大量的能量，這些能量是造成地震災(zāi)害的元兇.研究表明地震釋放的能量E（單位：焦耳）的常用對數(shù)與震級M之間滿足線性關(guān)系，若4級地震所釋放的能量為焦耳，6級地震所釋放的能量為焦耳，則這次平原縣發(fā)生的地震所釋放的能量約為（）（參考數(shù)據(jù)：，）A.焦耳 B.焦耳C.焦耳 D.焦耳6.記為數(shù)列的前項(xiàng)和，設(shè)甲：為等差數(shù)列；乙：為等差數(shù)列，則（）A.甲是乙的充分條件但不是必要條件B.甲是乙的必要條件但不是充分條件C.甲是乙的充要條件D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件7.已知的定義域?yàn)闉槠婧瘮?shù)，為偶函數(shù)，若當(dāng)時(shí)，，則（）A. B.0 C.1 D.e8.已知是正整數(shù)，函數(shù)在內(nèi)恰好有4個(gè)零點(diǎn)，其導(dǎo)函數(shù)為，則的最大值為（）A.2 B. C.3 D.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知復(fù)數(shù)（是虛數(shù)單位），則下列命題中正確的是（）A. B.在復(fù)平面上對應(yīng)點(diǎn)在第二象限C. D.的虛部為10.下列命題中正確的是（）A.若向量，，則可作為平面向量的一組基底B.若四邊形為平行四邊形，且，則頂點(diǎn)坐標(biāo)為C.若是等邊三角形，則．D.已知向量滿足，，且，則在上的投影向量的坐標(biāo)為11.若，則下列說法不成立的是（）A.若且，則 B.若且，則C.若，則 D.若，則12.已知函數(shù)，則下列說法正確的是（）A.當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)極值點(diǎn)B.當(dāng)時(shí)，的圖象關(guān)于中心對稱C.當(dāng)，且時(shí)，可能有三個(gè)零點(diǎn)D.當(dāng)上單調(diào)時(shí)，三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13已知，則___________.（用表示）14.曲線在點(diǎn)處的切線方程為__________．15.如圖，是九個(gè)相同的正方形拼接而成的九宮格中的兩個(gè)角，則______.16.如圖，已知正方形ABCD的邊長為2，點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)．以A為圓心，AE為半徑，作圓弧交AD于點(diǎn)F，若P為劣弧EF上的動點(diǎn)，則的最小值為__________．四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知不等式的解集為集合，集合．（1）若，求；（2）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍．18.已知、是非零向量，，且、．（1）求與的夾角；（2）求．19.已知，其中向量,（1）求的最小正周期和最小值；（2）在△中，角A、B、C的對邊分別為、、，若，，，求邊長的值.20.已知數(shù)列的前項(xiàng)和,.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為,若對恒成立，求實(shí)數(shù)的最大值.21.摩天輪是一種大型轉(zhuǎn)輪狀的機(jī)械建筑設(shè)施，游客坐在摩天輪的座艙里慢慢地往上轉(zhuǎn)，可以從高處俯瞰四周景色，如下圖，某摩天輪最高點(diǎn)距離地面高度為，轉(zhuǎn)盤直徑為，均勻設(shè)置了依次標(biāo)號為號的48個(gè)座艙.開啟后摩天輪按照逆時(shí)針方向勻速旋轉(zhuǎn)，游客在座艙轉(zhuǎn)到距離地面最近的位置進(jìn)艙，開始轉(zhuǎn)動后距離地面的高度為，轉(zhuǎn)一周需要.（1）求在轉(zhuǎn)動一周的過程中，關(guān)于的函數(shù)解析式；（2）若甲、乙兩人分別坐在1號和9號座艙里，在運(yùn)行一周的過程中，求兩人距離地面的高度差（單位：）關(guān)于的函數(shù)解析式，并求高度差的最大值.（參考公式：）22.已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）證明：當(dāng)時(shí)，．

20232024學(xué)年第一學(xué)期期中質(zhì)量檢測高三數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知全集為，集合，滿足，則下列運(yùn)算結(jié)果為的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由題意作出Venn圖，再由集合的運(yùn)算逐一判斷即可【詳解】全集，集合，滿足，繪制Venn圖，如下：對于A：，A錯(cuò)誤；對于B：，B錯(cuò)誤；對于C：，C錯(cuò)誤；對于D：，D正確.故選：D2.命題p：，，則命題p的否定為（）A.， B.，C.， D.，【答案】C【解析】【分析】由存在量詞命題的否定為全稱量詞命題，判斷命題p的否定形式.【詳解】存在量詞命題的否定為全稱量詞命題，所以命題p的否定應(yīng)該為，．故選：C．3.函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由根式性質(zhì)求定義域，結(jié)合二次函數(shù)和冪函數(shù)的性質(zhì)確定增區(qū)間.【詳解】由題意，令，即或，根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)知：在上遞減，在上遞增又在定義域上遞增，故的單調(diào)遞增區(qū)間為.故選：C4.已知O，N，P在所在平面內(nèi)，且，且，則點(diǎn)O，N，P依次是的（注：三角形的三條高線交于一點(diǎn)，此點(diǎn)為三角型的垂心）A.重心外心垂心 B.重心外心內(nèi)心C.外心重心垂心 D.外心重心內(nèi)心【答案】C【解析】【詳解】試題分析：因?yàn)?，所以到定點(diǎn)的距離相等，所以為的外心，由，則，取的中點(diǎn)，則，所以，所以是的重心；由，得，即，所以，同理，所以點(diǎn)為的垂心，故選C.考點(diǎn)：向量在幾何中的應(yīng)用.5.2023年8月6日2時(shí)33分，山東平原縣發(fā)生里氏級地震，8月8日3時(shí)28分，菏澤市牡丹區(qū)發(fā)生級地震，短時(shí)間內(nèi)的兩次地震引起了人們對地震災(zāi)害和避險(xiǎn)方法的關(guān)注.地震發(fā)生時(shí)會釋放大量的能量，這些能量是造成地震災(zāi)害的元兇.研究表明地震釋放的能量E（單位：焦耳）的常用對數(shù)與震級M之間滿足線性關(guān)系，若4級地震所釋放的能量為焦耳，6級地震所釋放的能量為焦耳，則這次平原縣發(fā)生的地震所釋放的能量約為（）（參考數(shù)據(jù)：，）A.焦耳 B.焦耳C.焦耳 D.焦耳【答案】D【解析】【分析】根據(jù)對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)即可代入數(shù)據(jù)求解,進(jìn)而可求解.【詳解】由題意可設(shè)，則，解得，所以，所以，所以當(dāng)時(shí)，焦耳.故選:D.6.記為數(shù)列的前項(xiàng)和，設(shè)甲：為等差數(shù)列；乙：為等差數(shù)列，則（）A.甲是乙的充分條件但不是必要條件B.甲是乙的必要條件但不是充分條件C.甲是乙充要條件D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件【答案】C【解析】【分析】利用充分條件、必要條件的定義及等差數(shù)列的定義，再結(jié)合數(shù)列前n項(xiàng)和與第n項(xiàng)的關(guān)系推理判斷作答.，【詳解】方法1，甲：為等差數(shù)列，設(shè)其首項(xiàng)為，公差為，則，因此為等差數(shù)列，則甲是乙的充分條件；反之，乙：為等差數(shù)列，即為常數(shù)，設(shè)為，即，則，有，兩式相減得：，即，對也成立，因此為等差數(shù)列，則甲是乙的必要條件，所以甲是乙的充要條件，C正確.方法2，甲：為等差數(shù)列，設(shè)數(shù)列的首項(xiàng)，公差為，即，則，因此為等差數(shù)列，即甲是乙的充分條件；反之，乙：為等差數(shù)列，即，即，，當(dāng)時(shí)，上兩式相減得：，當(dāng)時(shí)，上式成立，于是，又為常數(shù)，因此為等差數(shù)列，則甲是乙的必要條件，所以甲是乙的充要條件.故選：C7.已知的定義域?yàn)闉槠婧瘮?shù)，為偶函數(shù)，若當(dāng)時(shí)，，則（）A. B.0 C.1 D.e【答案】C【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性可以求出函數(shù)的周期，利用周期運(yùn)用代入法進(jìn)行求解即可.【詳解】為奇函數(shù)，即，所以關(guān)于中心對稱，則，為偶函數(shù)，即，所以，故，即是周期為8的周期函數(shù)，所以，故選：C【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是利用函數(shù)的奇偶性求出函數(shù)的周期.8.已知是正整數(shù)，函數(shù)在內(nèi)恰好有4個(gè)零點(diǎn)，其導(dǎo)函數(shù)為，則的最大值為（）A.2 B. C.3 D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的定義，導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算公式，結(jié)合正弦型函數(shù)的最值性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)樵趦?nèi)恰好有4個(gè)零點(diǎn)，所以，即，所以，又，所以，所以，，所以，其中．故選：B二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知復(fù)數(shù)（是虛數(shù)單位），則下列命題中正確的是（）A. B.在復(fù)平面上對應(yīng)點(diǎn)在第二象限C. D.的虛部為【答案】ACD【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的除法化簡復(fù)數(shù)，利用復(fù)數(shù)的模長公式可判斷A選項(xiàng)；利用復(fù)數(shù)的幾何意義可判斷B選項(xiàng)；利用共軛復(fù)數(shù)的定義可判斷C選項(xiàng)；利用復(fù)數(shù)的概念可判斷D選項(xiàng).【詳解】因?yàn)?對于A選項(xiàng)，，A對；對于B選項(xiàng)，在復(fù)平面上對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為，位于第四象限，B錯(cuò)；對于C選項(xiàng)，，C對；對于D選項(xiàng)，的虛部為，D對.故選：ACD.10.下列命題中正確的是（）A.若向量，，則可作為平面向量的一組基底B.若四邊形為平行四邊形，且，則頂點(diǎn)的坐標(biāo)為C.若是等邊三角形，則．D.已知向量滿足，，且，則在上的投影向量的坐標(biāo)為【答案】ABD【解析】【分析】對于A，由基底的定義分析判斷，對于B，由可求出點(diǎn)的坐標(biāo)，對于C，由向量夾角的定義分析判斷，對于D，由數(shù)量積的幾何意義分析判斷.【詳解】對于A，因?yàn)?，，且滿足，所以不共線，所以可作為平面向量的一組基底，所以A正確，對于B，設(shè)，因?yàn)樗倪呅螢槠叫兴倪呅危?，所以，解得，所以頂點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以B正確，對于C，因?yàn)槭堑冗吶切危?，所以C錯(cuò)誤，對于D，因?yàn)橄蛄繚M足，，且，所以在上的投影向量的坐標(biāo)為，所以D正確，故選：ABD11.若，則下列說法不成立的是（）A.若且，則 B.若且，則C.若，則 D.若，則【答案】ABD【解析】【分析】A.由判斷；B.由判斷；C.作差法判斷；D作差法判斷.【詳解】A.若得不到，故錯(cuò)誤；B.若時(shí)，不成立，故錯(cuò)誤；C.因?yàn)椋?，故正確；D.，所以，故錯(cuò)誤；故選：ABD.12.已知函數(shù)，則下列說法正確的是（）A.當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)極值點(diǎn)B.當(dāng)時(shí)，的圖象關(guān)于中心對稱C.當(dāng)，且時(shí)，可能有三個(gè)零點(diǎn)D.當(dāng)在上單調(diào)時(shí)，【答案】BC【解析】【分析】特殊值法可排除A項(xiàng)，利用函數(shù)的對稱性可判定B，取特殊值結(jié)合導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值可判定C，利用導(dǎo)函數(shù)非負(fù)結(jié)合判別式可判定D.【詳解】對于A，當(dāng)時(shí)，，，若時(shí)，，則在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，無極值點(diǎn)，故A錯(cuò)誤；對于B，當(dāng)時(shí)，，，則，所以的圖象關(guān)于中心對稱，故B正確；對于C項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，，取，即時(shí)，此時(shí)，所以當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)極小值為，函數(shù)極大值為，即，所以在有一個(gè)零點(diǎn)，又因，，所以在有一個(gè)零點(diǎn)，在有一個(gè)零點(diǎn)，即當(dāng)時(shí)，有三個(gè)零點(diǎn)，故C正確；對于D項(xiàng)，若在定義域上是單調(diào)函數(shù)，則恒成立，所以，解得，所以D錯(cuò)誤，故選：BC．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題C項(xiàng)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，結(jié)合極大小值的正負(fù)及取特殊點(diǎn)判斷函數(shù)值符合是關(guān)鍵.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知，則___________.（用表示）【答案】##【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)式與對數(shù)式的互化，求出，結(jié)合對數(shù)的運(yùn)算法則化簡，即可得答案.【詳解】因?yàn)椋?，故，故答案為?4.曲線在點(diǎn)處的切線方程為__________．【答案】【解析】【分析】先驗(yàn)證點(diǎn)在曲線上，再求導(dǎo)，代入切線方程公式即可．【詳解】由題，當(dāng)時(shí)，，故點(diǎn)在曲線上．求導(dǎo)得：，所以．故切線方程為．故答案為：．15.如圖，是九個(gè)相同的正方形拼接而成的九宮格中的兩個(gè)角，則______.【答案】【解析】【分析】結(jié)合圖形，可得，利用正切的和角公式,即可得出答案.【詳解】由圖得：，所以，又因?yàn)闉殇J角，從而.故答案為：.16.如圖，已知正方形ABCD的邊長為2，點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)．以A為圓心，AE為半徑，作圓弧交AD于點(diǎn)F，若P為劣弧EF上的動點(diǎn)，則的最小值為__________．【答案】【解析】【分析】建立直角坐標(biāo)系，設(shè)，利用坐標(biāo)運(yùn)算求出，再利用輔助角公式即可求解.【詳解】解：如圖所示：建立平面直角坐標(biāo)系，則，，由題意可設(shè)：，則，，，其中，∴的最小值為.故答案：.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知不等式的解集為集合，集合．（1）若，求；（2）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）可得出時(shí)，可得出集合，然后進(jìn)行并集的運(yùn)算即可；（2）根據(jù)，并且即可得出或，從而可得出的取值范圍．【小問1詳解】時(shí)，解得，，且，∴；【小問2詳解】由解得，，，且，或，或，∴實(shí)數(shù)的取值范圍為或．18.已知、是非零向量，，且、．（1）求與的夾角；（2）求．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）依題意可得，根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律求出，再根據(jù)計(jì)算可得；（2）根據(jù)及數(shù)量積的運(yùn)算律計(jì)算可得；【小問1詳解】解：因?yàn)椋?，即，即，所以，因?yàn)?，所以；【小?詳解】解：19.已知，其中向量,（1）求的最小正周期和最小值；（2）在△中，角A、B、C的對邊分別為、、，若，，，求邊長的值.【答案】（1）最小正周期為π，最小值為.（2）2或6．【解析】【分析】（1）利用向量的數(shù)量積化簡的解析式，進(jìn)而可得的最小正周期和最小值；（2）先由求得，再利用余弦定理列方程，即可求得邊長的值.【詳解】（1）則的最小正周期，最小值為.（2），則，又，則，故，解之得又，，由余弦定理得，即，解之得或.經(jīng)檢驗(yàn)，均符合題意.20.已知數(shù)列的前項(xiàng)和,.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為,若對恒成立，求實(shí)數(shù)的最大值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）首先求得的值，然后利用與的關(guān)系推出數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）首先結(jié)合（1）求得的表達(dá)式，然后用裂項(xiàng)法求得，再根據(jù)數(shù)列的單調(diào)性求得的最大值．【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，由；當(dāng)時(shí)，，又滿足上式，所以的通項(xiàng)公式為.【小問2詳解】由，可得，則.因?yàn)?，所以，所以?shù)列是遞增數(shù)列，所以，所以實(shí)數(shù)的最大值是.21.摩天輪是一種大型轉(zhuǎn)輪狀的機(jī)械建筑設(shè)施，游客坐在摩天輪的座艙里慢慢地往上轉(zhuǎn)，可以從高處俯瞰四周景色，如下圖，某摩天輪最高點(diǎn)距離地面高度為，轉(zhuǎn)盤直徑為，均勻設(shè)置了依次標(biāo)號為號的48個(gè)座艙.開啟后摩天輪按照逆時(shí)針方向勻速旋轉(zhuǎn)，游客在座艙轉(zhuǎn)到距離地面最近的位置進(jìn)艙，開始轉(zhuǎn)動后距離地面的高度為，轉(zhuǎn)一周需要.（1）求在轉(zhuǎn)動一周的過程中，關(guān)于的函數(shù)解析式；（2）若甲、乙兩人分別坐在1號和9號座艙里，在運(yùn)行一周的過程中，求兩人距離地面的高度差（單位：）關(guān)于的函數(shù)解析式，并求高度差的最大值.（參考公式：）【答案】（1），（2），；45m【解析】【分析】（1）設(shè)，根據(jù)所給條件求出、、、；（2）由題意得：號與號座艙的角度差為，不妨假設(shè)1號座艙出發(fā)早于9