重難專題06 將軍飲馬之兩點(diǎn)一線模型（原卷版）

2023-2024學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)重難點(diǎn)突破專題06將軍飲馬之兩點(diǎn)一線模型一、異側(cè)兩點(diǎn)求線段和最小值條件：兩定點(diǎn)A、B位于直線l異側(cè)，在直線l上找一點(diǎn)P，使PA+PB的值最小。結(jié)論：連接AB交直線l與點(diǎn)P，此時(shí)PA+PB的值最小，最小值為AB的長(zhǎng)。二、同側(cè)兩點(diǎn)求線段和最小值條件：兩定點(diǎn)A，B位于直線l同側(cè)，在直線l上找一點(diǎn)P，使PA+PB的值最小結(jié)論：作點(diǎn)B關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)B'，連接AB'，交直線l于點(diǎn)P，此時(shí)PA+PB的值最小，最小值為AB'的長(zhǎng)。三、同側(cè)兩點(diǎn)求線段差最大值條件：兩定點(diǎn)A、B位于直線l同側(cè)，在直線l上找一點(diǎn)P，使|PA-PB|值最大。結(jié)論：連接AB并延長(zhǎng)，與直線l交于點(diǎn)P，此時(shí)|PA-PB|的值最大，最大值為線段AB的長(zhǎng)。四、異側(cè)兩點(diǎn)求線段差最大值條件：兩定點(diǎn)A、B位于直線l異側(cè)，在直線l上找一點(diǎn)P，使得lPA-PB|值最大結(jié)論：作點(diǎn)B關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)B'，連接AB'并延長(zhǎng)，與直線l交于點(diǎn)P，此時(shí)|PA-PBI的值最大，最大值為線段AB'的長(zhǎng)。如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)M在DC上，且DM=1，N是AC上一動(dòng)點(diǎn)，則DN+MN的最小值為（

）A．4 B． C． D．5如圖，在菱形中，，對(duì)角線交于點(diǎn)，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)為上一點(diǎn)，且，點(diǎn)為上一動(dòng)點(diǎn)，連接，則的最大值為．一、單選題1．如圖，直線是一條輸氣管道，M，N是管道同側(cè)的兩個(gè)村莊，現(xiàn)計(jì)劃在直線上修建一個(gè)供氣站O，向M，N兩村莊供應(yīng)天然氣．在下面四種方案中，鋪設(shè)管道最短的是（

）A．B．C．D．2．如圖，等腰三角形ABC的底邊BC長(zhǎng)為8，面積是24，腰AC的垂直平分線EF分別交AC，AB于E，F(xiàn)點(diǎn)，若點(diǎn)D為BC邊的中點(diǎn)，點(diǎn)M為線段EF上一動(dòng)點(diǎn)，則的周長(zhǎng)的最小值為（

）A．7 B．8 C．9 D．103．如圖，在銳角三角形中，，的面積為，平分，若、分別是、上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（

）A． B． C． D．4．如圖，已知點(diǎn)，，點(diǎn)P在直線上運(yùn)動(dòng)，則的最大值為（

）A． B． C．4 D．5．如圖，等邊的邊長(zhǎng)為1，過(guò)點(diǎn)B的直線，且與關(guān)于直線l對(duì)稱，D為線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（

）A．1 B．2 C．3 D．46．如圖，在中，，，，，是的平分線，若P，Q分別是和上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是（

）A．2.4 B．3 C．4.8 D．5二、填空題7．如圖，在中，，平分，P為線段上一動(dòng)點(diǎn)，Q為邊上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)?shù)闹底钚r(shí)，的度數(shù)是．8．如圖，等腰三角形的底邊長(zhǎng)為2，面積是6，腰的垂直平分線分別交，于點(diǎn)E、F，若點(diǎn)D為底邊的中點(diǎn)，點(diǎn)M為線段上一動(dòng)點(diǎn)，則的周長(zhǎng)的最小值為．9．如圖，在中，，，點(diǎn)在直線上，，點(diǎn)為上一動(dòng)點(diǎn)，連接，．當(dāng)?shù)闹底钚r(shí)，的度數(shù)為度．10．如圖，等邊和等邊的邊長(zhǎng)都是4，點(diǎn)在同一條直線上，點(diǎn)P在線段上，則的最小值為．三、解答題11．在如圖所示的正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，格點(diǎn)三角形（頂點(diǎn)是網(wǎng)格線的交點(diǎn)的三角形）的頂點(diǎn)，的坐標(biāo)分別為，．(1)請(qǐng)作出關(guān)于y軸對(duì)稱的，并寫(xiě)出和的坐標(biāo)；(2)在軸上找一點(diǎn)，使最小，在圖中標(biāo)出點(diǎn)．12．如圖所示，牧馬人從A地出發(fā)，到一條直的河流l邊的C處飲馬，然后到達(dá)B地．牧馬人到河邊的什么地點(diǎn)飲馬，可以使所走的路程最短？請(qǐng)用尺規(guī)作圖，在圖中找出路程最短的飲馬點(diǎn)C，并用軸對(duì)稱的性質(zhì)說(shuō)明理由．13．如圖，點(diǎn)，且a，b滿足．若P為x軸上異于原點(diǎn)O和點(diǎn)A的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，以線段為邊構(gòu)造等腰直角（P為頂點(diǎn)），連接．(1)如圖1，直接寫(xiě)出點(diǎn)A的坐標(biāo)為_(kāi)__________，點(diǎn)B的坐標(biāo)為_(kāi)__________；(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)O，A之間時(shí)，連接，，證明；(3)如圖3