材料力學第6章彎曲應力

第6章彎曲應力第6章彎曲應力

6.1純彎曲與橫力彎曲

前一章的研究說明，一般情況下，梁的橫截面上既有彎矩又有剪力。彎矩M是垂直于橫截面的內力系的合力偶矩，剪力Q是切于橫截面的內力系的合力。也就是說，橫截面上只有與正應力有關的法向內力元素dFN=σdA才能合成為彎矩，而與剪應力有關的切向內力元素dFS=dA才能合成為剪力。所以，在梁的橫截面上，一般是既有正應力又有剪應力。彎矩只與橫截面上的正應力有關，剪力只與剪應力有關。

如圖6.1(a)所示的簡支梁中，外力對稱地作用在梁的縱向對稱面內，其計算簡圖、剪力圖和彎矩圖分別如圖6.1(b)、(c)和(d)所示?？梢钥闯觯贑D段內，梁橫截面上剪力等于零，而彎矩為常量，因而只有正應力而沒有剪應力，這種彎曲稱為純彎曲。圖5.2中火車輪軸兩個車輪之間的一段梁就是發(fā)生的純彎曲。在AC和BD兩段內，梁橫截面上既有彎矩又有剪力，因而既有正應力又有剪應力，這種彎曲稱為橫力彎曲或剪切彎曲。

圖6.1

本章主要討論等直梁在平面彎曲時彎曲正應力和彎曲剪應力的計算公式及相應的強度計算。

6.2彎曲正應力

純彎曲是彎曲中最根本的情況。下面首先研究純彎曲時的正應力，再將它推廣到橫力彎曲時正應力的計算。

純彎曲試驗

純彎曲試驗容易在材料試驗機上實現(xiàn)。為了便于觀察桿件的變形，在變形前的桿件外表作縱向線aa和bb，并作與它們垂直的橫向線mm和nn(見圖6.2(a))，然后在桿件的縱向對稱面內施加大小相等、方向相反的力偶(見圖6.2(b))，使其發(fā)生純彎曲變形。可以觀察到：變形后縱向線aa和bb變成了弧線(見圖6.2(b))；橫向線mm和nn仍然保持直線，它們相對轉動了一個角度Δθ后，仍垂直于弧線aa和bb；梁發(fā)生如圖6.2(b)所示的凸向下的彎曲變形后，靠近梁頂面的縱向線縮短了，靠近梁底面的縱向線伸長了。

圖6.2

根據(jù)這些實驗現(xiàn)象，可以對純彎曲變形作如下假設：(1)平面假設

平面假設即變形前為平面的梁的橫截面，變形后仍保持為平面，且仍然垂直于變形后的梁軸線。

(2)單向受力假設

單向受力假設即縱向纖維之間無相互擠壓，只受到軸向拉伸或壓縮。設想梁由眾多平行于軸線的縱向纖維所組成。發(fā)生如圖6.3所示凸向下的彎曲變形后，必然引起靠近梁底面的縱向纖維伸長，靠近梁頂面的縱向纖維縮短。由于橫截面仍保持為平面，所以沿截面高度，應由靠近梁底面的縱向纖維的伸長連續(xù)地、逐漸地演變?yōu)榭拷喉斆娴目v向纖維的縮短，由此斷定中間必定有一層纖維的長度保持不變，這一層稱為中性層。中性層與橫截面的交線稱為中性軸，如圖6.3所示。顯然，位于中性層上、下兩側的縱向纖維的軸向變形是相反的，一側表現(xiàn)為伸長，另一側必然表現(xiàn)為縮短。

圖6.3

依據(jù)上述分析，彎曲變形可描述為橫截面繞各自中性軸的輕微轉動。由于梁上的載荷都作用于梁的縱向對稱面內，所以梁的整體變形應對稱于縱向對稱面，這就要求中性軸與縱向對稱面垂直。

純彎曲正應力

純彎曲時橫截面上只有正應力，全部正應力的合力應該等于該橫截面上的彎矩。由于純彎曲時梁橫截面上正應力的分布規(guī)律未知，因此，不能直接由彎矩M來確定正應力σ。和推導圓軸扭轉剪應力計算公式相似，需要從研究構件的變形入手，綜合考慮變形幾何關系、物理關系以及靜力平衡關系，才能得到純彎曲時的正應力。

(1)變形幾何關系

彎曲變形前和變形后的梁段分別表示于圖6.4(a)和(b)。以梁橫截面的對稱軸為y軸且向下為正(見圖6.4(c))。以中性軸為z軸，但中性軸的位置尚待確定。在中性軸尚未確定之前，x軸只能暫時認為是通過原點的橫截面的法線。根據(jù)彎曲平面假設，變形前相距為dx的兩個橫截面，變形后各自繞中性軸相對旋轉了一個角度dθ，且仍然保持為平面。這就使得距中性層為y的縱向纖維bb的長度變?yōu)?/p>

這里ρ為中性層的曲率半徑?？v向纖維bb的原長度為dx，且bb=dx=OO。由于變形前、后中性層內縱向纖維OO的長度不變，所以

根據(jù)應變的定義，可以求得縱向纖維bb的應變?yōu)?/p>

可見，縱向纖維的應變與它到中性層的距離成正比，沿截面高度呈線性分布。

圖6.4

(2)物理關系

根據(jù)單向受力假設，每一根縱向纖維都是單向拉伸或壓縮，縱向纖維之間無相互擠壓。當應力小于材料比例極限時，由胡克定律知

將式(a)代入上式，得

這說明，橫截面上任一點的正應力與該點到中性軸的距離y成正比。也就是正應力沿截面高度線性分布，沿截面寬度均勻分布，中性軸上正應力為零，如圖6.4(d)所示。

(3)靜力平衡關系

由式(b)還不能確定純彎曲時正應力的大小，因為中性軸z的位置和曲率半徑ρ的大小尚未確定，須結合靜力平衡關系才能推導出正應力計算公式。

橫截面上的微內力σdA組成垂直于橫截面的空間平行力系(見圖6.4(c)中只畫出了該力系中的一個微內力σdA)，這一力系只可能簡化成３個內力分量，即平行于x軸的軸力N，對y軸和z軸的力偶矩My和Mz。它們分別是

橫截面上的內力應與截面左側的外力平衡。在純彎曲的情況下，截面左側的外力只有對z軸的力偶Me(見圖6.4(c)和(d))。由于內、外力必須滿足平衡方程

所以，

即

這樣，橫截面上內力系最終只簡化為一個力偶矩Mz，它也就是彎矩M，即

根據(jù)平衡方程，彎矩M與外力偶矩Me大小相等，方向相反。

將式(b)代入式(c)，得

其中E/ρ是不等于零的常量，所以有∫AydA=Sz=0，即橫截面對z軸的靜矩必須等于零，亦即z軸(中性軸)通過截面形心。這就完全確定了z軸和x軸的位置。中性軸通過截面形心又包含在中性層內，所以梁橫截面的形心連線(軸線)也在中性層內，其長度不變。

將式(b)代入式(d)，得

式中積分

是橫截面對y軸和z軸的慣性積。由于y軸是橫截面的對稱軸，必然有Iyz=0(見附錄)。所以式(g)是自然滿足的。

將式(b)代入式(e)，得

式中積分∫Ay2dA=Iz是橫截面對z軸(中性軸)的慣性矩。于是式(h)改寫為

式中

——梁軸線變形后的曲率。

式(6.1)說明，EIz越大，那么曲率越小，故EIz稱為梁的抗彎剛度。從式(6.1)和式(b)中消去，得

這就是純彎曲時正應力的計算公式?？梢姡谥行暂S上，彎曲正應力等于零。對于圖6.4中所建立的坐標系，在彎矩M為正的情況下，y為正時σ為拉應力，y為負時σ為壓應力。除此之外，一點的應力是拉應力還是壓應力也可由彎曲變形直接判定。以中性層為界，梁凸出的一側受拉，凹入的一側受壓。

導出公式(6.1)和公式(6.2)時，為了方便，把梁橫截面畫成矩形。但是在推導過程中，并沒有使用過矩形截面的幾何特性。因此，只要梁有一縱向對稱面，且載荷作用在這個平面內，公式就是適用的。

橫力彎曲正應力

公式(6.2)是在純彎曲情況下導出的。但工程中更常見的彎曲是橫力彎曲，這時梁橫截面上不僅有正應力還有剪應力。剪應力的存在使得橫截面變形后不再保持為平面而發(fā)生翹曲，同時，橫力彎曲時縱向截面上還有橫向力引起的擠壓應力。因此，純彎曲時采用的平面假設和單向受力假設對于橫力彎曲不再適用。但進一步的分析說明，對于跨度與截面高度之比大于5的細長梁，應用公式(6.2)計算橫力彎曲時的正應力并不會引起很大的誤差，且能夠滿足工程問題所需要的精度。因此，將公式(6.2)推廣為

此即橫力彎曲時正應力的計算公式。

最大彎曲正應力

公式(6.2)和公式(6.3)均說明，彎曲正應力不僅與M有關，而且與y/Iz有關，亦即與截面的形狀和尺寸有關。所以，對于等截面梁，假設橫截面對稱于中性軸(如矩形、圓形、圓環(huán)形和工字形等截面)，那么橫截面上最大拉應力和最大壓應力相等，梁內最大正應力發(fā)生在彎矩數(shù)值最大的截面且距中性軸最遠的邊緣處，即

而對于變截面梁，雖然是等截面梁但中性軸不是橫截面對稱軸的梁，在計算最大彎曲正應力時不能只注意彎矩數(shù)值最大的截面，應綜合考慮My/Iz的值(參看例6.5和例6.8)。

引用記號

那么公式(6.4)改寫為

式中W——抗彎截面系數(shù)。

抗彎截面系數(shù)綜合反映了截面的形狀、尺寸對彎曲強度的影響，其量綱為長度的３次方。

表6.1給出了幾種常用截面對中性軸z的慣性矩Iz及抗彎截面系數(shù)W。至于其他各類型鋼的Iz，W，那么可從型鋼規(guī)格表中查到。表6.1幾種常用截面對中性軸z的慣性矩Iz及抗彎截面系數(shù)W

續(xù)表

假設中性軸不是橫截面的對稱軸，例如，T形截面(見圖6.5)，那么橫截面上最大拉應力和最大壓應力不相等。引用記號y1和y2分別表示截面的下邊緣、上邊緣到中性軸的距離，且W1=Iz/y1，W2=Iz/y2，那么當彎矩為正值時，最大拉應力和最大壓應力分別為

圖6.5

例6.1如圖6.6所示，矩形截面懸臂梁受集中力和集中力偶作用。試求Ⅰ—Ⅰ截面和固定端Ⅱ—Ⅱ截面上A，B，C，D４點處的正應力。

圖6.6

解矩形截面對中性軸的慣性矩為

對于Ⅰ—Ⅰ截面，彎矩MⅠ=20kN·m，根據(jù)式(6.2)，各點正應力分別為

其中，A點處為最大壓應力，D點處為最大拉應力，B點處為拉應力。

對于Ⅱ—Ⅱ截面，彎矩MⅡ=20-15×3=-25kN·m，所以

其中，A點處為最大拉應力，D點處為最大壓應力，B點處為壓應力。

例6.2如圖6.7(a)所示簡支梁，由56a號工字鋼制成，其截面簡化后的尺寸如圖6.7(b)所示。集中力F=150kN。試求梁危險截面上的最大正應力和同一截面上翼緣與腹板交界處a點(見圖6.7(b))的正應力。

圖6.7

解(1)求支座反力

由梁的平衡方程可求得支座反力

FA=BB=75kN

(2)繪制內力圖，判定危險截面

所繪制的梁的彎矩圖如圖6.7(c)所示?？梢?，截面C為危險截面，相應的最大彎矩值為Mmax=375kN·m。

(3)應力計算

查型鋼表可得，56a號工字鋼截面的抗彎截面系數(shù)W=2342cm3，且Iz=65586cm4。所以，依據(jù)式(6.5)，危險截面的最大正應力為

根據(jù)式(6.2)，危險截面上a點的正應力為

注意直梁橫截面上的正應力在與中性軸垂直的方向是按直線規(guī)律變化的，因此，當已經求得橫截面上的最大正應力σmax時，同一橫截面上的正應力σa也可按比例求得，即

在以上的計算中沒有考慮鋼梁的自重，因為由自重引起的正應力與由外加載荷所引起的正應力相比極小。所以在一般情況下，梁的自重可以忽略不計。6.3彎曲剪應力

橫力彎曲的梁橫截面上既有彎矩又有剪力，因此，橫截面上既有正應力又有剪應力。彎曲剪應力分布較復雜，截面形狀不同，分布規(guī)律也不相同。下面討論幾種常用的對稱截面梁橫截面上的彎曲剪應力。

矩形截面梁

如圖6.8(a)所示矩形截面梁的任意截面上，剪力Q皆與截面的對稱軸y重合(見圖6.8(a))。關于橫截面上剪應力的分布規(guī)律，作以下兩個假設：①橫截面上各點的剪應力的方向都平行于剪力Q；②剪應力沿截面寬度均勻分布。在截面高度h大于寬度b的情況下，以上述假設為根底得到的解，與精確解相比有足夠的準確度。按照這兩個假設，在距中性軸為y的橫線pq上，各點的剪應力都相等，且都平行于Q。再由剪應力互等定理可知，在沿pq切出的平行于中性層的pr平面上，也必然有與相等的′，而且′沿截面寬度也是均勻分布的(見圖6.8(d))。

圖6.8

如以橫截面m—m和n—n從如圖6.8(a)所示梁中取出長為dx的微段，設作用于微段左右截面的剪力為Q，彎矩分別為M和M+dM(見圖6.8(b))，再以平行于中性層且距中性層為y的pr平面從這一段梁中截出一局部prmn，那么在這一截出局部的左側面rm上，作用著因彎矩M引起的正應力，而在右側面pn上，作用著因彎矩M+dM引起的正應力。在頂面pr上，作用著剪應力′。以上３種應力(即兩側面正應力和頂面剪應力)都平行于x軸(見圖6.8(c))。在右側面pn上，由微內力σdA組成的內力系的合力是

式中——側面pn的面積。

正應力σ應按公式(6.3)計算，于是

式中

是橫截面的局部面積對中性軸的靜矩，也就是距中性軸為y的橫線pq以下的面積對中性軸的靜矩。同理，可以求得左側面rm上的內力系合力N1為

在頂面pr上，與頂面相切的內力系的合力是

N2，N1和dQ′的方向都平行于x軸，應滿足平衡方程

，即

將N2，N1和dQ′的表達式代入上式，得

簡化后得出

根據(jù)公式(6.2)，

，于是上式改寫為

其中′雖是距中性層為y的pr平面上的剪應力，但由剪應力互等定理可知，它等于橫截面的橫線pq上的剪應力，即

式中Q——橫截面的剪力；

b——截面寬度；

Iz——整個截面對中性軸的慣性矩；

S*z——截面上距中性軸為y的橫線以外局部面積對中性軸的靜矩。

式(6.6)是矩形截面梁彎曲剪應力的計算公式。

對于矩形截面(見圖6.9)，可取dA=bdy，于是式(b)化為

圖6.9

這樣，公式(6.6)可以寫成

從公式(6.7)看出，沿截面高度剪應力按拋物線規(guī)律變化。在截面上、下邊緣的各點處y=±h2，剪應力=0。隨著到中性軸距離y的減小，剪應力逐漸增大。在中性軸上各點處(y=0)，剪應力為最大，其值為

如將

代入上式，即可得

式中

——梁截面上的平均剪應力。

可見，矩形截面梁的最大剪應力為平均剪應力的1.5倍。

根據(jù)上述分析和剪切胡克定律，剪應變沿高度也按拋物線分布。在中性層上的單元體剪應變到達最大值，隨著與中性層距離的增加，剪應變逐漸減小，在上、下外表處剪應變γ=0。因此，在橫力彎曲時橫截面將不再保持為平面而發(fā)生翹曲。但是，如果相鄰橫截面間的剪力相同，那么其翹曲程度相同，相鄰橫截面間縱向線段在其變形前后長度并無變化。這種翹曲變形并不影響由彎矩引起的正應變，在純彎曲中所建立的彎曲正應力公式仍然成立。假設梁受分布載荷作用，相鄰橫截面的剪力將不再相同，其翹曲程度也不相同，相鄰橫截面間縱向線段的長度將因此而發(fā)生變化，但對細長梁而言，這種變化極其微小，所以對彎曲正應力的影響仍可忽略不計。

工字形截面梁

如圖6.10(a)所示的工字形截面由腹板和上、下翼緣組成。腹板截面是一個狹長矩形，關于矩形截面上剪應力分布的兩個假設仍然適用。用相同的方法，必然導出相同的應力計算公式，即

圖6.10

假設需要計算腹板上距中性軸為y處的剪應力，那么S*z為圖6.10中畫陰影線局部的面積對中性軸的靜矩，即

于是腹板上的剪應力

可見，沿腹板高度，剪應力也是按拋物線規(guī)律分布的(見圖6.10(b))。以y=0和分別代入公式(6.9)，求出腹板上的最大和最小剪應力分別為

因為腹板的寬度b遠小于翼緣的寬度B，max和min實際上相差不大，所以，可以認為在腹板上剪應力大致是均勻分布的。假設以圖6.10(b)中應力分布圖的面積乘以腹板寬度b，即可得到腹板上的總剪力Q1。計算結果說明，Q1等于(0.95~0.97)Q?？梢?，橫截面上的剪力Q的絕大局部由腹板所承擔。既然腹板幾乎承擔了截面上的全部剪力，而且腹板上的剪應力又接近于均勻分布，這樣，就可用腹板的截面面積除剪力Q，近似地得到腹板內的剪應力為

在翼緣上，也應有平行于Q的剪應力分量，分布情況比較復雜，但數(shù)值很小，并無實際意義，所以通常并不計算。此外，翼緣上還有平行于翼緣寬度B的剪應力分量，它與腹板內的剪應力比較，一般也是次要的，所以通常也不計算。工字梁翼緣的全部面積都在離中性軸最遠處，每一點的正應力都比較大，所以翼緣承擔了截面上的大局部彎矩。

圓形截面梁

當梁的橫截面為圓形時，已經不能再假設截面上各點的剪應力都平行于剪力Q。由于截面邊緣上各點的剪應力與圓周相切，這樣，在水平弦AB的兩個端點上與圓周相切的剪應力作用線相交于y軸上的某點p(見圖6.11(a))。此外，由于對稱，AB中點C的剪應力必定是垂直的，因而也通過p點。由此可以假設，AB弦上各點剪應力的作用線都通過p點。如果再假設AB弦上各點剪應力的垂直分量

是相等的，于是對

來說，就與對矩形截面所作的假設完全相同，所以可用公式(6.6)來計算，即

式中b——AB弦的長度；

S*z——圖6.10(b)中畫陰影線的面積對z軸的靜矩。

圖6.11

在中性軸上，剪應力為最大值

max，且各點的

y就是該點的總剪應力。對中性軸上的點

代入式(c)，并注意到

，最后得出

式中

——梁截面上的平均剪應力。

可見，圓形截面梁的最大剪應力是平均剪應力的

倍。

最大彎曲剪應力

不管何種截面，只要滿足矩形截面剪應力的兩個假設，其截面上的剪應力均可用公式(6.6)計算。對于等截面直梁，最大彎曲剪應力發(fā)生在剪力Q最大截面的中性軸上，即

式中Qmax——最大剪力；

S*zmax——中性軸以外面積對中性軸的靜矩；

b——中性軸處截面寬度。

例6.3如圖6.12所示，矩形截面簡支梁在跨度中央受集中力P作用。P=40kN，L=10m，h=200mm，b=100mm。求m—m截面上距中性軸y=50mm處的剪應力，并比較梁內最大的正應力和剪應力。

圖6.12

解(1)求支座反力

由梁的平衡方程可求得支座反力

FA=FB=20kN

(2)應力計算

m—m截面上剪力Q=20kN。截面對中性軸的慣性矩Iz及截面陰影局部面積對中性軸的靜矩S*z分別為

所以，根據(jù)式(6.6)，距中性軸y=50mm處的剪應力為

(3)最大正應力和剪應力比較

梁跨度中央截面，所以根據(jù)式(6.5)和式(6.8)，最大正應力和最大剪應力分別為

那么

由此可見，最大正應力與最大剪應力比值的數(shù)量級為梁的跨度與截面高度之比(跨高比)。而工程中梁的跨高比較大，因而彎曲正應力是梁的主要控制因素。

6.4彎曲強度條件及其應用

一般情況下，梁內同時存在著彎曲正應力和彎曲剪應力。

彎曲正應力強度條件

在6.2節(jié)中已經討論了最大彎曲正應力的計算。一般情況下，最大彎曲正應力發(fā)生在彎矩M最大截面上離中性軸最遠的邊緣處，相應的強度條件為

式中［σ］——材料的彎曲許用應力。

對于抗拉和抗壓強度相等的塑性材料(如低碳鋼)，只要絕對值最大的正應力不超過許用應力即可。對于抗拉和抗壓強度不等的脆性材料(如鑄鐵)，那么最大拉應力和最大壓應力應分別不超過各自的許用應力。即

σtmax≤［σt］，σcmax≤［σc］

式中σtmax，σcmax——最大拉應力和最大壓應力；

［σt］，［σc］——材料的許用拉應力和許用壓應力。

彎曲剪應力強度條件

在6.3節(jié)中已經討論了最大彎曲剪應力的計算。一般情況下，最大彎曲剪應力發(fā)生在剪力Q最大截面的中性軸上，相應的強度條件為

式中［

］——材料的剪切許用應力。

彎曲強度計算

進行彎曲強度計算時，從理論上講，梁應同時滿足正應力強度條件和剪應力強度條件。而事實上，在設計梁的截面時，一般先按正應力強度條件設計，再按剪應力強度條件校核。對于細長實心截面梁，其控制因素主要是彎曲正應力。滿足彎曲正應力強度條件的梁，通常也能滿足剪應力強度條件，所以無須再進行剪應力強度校核。但是在下述一些情況下，那么必須進行剪應力強度校核：

①梁的跨度較短，或在支座附近作用較大的載荷，以致梁的彎矩較小而剪力頗大。

②鉚接或焊接的工字形梁，如腹板較薄而截面高度頗大，以致厚度與高度的比值小于型鋼的相應比值。

③經焊接、鉚接或膠合而成的梁，對焊縫、鉚釘或膠合等，一般要進行剪應力計算。

④在木梁中，由于木材順紋抗剪能力較差，當剪應力較大時，梁很可能沿中性層破壞，所以也應校核其剪應力。

同時還應該指出的是，在薄壁梁的某些點處，如工字形截面梁的腹板與翼緣交界處，正應力和剪應力數(shù)值都較大，這種在正應力和剪應力聯(lián)合作用下點的強度校核問題將在后續(xù)的強度理論章節(jié)中討論。

例6.4外伸梁受力如圖6.13(a)所示。梁由鋼板焊接而成，截面尺寸如圖6.13(d)所示。材料的許用應力為［σ］=120MPa，［］=60MPa。試校核梁的強度，并求焊縫ab處的剪應力。

圖6.13

解(1)求支座反力

由梁的平衡方程可求得支座反力

RA=25kN,RB=105kN

(2)繪制內力圖

梁的剪力圖和彎矩圖分別如圖6.13(b)、(c)所示?？梢?，

，max=40kN·m，均發(fā)生在B截面處。

(3)計算截面的幾何性質

圖6.13(d)中y為橫截面對稱軸。選擇參考坐標軸z1，確定形心C的位置。

通過形心C的z軸為中性軸，橫截面對中性軸的慣性矩為(4)強度校核

沿B截面高度的正應力分布如圖6.13(e)所示，最大正應力發(fā)生在截面的下邊緣處，根據(jù)強度條件式(6.12)可得

那么正應力滿足強度要求。

沿B左截面高度的剪應力分布如圖6.13(f)所示，最大剪應力發(fā)生在中性軸處，

根據(jù)強度條件式(6.13)可得

那么剪應力也滿足強度要求，故梁平安。

可以看出，對于細長實心截面梁，其控制因素主要是彎曲正應力。滿足彎曲正應力強度條件的梁，通常也能滿足剪應力強度條件。

(5)求焊縫ab處的剪應力

在焊縫ab處將截面截為兩局部，求出其中任一局部(例如左局部)對中性軸z的靜矩

所以，焊縫ab處的剪應力

例6.5T形截面鑄鐵梁的載荷和截面尺寸如圖6.14(a)所示。鑄鐵的抗拉許用應力為［σt］=30MPa，抗壓許用應力為［σc］=160MPa。截面對中性軸的慣性矩為Iz=763cm4，且y1=52mm。試校核梁的強度。

圖6.14

解(1)求支座反力

由梁的平衡方程可求得支座反力

RA=2.5kN,RB=10.5kN

(2)繪制彎矩圖

所繪制的梁的彎矩圖如圖6.14(b)所示?？梢?，最大正彎矩在截面C處，MC=2.5kN·m，最大負彎矩在截面B處，MB=-4kN·m。

(3)強度校核

T形截面對中性軸不對稱，同一截面上的最大拉應力和壓應力并不相等。計算最大應力時，應將y1和y2分別代入公式(6.4)。在截面B上，彎矩是負的，最大拉應力發(fā)生在上邊緣各點(見圖6.14(c))，且

最大壓應力發(fā)生在下邊緣各點，且

在截面C上，雖然彎矩MC的絕對值小于MB，但MC是正彎矩，最大拉應力發(fā)生在截面的下邊緣各點，而這些點到中性軸的距離卻比較遠，因而就有可能發(fā)生比截面B更大的拉應力。

因此，最大拉應力發(fā)生在截面C的下邊緣各點處。但從所得結果可看出，無論是最大拉應力或最大壓應力都未超過許用應力，強度條件是滿足的。

例6.6一機器重50kN，安裝在兩根工字鋼外伸梁的外伸端上，如圖6.15(a)所示。假設材料的許用應力為［σ］=60MPa，［］=40MPa。試選擇工字鋼型號。

圖6.15解先按正應力強度條件選擇截面，然后按剪應力強度條件進行校核。

(1)繪制內力圖

每根外伸梁在自由端受25kN載荷作用，梁的計算簡圖、剪力圖和彎矩圖分別如圖6.15(b)、(c)和(d)所示?？梢?，

(2)設計截面，選擇工字鋼型號

先依據(jù)最大彎矩選擇工字鋼型號。由彎曲正應力強度條件式(6.12)，有

查型鋼表，25a號工字鋼，Wz=401.88cm3。雖然它比要求的小了3.5%，但工程中一般偏差不大于5%是允許的。故初選25a號工字鋼。

再校核梁的剪應力。由型鋼表查出25a號工字鋼，

腹板寬度b=8mm。所以，由彎曲切應力強度條件式(6.13)，有

即剪切強度足夠，故可選用25a號工字鋼。

例6.7如圖6.16(a)所示，起重機的鋼梁由兩根工字鋼組成，起重機自重Q=50kN，起重量P=10kN。材料的許用應力為［σ］=160MPa，［

］=100MPa。試選擇工字鋼型號。

圖6.16解鋼梁受力如圖6.16(b)所示，其上PC，PD為起重機作用于梁上的移動載荷。圖6.16(c)為起重機的受力圖，由平衡方程可得

PC=10kN，PD=50kN

由彎矩圖(見圖6.16(d))可知，梁內最大彎矩只可能發(fā)生在C，D兩截面。設PD距梁右端為x，那么支座反力

RA=58-6x，RB=2+6x

所以，C，D截面的彎矩分別為

令

得x1=4.83m，所以D截面彎矩的最大值

MDmax=MD(x1)=58×4.83-6×4.832=140.2kN·m

同理，可得C截面彎矩的最大值MCmax=104.2kN·m。

由剪力圖(見圖6.16(e))可知，

由于0≤x≤8，所以，當x=0時，

由彎曲正應力強度條件式(6.12)，有

所以，

查型鋼表，選用28a號工字鋼，其抗彎截面系數(shù)W=508.15cm3，Iz/S*z=24.62cm，腹板寬度b=8.5cm。所以，依據(jù)彎曲切應力強度條件式(6.13)，有

因此，選用28a號工字鋼能同時滿足彎曲正應力和剪應力強度條件。

例6.8一槽形截面鑄鐵梁如圖6.17(a)所示。b=2m，Iz=5493×104mm4，鑄鐵的許用拉應力為［σt］=30MPa，許用壓應力為［σc］=90MPa。試求梁的許可載荷［F］。

圖6.17

解(1)求支座反力

由梁的平衡方程可求得支座反力

(2)繪制彎矩圖

所繪制的梁的彎矩圖如圖6.17(c)所示?？梢?，最大正彎矩在截面C處，MC=Fb/4，最大負彎矩在截面B處，MB=-Fb/2。

(3)求許可載荷

由橫截面尺寸可知，中性軸到上、下邊緣的距離分別為

y1=134mm，y2=86mm

經分析可知，無論是對截面C還是對截面B而言，該梁的強度均由最大拉應力控制。因此，分別計算截面C和截面B的最大拉應力，并與材料相應的許用應力相比較，從而求出許可載荷［F］。

根據(jù)彎曲正應力強度條件，對于截面C，那么有

由此可得F≤24.6kN。

對于截面B

由此可得F≤19.2kN。

取其中較小者，即得該梁的許可載荷［F］=19.2kN。

例6.9如圖6.18所示兩個尺寸完全相同的矩形截面懸臂梁，用一螺栓聯(lián)成一體承受載荷P作用。已經梁的許用應力［σ］，螺栓的許用剪應力［

］。求梁的許可載荷［P］和螺栓的最小直徑d。

圖6.18

解由彎曲正應力強度條件

所以

在［P］作用下，截面中性軸處的剪應力最大，即

根據(jù)剪應力互等定理，梁中性層上的剪應力

′=max，故中性層上的剪力

Q′即為螺栓承受的剪力。由螺栓剪應力強度條件

得螺栓直徑

即螺栓的最小直徑為

6.5提高彎曲強度的措施

按強度要求設計梁時，主要是依據(jù)梁的正應力強度條件

因此，要提高梁的承載能力，可以從兩個方面考慮：一方面是合理安排梁的受力情況，以降低最大彎矩Mmax的數(shù)值；另一方面那么是采用合理的截面形狀，以提高抗彎系數(shù)W的數(shù)值?，F(xiàn)將工程中常采用的幾種措施分述如下。

合理安排梁的受力情況

改善梁的受力情況，盡量降低梁內最大彎矩，相對地說，也就是提高了梁的強度。

(1)合理布置梁的支座

以如圖6.19(a)所示均布載荷作用下的簡支梁為例

圖6.19

假設將兩端支座各向內移動0.2l(見圖6.19(b))，那么最大彎矩減小為

只是前者的1/5。也就是說，按圖6.19(b)布置支座，載荷還可提高４倍。設計鍋爐筒體及吊裝長構件時，其支承點不設在兩端(見圖6.20)就是利用這個原理。另外，還可以通過增加中間支座以到達降低最大彎矩Mmax的效果。增加支座后的梁成為超靜定梁(靜不定梁)，其內力分析將在后續(xù)章節(jié)中討論。

圖6.20

(2)合理布置載荷

對如圖6.21(a)所示的梁，當集中載荷位置不受限制時，可盡量靠近支承(見圖6.21(b))。

圖6.21

這樣，梁內的最大彎矩將比載荷作用在跨度中點小得多。此外，在條件允許的情況下，應盡可能把較大的集中力分散成較小的力，或者改變成分布載荷。例如，將如圖6.21(a)所示的載荷改為如圖6.22(a)、(b)所示的情況，那么最大彎矩都降低為原來的1/2。許多木結構建筑就是利用這一原理(見圖6.22(c))。

圖6.22

梁的合理截面

假設把彎曲正應力的強度條件改寫為

可見，梁所能承受的最大彎矩Mmax與抗彎截面系數(shù)W成正比，W越大越有利。另一方面，使用材料的多少和自重的大小，那么與截面面積A成正比，面積越小越經濟，越輕巧。因而合理的截面形狀應該是截面面積A較小，而抗彎截面系數(shù)W較大。例如，對于截面高度h大于寬度b的矩形截面梁，抵抗垂直平面內的彎曲變形時，假設將截面豎放(見圖6.23(a))，那么Wz1=bh2/6；假設將截面平放，那么Wz2=b2h/6。顯然，二者之比

所以豎放比平放有較高的抗彎強度，更為合理。因此，房屋和橋梁等建筑物中的矩形截面梁，一般都是豎放的。

圖6.23截面的形狀不同，其抗彎截面系數(shù)Wz也就不同?？梢杂帽戎礧z/A來衡量截面形狀的合理性和經濟性。比值Wz/A較大，那么截面的形狀就較為經濟合理?？梢运愠鼍匦谓孛娴谋戎礧z/A為

圓形的比值Wz/A為

幾種常用截面的Wz/A比值已列于表6.2中。從表中所列數(shù)值可以看出，工字鋼或槽鋼比矩形截面經濟合理，矩形截面比圓形截面經濟合理。所以橋式起重機的大梁以及其他鋼結構中的抗彎桿件，經常采用工字形截面、槽形截面或箱形截面等。從正應力的分布規(guī)律來看，這也是可以理解的。因為彎曲時梁截面上的點離中性軸越遠，正應力越大。為了充分利用材料，應盡可能地把材料放到離中性軸較遠處。圓形截面在中性軸附近聚集了較多的材料，使其未能充分發(fā)揮作用。為了將材料移置到離中性軸較遠處，可將實心圓截面改成空心圓截面，至于矩形截面，如把中性軸附近的材料移置到上、下邊緣處(見圖6.24)，就成為了工字形截面。采用槽形截面或箱形截面也是同樣的道理。

表6.2幾種常用截面的Wz/A值

圖6.24以上是從靜載抗彎強度的角度討論問題。事物是復雜的，不能只從單方面考慮。例如，把一根細長的圓桿加工成空心桿，勢必因加工復雜而提高本錢。又如軸類零件，雖然也承受彎曲，但它還承受扭轉，還須完成傳動任務，對其還有結構和工藝上的要求?？紤]到這些方面，采用圓軸就比較切合實際了。在討論截面的合理形狀時，還應考慮材料的特性。對于抗拉和抗壓強度相等的材料(如碳鋼)，宜采用對中性軸對稱的截面，如圓形、矩形、工字形等。這樣可使截面上、下邊緣處的最大拉應力和最大壓應力數(shù)值相等，且同時接近許用應力。對于抗拉和抗壓強度不相等的材料(如鑄鐵)，宜采用中性軸偏于受拉一側的截面形狀，例如，如圖6.25所示的一些截面。對這類截面，如能使y1和y2之比接近于以下關系：

式中σtmax，σcmax——最大拉應力和最大壓應力；

［σt］，［σc］——許用拉應力和許用壓應力。

圖6.25

那么最大拉應力和最大壓應力便可同時接近許用應力。對于組合材料的梁，例如，工程中大量使用的鋼筋混凝土梁(見圖6.26)，在它受拉的一側配置抗拉的鋼筋，可大大提高梁的抗彎能力。

圖6.26等強度梁的概念

前面討論的梁都是等截面的，抗彎截面系數(shù)W為常數(shù)。但是橫力彎曲時，梁在各截面上的彎矩卻隨截面的位置而變化。因此，對于等截面梁而言，只有在最大彎矩所在的截面處，最大應力才是接近于許用應力的，而在其他截面上，彎矩較小，應力較低，材料并沒有充分利用。所以，可考慮根據(jù)彎矩變化規(guī)律將梁設計為變截面梁(即截面沿軸線變化)，使抗彎截面系數(shù)也隨彎矩而變化，在彎矩較大處采