2023年新課標(biāo)全國(guó)卷2理科數(shù)學(xué)模擬卷一

2023年新課標(biāo)全國(guó)卷2理科數(shù)學(xué)模擬卷一

（考試時(shí)間:120分鐘試卷滿分:150分）

第I卷選擇題（共60分）

一、選擇題（本大題共12小題,每小題5分,在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合

題目要求的）

1.已知i是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)等=（）

A.-2+iB.iC.2-iD.-i

2.已知集合M={x|f-4x<0},N={x<2X<則MUN=（）

A.[-2,4）B.（-2,4）

C.（0,2）D.（0,2]

3.采納系統(tǒng)抽樣的方法從1000人中抽取50人做問卷調(diào)查，為此將他們隨機(jī)編號(hào)為

1,2,3,…』000,適當(dāng)分組后，在第一組中采納簡(jiǎn)潔隨機(jī)抽樣的方法抽到的號(hào)碼為8.若編號(hào)

落在區(qū)間[1,400]上的人做問卷A,編號(hào)落在區(qū)間[401,750]±的人做問卷B,其余的人做問

卷C,則抽到的人中，做問卷C的人數(shù)為（）

A.12B.13C.14D.15

4.已知命題p:函數(shù)產(chǎn)111（/+3）+號(hào)左的最小值是2;命題光>2”是5>1”的充分不必要

條件.則下列命題是真命題的是（）

A.pA^B.（Dp）A（D（7）

C.（Elp）八qD.pA（D^）

22

5.已知點(diǎn)A是拋物線G：V=2px（p>0）與雙曲線。2喘一篇=1（。>0力>0）的一條漸近線的交

點(diǎn)，若點(diǎn)A到拋物線Ci的焦點(diǎn)的距離為p,則雙曲線C2的離心率等于（）

A.V2B.V3C.V5D.V6

6.（次彳）2的綻開式中含光的正整數(shù)指數(shù)累的項(xiàng)的個(gè)數(shù)是（）

A.lB.2C.3D.4

7.若數(shù)列他”}是等差數(shù)列，則下列結(jié)論正確的是（）

A.若02+“5>0,則ai+a2>0B.若ai+“3<0,則ai+成<0

C.若0<。1<。2,則。3>皿2a4D.若。1<0,則（。2-。1）（。4-。2）>0

8.

如圖，正四棱錐P-ABC。底面的四個(gè)頂點(diǎn)A,8,C,O在球。的同一個(gè)大圓上，點(diǎn)P在球面上,

若匕E四盛「次/4專,則球。的表面積是()

A.4兀B.8兀

C.12兀D.16兀

3%+y-2<0,

9.已知變量滿意線性約束條件次工<2,若目標(biāo)函數(shù)z=fcc-y僅在點(diǎn)(0,2)處取得

、y>-x-i,

最小值，則攵的取值范圍是()

A.A<-3B.Z>1

C.-l<k<lD.-3<K1

10.某幾何體的三視圖如圖所示，當(dāng)a+h取最大值時(shí)，這個(gè)幾何體的體積為()

正視圖側(cè)視圖

俯視圖

11.已知M是AABC內(nèi)一點(diǎn)(不含邊界)，且說?前=2百，/氏4C=3O°.若

△MBCqMCA,4MAB的面積分別為x,y,z,記/(x,y,z)=：+(+，則/<Xy,z)的最小值為()

A.26B.32C.36D.48

12.已知集合M={(x,y)|>=/a)},若對(duì)于隨意存在(x2,y2)6M使得xix2+yiy2=0成

立，則稱集合M是“商高線”.給出下列四個(gè)集合：

①M(fèi)={(x,y)|y=：卜②M={(x,y)|y=sin九+1};③M={(x,y)|y=k>g2%};④M={(x,y)|y=e，-2}.

其中是“商高線”的序號(hào)是()

A.①②B.②③C.①④D.②④

第II卷非選擇題(共90分)

二、填空題（本大題共4小題,每小題5分，共20分）

13.

執(zhí)行如圖所示的程序框圖,若輸入x=0.1,則輸出的加值為.

14.已知1x）是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x20時(shí)次x）=3，+皿根為常數(shù)），則?-log35）的值

為.

15.關(guān)于函數(shù)y（x）=2（sinx-cosx）cosx的下列四個(gè)結(jié)論：

①函數(shù)/（x）的最大值為企；

②把函數(shù)_/U）=&sin2x-l的圖象向右平移;個(gè)單位后可得到函數(shù)段）=2（sinx-cosx>cosx

的圖象；

③函數(shù)/U）的單調(diào)遞增區(qū)間為M++等快WZ;

④函數(shù);U）的圖象的對(duì)稱中心為（4+，o）#ez.

其中正確的結(jié)論有個(gè).

16.已知數(shù)列伍“｝滿意3=±即|”尸竽"5》2）,則該數(shù)列的通項(xiàng)公式為.

三'解答題（本大題共6小題，滿分70分，解答須寫出文字說明、證明過程或演算步驟）

17.（本小題滿分12分）在中，角A,B,C的對(duì)邊分別為a,0,c,已知A=*sinB=3sinC.

⑴求tanC的值；

⑵若a=>H，求XABC的面積.

18.（本小題滿分12分）某青少年探討中心為了統(tǒng)計(jì)某市青少年（18歲以下）2023年春節(jié)所

收壓歲錢的狀況進(jìn)而探討青少年的消費(fèi)去向，隨機(jī)抽查了該市60名青少年所收壓歲錢

的狀況，得到如下數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)表（圖①）.已知"壓歲錢不少于2千元的青少年”與“壓歲錢少于

2千元的青少年”人數(shù)比恰好為2；3.

(1)試確定x,y,p,q的值，并補(bǔ)全頻率分布直方圖(圖②)；

(2)該機(jī)構(gòu)為了進(jìn)一步了解這60名青少年壓歲錢的消費(fèi)去向，將這60名青少年按“壓歲

錢不少于2千元”和“壓歲錢少于2千元”分為兩部分，并且用分層抽樣的方法從中抽取

10人，若需從這10人中隨機(jī)抽取3人進(jìn)行問卷調(diào)查設(shè)4為抽取的3人中“壓歲錢不少于

2千元的青少年”的人數(shù)，求4的分布列和均值；

(3)若以頻率估計(jì)概率，從該市青少年中隨機(jī)抽取15人進(jìn)行座談，若15人中“壓歲錢不少

于2千元的青少年”的人數(shù)為〃，求〃的均值.

壓歲

頻頻

錢/千

數(shù)率

元

10,0.5)30.05

[0.5,1)XP

[1,1.5)90.15

[1.5,2)150.25

[2,2.5)180.3()

[2.5,31y

一q

合

計(jì)601.00

-

圖①

圖②

19.(本小題滿分12分)

在如圖所示的多面體中，四邊形ABCD是菱形,EO〃FB,ED，平面

ABCD,AD=BD=2,BF=2DE=2y[2.

(1)求證力后_1。死

(2)求二面角A-FC-E的余弦值.

20.(本小題滿分12分)已知橢圓。的中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在％軸上，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4,且點(diǎn)(1,，)

在橢圓C上.

(1)求橢圓。的方程；

(2)設(shè)尸是橢圓。長(zhǎng)軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作斜率為西勺直線/交橢圓C于兩點(diǎn)，求

證:|PA|2+|P8|2為定值.

21.(本小題滿分12分)已知函數(shù)於戶-爐+在^6對(duì)召㈤滿意g3=?(4eR,x>0),且

g(e)=a,e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).

(1)已知/心)=/-次為,求曲線g)在點(diǎn)(1,九(1))處的切線方程；

⑵若存在xd[l,e],使得g(x)X+(a+2)x成立，求a的取值范圍；

⑶設(shè)函數(shù)凡；’0為坐標(biāo)原點(diǎn)，若對(duì)于尸產(chǎn)(幻在xW-1時(shí)的圖象上的任一點(diǎn)

P,在曲線y=F(x)aGR)上總存在一點(diǎn)。，使得方-麗<0,且PQ的中點(diǎn)在y軸上，求a的

取值范圍.

請(qǐng)考生在第22、23兩題中任選一題做答，假如多做，則按所做的第一題評(píng)分.

22.(本小題滿分10分)選修4—:坐標(biāo)系與參數(shù)方程

在平面直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)為極點(diǎn)2軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系已知曲線

+VT2

C:pcos20=2asin。3>0),過點(diǎn)P(-4,-2)的直線/的參數(shù)方程為]2

-4(r為參數(shù))，直線

(7-2+VT2

2

/與曲線C分別交于點(diǎn)M,N.

(I)寫出C的直角坐標(biāo)方程和/的一般方程；

⑵若|PM,|MN|,|PN|成等比數(shù)列，求a的值.

23.(本小題滿分10分)選修4—5:不等式選講

已知函數(shù).*x)=|x-l|+|x+l|.

(1)求不等式/U)23的解集；

⑵若關(guān)于x的不等式式》)>層4+級(jí)在R上恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

參考答案

2+3i_(2+3i)(3+2i)_13i_.

1.B解析(方法一)3-2i-(3-2i)(3+2i)-17T

(方法-、2+3i_(2+3i)i_(2+3i)i_.

(7'.1>3-21=(3-2i)i=2+3i-L

2.A解析M={x\0<x<4},^={x|-22],：.MUN=[-2,4).

3.A解析若采納系統(tǒng)抽樣的方法從1000人中抽取50人做問卷調(diào)查，則須要分為50組,

每組20人若第一組抽到的號(hào)碼為8,則以后每組抽取的號(hào)碼分別為28,48,68,88/08,…，

所以編號(hào)落在區(qū)間［1,400］上的有20人,編號(hào)落在區(qū)間［401,750］上的有18人.所以做問卷

C的有12人.

4.C解析因?yàn)槊}p為假命題，命題q為真命題，所以O(shè)p)A4為真命題.

5.C解析因?yàn)辄c(diǎn)A到拋物線Ci的焦點(diǎn)的距離為p,所以點(diǎn)A到該拋物線準(zhǔn)線的距離為

p.所以點(diǎn)A的坐標(biāo)為啰，±p).所以雙曲線C2的漸近線方程為產(chǎn)±2x.所以，=2.所以

Z?2=4a2.又b1=c1-cr,^以。2=54.所以雙曲線。2的離心率為V5.

6.B解析(匠：廠的綻開式中第什］項(xiàng)為4(偽12工(-/=(-1)幻；2%6亨.當(dāng)6專為正

整數(shù)時(shí)，可知r=0或r=2,故(?-￡)12的綻開式中含X的正整數(shù)指數(shù)幕的項(xiàng)的個(gè)數(shù)是2.

7.C解析設(shè)等差數(shù)列｛〃“｝的公差為d,若。2+〃5>0,則a\+a2=(a2-d)+(a5-3d)=(a2+a5)-4d.

由于d的正負(fù)不確定，因而0+G2的符號(hào)不確定，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤.

若41+々3<0,則0+。2=(。1+。3)".由于4的正負(fù)不確定，因而Ql+〃2的符號(hào)不確定，故選

項(xiàng)B錯(cuò)誤.

若0<。1<。2,貝1|4>0.所以。3>0,。4>0.

所以房?。2。4=(。1+2療?(。1+67)(。1+360=淤>0.所以2a4?故選項(xiàng)C正確.

由于(〃2-0)(。4-。2)=或2e=2片,而d有可能等于0,故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.

8.D解析連接PO,由題意知,POJ_底面ABCD,PO=R,S正方形ABCD=2K.

因?yàn)樾闹Α瑽CD=￥，所以，R2.R=￥，解得火=2.所以球。的表面積是1671.

9.D解析如圖，作出題中不等式組所表示的平面區(qū)域.由2=依-丁得y=日-z,要使目標(biāo)函

數(shù)z二"-y僅在點(diǎn)4(0,2)處取得最小值，則陰影部分區(qū)域在直線產(chǎn)丘+2的下方，故目標(biāo)函

數(shù)線的斜率%滿意?3<女<1.

10.D解析由該幾何體的三視圖可得其直觀圖為如圖所示的三棱錐，且從點(diǎn)A動(dòng)身的三

條棱兩兩垂直,A8=1/C=&,P8=a,8C=A

p

c

R

2

可次口PA2+AC2=a2-l+b2-l=6,^/+〃=8古攵（。+份2=8+2。力.8+2（竽），即a+b^4,

當(dāng)且僅當(dāng)a=8=2時(shí),a+b取得最大值，此時(shí)PA=bHC=Vl所以該幾何體的體積V=1x

|xlxV3xV3=1.

U.C解析由希?前=2百,NBAC=30°,可得SAABC=L即x+y+z=l.

故*￡+2=(瀉+孤+y+z)

xyz

=1+4+9+]+^+y+y+y+^>14+4+6+12=36,

當(dāng)且僅當(dāng)x=，,y=g,z=；時(shí)等號(hào)成立.因此於,y,z)的最小值為36.

12.D解析若對(duì)于函數(shù)圖象上的隨意一點(diǎn)M(xi,y),在其圖象上都存在點(diǎn)NS,”),使0M

LON,則函數(shù)圖象上的點(diǎn)的集合為“商高線”.對(duì)于①，若取則不存在這樣的點(diǎn);對(duì)于

③，若取ML。),則不存在這樣的點(diǎn).②④都符合.故選D.

13.0解析若輸入尤=0.1,則〃?=lg0.1=-1.因?yàn)椤▃<0,所以，”=-1+1=0.所以輸出的"?值為

0.

14.-4解析因?yàn)樨)是定義在R上的奇函數(shù)，

所以火0)=1+機(jī)=0.所以m=-l.

所以次-log35)=7/(log35)=-(3i°g35-l)=-4.

15.2解析因?yàn)榉瞨)=2sinx-cosj;-2cos2x=sin2v-cos2x-l=&sin(2x-；)-l,所以其最大值

為a-1.所以①錯(cuò)誤.

因?yàn)楹瘮?shù)/)=&sin2x-1的圖象向右平移方個(gè)單位后得到函數(shù)段)=V^sin[2(x-J)]-

l=V2sin(2x-^)-l的圖象，所以②錯(cuò)誤.

由1+2EW2W<92也斥2,得函數(shù)於)的單調(diào)遞增區(qū)間為[1+而,等+女巾￡

Z,即為恃+k'm等+〃巾GZ.故③正確.

由2x-)=kn,kGZ,得x=^+”次ez,故④正確.

4OL

16.4,尸舞解析因?yàn)樵?S=華魯(〃22),所以如色=所以工一--=

5n+3n(n+l)cLn_^ann(n+l)anan_\n

1

n+1,

所以」一4±-±=1-1±_±=1_1...±_J-=1_J-

a223'。3。234’。4。345'"anan_^nn+1

所以工一工=:一七.

ana12n+1

所以/=?一擊.

所以a尸黑|(〃22).經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)〃=1時(shí)也適合此公式.

所以〃_2n+2

加以斯一5計(jì)3?

17，W(1)VA=2AB+C=y.

..?sin(竽-C)=3sinC.

???亨cosC+|sinC=3sinC.

???苧cosC=|sinC.tanC=-y-.

⑵由&=肅，sinB=3sinC,得b=3c.

1

^LLABC中，由余弦定理得a2=b2+c1-2bccosy4=9c2+c2-2x(3c)xcx-=7c2.

?:a=巾,Ac=l,/?=3.

/.AABC的面積為5=^/?csinA

Z4

(3+x+9+15+18+y=60,

18.解⑴依據(jù)題意，有18+y=2

(3+-+9+15=3,

解得已

故p=0.15,(7=0.10.

補(bǔ)全的頻率分布直方圖如圖所示.

(2)用分層抽樣的方法從中抽取10人，則其中“壓歲錢不少于2千元的青少年'‘有

10x1=4人,“壓歲錢少于2千元的青少年''有10x|=6人.

故4的可能取值為0,1,2,3,

且P(4=0)=凈=3占1)=凈=*4=2)=竽=±%=3)=巖=春

5o05o5o5o

所以4的分布列為

0123

1131

6210；?0

所以E?=0x5[+1x12x-2+3x以1A=I

(3)以頻率估計(jì)概率，從該市青少年中隨機(jī)抽取1人為“壓歲錢不少于2千元的青少

年”的概率是意=|,則故隨機(jī)變量〃的均值為E(〃)=15x|=6.

19.⑴證明(方法一)由題意知，在"Eb中,4/=6,防=遍4尸=2百.

：.AE?+EF2=AF2,

C.AELEF.

在A4EC中,4七=倔￡。=圾4。=2遮

AE^+EC2=AC2,：.AE1EC.

又平面ECF.

又FCu平面ECF,AELFC.

(方法二)：四邊形ABC。是菱形,AD=3D=2,，AC，BO,AC=2b.

故可以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以04,08所在直線為x軸、y軸建立如圖所示的空間直角坐

標(biāo)系.

由平面ABCD,ED〃FB,BD=2,BF=2近,DE=a，可知A(W,O,O),E(O,-1,&),C(-

V3,0,0),F(0,l,2V2).

AE=(-V3,-1,V2),CF=(V3,1,2V2).

???AE-CF=(-V3,-l,V2)-(V3,l,2V2)=-3-l+4=0.

C.AELCF.

⑵解由(1)中方法二可知A(V3,O,O),E(O,-1,V2),C(-V3,0,0),F(0,1,2A/2),

則^F=(-V3,1,2V2),^C=(-2V3,0,0),EF=(0,2,V2),￡C=(-V3,l,-V2).

設(shè)平面AR?的一個(gè)法向量為m=(xi,yi,zi),

由AF，111=0,4。?111=0,得-百工|+/1+2/2|=0,且-2/5%|=0.

令zi=l,得ni=(0,-2V2,l).

設(shè)平面ER7的一個(gè)法向量為n2=(X2j2,Z2),

由EF-n2=0,前,112=0,得2y2+V2Z2=0,JL-V3x2+y2-V2Z2=0.

令”=?1,得n2=(-V3,-l,V2).

設(shè)二面角AS的大小為。，則cos小犒=尹=苧

20.⑴解因?yàn)?。=4,所以。=2.又因?yàn)榻裹c(diǎn)在x軸上，所以設(shè)橢圓方程為§+^2=1.

(2)證明設(shè)點(diǎn)P(m,0)(-2WmW2),可得直線/的方程是尸號(hào)，

(y=

由方程組(2消去y得2X2-2/?7X+7772-4=0.(*)

信+y2=i,

設(shè)A(xiJ1),5(X2,”),則XI42是方程(*)的兩個(gè)根.

所以九1+X2=m^\X2=-2~-

所以|PAF+1PB\2=(x\-m)2+yf+(X2-m)2+y1

=(xi-m)2+^(xi-7?7)2+(X2-m)2+^(X2-m)2

=^[(xi-m)2+(x2-m)2]=^[%i+xf-2w(xi+x2)+2m2]

=)2)222(22

74[(^i+x2-2m(xi+x2-2xiX2+2m]=47[m-2/T7-7?7-4)+2/T7]=5.

所以|PA|2+|P8|2為定值.

21.解(1)/?(x)=(-x3+jr)e1-x,

.,./i,(x)=(x3-4x2+2x)eI-x,

:.〃(l)=0,力(1)=-L

，曲線〃(x)在點(diǎn)(l,/z(l))處的切線方程為y=?(%?l),即y=-%+L

(2)；g3=%aeR/>0),

/.g(x)=alnx+c(c為常數(shù)).

/.g(e)=tzlne+c=a+c=a.

/?c=0.

?\g(x)=alnx.

由gOON-f+S+Z)%,得(尤-lnx)aWf-2x.

???當(dāng)日1,e]時(shí),InxW1且等號(hào)不能同時(shí)成立，

Ain即x-lnx>0.

..X2-2X/(X2-2X\

??a<—：—.^a<——

x-lnx\x-lnx/max

X2-2X

設(shè)/(%)=

x-\nx

則「3」土1)口+2-誓1

(x-lnx)

Vx^[l,e],/.x-l^O,lnxWl/+2-21nx>0..??，'(x)20.

...r(x)在[l,e]上為增函數(shù).

./、，、e2-2e一e2-2e

??f(x)max=/(e)="-.T-.

e-1e-1

(3)設(shè)P(r,F⑺)為產(chǎn)F(x)在時(shí)的