基于二維偏微分方程解的吸引子拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)分岔的宏觀經(jīng)濟(jì)建模

基于二維偏微分方程解的吸引子拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)分岔的宏觀經(jīng)濟(jì)建模

一對經(jīng)濟(jì)周期的理論經(jīng)濟(jì)研究非常重視經(jīng)濟(jì)的自發(fā)變化。各個(gè)時(shí)代、各種流派都對此進(jìn)行了許多分析,也有許多建樹。維克塞爾指出,“資本的自然利率”與“真實(shí)的貨幣利率”之間的差異,引起間接作用過程和累積過程,將使經(jīng)濟(jì)產(chǎn)生周期性擴(kuò)張和收縮。米爾達(dá)爾更進(jìn)一步認(rèn)為,“資本的自然利率”實(shí)際上是實(shí)物資本的邊際生產(chǎn)率,從而把理論與實(shí)際拉近了一步。哈伯勒在1937年把已經(jīng)問世的經(jīng)濟(jì)周期理論劃分為六種:純貨幣理論,投資過度論,消費(fèi)不足論,心理理論,收獲論,凱恩斯的經(jīng)濟(jì)周期理論;他自己則指出:經(jīng)濟(jì)波動(dòng)是一個(gè)自然累積和走向終結(jié)的相互轉(zhuǎn)化過程。凱恩斯開創(chuàng)了宏觀總量經(jīng)濟(jì)分析方法,以資本所有者的沖動(dòng)投資作為經(jīng)濟(jì)周期的起因。但從該理論體系出發(fā)導(dǎo)致的經(jīng)濟(jì)周期是外生型的。而薩繆爾森更進(jìn)一步擴(kuò)展了凱恩斯的“沖動(dòng)”范圍,把“沖動(dòng)消費(fèi)”也納入其中,提出由加速數(shù)—乘數(shù)相互作用產(chǎn)生周期。諾德豪斯開創(chuàng)性地研究了政府行為對經(jīng)濟(jì)周期的影響。盧卡斯則分析了市場信息對于供需雙方的影響,認(rèn)為供需雙方的信息是不對稱的,故而可由此導(dǎo)致產(chǎn)生經(jīng)濟(jì)周期。20世紀(jì)下半葉,產(chǎn)生了一場被稱之為“非線性產(chǎn)生混沌”的革命,大家比之20世紀(jì)初遭遇漂浮在物理界的“光速不變”和“紫外災(zāi)難”兩朵烏云時(shí)有著更多的心理準(zhǔn)備和探索意識。人們歡呼并目睹著這種曾被科學(xué)史家?guī)於鳉w納、描繪為“科學(xué)范式”的革命如何在眼前發(fā)生、展開、站住腳根、生根開花結(jié)果?？茖W(xué)家們更是躍躍欲試,大量的領(lǐng)域被圈入到這場革命的領(lǐng)地,經(jīng)濟(jì)學(xué)也不例外。從證券交易所的股票價(jià)格變動(dòng),從延續(xù)了一個(gè)世紀(jì)之久的棉花價(jià)格變化,從長長短短的經(jīng)濟(jì)周期,在各種各樣的層次上,經(jīng)濟(jì)學(xué)發(fā)現(xiàn)了混沌存在的各種蹤跡。本文的論證就是基于這樣的認(rèn)識和這樣的經(jīng)濟(jì)學(xué)事實(shí)。二不動(dòng)點(diǎn)及其穩(wěn)定性為了下文研究宏觀經(jīng)濟(jì)的需要,我們先討論可用二維非線性微分方程表示的動(dòng)力系統(tǒng)解在相平面上的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)形式與它可能的種種變化?？紤]定義在開集W?R2上的兩維帶參數(shù)μ∈Rn的動(dòng)力系統(tǒng):˙x=f(x,y,μ)?˙y=g(x,y?μ).(1)x˙=f(x,y,μ)?y˙=g(x,y?μ).(1)或者它的矢量形式:˙x=Φ(x,μ),x∈W?R2?μ∈Rn?(2)x˙=Φ(x,μ),x∈W?R2?μ∈Rn?(2)微分動(dòng)力系統(tǒng)方程Φ(x,μ)通常也被看成一個(gè)矢量場。如果記Φt是系統(tǒng)Φ(x,μ)的軌跡或者流線。當(dāng)存在一個(gè)時(shí)間序列t→∞,使limt→∞Φt(x,μ)=l?limt→∞Φt(x,μ)=l?則稱點(diǎn)集l∈W為x∈W的一個(gè)吸引子。x∈W的所有吸引子集合L={l1,l2,l3,…}被定義為吸引子集合。開集W上的吸引子既可以連通也可以不連通;既可以僅為一個(gè),也可以多為無限個(gè)。分析的目標(biāo)是了解微分動(dòng)力系統(tǒng)的最終趨向,即微分動(dòng)力系統(tǒng)解在相平面上的吸引子集合。首先,我們看相平面W內(nèi)這樣的一個(gè)區(qū)域U,在這個(gè)區(qū)域U的邊界C上,所有穿越邊界的流線都是從外進(jìn)入該區(qū)域的內(nèi)部。于是,人們可以斷言,此區(qū)域U內(nèi)部必定有吸引子(圖1)。其所以有上述結(jié)論,是按照拓?fù)鋵W(xué)的一條最著名的定理:每一個(gè)平面向著自身的連續(xù)映射,即公式(1)的不斷求解,必然至少存在一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)。不動(dòng)點(diǎn)的含義是由平面這點(diǎn)重新又映射到平面自身的這點(diǎn)。對于圖1中的U區(qū)域來說,能進(jìn)不能出,這就是說,U區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)不管怎樣映射,總還是落于U區(qū)域內(nèi),決不可能逸出U區(qū)域的邊界。這意味著這樣的微分動(dòng)力系統(tǒng)肯定存在著如此情景:x*=Φt(x*,μ)。而在不動(dòng)點(diǎn)上,又必然有著˙x*=Φ(x*,μ)=0x˙?=Φ(x?,μ)=0這一特征(圖2)。但是,不動(dòng)點(diǎn)是可以分類的。根據(jù)系統(tǒng)受到干擾后,開始位于不動(dòng)點(diǎn)上的狀態(tài)點(diǎn)是持續(xù)地離開該不動(dòng)點(diǎn)還是最終回歸該不動(dòng)點(diǎn),不動(dòng)點(diǎn)分成不穩(wěn)定的和穩(wěn)定兩類。如何說明該點(diǎn)的穩(wěn)定性呢?方法很簡單,給系統(tǒng)在不動(dòng)點(diǎn)x*處加以小小的擾動(dòng)后,看擾動(dòng)的持續(xù)發(fā)展是不斷擴(kuò)大,還是不斷縮小,還是被限止在一定范圍內(nèi)。在不動(dòng)點(diǎn)x*處,即(x0,y0)處施以擾動(dòng)δx和δy,將x0+δx和y0+δy代入方程(1),取不動(dòng)點(diǎn)δ(x0,y0)處雅可比矩陣J,可得線性方程δ˙x=?f?x|x0?y0δx+?f?y|x0?y0δy,(3)δ˙y=?g?x|x0?y0δx+?g?y|x0?y0δy.δx˙=?f?x|x0?y0δx+?f?y|x0?y0δy,(3)δy˙=?g?x|x0?y0δx+?g?y|x0?y0δy.由常微分理論知,線性方程(3)應(yīng)有著eλt形式的線性組合解。其中的λ是雅可比矩陣J的特征值。雅可比矩陣為下列形態(tài)(?f?x?f?y?g?x?g?y)x0?y0(4)????f?x?g?x?f?y?g?y???x0?y0(4)如果令p=-trJ,q=detJ,則特征值λ滿足下面的特征方程λ2+pλ+q=0.(5)它的解是λ1,2=-p2±√p24-qλ1,2=?p2±p24?q?????√.(6)在參數(shù)平面(p,q)上,由p和q決定根λ的各種各樣流線分布情況見圖3。由于解的基本形式是eλt,如果根λ的實(shí)部Reλ≠0的情況時(shí),方程(3)的解不是指數(shù)性的增長,就是指數(shù)性的衰減。前者對應(yīng)著不動(dòng)點(diǎn)(x0,y0)附近的不穩(wěn)定性,微量擾動(dòng)δx和δy必將指數(shù)性地被放大增加。后者對應(yīng)不動(dòng)點(diǎn)(x0,y0)附近的穩(wěn)定性,微量擾動(dòng)δx和δy不但不會(huì)擴(kuò)大,相反,它們將指數(shù)性地縮小。在圖3中,對應(yīng)著動(dòng)力系統(tǒng)穩(wěn)定的區(qū)域僅是p>0和q>0這一塊子區(qū)域,此中,包括向內(nèi)吸引的匯點(diǎn)和不斷向內(nèi)旋進(jìn)的穩(wěn)定焦點(diǎn);而p,q取值落在其他區(qū)域?qū)е聞?dòng)力系統(tǒng)都不穩(wěn)定。由圖3中看,它們包括向外發(fā)散的源點(diǎn)、不斷向外旋出的不穩(wěn)定焦點(diǎn)和在某兩個(gè)方向上向內(nèi)吸引,而又在另外兩個(gè)方向上向外發(fā)散的鞍點(diǎn)。p,q兩個(gè)坐標(biāo)軸和p2=4q這條曲線,把整個(gè)p-q坐標(biāo)平面分成了五個(gè)部分。在這五個(gè)部分的內(nèi)部區(qū)域,解的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)完全相同。在以上的前提條件下,線性方程(3)和非線性方程(1)在相平面不動(dòng)點(diǎn)(x0,y0)附近解的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)完全相同。如果線性方程(3)得到的結(jié)果是匯點(diǎn),那么非線性方程(1)得到結(jié)果也一定是匯點(diǎn)。線性方程(3)得到的結(jié)果是不穩(wěn)定焦點(diǎn),那么非線性方程(1)得到結(jié)果也一定是不穩(wěn)定焦點(diǎn)。順此類推。我們一旦了解了線性方程(3)的穩(wěn)定與不穩(wěn)定情況,也就了解了非線性方程(1)在不動(dòng)點(diǎn)附近的穩(wěn)定和不穩(wěn)定情況。但是,自然界是不斷變化的,描述自然界某種運(yùn)行的一個(gè)動(dòng)力系統(tǒng)結(jié)構(gòu)也在不斷地變化。在數(shù)學(xué)上,我們可以把一個(gè)動(dòng)力系統(tǒng)的這種結(jié)構(gòu)變化認(rèn)為是受參數(shù)μ的控制,這相當(dāng)于雅可比矩陣中的每一個(gè)系數(shù)都是參數(shù)μ的函數(shù)。當(dāng)參數(shù)μ發(fā)生變化后,使得p(μ)=-trJ(μ)和q(μ)=detJ(μ)數(shù)值變動(dòng)。絕大部分情況下,p(μ),q(μ)的變動(dòng),并不會(huì)導(dǎo)致動(dòng)力系統(tǒng)解的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)發(fā)生變化,源仍是源,匯仍是匯,因?yàn)榇藭r(shí),p(μ),q(μ)變化前后仍處在同一區(qū)域內(nèi)。但是,不能排除,也有的時(shí)候μ的變化,會(huì)導(dǎo)致p(μ),q(μ)從一個(gè)區(qū)域進(jìn)入另一個(gè)區(qū)域,這樣,系統(tǒng)解的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)就一定發(fā)生變化。當(dāng)然,我們最關(guān)心的是動(dòng)力系統(tǒng)穩(wěn)定性的變化。當(dāng)隨著μ變化,雅可比矩陣的特征值λ發(fā)生雙曲性破壞,這時(shí)位于圖3上p-q右上平面(代表穩(wěn)定平面)上的點(diǎn),可能會(huì)越過豎直軸q或者水平軸p,分別進(jìn)入左上和右下不穩(wěn)定區(qū)域內(nèi),或者沿著p2=4q曲線,越過O點(diǎn)。這時(shí),系統(tǒng)的穩(wěn)定性發(fā)生了深刻的變化——系統(tǒng)的吸引子會(huì)從一種形態(tài)變成另一種形態(tài)。吸引子的這種性質(zhì)上的變化,已被授予一個(gè)專門的名詞——分岔。見圖4。首先,我們看一看在p-q右上平面上的點(diǎn)越過垂直軸q,系統(tǒng)會(huì)產(chǎn)生什么變化。只要受μ驅(qū)動(dòng)的點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路徑不是正巧經(jīng)過原點(diǎn)O,即在原點(diǎn)O的上方經(jīng)過q軸,此刻,有著Reλ=0,解的結(jié)構(gòu)就有著e±iat形式。這提示,系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)是一種圓周性的周期運(yùn)動(dòng)。這相當(dāng)于,系統(tǒng)由原來穩(wěn)定于(x0,y0)不動(dòng)點(diǎn)的靜止?fàn)顟B(tài),突然開始呈現(xiàn)環(huán)繞(x0,y0)不動(dòng)點(diǎn),作不停旋轉(zhuǎn)的圓周運(yùn)動(dòng)。系統(tǒng)前后處于兩種運(yùn)動(dòng)性質(zhì),這就是一種分岔,它被稱作霍普分岔。當(dāng)點(diǎn)越過q軸繼續(xù)向左推進(jìn),則系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)是一種從焦點(diǎn)向外不停旋出的螺旋運(yùn)動(dòng)?；羝辗植砗?動(dòng)力系統(tǒng)是否穩(wěn)定?這時(shí),僅著眼不動(dòng)點(diǎn)(x0,y0)附近區(qū)域進(jìn)行分析遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠,還必然要考察非線性方程(1)有意義的大范圍區(qū)域,即圖1中的U區(qū)域。運(yùn)用一條被稱作龐加萊—班狄克生的定理可以判斷此刻的系統(tǒng)是否穩(wěn)定。該定理說:如果x-y相平面上一條簡單閉曲線C1套在簡單閉曲線C2的外面,C1曲線上的矢量都指向內(nèi)部,而C2曲線的矢量都指向外部;并且,C1和C2所圍成的環(huán)形區(qū)域內(nèi)不再有不動(dòng)點(diǎn),那么,這個(gè)環(huán)形區(qū)域內(nèi)必定有一個(gè)穩(wěn)定的極限環(huán)。在此,我們看到圖1規(guī)定的U區(qū)域邊界C上軌道穿越指向至關(guān)重要,它必須總是指向U區(qū)域內(nèi)部。而我們又可以在不動(dòng)點(diǎn)(x0,y0)附近作一封閉曲線,此時(shí),從不動(dòng)點(diǎn)向外螺旋旋出的軌線族總是自內(nèi)向外穿越此封閉曲線。由這兩條封閉曲線形成的環(huán)形區(qū)域內(nèi)要是沒有不動(dòng)點(diǎn)的話,我們可以斷定,環(huán)形區(qū)域內(nèi)必然存在著一個(gè)極限環(huán)。此刻,系統(tǒng)的穩(wěn)定解是一個(gè)環(huán)繞不動(dòng)點(diǎn)不停旋轉(zhuǎn)的周期運(yùn)動(dòng)。其次,讓我們看一看在p-q右上平面上的點(diǎn)越過水平軸p時(shí),系統(tǒng)會(huì)發(fā)生什么變化。在水平軸的上方,因?yàn)橛兄鴔=0+,所以得到λ1=-ε和λ2=-p,ε是一個(gè)極小的正數(shù)。而在水平軸的下方,因?yàn)橛兄鴔=0-,所以得到λ1=+ε和λ2=-p。水平軸上方,不動(dòng)點(diǎn)應(yīng)是匯點(diǎn);水平軸下方,不動(dòng)點(diǎn)就是鞍點(diǎn)。鞍點(diǎn)解的形式是Ae+εt+Be-pt。解的這種形式,說明在x-y平面的一個(gè)特征矢量方向上,隨著時(shí)間t的正流逝,一個(gè)點(diǎn)將無限地接近不動(dòng)點(diǎn);而在另一個(gè)特征矢量方向上,隨著時(shí)間的倒溯流逝,另一個(gè)點(diǎn)也將無限地接近不動(dòng)點(diǎn)。這就是說,系統(tǒng)就從原來的匯點(diǎn)穩(wěn)定狀態(tài)突然變成了鞍點(diǎn)的狀態(tài)。系統(tǒng)前后處于兩種狀態(tài),這又是一種分岔,被稱作為鞍—結(jié)分岔。當(dāng)點(diǎn)越過p軸后深入下方,系統(tǒng)更是處在鞍點(diǎn)狀態(tài)。欲了解鞍—結(jié)分岔后,系統(tǒng)是否穩(wěn)定?這一分析過程更為復(fù)雜。我們?nèi)砸獜膭?dòng)力系統(tǒng)式(1)有意義區(qū)域U的整體入手。因?yàn)樵赨區(qū)域的點(diǎn),不管如何運(yùn)動(dòng),都不可能跑出U區(qū)域外。我們設(shè)想,在無窮早的時(shí)刻-∞,有一個(gè)點(diǎn)離開(x0,y0)不動(dòng)點(diǎn)出發(fā),隨著時(shí)間的流逝,它肯定在區(qū)域U內(nèi)隨意漫游。如果U內(nèi)沒有其它的吸引子,則它最后必將被吸引回原出發(fā)點(diǎn)(x0,y0)。按照定義,它回到原出發(fā)點(diǎn)的時(shí)刻是+∞。這個(gè)點(diǎn)在U區(qū)域內(nèi)漫游行程畫出的軌道,稱作同宿軌道。在二維相平面內(nèi),由于式(1)的規(guī)定,區(qū)域U內(nèi)的任一個(gè)點(diǎn)只有一個(gè)前進(jìn)方向。如果同宿軌道自己相交的話,比如糾纏成8字形,那么在相交點(diǎn)上,必須會(huì)有兩個(gè)前進(jìn)方向。既然點(diǎn)只能有一個(gè)前進(jìn)方向,又怎么能向兩個(gè)不同方向運(yùn)行呢?因此,同宿軌道自己不相交,也不會(huì)糾纏打結(jié)。它必定是一條簡單封閉曲線。又因?yàn)樵?x0,y0)點(diǎn)上,有兩個(gè)出發(fā)方向,又有兩個(gè)歸宿方向,所以,從鞍點(diǎn)出發(fā)而又回歸的曲線必然畫出二個(gè)簡單的封閉曲線環(huán)。見圖5。兩條同宿軌道可以把U區(qū)域分成三個(gè)隔絕的部分。為什么如此?如果系統(tǒng)的初始狀態(tài)落于同宿軌道上,則它的運(yùn)動(dòng)歸縮就是沿著同宿軌道奔向(x0,y0)不動(dòng)點(diǎn)。如果系統(tǒng)的初始狀態(tài)沒有落于同宿軌道上,則它永遠(yuǎn)不會(huì)歸并到同宿軌道上。這是因?yàn)橥捃壍罒o窮早時(shí)刻-∞就已從(x0,y0)點(diǎn)出發(fā),它囊括了后來所有時(shí)刻落于同宿軌道上的系統(tǒng)初始狀態(tài)的歸宿。而不在同宿軌道上的系統(tǒng)初始狀態(tài),之后也就絕不會(huì)并于同宿軌道上。這就是兩條同宿軌道把U區(qū)域分成三個(gè)隔絕部分的理由。系統(tǒng)初始狀態(tài)落于那個(gè)部分,系統(tǒng)今后的運(yùn)行狀態(tài)就必然歸于該部分,從不逾規(guī)。一旦動(dòng)力系統(tǒng)初始狀態(tài)落在邊界C內(nèi)和平臥8字形同宿軌道之外的環(huán)形區(qū)域內(nèi),它的運(yùn)行狀態(tài)怎樣?結(jié)論是:只要在這個(gè)區(qū)域內(nèi)沒有不動(dòng)點(diǎn)的話,就有一個(gè)環(huán)繞于平臥8字形同宿軌道之外的周期運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定解,即在此區(qū)域內(nèi)存在著極限環(huán)。道理很簡單。我們想象,把這個(gè)環(huán)形區(qū)域分成若干個(gè)子區(qū)域,因?yàn)闆]有不動(dòng)點(diǎn),這意味著˙x≠0?˙y≠0x˙≠0?y˙≠0。這樣,就不可能出現(xiàn)點(diǎn)狀的吸引子,又由于此,則這個(gè)子區(qū)域內(nèi)也絕對不會(huì)產(chǎn)生極限環(huán)。這時(shí),就應(yīng)有雅可比矩陣的跡trJ不變號,也就是?f?x+?g?y在此子區(qū)域內(nèi)的不變號。不用說,一個(gè)從一邊進(jìn)入這個(gè)子區(qū)域內(nèi)的點(diǎn),總會(huì)從相對的另一個(gè)邊滑出這個(gè)子區(qū)域。由于,所有的子區(qū)域是從環(huán)形區(qū)域分割出來,一個(gè)子區(qū)域的出邊,必然是鄰接子區(qū)域的入邊,它們的合并保證了狀態(tài)點(diǎn)不斷向前運(yùn)動(dòng)時(shí),順序經(jīng)過環(huán)形的每一個(gè)子區(qū)域,最終形成了一個(gè)周而復(fù)始的極限環(huán)。如果動(dòng)力系統(tǒng)初始狀態(tài)落在平臥8字形兩個(gè)同宿軌道之內(nèi)的一個(gè)區(qū)域中,那系統(tǒng)將又有怎樣的運(yùn)行規(guī)律呢?對此的第一反映,則是此區(qū)域內(nèi)必然存在至少一個(gè)新的不動(dòng)點(diǎn)。因?yàn)?在圖1中已經(jīng)說明,一個(gè)區(qū)域內(nèi)部的點(diǎn)連續(xù)不斷地映射到該區(qū)域內(nèi)部的話,至少應(yīng)存在著一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)。由于同宿軌道是一道戒備森嚴(yán)的隔絕“墻”,絕不會(huì)讓落進(jìn)區(qū)域內(nèi)部的點(diǎn)重新逸出。這樣,區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)按照公式(1)不斷地行進(jìn)映射,必然會(huì)產(chǎn)生至少一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)。最后,讓我們看一看在p-q右上平面上的點(diǎn)沿著圖3中p2=4q曲線,越過垂直軸q后,系統(tǒng)會(huì)發(fā)生什么變化。點(diǎn)沿著p2=4q曲線移動(dòng),則雅可比矩陣J的特征值λ是重根,即λ1,2=-p2。當(dāng)p>0時(shí),λ<0,系統(tǒng)最終狀態(tài)被吸引于不動(dòng)點(diǎn),不動(dòng)點(diǎn)是一匯點(diǎn)吸引子。而當(dāng)p<0時(shí),λ>0,系統(tǒng)狀態(tài)則從不動(dòng)點(diǎn)處被排斥向外發(fā)散,不動(dòng)點(diǎn)成為源點(diǎn)。按照上述霍普分岔的性質(zhì),可知,在U區(qū)域內(nèi),這種向外發(fā)散的運(yùn)動(dòng)也會(huì)形成一個(gè)環(huán)繞不動(dòng)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的極限環(huán)。敘述至此,可以知道,一旦系統(tǒng)參數(shù)μ驅(qū)動(dòng)點(diǎn)(p,q)從右上平面運(yùn)行到其他平面中去后,相平面就從一個(gè)匯點(diǎn)吸引子,至少分岔出一個(gè)極限環(huán)。如果有可能出現(xiàn)鞍點(diǎn)的情景,則除了一個(gè)極限環(huán)外,在兩條同宿軌道內(nèi),還會(huì)出現(xiàn)兩個(gè)新的不動(dòng)點(diǎn)。我們不妨縮小視野,對其中的一個(gè)同宿軌道的內(nèi)部區(qū)域進(jìn)行再分析。這樣的分析過程完全可以套用以上對于區(qū)域U的一切分析。在這個(gè)縮小的區(qū)域內(nèi),可以有自己的點(diǎn)狀吸引子,也可以有自己的極限環(huán)吸引子,甚至,還可以再出現(xiàn)自己的鞍點(diǎn)!如果出現(xiàn)了鞍點(diǎn)的話,我們又可以得到新的兩條同宿軌道。于是,又可以再套用這些分析。這樣的分析可以不斷地?zé)o窮地進(jìn)行下去,這是所謂的自嵌套分析。它的無限遞歸可在區(qū)域U內(nèi)形成了一個(gè)圖6所示的康托爾集合。而這種康托爾集合形式就是系統(tǒng)混沌出現(xiàn)的必要保證。由于大自然的巧合,一個(gè)二維的動(dòng)力系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)參數(shù)μ恰使得它的狀態(tài)運(yùn)動(dòng)相平面形成了圖6的康托爾集合,那么,我們就可以判別出該動(dòng)力系統(tǒng)最有可能采取的運(yùn)動(dòng)方式——極限環(huán)吸引子。經(jīng)過上面的討論后大家自然都很清楚:系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng),除了與系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)有關(guān)外,還必然與系統(tǒng)的初始狀態(tài)密切相關(guān),即系統(tǒng)的初始點(diǎn)落在圖6的康托爾集合的哪一區(qū)域上。在康托爾集合中,雖然有著無窮多的雅可比矩陣J特征根λ的實(shí)部小于0的不動(dòng)點(diǎn),從而對它的小小鄰域中產(chǎn)生巨大的吸引力。但由最簡單的幾何等比級數(shù)可知,這些產(chǎn)生穩(wěn)定點(diǎn)區(qū)域的總和與整個(gè)康托爾集合區(qū)域相比,仍是無窮小。所以,把系統(tǒng)的初始狀態(tài)隨機(jī)地?cái)S在康托爾集合中,一般地,它們當(dāng)落在形成極限環(huán)的區(qū)域中,從而開始或大或小的周期循環(huán)。再考慮到系統(tǒng)的運(yùn)行除了受到公式(1)決定性刻畫的作用之外,還會(huì)受到許多其他因素的影響。這些影響相當(dāng)于把狀態(tài)點(diǎn)在康托爾集合中作有規(guī)律或者是隨機(jī)的移動(dòng),狀態(tài)點(diǎn)在各個(gè)極限環(huán)區(qū)域之間跳動(dòng),必然使得系統(tǒng)的運(yùn)行呈現(xiàn)出豐富多彩的周期運(yùn)行特性。三卡爾多s形投資函數(shù)與b點(diǎn)自1936年凱恩斯開創(chuàng)性地提出宏觀經(jīng)濟(jì)分析方法以來,人們?yōu)閷ふ液暧^經(jīng)濟(jì)周期波動(dòng)的解釋進(jìn)行了不懈的努力?？柖?940年提出的經(jīng)濟(jì)周期模型是在動(dòng)態(tài)經(jīng)濟(jì)學(xué)中研究非線性作用的最初嘗試之一。在卡萊茨基關(guān)于商業(yè)周期的研究和凱恩斯理論的啟發(fā)下,他分析研究了儲(chǔ)蓄和投資函數(shù)之間的相互作用,并且檢驗(yàn)了為呈現(xiàn)周期運(yùn)動(dòng)而對模型特征的基本要求。但是,卡爾多模型并沒有獲得應(yīng)有的重視。由于該模型假設(shè)的非線性相當(dāng)特殊,并且它對實(shí)際經(jīng)濟(jì)生活中的解釋也不能真正令人信服,所以,它起的基本作用不超過在高級宏觀經(jīng)濟(jì)教材中作練習(xí)之用。但是,有識之士一致認(rèn)為,它與其他模型不同,這是一個(gè)真正具有內(nèi)在自行發(fā)生周期變化的經(jīng)濟(jì)模型。同時(shí)由于它具有顯著的純樸表述、雅致風(fēng)格,仍然受到人們的不斷重視和不停分析,也作為構(gòu)造其他周期模型的胚模。下面我們簡略敘述這個(gè)模型。在每一時(shí)點(diǎn)上投資I均是國民實(shí)際產(chǎn)出Y的一個(gè)函數(shù),Ι=Ι(Y),dΙdY>0.(7)進(jìn)而,考慮一個(gè)凱恩斯的儲(chǔ)蓄S函數(shù),S=S(Y),dSdY>0.(8)為了說明它們能夠?qū)е陆?jīng)濟(jì)產(chǎn)生周期運(yùn)行,必需先闡述線性的投資和儲(chǔ)蓄函數(shù)相互作用情況。在圖7(a)中,由于表示著dSdY>dΙdY這么一種情景,一旦E點(diǎn)的均衡受到了干擾,經(jīng)濟(jì)運(yùn)行還會(huì)重新返回平衡點(diǎn)E。于是,這種系統(tǒng)具有全局漸近穩(wěn)定的結(jié)構(gòu)特征。而圖7(b),由于dSdY<dΙdY,一旦E點(diǎn)的均衡受到了干擾,經(jīng)濟(jì)運(yùn)行將永遠(yuǎn)離開平衡狀態(tài)E。此系統(tǒng)具有全局不穩(wěn)定的結(jié)構(gòu)特征。僅是圖7所示的線性函數(shù),當(dāng)然不會(huì)產(chǎn)生周期運(yùn)行。卡爾多假設(shè)了相當(dāng)特殊的S形投資函數(shù)I(Y)和鏡像的反S形儲(chǔ)蓄函數(shù)S(Y)。圖8中,這兩條函數(shù)曲線形成了A,B,和E三個(gè)交點(diǎn)。顯然,E點(diǎn)處于不穩(wěn)定平衡狀態(tài)上,而A點(diǎn)和B點(diǎn)都是漸近平衡處。從而,初始產(chǎn)出Y低于E點(diǎn)的將會(huì)有一個(gè)趨于低點(diǎn)B的調(diào)整過程,而初始產(chǎn)出Y高于E點(diǎn)的將有一個(gè)趨于高點(diǎn)A的調(diào)整過程。僅是圖8所示的S形函數(shù)仍然不會(huì)引發(fā)周期運(yùn)動(dòng),最終結(jié)果只能得到兩者占一的低點(diǎn)或高點(diǎn)平衡。但是,投資函數(shù)I(Y)和儲(chǔ)蓄函數(shù)S(Y)并不恒定,這兩條曲線會(huì)在坐標(biāo)系中上下浮動(dòng),從而導(dǎo)致周期運(yùn)動(dòng)。其過程機(jī)理是:在高點(diǎn)A附近處,投資I不斷投入,使得資本存量K不斷增加。但是,資本存量增加會(huì)降低資本的邊際收益。(這是假定在技術(shù)水平不變的情況下)這意味著對于每一產(chǎn)出水平Y(jié)而言,投資I會(huì)伴隨著資本存量K的增加而降低,投資曲線I就在高點(diǎn)附近整體下降。另一方面,在高點(diǎn)A附近處,隨著人們的財(cái)富積累,即對資本存量K的擁有增多,人們的積蓄愿望進(jìn)一步增加,使得儲(chǔ)蓄曲線整體向上移動(dòng)。兩條曲線一高一低的相對運(yùn)動(dòng),使得原來間距很遠(yuǎn)的E,A兩點(diǎn)逐漸接近,最終,E,A兩點(diǎn)融合成一個(gè)點(diǎn):E-A。原本一直向右支撐著A點(diǎn)的力量突然失去,E-A點(diǎn)在前拉后推的兩股力量協(xié)同作用下,從高點(diǎn)的A向著低點(diǎn)的B退行。見圖9。退行至低點(diǎn)B處,因重新獲得了向右支撐的力量,經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)又處于平衡中。這是一種痛苦的平衡:大量的工人失業(yè)和大量的企業(yè)破產(chǎn)。人們的儲(chǔ)蓄量急劇地減少,使得S儲(chǔ)蓄曲線逐漸地下降,而企業(yè)破產(chǎn)使得社會(huì)資本保有量K大大降低,能夠堅(jiān)持生產(chǎn)廠家的資本邊際收益很高,這使得I投資慢慢升高。B點(diǎn)與E點(diǎn)越來越接近,最終形成了B-E點(diǎn),此后,高昂的投資I帶動(dòng)著國民生產(chǎn)總值Y不斷上升,最終在高點(diǎn)A重新達(dá)到了平衡。見圖10。自此而始,將重新進(jìn)行一輪新的周期循環(huán)。卡爾多提出的經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)產(chǎn)生周期運(yùn)動(dòng)的必要條件可以用數(shù)學(xué)語言表達(dá)如下:(1)在Y≥0時(shí),I(Y,K)>0,并且?Ι?Y≥0。可以找到一個(gè)Y1,使得?2Ι?Y2>0當(dāng)0<Y<Y1時(shí),并且使?2Ι?Y2≤0當(dāng)Y1<Y時(shí)。(2)在Y≥Y0>0時(shí),S(Y,K)>0,并且?S?Y≥0。可以找到一個(gè)Y2,使得?2S?Y2<0當(dāng)0<Y<Y2時(shí),并且使?2S?Y2≥0當(dāng)Y2<Y時(shí)。(3)?Ι?Κ<0,?S?Κ>0。(4)在某一個(gè)YE上,存在有S(YE,K)=I(YE,K),并且在此點(diǎn)上,?Ι?Y|YE>?S?Y|YE。上面數(shù)學(xué)語言表達(dá)的卡爾多周期運(yùn)行模型有兩個(gè)基本變量:生產(chǎn)總量Y和資本存量K。因此,可以用基本變量Y,K重建該模型,并且用更清晰的方法顯示出卡爾多模型的周期性。我們采用剝離了通貨膨脹的凈價(jià)值概念,建立兩維微分動(dòng)力系統(tǒng)如下:˙Y=α[Ι(Y,Κ)-S(Y,Κ)]?˙Κ=Ι(Y,Κ)-β(Κ).(9)式中表示,總產(chǎn)出Y的變化率與投資數(shù)量I與儲(chǔ)蓄數(shù)量S之差成函數(shù)關(guān)系,資本存量K的變化率是投資數(shù)量I與資本折舊β(K)之差。為了保證該動(dòng)力系統(tǒng)的運(yùn)行軌道必然被限定在一個(gè)有意義的相關(guān)區(qū)域里,我們應(yīng)該尋找一條簡單封閉曲線,并判定該曲線上的矢量均指向封閉曲線內(nèi)部區(qū)域。首先,考慮能使資本存量不變的那些點(diǎn)(Y,K)的集合˙Κ=0=Ι(Y?Κ)-β(Κ).通過全微分可得:dΚdY|˙Κ=0=-ΙYΙΚ-βΚ>0.上式的dΚdY表示在YK相平面上,˙Κ=0的軌跡總為一條向上傾斜的曲線。之所以如此,是由于IY總是正值,IK總是負(fù)值,而βK隨著資本存量K的邊際增長,它也邊際增加。所以斜率的分子總為正,分母總為負(fù),加上符號“-”的運(yùn)算后,它總是大于0。˙Κ=0曲線形狀見圖11。很明顯,對于˙Κ=0曲線上面的所有K,由于IK-βK<0,它的變化率朝下,有˙Κ<0。反之,對于曲線˙Κ=0下面所有的K,有˙Κ>0。這樣,以曲線˙Κ=0為分界,它的上部,矢量的K分量都朝下,它的上部,矢量的K分量都朝上。其次,考慮能使總產(chǎn)出量Y不變的那些點(diǎn)(Y,K)的集合˙Y=0=α[Ι(Y,Κ)-S(Y,Κ)].此軌跡的在相平面上的斜率是dΚdY|˙Y=0=ΙY-SYSΚ-ΙΚ.因?yàn)镾K>0,而IK<0,上式分母總大于0。又由于IY>0,SY>0,均為正值,分子的正負(fù)以及曲線的斜率就都取決于IY和SY的量值大小。對于高水平和低水平產(chǎn)出時(shí),IY-SY<0,而對于中間水平產(chǎn)出時(shí),IY-SY>0。因此,此曲線在高Y和低Y區(qū)間時(shí),不斷向下傾斜,在中間Y區(qū)間時(shí),卻昂頭返回向上。曲線走向見圖12。根據(jù)dΚdY|˙Y=0<0?>0?<0,把相平面分成高、中、低三個(gè)區(qū)域,在高和低區(qū)域中,由于IY-SY<0,對于曲線右邊(左邊)的點(diǎn)(Y,K),產(chǎn)出是減少的(增加的)。在中區(qū)域中,由于IY-SY>0,對于曲線右邊(左邊)的點(diǎn)(Y,K),產(chǎn)出是增加的的(減少的)。把這些結(jié)合標(biāo)于圖12中,可以發(fā)現(xiàn),整個(gè)區(qū)域以˙Y=0曲線劃界,位于曲線右上方的Y分矢量均向左,說明產(chǎn)出減少;位于曲線左下方的Y分矢量均向右,說明產(chǎn)出增多。把圖11和圖12相疊加,得到圖13。作出矩形封閉曲線C1,則可看到,矩形的每一條邊上,都有一個(gè)分矢量與之平行,另一分矢量指向C1曲線內(nèi)部區(qū)域。不言而喻,這表明穿越C1曲線的軌線僅為從外進(jìn)內(nèi),而不可能從內(nèi)向外。相平面中被C1包圍的內(nèi)部區(qū)域,必然至少存在著一個(gè)不動(dòng)點(diǎn),示于圖13中,這就是˙Y=0和˙Κ=0兩條曲線的交點(diǎn)E。對于不動(dòng)點(diǎn)的分類,可由位于不動(dòng)點(diǎn)上的雅可比矩陣進(jìn)行判斷。公式(9)在不動(dòng)點(diǎn)E上的雅可比矩陣為J=[α′(ΙY-SY)α′(ΙΚ-SΚ)ΙYΙΚ-βΚ].(10)當(dāng)不動(dòng)點(diǎn)E是一個(gè)漸近穩(wěn)定點(diǎn)時(shí),應(yīng)有trJ<0和detJ>0同時(shí)成立。即{α′(ΙY-SY)+ΙΚ-βΚ<0,(SΚΙY-SYΙΚ)-βΚ(ΙY-SY)>0.(11)在一般的凱恩斯假設(shè)IY-SY<0的情況下,因α′,βK,SK均大于0,而IK<0,所以,不管如何,上式的結(jié)論都成立。故在這樣的情況下,不動(dòng)點(diǎn)必定是一漸近穩(wěn)定點(diǎn)。公式(11)還可以化成下列的形式{ΙY-SY<βΚ-ΙΚα′,ΙY-SY<SΚΙY-SYΙΚβΚ.(12)此時(shí),只要ΙY-SY<min(βΚ-ΙΚα′,SΚΙY-SYΙΚβΚ),即可保證不動(dòng)點(diǎn)仍是一漸近穩(wěn)定點(diǎn)。這里我們看到,卡爾多當(dāng)年所提出的當(dāng)斜率IY-SY>0時(shí),圖8的E點(diǎn)肯定是一個(gè)不穩(wěn)定點(diǎn)的結(jié)論是錯(cuò)誤的。這可能是因?yàn)樵趫D形分析中,將資本存量K對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響忽略了。一旦trJ>0和detJ>0,系統(tǒng)發(fā)生了霍普分岔,不動(dòng)點(diǎn)E變成一個(gè)旋出的焦點(diǎn)。此時(shí)公式(12)的上一式不等號改向,即{ΙY-SY>βΚ-ΙΚα′,ΙY-SY<SΚΙY-SYΙΚβΚ.(13)發(fā)生這種情景,可以是分子βK-IK變小,也可能是分母α′變大,或者兩者的同時(shí)組合變化,總之,可以在上述三個(gè)數(shù)的笛卡爾乘積集合中尋得一個(gè)臨界曲面μ0,使得臨界曲面μ0兩邊的元素恰使得上述不等號改向而發(fā)生霍普分岔。因?yàn)槭居趫D13區(qū)域邊界C1上的矢量一概朝內(nèi),所以,發(fā)生霍普分岔后,必在此區(qū)域中產(chǎn)生一個(gè)極限環(huán)吸引子。由此,經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)自動(dòng)開始周期性的波動(dòng)振蕩。一旦系統(tǒng)不動(dòng)點(diǎn)處的detJ>0變成了detJ<0后,系統(tǒng)就發(fā)生鞍—結(jié)分岔,此時(shí)的不動(dòng)點(diǎn)是為鞍點(diǎn)類型。我們看一看此時(shí)系統(tǒng)參數(shù)間數(shù)值的相互關(guān)系。ΙYSY>SΚβΚ-1ΙΚβΚ-1.始發(fā)于這個(gè)鞍點(diǎn)并且最終歸宿于這個(gè)鞍點(diǎn)的兩條同宿軌道,可把系統(tǒng)的相平面分成了三個(gè)互相隔絕部分。系統(tǒng)的初始狀態(tài)落在哪個(gè)區(qū)域中,它的運(yùn)動(dòng)軌道就被限在那個(gè)區(qū)域部分中。如果系統(tǒng)的初始狀態(tài)落在兩個(gè)同宿軌道之外的區(qū)域中,系統(tǒng)運(yùn)行就是周期性的振蕩運(yùn)動(dòng)。但如果系統(tǒng)的初始狀態(tài)落在兩個(gè)同宿軌道之中的一個(gè)區(qū)域,則系統(tǒng)運(yùn)行規(guī)律就視該區(qū)域中新產(chǎn)生不動(dòng)點(diǎn)處的雅可比行列式的性質(zhì)而定。新的不動(dòng)點(diǎn)可能是漸近吸引子,也可以是極限環(huán)吸引子,還可以是不穩(wěn)定的鞍點(diǎn)。對于后者來說,又