熱點04 冪的運算與整式乘法的7種題型（原卷版）

熱點04冪的運算與整式乘法的7種題型冪的運算：熟記同底數(shù)冪的乘法、除法、冪的乘方與積的乘方法則，理解零指數(shù)冪、負整數(shù)指數(shù)冪的意義；期末試卷中通常會考察2~3道小題和1道大題，大多數(shù)情況下，選擇題第1題為冪的四種運算，解答題第1題為冪的混合運算（涉及冪的四種運算以及零指數(shù)冪、負整數(shù)指數(shù)冪），選擇題和填空題中會有1道小題考察科學(xué)記數(shù)法——表示較小的數(shù)；（1）對于零指數(shù)冪，要注意任何不為0的數(shù)的0次方都等于1，0的0次方是不存在的；（2）對于負整數(shù)指數(shù)冪，要嚴格根據(jù)負整數(shù)指數(shù)冪的意義計算，若底數(shù)是分數(shù)，則只要把分子、分母顛倒，負指數(shù)就可變?yōu)檎笖?shù)；（3）對于冪的混合運算，要按照先乘方后乘除的順序運算，其運算順序和有理數(shù)的混合運算順序相似。整式乘法：熟記多項式與多項式相乘的法則，牢記完全平方公式和平方差公式；期末試卷中通常會考察2道小題和1~2道大題，大多數(shù)情況下，解答題第3題為整式的混合運算——化簡求值題（涉及完全平方公式和平方差公式）；（1）對于多項式×多項式的題，必須按一定的順序進行，做到不重不漏；（2）對于涉及完全平方公式和平方差公式的題，要注意靈活變通，公式中的字母可以是單項式，也可以是多項式，部分題目中可能會涉及“整體”思想，即需要將復(fù)雜單項式或多項式看作一個整體使問題簡單化，此時應(yīng)注意被看做整體的代數(shù)式通常要用括號括起來；（3）對于整式的混合運算——化簡求值題，必須先化簡后求值，化簡時，要按照先乘方后乘除的順序運算，且能用公式的優(yōu)先用公式展開。【題型1冪的運算及逆用】1．（2022·臨沂·二模）下列計算錯誤的是A． B． C． D．2．（2022·南京·期末）下列運算中，正確的是A． B． C． D．3．（2022·宿遷·期末）已知，且，則的最小值為A．9 B．10 C．11 D．124．（2022·南通·期末）已知，，則的值為A． B． C．432 D．2165．（2022·靈寶·期末）若，，則可表示為．（用含、的代數(shù)式表示）6．（2023·無錫·期中）計算：．7．（2022·揚州·期末）小明和小紅在計算時，分別采用了不同的解法．小明的解法：，小紅的解法：．請你借鑒小明和小紅的解題思路，解決下列問題：（1）若，求的值；（2）已知滿足，求的值．【題型2零指數(shù)冪、負整數(shù)指數(shù)冪】1．（2022·泰興·期末）的值為A．1 B． C．2022 D．2．（2022·鹽城·期末）為整數(shù)，則下列運算結(jié)果不是1的為A． B． C． D．3．（2023·渭南·一模）若代數(shù)式：的值等于1，則的值等于．4．（2022·連云港·期末）算式可以表示為A． B． C． D．5．（2022·鎮(zhèn)江·期末）我們知道：，，，，那么接近于A． B． C． D．【題型3科學(xué)記數(shù)法——表示較小的數(shù)】1．（2022·南通·期末）華為麒麟990芯片采用了最新的0.000000007米的工藝制程，數(shù)0.000000007用科學(xué)記數(shù)法表示為A． B． C． D．2．（2022·南京·模擬）某種病毒顆粒平均直徑約為0.000000125，數(shù)據(jù)0.000000125用科學(xué)記數(shù)法表示為A． B． C． D．【題型4冪的混合運算】1．（2022·徐州·期末）計算：（1）；（2）．2．（2022·南京·模擬）計算：（1）；（2）．【題型5整式的乘法運算——多項式×多項式】1．（2022·蘇州·期末）若的結(jié)果中不含項，則的值為A．0 B．2 C． D．2．（2022·連云港·期末）若的積中不含的二次項，則的值是A． B． C．1 D．23．若，則．【題型6整式的乘法運算——乘法公式及變形】1．（2022·鹽城·期末）圖1，是一個長為、寬為的長方形，用剪刀沿圖中虛線（對稱軸）剪開，把它分成四塊形狀和大小都一樣的小長方形，然后按圖2形式拼成一個正方形，那么中間陰影部分的面積為A． B． C． D．2．（2022·無錫·期末）下列各式運算正確的是A． B． C． D．3．（2022·蘇州·期末）若，那么代數(shù)式的值為A． B． C．1 D．34．（2022·蘇州·期末）若是完全平方式，則的值等于A．2 B．4或 C．2或 D．8或5．（2022·泰興·期末）已知，，則的值為A．8 B．16 C．20 D．406．（2022·南京·模擬）若，，則代數(shù)式的值是．7．（2022·揚州·期末）完全平方公式：適當?shù)淖冃?，可以解決很多的數(shù)學(xué)問題．例如：若，，求的值；解：因為，所以，即：，又因為，所以．根據(jù)上面的解題思路與方法，解決下列問題：（1）若，，求的值；（2）填空：①若，則；②若，則．（3）如圖，在長方形中，，，點．是、上的點，且，分別以、為邊在長方形外側(cè)作正方形和，若長方形的面積為200平方單位，求圖中陰影部分的面積和．8．（2022·海安·期末）如圖，我國宋朝數(shù)學(xué)家楊輝在他的著作《詳解九章算法》中提出“楊輝三角”，如圖揭示了為非負整數(shù)）展開式中各項系數(shù)的有關(guān)規(guī)律，請你猜想的展開式中含項的系數(shù)是．【題型7整式的混合運算——化簡求值】1．（2022·成都·期末）先化簡，再求值：，其中，．2．（2022·天津·模擬）先化簡，再求值：，其中，．3．（2022·海安·期末）定義：對于形如的多項式，，為常數(shù)，其中，若取兩個不相等的數(shù)值，時，該多項式的值相等，則稱數(shù)值和為多項式的一組“等值元”，記作，．例如多項式，當取0和4時，多項式的值均為5，則稱0和4為多項式的一組“等值元“，記作，．（1）下列各組數(shù)值中，是多項式的“等值元“的有（填寫序號）①和；②0和；③和．（2）若，是的一組“等值元”，求的值；（3）若，和，是多項式的兩組“等值元“，求的值．1．（2022·鹽城）下列計算，正確的是A． B． C． D．2．（2022·宿遷·期末）若，，．3．（2022·南京·期末）若，，則．4．（2022·淮安·期末）計算：（1）；（2）．5．（2022·常州·期末）已知，且，則的取值范圍是．6．（2022·南京·期末）石墨烯是目前世界上最薄、最堅硬的納米材料，單層石墨烯的厚度僅為．用科學(xué)記數(shù)法表示0.00000000034是A． B． C． D．7．（2022·連云港·期末）如果的乘積中不含項，則為．8．（2022·揚州·期末）計算：（1）；（2）．9．（2022·南京·期末）計算：（1）；（2）．10．（2022·啟東·期末）能夠用如圖中已有圖形的面積說明的等式是A． B． C． D．11．（2022·啟東·期末）如果二次三項式是一個完全平方式，那么的值是．12．（2022·南京·期末）若，，則．13．（2022·揚州·期末）已知，，求下列各式的值：（1）；（2）；（3）．14．（2022·鎮(zhèn)江·期末）（1）從圖中任意選擇一個，通過計算圖中陰影部分的面積，可得到關(guān)于、的等量關(guān)系是；（2）嘗試解決：①已知：，，則