5.2.1基本初等函數(shù)的導數(shù)校本講義高二上學期數(shù)學選擇性

編號：034課題:§5.2.1基本初等函數(shù)的導數(shù)教學課時安排1、上課時間：_________________．2、課時安排：_________________．3、上課班級___________________．學科目標要求1、通過實例分析，了解利用定義求函數(shù)的導數(shù)．2、掌握基本初等函數(shù)的導數(shù)公式，并會利用公式求簡單函數(shù)的導數(shù)．3、能利用基本初等函數(shù)的導數(shù)公式求函數(shù)的導數(shù)、解決與曲線的切線有關的問題．學科素養(yǎng)目標通過具體背景與實例的抽象，經(jīng)歷導數(shù)模型的建構和利用導數(shù)解決實際問題的過程，使學生對變量數(shù)學的思想方法（無窮小算法數(shù)學）有新的感悟．進一步發(fā)展學生的數(shù)學思維能力，感受和體會數(shù)學產(chǎn)生和發(fā)展的規(guī)律以及人類智慧和文明的傳承，促進學生全面認識數(shù)學的價值．也為后繼進一步學習微積分等課程打好基礎．導數(shù)與函數(shù)、方程、不等式及解析幾何等相關內(nèi)容密切相聯(lián)．具有“集成”的特點，進而，學習本章節(jié)有助于學生從整體上理解和把握數(shù)學的結構，靈活運用數(shù)學的思想和方法，提高分析問題、解決問題的能力．本節(jié)重點難點重點：利用公式求簡單函數(shù)的導數(shù)；難點：利用基本初等函數(shù)的導數(shù)公式求函數(shù)的導數(shù)、解決與曲線的切線有關的問題．教學過程賞析基礎知識積累1.幾個常見函數(shù)的導數(shù)f(x)kx＋bC(C為常數(shù))xx2eq\f(1,x)x3eq\r(x)f′(x)_________________________3x2eq\f(1,2\r(x))【友情提醒注意】常數(shù)的導數(shù)為0.2．基本初等函數(shù)的導數(shù)公式(xα)′＝_________(α為常數(shù))(lnx)′＝________(ax)′＝_________(a＞0，且a≠1)(sinx)′＝________(logax)′＝_________(a＞0，且a≠1)(cosx)′＝________(ex)′＝_________【課前預習思考】(1)函數(shù)f(x)＝ax的導數(shù)與函數(shù)f(x)＝ex的導數(shù)之間有什么關系？(2)函數(shù)f(x)＝logax與f(x)＝lnx的導數(shù)之間有何關系？(3)若f′(x)＝ex，則f(x)＝ex這種說法正確嗎？【課前小題演練】題1．下列求導運算正確的是()A．(cosx)′＝－sinx B．(x3)′＝x3lnxC．(ex)′＝xex－1 D．(lnx)′＝題2．函數(shù)y＝3x在x＝2處的導數(shù)為()A．9B．6C．9ln3D．6ln3題3．已知函數(shù)f(x)＝xα(α∈Q，且α≠0)，若f′(－1)＝－4，則α的值等于()A．4B．－4C．5D．－5題4．若函數(shù)f(x)＝cosx，則f′＋的值為()A．0B．－1C．1D．2題5(多選題)．下列各式中正確的是()A．(x7)′＝7x6 B．(x－1)′＝x－2C． D．(cos2)′＝－sin2題6(多選題)．已知曲線y＝x3在點P處的切線斜率為k，則當k＝3時的P點坐標為()A．(－1,1) B．(－1，－1)C．(1,1) D．(1，－1)題7．若曲線y＝在點P(a，)處的切線與兩坐標軸圍成的三角形的面積為2，則實數(shù)a的值是．題8．設函數(shù)y＝f(x)是一次函數(shù)，若f(1)＝－1，且f′(2)＝－4，則f(x)＝.題9．點P是曲線y＝ex上任意一點，求點P到直線y＝x的最小距離．題10．已知拋物線y＝x2，求過點且與拋物線相切的直線方程．【當堂鞏固訓練】題11．f(x)＝a3(a>0，a≠1)，則f′(2)等于()A．8B．12C．8ln3D．0題12．已知f(x)＝，則f′(8)等于()A．0B．2C.D．－1題13.已知函數(shù)y＝f(x)在x＝1處的切線與直線x＋y－3＝0垂直，則f′(1)等于()A．2B．0C．1D．－1題14．如圖，函數(shù)y＝f(x)的圖象在點P(2，y)處的切線是l，則f(2)＋f′(2)等于()A．－4B．3C．－2D．1題15．下列曲線的所有切線中，存在無數(shù)對互相垂直的切線的曲線是()A．f(x)＝ex B．f(x)＝x3C．f(x)＝lnx D．f(x)＝sinx題16(多選題)．下列選項正確的是()A．y＝ln2，則y′＝B．f(x)＝，則f′(3)＝－C．y＝2x，則y′＝2xln2D．y＝log2x，則y′＝題17（多選題）．已知曲線f(x)＝eq\f(1,x)，則過點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，3))，且與曲線y＝f(x)相切的直線方程可能為()A．y＝－x＋2 B．y＝－9x－6C．y＝－8x－5 D．y＝－7x－4題18.曲線y＝在點M(3,3)處的切線方程是．題19．設f0(x)＝sinx，f1(x)＝f′0(x)，f2(x)＝f′1(x)，…，fn＋1(x)＝f′n(x)，n∈N，則f2021(x)＝.題20.函數(shù)y＝x2(x>0)的圖象在點處的切線與x軸的交點的橫坐標為ak＋1，其中k∈N*，若a1＝16，則a1＋a3＋a5的值是．題21．設曲線y＝xn＋1(n∈N*)在點(1,1)處的切線與x軸的交點的橫坐標為xn，令an＝lgxn，求a1＋a2＋…＋a99的值．題22．求曲線y＝eq\f(1,x)與y＝x2在它們交點處的兩曲線的切線與x軸所圍成的三角形的面積．【課堂跟蹤拔高】題23．已知函數(shù)f(x)=,則f'(3)= ()A. B.0 C. D.題24.已知f(x)=sin(x),則f'(x)= ()A.cosx B.cosx C.sinx D.sinx題25.球的體積V(單位:cm3)與半徑R(單位:cm)的關系為V=πR3,則R=4cm時體積關于半徑的瞬時變化率為 ()A.16πcm2 B.32πcm2 C.64πcm2 D.πcm2題26.設函數(shù)f(x)=logax(a>0,且a≠1),f'(1)=1,則a= ()A.e B.e C. D.題27.已知函數(shù)f(x)=,g(x)=x3,則滿足f'(1)+g'(x)=1的x的值為 ()A. B. C. D.題28.設f(x)=lnx,已知f(x)的圖象上有且只有三個點到直線y=x+a的距離為,則a= ()A.1 B.3 C. D.2題29(多選題).下列曲線的切線中,不存在互相垂直的切線的曲線是 ()A.f(x)=ex B.f(x)=x3C.f(x)=lnx D.f(x)=sinx題30(多選題)．以下運算正確的是()A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))′＝eq\f(1,x2) B．(cosx)′＝－sinxC．(2x)′＝2xln2 D．(lgx)′＝－eq\f(1,xln10)題31.下列結論正確的有.①若f(x)=x4,則f'(2)=32;②若f(x)=,則f'(2)=;③若f(x)=,則f'(1)=;④若f(x)=x5,則f'(1)=5.題32.已知函數(shù)f(x)=xn,數(shù)列{an}的通項公式為an=f'(2),則數(shù)列{an}的前n項和Sn=.題33.求下列函數(shù)的導數(shù):(1)y=sin;(2)y=lgx;(3)y=x·;(4)y=2sincos.題34.求下列曲線在給定點的切線的方程:(1)y=3x5,(2,1); (2)y=x2+1,(1,2);(3)y=,(1,1).編號：034課題:§5.2.1基本初等函數(shù)的導數(shù)教學課時安排1、上課時間：_________________．2、課時安排：_________________．3、上課班級___________________．學科目標要求1、通過實例分析，了解利用定義求函數(shù)的導數(shù)．2、掌握基本初等函數(shù)的導數(shù)公式，并會利用公式求簡單函數(shù)的導數(shù)．3、能利用基本初等函數(shù)的導數(shù)公式求函數(shù)的導數(shù)、解決與曲線的切線有關的問題．學科素養(yǎng)目標通過具體背景與實例的抽象，經(jīng)歷導數(shù)模型的建構和利用導數(shù)解決實際問題的過程，使學生對變量數(shù)學的思想方法（無窮小算法數(shù)學）有新的感悟．進一步發(fā)展學生的數(shù)學思維能力，感受和體會數(shù)學產(chǎn)生和發(fā)展的規(guī)律以及人類智慧和文明的傳承，促進學生全面認識數(shù)學的價值．也為后繼進一步學習微積分等課程打好基礎．導數(shù)與函數(shù)、方程、不等式及解析幾何等相關內(nèi)容密切相聯(lián)．具有“集成”的特點，進而，學習本章節(jié)有助于學生從整體上理解和把握數(shù)學的結構，靈活運用數(shù)學的思想和方法，提高分析問題、解決問題的能力．本節(jié)重點難點重點：利用公式求簡單函數(shù)的導數(shù)；難點：利用基本初等函數(shù)的導數(shù)公式求函數(shù)的導數(shù)、解決與曲線的切線有關的問題．教學過程賞析基礎知識積累1.幾個常見函數(shù)的導數(shù)f(x)kx＋bC(C為常數(shù))xx2eq\f(1,x)x3eq\r(x)f′(x)k012x－eq\f(1,x2)3x2eq\f(1,2\r(x))【友情提醒注意】常數(shù)的導數(shù)為0.2．基本初等函數(shù)的導數(shù)公式(xα)′＝αxα－1(α為常數(shù))(lnx)′＝eq\f(1,x)(ax)′＝ax__ln__a(a＞0，且a≠1)(sinx)′＝cosx(logax)′＝eq\f(1,xlna)(a＞0，且a≠1)(cosx)′＝－sinx(ex)′＝ex【課前預習思考】(1)函數(shù)f(x)＝ax的導數(shù)與函數(shù)f(x)＝ex的導數(shù)之間有什么關系？提示：f(x)＝ex是底數(shù)為e的指數(shù)函數(shù)，是特殊的指數(shù)函數(shù)，所以其導數(shù)f′(x)＝ex也是f′(x)＝axlna當a＝e時的特殊情況．(2)函數(shù)f(x)＝logax與f(x)＝lnx的導數(shù)之間有何關系？提示：f(x)＝lnx是f(x)＝logax的一個特例，f(x)＝lnx的導數(shù)也是f(x)＝logax的導數(shù)的特例．(3)若f′(x)＝ex，則f(x)＝ex這種說法正確嗎？提示：不正確．由導數(shù)定義可知f(x)＝ex＋C(其中C為任意實數(shù))，都有f′(x)＝ex.【課前小題演練】題1．下列求導運算正確的是()A．(cosx)′＝－sinx B．(x3)′＝x3lnxC．(ex)′＝xex－1 D．(lnx)′＝【答案】A題2．函數(shù)y＝3x在x＝2處的導數(shù)為()A．9B．6C．9ln3D．6ln3【答案】C【解析】y′＝(3x)′＝3xln3，故所求導數(shù)為9ln3.題3．已知函數(shù)f(x)＝xα(α∈Q，且α≠0)，若f′(－1)＝－4，則α的值等于()A．4B．－4C．5D．－5【答案】A【解析】∵f′(x)＝αxα－1，f′(－1)＝α(－1)α－1＝－4，∴α＝4.題4．若函數(shù)f(x)＝cosx，則f′＋的值為()A．0B．－1C．1D．2【答案】A【解析】f′(x)＝－sinx，所以f′＋＝0.題5(多選題)．下列各式中正確的是()A．(x7)′＝7x6 B．(x－1)′＝x－2C． D．(cos2)′＝－sin2【答案】AC【解析】∵B項，(x－1)′＝－x－2；D項，(cos2)′＝0.∴BD錯誤．題6(多選題)．已知曲線y＝x3在點P處的切線斜率為k，則當k＝3時的P點坐標為()A．(－1,1) B．(－1，－1)C．(1,1) D．(1，－1)【答案】BC【解析】y′＝3x2，因為k＝3，所以3x2＝3，所以x＝±1，則P點坐標為(－1，－1)或(1,1)．題7．若曲線y＝在點P(a，)處的切線與兩坐標軸圍成的三角形的面積為2，則實數(shù)a的值是．【答案】4【解析】因為y′＝，所以切線方程為y－＝(x－a)，令x＝0，得y＝，令y＝0，得x＝－a，由題意知＝2，所以a＝4.題8．設函數(shù)y＝f(x)是一次函數(shù)，若f(1)＝－1，且f′(2)＝－4，則f(x)＝.【答案】－4x＋3【解析】∵y＝f(x)是一次函數(shù)，∴設f(x)＝ax＋b(a≠0)，則f(1)＝a＋b＝－1，又f′(2)＝a＝－4.∴a＝－4，b＝3，∴f(x)＝－4x＋3.題9．點P是曲線y＝ex上任意一點，求點P到直線y＝x的最小距離．【解析】如圖，當曲線y＝ex在點P(x0，y0)處的切線與直線y＝x平行時，點P到直線y＝x的距離最近．則曲線y＝ex在點P(x0，y0)處的切線斜率為1，其導數(shù)y′＝(ex)′＝ex，所以＝1，得x0＝0，代入y＝ex，得y0＝1，即P(0,1)．利用點到直線的距離公式得最小距離為.題10．已知拋物線y＝x2，求過點且與拋物線相切的直線方程．【解析】設切線的斜率為k，直線與拋物線相切的切點坐標為(x0，y0)，則直線方程為，因為y′＝2x，所以k＝2x0，又點(x0，y0)在切線上，所以，解得x0＝1或x0＝－2，則k＝2或k＝－4，所以直線方程為或，即2x－y－1＝0或4x＋y＋4＝0.【當堂鞏固訓練】題11．f(x)＝a3(a>0，a≠1)，則f′(2)等于()A．8B．12C．8ln3D．0【答案】D【解析】f(x)＝a3(a>0，a≠1)是常數(shù)函數(shù)，所以f′(xf′(2)＝0.題12．已知f(x)＝，則f′(8)等于()A．0B．2C.D．－1【答案】C【解析】f(x)＝，得f′(x)＝，∴f′(8)＝.題13.已知函數(shù)y＝f(x)在x＝1處的切線與直線x＋y－3＝0垂直，則f′(1)等于()A．2B．0C．1D．－1【答案】C【解析】由題可知，函數(shù)y＝f(x)在x＝1處的切線的斜率為f′，直線x＋y－3＝0的斜率為－1，故－f′＝－1得f′＝1，故選C.題14．如圖，函數(shù)y＝f(x)的圖象在點P(2，y)處的切線是l，則f(2)＋f′(2)等于()A．－4B．3C．－2D．1【答案】D【解析】由圖象可得函數(shù)y＝f(x)的圖象在點P處的切線是l，與x軸交于點，與y軸交于點，則l：x＋y＝4，∴f＝2，f′(2)＝－1，f(2)＋f′(2)＝1.題15．下列曲線的所有切線中，存在無數(shù)對互相垂直的切線的曲線是()A．f(x)＝ex B．f(x)＝x3C．f(x)＝lnx D．f(x)＝sinx【答案】D【解析】若直線垂直且斜率存在，則其斜率之積為－1.因為A項中，(ex)′＝ex>0，B項中，(x3)′＝3x2≥0，C項中，x>0，即(lnx)′＝>0，所以不會使切線斜率之積為－1，故選D.題16.(多選題)．下列選項正確的是()A．y＝ln2，則y′＝B．f(x)＝，則f′(3)＝－C．y＝2x，則y′＝2xln2D．y＝log2x，則y′＝【答案】BCD【解析】對于A，y′＝0，故A錯；對于B，∵f′(x)＝－，∴f′(3)＝－，故B正確；顯然C，D正確．題17（多選題）．已知曲線f(x)＝eq\f(1,x)，則過點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，3))，且與曲線y＝f(x)相切的直線方程可能為()A．y＝－x＋2 B．y＝－9x－6C．y＝－8x－5 D．y＝－7x－4【解析】選AB.設過點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，3))的直線與曲線y＝f(x)相切的切點為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x0，\f(1,x0)))，由f(x)＝eq\f(1,x)求導得f′(x)＝－eq\f(1,x2)，于是得切線方程為y－eq\f(1,x0)＝－eq\f(1,xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(0)))(x－x0)，即y＝－eq\f(1,xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(0)))x＋eq\f(2,x0)，則3＝eq\f(1,xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(0)))＋eq\f(2,x0)，解得x0＝1或x0＝－eq\f(1,3)，因此得切線方程為y＝－x＋2或y＝－9x－6，所以所求切線的方程是y＝－x＋2或y＝－9x－6.題18.曲線y＝在點M(3,3)處的切線方程是．【答案】x＋y－6＝0【解析】∵y′＝－，∴k＝－1，∴在點(3,3)處斜率為－1的切線方程為y－3＝－(x－3)，即x＋y－6＝0.題19．設f0(x)＝sinx，f1(x)＝f′0(x)，f2(x)＝f′1(x)，…，fn＋1(x)＝f′n(x)，n∈N，則f2021(x)＝.【答案】cosx【解析】由已知得，f1(x)＝cosx，f2(x)＝－sinx，f3(x)＝－cosx，f4(x)＝sinx，f5(x)＝cosx，…，依次類推可得，函數(shù)呈周期變化，且周期為4，則f2021(x)＝f1(x)＝cosx.題20.函數(shù)y＝x2(x>0)的圖象在點處的切線與x軸的交點的橫坐標為ak＋1，其中k∈N*，若a1＝16，則a1＋a3＋a5的值是．【答案】21【解析】∵y′＝2x，∴y＝x2(x>0)的圖象在點處的切線方程為y－＝2ak(x－ak)．又該切線與x軸的交點坐標為(ak＋1,0)，∴ak＋1＝ak，即數(shù)列{ak}是首項為a1＝16，公比為q＝的等比數(shù)列，∴a3＝4，a5＝1，∴a1＋a3＋a5＝21.題21．設曲線y＝xn＋1(n∈N*)在點(1,1)處的切線與x軸的交點的橫坐標為xn，令an＝lgxn，求a1＋a2＋…＋a99的值．解導函數(shù)y′＝(n＋1)xn，切線斜率k＝n＋1，所以切線方程為y＝(n＋1)x－n，可求得切線與x軸的交點為，則an＝lg＝lgn－lg(n＋1)，所以a1＋a2＋…＋a99＝(lg1－lg2)＋(lg2－lg3)＋…＋(lg99－lg100)＝lg1－lg100＝－2.題22．求曲線y＝eq\f(1,x)與y＝x2在它們交點處的兩曲線的切線與x軸所圍成的三角形的面積．【解析】聯(lián)立兩條曲線方程eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝\f(1,x)，,y＝x2，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝1，))故交點坐標為(1，1).因為k1＝－eq\f(1,x2)eq\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x＝1＝－1，k2＝2x))|x＝1＝2，所以兩條切線的方程分別為x＋y－2＝0，2x－y－1＝0，與x軸所圍成的圖形如圖(陰影部分)所示．因為兩條切線與x軸的交點分別為(2，0)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0)).所以三角形的面積S＝eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(1,2)))×1＝eq\f(3,4).【課堂跟蹤拔高】題23．已知函數(shù)f(x)=,則f'(3)= ()A. B.0 C. D.【解析】選A.f'(x)=?f'(3)==.題24.已知f(x)=sin(x),則f'(x)= ()A.cosx B.cosx C.sinx D.sinx【解析】選D.因為f(x)=sin(x)=cosx,因此,f'(x)=sinx.題25.球的體積V(單位:cm3)與半徑R(單位:cm)的關系為V=πR3,則R=4cm時體積關于半徑的瞬時變化率為 ()A.16πcm2 B.32πcm2 C.64πcm2 D.πcm2【解析】選C.由V=πR3,得V'=4πR2,所以R=4cm時體積關于半徑的瞬時變化率為V'=4π×42=64π(cm2).題26.設函數(shù)f(x)=logax(a>0,且a≠1),f'(1)=1,則a= ()A.e B.e C. D.【解析】選C.因為f'(x)=,所以f'(1)=.所以lna=1,即a=.題27.已知函數(shù)f(x)=,g(x)=x3,則滿足f'(1)+g'(x)=1的x的值為 ()A. B. C. D.【解析】選B.因為f'(x)=()'=()'=,所以f'(1)=,又g'(x)=3x2,f'(1)+g'(x)=1,所以+3x2=1,解得x=±,又x>0,故x=.題28.設f(x)=lnx,已知f(x)的圖象上有且只有三個點到直線y=x+a的距離為,則a= ()A.1 B.3 C. D.2【解析】選B.依題意,直線y=x+a與f(x)=lnx的圖象相交,設平行于直線y=x+a的直線與f(x)=lnx的圖象相切的切點為P(x0,lnx0),由f(x)=lnx求導得,f'(x)=,則有f'(x0)==1,解得x0=1,即P(1,0),切線方程為y=x1,由=,解得a=3或a=1,當a=1時,直線y=x+1在切線y=x1的左側,與f(x)=lnx的圖象無公共點,當a=3時,直線y=x3與f(x)=lnx的圖象相交,所以a=3.題29(多選題).下列曲線的切線中,不存在互相垂直的切線的曲線是 ()A.f(x)=ex B.f(x)=x3C.f(x)=lnx D.f(x)=sinx【解析】選ABC.若存在互相垂直的切線,則其斜率之積為1,或一條切線的斜率不存在,另一條切線的斜率為0.A中,f'(x)=ex>0,B中f'(x)=3x2≥0,C中f'(x)=(x>0),故A,B,CD中f'(x)=cosx,其可正可負,一定存在使cosx1·cosx2=1的情形.題30(多選題)．以下運算正確的是()A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co