人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)《利用勾股定理解決折疊問(wèn)題的技巧》練習(xí)題附帶答案

第頁(yè)人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)《利用勾股定理解決折疊問(wèn)題的技巧》練習(xí)題(附帶答案）類(lèi)型一利用勾股定理解決三角形的折疊問(wèn)題1．如圖△ABC中∠ACB＝90°AC＝8BC＝6將△ADE沿DE翻折使點(diǎn)A與點(diǎn)B重合則CE的長(zhǎng)為．思路引領(lǐng)：設(shè)CE＝x則AE＝BE＝8﹣x在Rt△BCE中由勾股定理可得62+x2＝（8﹣x）2即可解得答案．解：設(shè)CE＝x則AE＝BE＝8﹣x在Rt△BCE中BC2+CE2＝BE2∴62+x2＝（8﹣x）2解得x=7故答案為：74總結(jié)提升：本題考查直角三角形中的折疊問(wèn)題解題的關(guān)鍵是掌握折疊的性質(zhì)熟練應(yīng)用勾股定理列方程解決問(wèn)題．2．（2021秋?介休市期中）如圖所示有一塊直角三角形紙片∠C＝90°AC＝8cmBC＝6cm將斜邊AB翻折使點(diǎn)B落在直角邊AC的延長(zhǎng)線上的點(diǎn)E處折痕為AD則CE的長(zhǎng)為cm．思路引領(lǐng)：根據(jù)勾股定理可將斜邊AB的長(zhǎng)求出根據(jù)折疊的性質(zhì)知AE＝AB已知AC的長(zhǎng)可將CE的長(zhǎng)求出．解：在Rt△ABC中∵∠C＝90°AC＝8cmBC＝6cm∴AB=AC2根據(jù)折疊的性質(zhì)可知：AE＝AB＝10cm∵AC＝8cm∴CE＝AE﹣AC＝2cm即CE的長(zhǎng)為2cm故答案為：2．總結(jié)提升：此題考查翻折問(wèn)題將圖形進(jìn)行折疊后兩個(gè)圖形全等是解決折疊問(wèn)題的突破口．3．（2020秋?金臺(tái)區(qū)校級(jí)期末）如圖在△ABC中∠ACB＝90°點(diǎn)EF在邊AB上將邊AC沿CE翻折使點(diǎn)A落在AB上的點(diǎn)D處再將邊BC沿CF翻折使點(diǎn)B落在CD的延長(zhǎng)線上的點(diǎn)B′處（1）求∠ECF的度數(shù)；（2）若CE＝4B′F＝1求線段BC的長(zhǎng)和△ABC的面積．思路引領(lǐng)：（1）由折疊可得∠ACE＝∠DCE=12∠ACD∠BCF＝∠B'CF=12∠BCB'再根據(jù)∠ACB＝90°（2）在Rt△BCE中根據(jù)勾股定理可得BC=41設(shè)AE＝x則AB＝x+5根據(jù)勾股定理可得AE2+CE2＝AB2﹣BC2即x2+42＝（x+5）2﹣41求得x=165得出AE的長(zhǎng)和AB的長(zhǎng)再由三角形面積公式即可得出S解：（1）由折疊可得∠ACE＝∠DCE=12∠ACD∠BCF＝∠B'CF=12又∵∠ACB＝90°∴∠ACD+∠BCB'＝90°∴∠ECD+∠FCD=12即∠ECF＝45°；（2）由折疊可得：∠DEC＝∠AEC＝90°BF＝B'F＝1∴∠EFC＝45°＝∠ECF∴CE＝EF＝4∴BE＝4+1＝5在Rt△BCE中由勾股定理得：BC=B設(shè)AE＝x則AB＝x+5∵Rt△ACE中AC2＝AE2+CE2Rt△ABC中AC2＝AB2﹣BC2∴AE2+CE2＝AB2﹣BC2即x2+42＝（x+5）2﹣41解得：x=16∴AE=165AB＝AE+BE=∴S△ABC=12AB×CE=1總結(jié)提升：本題主要考查了折疊變換的性質(zhì)、勾股定理、三角形面積等知識(shí)；熟練掌握折疊變換的性質(zhì)由勾股定理得出方程是解題的關(guān)鍵．4．（2022秋?安岳縣期末）如圖在△ABC中∠C＝90°把△ABC沿直線DE折疊使△ADE與△BDE重合．（1）若∠A＝34°則∠CBD的度數(shù)為；（2）當(dāng)AB＝m（m＞0）△ABC的面積為2m+4時(shí)△BCD的周長(zhǎng)為（用含m的代數(shù)式表示）；（3）若AC＝8BC＝6求AD的長(zhǎng)．思路引領(lǐng)：（1）根據(jù)折疊可得∠1＝∠A＝34°根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可以計(jì)算出∠ABC＝56°進(jìn)而得到∠CBD＝22°；（2）根據(jù)三角形ACB的面積可得12AC?BC＝2m+4進(jìn)而得到AC?BC＝4m+8再在Rt△CAB中CA2+CB2＝BA2再把左邊配成完全平方可得CA+CB的長(zhǎng)進(jìn)而得到△BCD（3）根據(jù)折疊可得AD＝DB設(shè)CD＝x則AD＝BD＝8﹣x再在Rt△CDB中利用勾股定理可得x2+62＝（8﹣x）2再解方程可得x的值進(jìn)而得到AD的長(zhǎng)．解：（1）∵把△ABC沿直線DE折疊使△ADE與△BDE重合∴∠ABD＝∠A＝34°∵∠C＝90°∴∠ABC＝180°﹣90°﹣34°＝56°∴∠CBD＝56°﹣34°＝22°故答案為：22°；（2）∵△ABC的面積為2m+4∴12AC?BC＝2m+4∴AC?BC＝4m+8∵在Rt△CAB中CA2+CB2＝BA2AB＝m∴CA2+CB2+2AC?BC＝BA2+2AC?BC∴（CA+BC）2＝m2+8m+16＝（m+4）2∴CA+CB＝m+4∵AD＝DB∴CD+DB+BC＝m+4．即△BCD的周長(zhǎng)為m+4故答案為：m+4；（3）∵把△ABC沿直線DE折疊使△ADE與△BDE重合∴AD＝DB設(shè)CD＝x則AD＝BD＝8﹣x在Rt△CDB中CD2+CB2＝BD2x2+62＝（8﹣x）2解得：x=7AD＝8?7總結(jié)提升：此題主要考查了圖形的翻折變換以及勾股定理完全平方公式關(guān)鍵是掌握勾股定理以及折疊后哪些是對(duì)應(yīng)角和對(duì)應(yīng)線段．5．（2021秋?章丘區(qū)期中）（1）如圖①Rt△ABC的斜邊AC比直角邊AB長(zhǎng)2cm另一直角邊BC長(zhǎng)為6cm求AC的長(zhǎng)．（2）拓展：如圖②在圖①的△ABC的邊AB上取一點(diǎn)D連接CD將△ABC沿CD翻折使點(diǎn)B的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)E落在邊AC上．①AE的長(zhǎng)．②求DE的長(zhǎng)．思路引領(lǐng)：（1）在Rt△ABC中由勾股定理可求AB的長(zhǎng)即可求解；（2）①由折疊的性質(zhì)可得∠DEC＝∠DBC＝90°DE＝DBEC＝BC＝6cm于是得到答案；②在Rt△ADE中由勾股定理可求DE的長(zhǎng)．解：（1）設(shè)AB＝xcm則AC＝（x+2）cm∵AC2＝AB2+BC2∴（x+2）2＝x2+62解得x＝8∴AB＝8cm∴AC＝8+2＝10（cm）；（2）①由折疊的性質(zhì)可得∠DEC＝∠DBC＝90°DE＝DBEC＝BC＝6cm∴∠AED＝90°AE＝AC﹣EC＝4（cm）；②設(shè)DE＝DB＝y(tǒng)cm則AD＝AB﹣BD＝（8﹣y）cm在Rt△ADE中AD2＝AE2+DE2∴（8﹣y）2＝42+y2解得：y＝3∴DE＝3（cm）．總結(jié)提升：本題考查了翻折變換折疊的性質(zhì)勾股定理利用勾股定理列出方程是本題的關(guān)鍵．類(lèi)型二利用勾股定理解決長(zhǎng)方形的折疊問(wèn)題6．（2022?納溪區(qū)模擬）如圖在矩形ABCD中AB＝5AD＝3點(diǎn)E為BC上一點(diǎn)把△CDE沿DE翻折點(diǎn)C恰好落在AB邊上的F處則CE的長(zhǎng)為．思路引領(lǐng)：利用勾股定理得出AF的長(zhǎng)度再利用折疊的性質(zhì)在△BEF中求解BE的長(zhǎng)即可得出CE的長(zhǎng)度．解：在矩形ABCD中AB＝5AD＝3由折疊的性質(zhì)可得：DF＝DC＝AB＝5∴AF=DF∴BF＝AB﹣AF＝5﹣4＝1設(shè)CE＝x則：EF＝CE＝xBE＝BC﹣CE＝3﹣x在Rt△BEF中由勾股定理可得：12+（3﹣x）2＝x2解得：x=5∴CE=5故答案為：53總結(jié)提升：本題考查了折疊的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)和勾股定理等知識(shí)點(diǎn)解題的關(guān)鍵是利用AF求出BF的長(zhǎng)度．7．（2021?郯城縣校級(jí)模擬）如圖在長(zhǎng)方形ABCD中AB＝3cmAD＝9cm將此長(zhǎng)方形折疊使點(diǎn)D與點(diǎn)B重合折痕為EF則△ABE的面積為（）cm2．A．12 B．10 C．6 D．15思路引領(lǐng)：由長(zhǎng)方形的性質(zhì)得BAE＝90°再由折疊的性質(zhì)得BE＝ED然后在Rt△ABE中由勾股定理得32+AE2＝（9﹣AE）2解得AE＝4（cm）即可求解．解：∵四邊形ABCD是長(zhǎng)方形∴∠BAE＝90°∵將此長(zhǎng)方形折疊使點(diǎn)B與點(diǎn)D重合∴BE＝ED∵AD＝9＝AE+DE＝AE+BE∴BE＝9﹣AE在Rt△ABE中由勾股定理得：AB2+AE2＝BE2∴32+AE2＝（9﹣AE）2解得：AE＝4（cm）∴S△ABE=12AB?AE=12×故選：C．總結(jié)提升：本題考查了翻折變換的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)以及勾股定理等知識(shí)；熟練掌握翻折變換的性質(zhì)和矩形的性質(zhì)由勾股定理得出方程是解題的關(guān)鍵．8．（2020春?余干縣校級(jí)期末）如圖把長(zhǎng)方形紙片ABCD沿EF折疊使點(diǎn)B落在邊AD上的點(diǎn)B'處點(diǎn)A落在點(diǎn)A'處．（1）試說(shuō)明B'E＝BF；（2）設(shè)AE＝aAB＝bBF＝c試猜想abc之間的關(guān)系并說(shuō)明理由．思路引領(lǐng)：（1）根據(jù)折疊的性質(zhì)、平行的性質(zhì)及等角對(duì)等邊即可說(shuō)明；（2）根據(jù)折疊的性質(zhì)將AE、AB、BF都轉(zhuǎn)化到直角三角形△A'B'E中由勾股定理可得abc之間的關(guān)系．（1）證明：由折疊的性質(zhì)得：B'F＝BF∠B'FE＝∠BFE在長(zhǎng)方形紙片ABCD中AD∥BC∴∠B'EF＝∠BFE∴∠B'FE＝∠B'EF∴B'F＝B'E∴B'E＝BF．（2）解：abc之間的關(guān)系是a2+b2＝c2．理由如下：由（1）知B'E＝BF＝c由折疊的性質(zhì)得：∠A'＝∠A＝90°A'E＝AE＝aA'B'＝AB＝b．在△A'B'E中∵∠A'＝90°∴A'E2+A'B'2＝B'E2∴a2+b2＝c2．總結(jié)提升：本題考查了翻折變換的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、等腰三角形的判定、勾股定理等知識(shí)；靈活利用折疊的性質(zhì)進(jìn)行線段間的轉(zhuǎn)化是解題的關(guān)鍵．9．（2020秋?羅湖區(qū)校級(jí)期末）如圖把一張長(zhǎng)方形紙片ABCD折疊起來(lái)使其對(duì)角頂點(diǎn)A與C重合D與G重合若長(zhǎng)方形的長(zhǎng)BC為8寬AB為4求：（1）DE的長(zhǎng)；（2）求陰影部分△GED的面積．思路引領(lǐng)：（1）設(shè)DE＝EG＝x則AE＝8﹣x在Rt△AEG中根據(jù)AG2+EG2＝AE2構(gòu)建方程即可解決問(wèn)題；（2）過(guò)G點(diǎn)作GM⊥AD于M根據(jù)三角形面積不變性AG×GE＝AE×GM求出GM的長(zhǎng)根據(jù)三角形面積公式計(jì)算即可．解：（1）設(shè)DE＝EG＝x則AE＝8﹣x在Rt△AEG中AG2+EG2＝AE2∴16+x2＝（8﹣x）2解得x＝3∴DE＝3．（2）過(guò)G點(diǎn)作GM⊥AD于M則12?AG×GE=12?AE×GMAG＝AB＝4AE＝CF＝5GE＝∴GM=12∴S△GED=12GM×DE總結(jié)提升：本題主要考查了折疊的性質(zhì)、勾股定理以及三角形面積不變性靈活運(yùn)用折疊的性質(zhì)、勾股定理等幾何知識(shí)點(diǎn)來(lái)分析、判斷、推理是解題的關(guān)鍵．類(lèi)型三利用勾股定理解決正方形的折疊問(wèn)題10．（2019?黔東南州一模）如圖將邊長(zhǎng)為6cm的正方形紙片ABCD折疊使點(diǎn)D落在AB邊中點(diǎn)E處點(diǎn)C落在點(diǎn)Q處折痕為FH則線段AF的長(zhǎng)為（）A．32 B．3 C．94 思路引領(lǐng)：由正方形的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)可得EF＝DEAB＝AD＝6cm∠A＝90°由勾股定理可求AF的長(zhǎng)．解：∵將邊長(zhǎng)為6cm的正方形紙片ABCD折疊使點(diǎn)D落在AB邊中點(diǎn)E處∴EF＝DEAB＝AD＝6cm∠A＝90°∵點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)∴AE＝BE＝3cm在Rt△AEF中EF2＝AF2+AE2∴（6﹣AF）2＝AF2+9∴AF=故選：C．總結(jié)提升：本題考查了翻折變換正方形的性質(zhì)勾股定理利用勾股定理求線段的長(zhǎng)度是本題的關(guān)鍵．11．如圖將邊長(zhǎng)為8cm的正方形紙片ABCD折疊使點(diǎn)D落在BC邊的中點(diǎn)E處點(diǎn)A落在點(diǎn)F處折痕為MN則線段CN的長(zhǎng)是（）A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm思路引領(lǐng)：由折疊的性質(zhì)可得DN＝NE由中點(diǎn)的性質(zhì)可得EC＝4cm結(jié)合正方形的性質(zhì)可得∠BCD＝90°；設(shè)CN的長(zhǎng)度為xcm則EN＝DN＝（8﹣x）cm接下來(lái)在直角△CEN中運(yùn)用勾股定理就可以求出CN的長(zhǎng)度．解：∵四邊形MNEF是由四邊形ADMN折疊而成的∴DN＝NE．∵E是BC的中點(diǎn)且BC＝8cm∴EC＝4cm．∵四邊形ABCD是正方形∴∠BCD＝90°．設(shè)CN的長(zhǎng)度為xcm則EN＝DN＝（8﹣x）cm由勾股定理NC2+EC2＝NE2得x2+42＝（8﹣x）2解得x＝3．故選：A．總結(jié)提升：本題考查翻折變換的問(wèn)題折疊問(wèn)題其實(shí)質(zhì)是軸對(duì)稱(chēng)對(duì)應(yīng)線段相等對(duì)應(yīng)角相等找到相應(yīng)的直角三角形利用勾股定理求解是解決本題的關(guān)鍵．第二部分專(zhuān)題提優(yōu)訓(xùn)練1．（2022秋?慈溪市校級(jí)期中）在Rt△ABC中∠B＝90°AB＝4BC＝8D、E分別是邊AC、BC上的點(diǎn)將△ABC沿著DE進(jìn)行翻折點(diǎn)A和點(diǎn)C重合則EC＝．思路引領(lǐng)：設(shè)EC＝x在Rt△ABE中由勾股定理得42+（8﹣x）2＝x2即可解得答案．解：設(shè)EC＝x則BE＝8﹣x∵將△ABC沿著DE進(jìn)行翻折點(diǎn)A和點(diǎn)C重合∴AE＝EC＝x在Rt△ABE中AB2+BE2＝AE242+（8﹣x）2＝x2解得x＝5∴EC＝5故答案為：5．總結(jié)提升：本題考查直角三角形中的翻折問(wèn)題解題的關(guān)鍵是掌握翻折的性質(zhì)能應(yīng)用勾股定理列方程解決問(wèn)題．2．（2021秋?靖江市期中）如圖在Rt△ABC中∠C＝90°D是AB的中點(diǎn)AD＝5BC＝8E是直線BC上一動(dòng)點(diǎn)把△BDE沿直線ED翻折后點(diǎn)B落在點(diǎn)F處當(dāng)FD⊥BC時(shí)線段BE的長(zhǎng)為．思路引領(lǐng)：分點(diǎn)F在BC下方點(diǎn)F在BC上方兩種情況討論由勾股定理可BC＝4由平行線分線段成比例可得BDAD=BPBC=DPAC解：若點(diǎn)F在BC下方時(shí)DF與BC交于點(diǎn)P如圖1所示：∵D是AB的中點(diǎn)∴BD＝AD＝5∴AB＝2AD＝10∵∠C＝90°BC＝8∴AC=AB∵點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)∵FD⊥BC∠C＝90°∴FD∥AC∴BDAD∴BP＝PC=12BC＝4DP=1∵△BDE沿直線ED翻折∴FD＝BD＝5FE＝BE∴FP＝FD﹣DP＝5﹣3＝2在Rt△FPE中EF2＝FP2+PE2∴BE2＝22+（4﹣BE）2解得：BE=5若點(diǎn)F在BC上方時(shí)FD的延長(zhǎng)線交BC于點(diǎn)P如圖2所示：FP＝DP+FD＝3+5＝8在Rt△EFP中EF2＝FP2+EP2∴BE2＝64+（BE﹣4）2解得：BE＝10故答案為：52總結(jié)提升：此題考查了折疊的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理等知識(shí)熟練掌握翻折變換的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3．如圖在Rt△ABC中AC＝6BC＝8D為BC上一點(diǎn)將Rt△ABC沿AD折磨點(diǎn)C恰好落在AB邊上的E點(diǎn)求BD的長(zhǎng)．思路引領(lǐng)：由勾股定理求出AB＝10由折疊的性質(zhì)得出CD＝DE∠C＝∠AED＝90°AE＝AC＝6得出BE＝AB﹣AE＝4∠BED＝90°設(shè)CD＝ED＝x則BD＝8﹣x在Rt△BDE中由勾股定理得出方程解方程即可．解：∵Rt△ABC中AC＝6BC＝8∴AB=62由折疊的性質(zhì)得：CD＝DE∠C＝∠AED＝90°AE＝AC＝6∴BE＝AB﹣AE＝4∠BED＝90°設(shè)CD＝ED＝x則BD＝8﹣x在Rt△BDE中由勾股定理得：x2+42＝（8﹣x）2解得：x＝3∴BD＝8﹣3＝5．總結(jié)提升：本題考查了翻折變換的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)；熟練掌握翻折變換的性質(zhì)由勾股定理得出方程是解題的關(guān)鍵．4．（2018秋?襄汾縣校級(jí)月考）如圖在Rt△ABC中∠C＝90°AC＝8BC＝6按圖中所示方法將△BCD沿BD折疊使點(diǎn)C落在邊AB上的點(diǎn)C'處求AD的長(zhǎng)及四邊形BCDC′的面積．思路引領(lǐng)：利用勾股定理列式求出AB根據(jù)翻折變換的性質(zhì)可得BC′＝BCC′D＝CD然后求出AC′設(shè)AD＝x表示出C′D、AC′然后利用勾股定理列方程求解即可求出AD；然后根據(jù)三角形的面積公式計(jì)算即可求出四邊形BCDC′的面積．解：∵∠C＝90°AC＝8BC＝6∴AB=AC由翻折變換的性質(zhì)得BC′＝BC＝6C′D＝CD∴AC′＝AB﹣BC′＝10﹣6＝4設(shè)CD＝x則C′D＝xAD＝8﹣x在Rt△AC′D中由勾股定理得AC′2+C′D2＝AD2即42+x2＝（8﹣x）2解得x＝3即CD＝3∴AD＝8﹣x＝5；由折疊可知：S△BCD＝S△BC′D∴四邊形BCDC′的面積＝2S△BCD＝2×12×CD總結(jié)提升：本題考查了翻折變換的性質(zhì)勾股定理此類(lèi)題目熟記性質(zhì)并利用勾股定理列出方程是解題的關(guān)鍵．5．（2021春?廈門(mén)期中）在矩形ABCD中AB＝3BC＝4E是AB上一個(gè)定點(diǎn)點(diǎn)F是BC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)把矩形ABCD沿直線EF折疊點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B′落在矩形內(nèi)部．若DB′的最小值為3則AE＝53思路引領(lǐng)：連接DE則DB′+EB′≥DE由EB′＝EB為定值故當(dāng)DEB′三點(diǎn)共線時(shí)DB′最小利用勾股定理建立方程即可求解．解：如圖1連接DE由折疊性質(zhì)可得：EB′＝EB∵DB′+EB′≥DE∴DB′≥DE﹣EB′＝DE﹣EB∵點(diǎn)E為定點(diǎn)∴EB為定值∴當(dāng)DEB′三點(diǎn)共線時(shí)DB′最小且最小值為3∴DB′＝3如圖2∵四邊形ABCD為矩形∴∠A＝90°AD＝BC＝4設(shè)AE＝x則：EB′＝EB＝AB﹣AE＝3﹣x∴ED＝EB′+DB′＝3﹣x+3＝6﹣x在Rt△AED中由勾股定理可得：x2+42＝（6﹣x）2解得：x=5∴AE=5故答案為：53總結(jié)提升：本題考查折疊的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)點(diǎn)解題的關(guān)鍵是運(yùn)用方程思想．6．（2021秋?城陽(yáng)區(qū)校級(jí)月考）把一張矩形紙片（矩形ABCD）按如圖方式折疊使頂點(diǎn)B和點(diǎn)D重合折痕為EF．若AB＝3cmBC＝5cm則重疊部分△DEF的面積是（）cm2．A．2 B．3.4 C．4 D．5.1思路引領(lǐng)：由矩形的性質(zhì)得AD＝BC＝5cmCD＝AB＝3cm∠A＝90°再由折疊的性質(zhì)得A'D＝AB＝3cm∠A'＝∠A＝90°AE'＝AE設(shè)AE＝xcm則A′E＝xcmDE＝（5﹣x）cm然后在Rt△A'DE中由勾股定理得出方程解方程進(jìn)而得出DE的長(zhǎng)即可解決問(wèn)題．解：∵四邊形ABCD是矩形AB＝3cmBC＝5cm∴AD＝BC＝5cmCD＝AB＝3cm∠A＝90°由折疊的性質(zhì)得：A'D＝AB＝3cm∠A'＝∠A＝90°AE'＝AE設(shè)AE＝xcm則A′E＝xcmDE＝（5﹣x）cm在Rt△A'DE中由勾股定理得：A′E2+A′D2＝ED2即x2+32＝（5﹣x）2解得：x＝1.6∴DE＝5﹣1.6＝3.4（cm）∴△DEF的面積=12DE?CD=12×故選：D．總結(jié)提升：此題考查了翻折變換的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、勾股定理以及三角形面積等知識(shí)熟練掌握翻折變換的性質(zhì)和矩形的性質(zhì)由勾股定理得出方程是解題的關(guān)鍵．7．（2017秋?金牛區(qū)校級(jí)月考）如圖在矩形ABCD中E是AD的中點(diǎn)將△ABE沿BE折疊后得到△GBE延長(zhǎng)BG交CD于點(diǎn)F結(jié)果發(fā)現(xiàn)F點(diǎn)恰好是DC的中點(diǎn)若BC＝26則AB的長(zhǎng)為？思路引領(lǐng)：連接EF由折疊性質(zhì)得AE＝EG∠A＝∠EGB＝90°BG＝AB則∠EGF＝90°易證EG＝DE由矩形的性質(zhì)得AB＝CD∠C＝∠D＝90°推出∠EGF＝∠D＝90°由HL證得Rt△EGF≌Rt△EDF得出FG＝FD求得CF＝DF＝FG=12CD=12ABBF＝BG+FG=32AB由勾股定理得出BC2+CF解：連接EF如圖所示：由折疊性質(zhì)得：AE＝EG∠A＝∠EGB＝90°BG＝AB∴∠EGF＝90°∵點(diǎn)E是AD的中點(diǎn)∴AE＝DE∴EG＝DE∵四邊形ABCD是矩形∴AB＝CD∠C＝∠D＝90°∴∠EGF＝∠D＝90°在Rt△EGF與Rt△EDF中EG=EDEF=EF∴Rt△EGF≌Rt△EDF（HL）∴FG＝FD∵F點(diǎn)恰好是DC的中點(diǎn)∴CF＝DF＝FG=12CD=∴BF＝BG+FG＝AB+12AB=在Rt△BCF中BC2+CF2＝BF2即：（26）2+（12AB）2＝（32AB）解得：AB＝23．總結(jié)提升：本題考查了折疊的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)熟練掌握折疊的性質(zhì)證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．8．（2018春?新?lián)釁^(qū)校級(jí)期中）如圖在矩形ABCD中已知AD＝10AB＝8將矩形ABCD沿直線AE折疊頂點(diǎn)D恰好落在BC邊上的F處求CE的長(zhǎng)．思路引領(lǐng)：先根據(jù)矩形的性質(zhì)得AD＝BC＝10AB＝CD＝8再根據(jù)折疊的性質(zhì)得AF＝AD＝10EF＝DE在Rt△ABF中利用勾股定理計(jì)算出BF＝6則CF＝BC﹣BF＝4設(shè)CE＝x則DE＝EF＝8﹣x然后在Rt△ECF中根據(jù)勾股定理得到x2+42＝（8﹣x）2再解方程即可得到CE的長(zhǎng)．解：∵四邊形ABCD為矩形∴AD＝BC＝10AB＝CD＝8∵矩形ABCD沿直線AE折疊頂點(diǎn)D恰好落在BC邊上的F處∴AF＝AD＝10EF＝DE在Rt△ABF中∵BF=AF∴CF＝BC﹣BF＝10﹣6＝4