平面向量基本定理及坐標(biāo)表示講義（14種題型） 高一下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）必修第二冊(cè)

.3平面向量基本定理及坐標(biāo)表示1、平面向量基本定理：如果，是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向量，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)，，使。若，不共線，我們把{，}叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一個(gè)基底。2、正交分解：把一個(gè)向量分解為兩個(gè)互相垂直的向量，叫做把向量正交分解。3、平面向量的坐標(biāo)表示：在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)與軸、軸方向相同的兩個(gè)單位向量分別為，，取{，}作為基底。對(duì)于平面內(nèi)的任意一個(gè)向量，由平面向量基本定理可知，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)，，使得。這樣，平面內(nèi)的任一向量都可由，唯一確定，我們把有序數(shù)對(duì)（，）叫做向量的坐標(biāo)，記作（，）。①其中，叫做在軸上的坐標(biāo)，叫做在軸上的坐標(biāo)。①叫做向量的坐標(biāo)表示。顯然，=（，），=（，），=（，）。4、要點(diǎn)詮釋：①向量（，）中間用等號(hào)連接，的坐標(biāo)（，）既表示向量的大小，也表示向量的方向。而點(diǎn)（，）中間沒(méi)有等號(hào)，點(diǎn)（，）的坐標(biāo)（，）表示點(diǎn)在平面直角坐標(biāo)系中的位置。②當(dāng)平面向量的起點(diǎn)在原點(diǎn)時(shí)，平面向量的坐標(biāo)與向量終點(diǎn)的坐標(biāo)相同。③由向量的坐標(biāo)定義知，兩向量相等的充要條件是它們的坐標(biāo)相等，即且，其中，。④要把點(diǎn)的坐標(biāo)與向量坐標(biāo)區(qū)別開(kāi)來(lái)。相等的向量的坐標(biāo)是相同的，但始點(diǎn)、終點(diǎn)的坐標(biāo)可以不同。比如，若（，），（，），則（，）；若（，），（，），則（，），，顯然、、、四點(diǎn)坐標(biāo)各不相同。⑤（，）既可以表示點(diǎn)，也可以表示向量，敘述時(shí)應(yīng)指明點(diǎn)（，）或向量（，）。5、求向量的坐標(biāo)：已知點(diǎn)，，那么向量，即任意一個(gè)向量的坐標(biāo)等于表示此向量的有向線段的終點(diǎn)的坐標(biāo)減去起點(diǎn)的坐標(biāo)。6、平面向量坐標(biāo)的加法、減法和數(shù)乘運(yùn)算：已知，。兩個(gè)向量和（差）的坐標(biāo)等于這兩個(gè)向量對(duì)應(yīng)坐標(biāo)的和（差）。、。實(shí)數(shù)與向量的積的坐標(biāo)等于用這個(gè)實(shí)數(shù)乘原來(lái)向量的相應(yīng)坐標(biāo)。。7、平面向量平行（共線）的坐標(biāo)表示：向量，（）共線的充要條件是。8、三點(diǎn)共線的判斷方法：，若，則，，三點(diǎn)共線。9、平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示：已知，，。兩個(gè)向量的數(shù)量積等于它們對(duì)應(yīng)坐標(biāo)的乘積的和。。、。。。。10、定比分點(diǎn)的坐標(biāo)表示：若我們?cè)O(shè)，是直線上兩點(diǎn)，而點(diǎn)是上不同于，的任意一點(diǎn)，則存在一個(gè)實(shí)數(shù)，使得，叫作點(diǎn)分線段所成的比，點(diǎn)叫作線段以定比為的定比分點(diǎn)。設(shè)點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，若（，），（，），（，），，則，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為。重心坐標(biāo)公式：在△中，，，，則△的重心的坐標(biāo)為。【題型1】判斷兩個(gè)向量能否作為基底1．下列各組向量中，可以作為基底的是（）A．e1→=(0，0)B．e1→=(2，-4)C．e1→=(1，-2)D．e1→【解答】解：對(duì)于A，e1=0對(duì)于B，∵e1=12e2→對(duì)于C，e1→與e2對(duì)于D，∵e1=-12e2，∴故選：C．2．在下列各組向量中，可以作為基底的是（）A．e1→=(0，0)B．e1→=(-1，2)C．e1→=(3，5)D．e1→【解答】解：由題意知，A選項(xiàng)中e1→=0→故選：B．3．設(shè)e1→，A．e1→+B．4e1→C．2e1→D．e1→【解答】解：根據(jù)平面向量基底的選取要求，為不共線的非零向量，而C選項(xiàng)：2e1→+故選：C．4．已知e→1、A．e→1+B．2e→1C．e→1-2D．e→1【解答】解：∵不共線的向量可以作為基底，∴不能作為基底的便是共線向量，顯然B，∵2e1→-e2∴2e1→-e2故選：B．5．已知e1→，A．a(chǎn)→=0B．a(chǎn)→=3eC．a(chǎn)→=eD．a(chǎn)→=【解答】解：對(duì)于A：零向量與任意向量均共線，所以此兩個(gè)向量不可以作為基底，故A錯(cuò)誤，對(duì)于B：因?yàn)閍→=3e1→-3e對(duì)于C：設(shè)a→=λb→，即e1對(duì)于D：設(shè)a→=e1→故選：C．【題型2】用基底表示向量1．平行四邊形ABCD中，點(diǎn)M在邊AB上，AM＝3MB，記CA→=aA．43a→-73b→ 【解答】解：AD→=CD→-故選：D．2．如圖所示，向量OA→=a→，OB→=b→，OC→A．c→=-13a→+43【解答】解：因?yàn)锳B→所以O(shè)C→所以O(shè)C→故選：B．3．如圖，在四邊形ABCD中，DC→=2AB→，BE→=2ECA．56a→+12b→ 【解答】解：因?yàn)镈C→=a→，DA所以DB→DE→=2故選：C．4．如圖，在平行四邊形ABCD中，E是CD的中點(diǎn)，AE和BD相交于點(diǎn)F．記AB→=aA．CF→=-23C．CF→=-1【解答】解：因?yàn)锽，D，F(xiàn)三點(diǎn)共線，則設(shè)CF→因?yàn)锳，E，F(xiàn)三點(diǎn)共線，則設(shè)CF→由平面向量基本定理得：-λ=μ2-1所以CF→故選：A．5．已知△ABC為等邊三角形，分別以CA，CB為邊作正六邊形，如圖所示，則（）A．EF→=92C．EF→=5AD【解答】解：由題可得：EF→=EBGH→設(shè)EF→=λAD因?yàn)锳B→，AC→不共線，所以所以EF→故選：A．【題型3】利用平面向量基本定理求參數(shù)1．在△ABC中，點(diǎn)D是線段AC上一點(diǎn)，點(diǎn)P是線段BD上一點(diǎn)，且CD→=DA→，AP→A．16 B．13 C．23【解答】解：∵CD→=DA→，∴又∵B、P、D三點(diǎn)共線，∴λ+13=1故選：C．2．在△ABC中，點(diǎn)M是邊AC上靠近點(diǎn)A的三等分點(diǎn)，點(diǎn)N是BC的中點(diǎn)，若MN→=xAB→+yA．1 B．23 C．-2【解答】解：因?yàn)镸是邊AC上靠近點(diǎn)A的三等分點(diǎn)，點(diǎn)N是BC的中點(diǎn)，所以MN→因?yàn)镸N→=xAB所以x+y=1故選：B．3．如圖，四邊形ABCD為平行四邊形，AE→=12AB→，DF→A．12 B．23 C．-【解答】解：由題意可知，AE→=1所以DE→又DE→=12AB→-4．已知平面四邊形ABCD滿足AD→=13BC→，平面內(nèi)點(diǎn)E滿足BE→=52CEA．52 B．-52 C．4【解答】解：∵BE→=52又∵AD→=1由題意可知，AD∥BC，∴△ADM∽△ECM，∴AM→∴BM→∴32又∵CE→=2AD→，∴3即x=-23，y=5故選：B．5．在△ABC中，點(diǎn)D滿足BD→=34BC→，點(diǎn)E是線段AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若AE→=λAB→A．31010 B．824 C．9【解答】解：如圖，E在線段AD上，所以存在實(shí)數(shù)k使得AE→BD→∴AE→∴λ=k∴t=(k∴k=25時(shí)，t取最小值故選：C．【題型4】平面向量坐標(biāo)的加法、減法和數(shù)乘運(yùn)算1．已知平面向量a→=(1，-1)，b→A．（0，1） B．（﹣2，3） C．（2，﹣3） D．1【解答】解：a→故選：A．2．已知向量a→=(1，1)，b→A．（3，0） B．（3，1） C．（5，0） D．（5，1）【解答】解：因?yàn)閍→=(1，1)，b→故選：D．3．已知向量a→=(-2，1)，bA．（﹣1，6） B．（1，6） C．（﹣1，﹣2） D．（1，﹣2）【解答】解：因?yàn)閍→=(-2，1)，b故選：A．4．已知a→=(5，-2)，b→=(-4，-3)，若A．(-133，-4C．(133，【解答】解：∵a→∴c→故選：A．5．已知向量a→=(2，-3)，b→=(1，2)，c→=(9，4)，若A．5 B．6 C．7 D．8【解答】解：a→=(2，-3)，b→=(1，2)，則（9，4）＝（2m，﹣3m）+（n，2n），即2m+n=9-3m+2n=4，解得m＝2，n故m+n＝7．故選：C．【題型5】向量坐標(biāo)和點(diǎn)坐標(biāo)1．已知點(diǎn)A（1，﹣1），B（﹣1，2），則向量AB→A．（0，1） B．（﹣2，3） C．（2，﹣3） D．（﹣2，1）【解答】解：向量AB→故選：B．2．已知AB→=(1，3)，A（﹣1，4），則點(diǎn)A．（﹣2，1） B．（7，0） C．（2，﹣1） D．（0，7）【解答】解：∵AB→=(1，3)=(xB+1，yB-4)，∴xB+1＝1，y∴點(diǎn)B的坐標(biāo)是（0，7）．故選：D．3．設(shè)AB→=(2，3)，BC→A．（3，﹣1） B．（3，1） C．（3，﹣7） D．（1，7）【解答】解：AB→=(2，3)，則AC→故選：A．4．若向量OB→=(3，2)，AB→A．（﹣8，0） B．（﹣2，4） C．（2，﹣4） D．（8，0）【解答】解：∵OB→∴OA→=OB故選：D．5．已知向量AB→=(1，3)，BCA．（5，16） B．（7，﹣16） C．（7，16） D．（5，12）【解答】解：因?yàn)锳B→所以2AC＝2AB→+3BC＝（7，16）．故選：C．【題型6】向量平行（共線）的坐標(biāo)表示1．已知向量a→=(2，1)，b→=(m，2)．若A．0 B．2 C．4 D．6【解答】解：因?yàn)橄蛄縜→=(2，1)，b→=(m，2)且故選：C．2．已知向量a→=(2，1)，b→=(x，-2)A．（﹣2，﹣1） B．（2，1） C．（3，﹣1） D．（﹣3，1）【解答】解：∵a→=(2，1)，b∴2×（﹣2）﹣x＝0，解得x＝﹣4，故b→=(-4，-2)，故選：A．3．已知平面向量a→=（﹣1，2），b→=(3，-2)，c→=（t，t），若（A．52 B．-45 C．-【解答】解：由a→=（﹣1，2），b→=(3，-2)，c→可得a→又（a→+c則有3（t+2）+2（t﹣1）＝0，解得t=-4故選：B．4．已知向量a→=（﹣3，m），b→=（1，﹣2），若b→A．﹣6 B．﹣4 C．0 D．6【解答】解：因?yàn)閍→=（﹣3，m），所以a→因?yàn)閎→∥（所以m+2﹣（﹣2）×（﹣4）＝0，解得m＝6．故選：D．5．向量a→=(1，2)，b→=(2+m，3-m)，c→A．2 B．﹣2 C．23 D．【解答】解：a→=(1，2)，則c→-b故選：C．【題型7】三點(diǎn)共線1．已知向量AC→=（3，m），AD→=（2，m﹣2），若A，C，A．65 B．2 C．6 D．2±【解答】解：∵A，C，D三點(diǎn)共線，∴AC→∴3（m﹣2）﹣2m＝0，解得m＝6．故選：C．2．已知向量AB→=(7，6)，BC→=(-3，m)，AD→=(-1，2m)，若A，A．32 B．23 C．-3【解答】解：AC→=AB→+∵A，C，D三點(diǎn)共線，∴4×2m﹣（﹣1）（6+m）＝0，解得m=-2故選：D．3．已知點(diǎn)A（1，3），B（m﹣5，1），C（3，m+1），若A，B，C三點(diǎn)共線，則AB→A．（﹣2，2） B．（2，﹣2） C．（2，2） D．（﹣2，﹣2）【解答】解：A（1，3），B（m﹣5，1），C（3，m+1），則AB→=（m﹣6，﹣2），AC→∵AB→與AC→共線，∴（m﹣6）（m﹣2）＝﹣4，即m2﹣8m+16＝0，解得∴AB→=(-2，-2)．故選：4．在平面直角坐標(biāo)系中，向量PA→=(1，4)，PB→=(2，3)，PC→=(x，1)，若A，A．2 B．3 C．4 D．5【解答】解：向量PA→=(1，4)，PB→=(2，3)，PC→=(x，1)，若A，B，∵AB→=PB→-PA→=（1，﹣1），故選：C．5．已知向量OA→=（﹣3，1），OB→=（1，﹣2），OC→=（x﹣6，x+5），若點(diǎn)A，A．﹣2 B．﹣2 C．﹣1 D．2【解答】解：由題意可得AB→=（4，﹣3），BC→=（若點(diǎn)A，B，C三點(diǎn)共線，則4（x+7）+3（x﹣7）＝0，解得x＝﹣1，∴x的值不可以為﹣1，故選：C．【題型8】已知向量坐標(biāo)求數(shù)量積1．已知向量a→=(-2，x)，b→=(3，6)，若a→A．﹣30 B．﹣18 C．30 D．18【解答】解：若a→與b→共線，則3x＝﹣12，解得x＝﹣4，∴∴a→故選：A．2．已知a→+b→=(2，-8)A．﹣144 B．﹣56 C．33 D．﹣63【解答】解：∵a→-∴a→=（﹣3，4），∴a→故選：D．3．已知向量a→=(2，1)，b→A．﹣5 B．﹣3 C．3 D．5【解答】解：∵a→=(2，1)，b→則a→故選：B．4．已知向量a→=（3，2），b→=（﹣1，k），a→A．﹣16 B．﹣8 C．8 D．16【解答】解：∵向量a→=（3，2），b→∴a→-b∴a→?（a→-解得k＝8．故選：C．5．已知向量a→=（﹣2，6），b→=（1，x），若a→與bA．﹣30 B．30 C．﹣100 D．100【解答】解：向量a→=（﹣2，6），b→=（1，x），可得x＝﹣3，所以a→?（3a故選：D．【題型9】向量模的坐標(biāo)運(yùn)算1．已知a→，b→為共線向量，且a→=(2，x)(x∈R)，A．210 B．310 C．40 【解答】解：∵a→，b→共線，∴6﹣x＝0，解得∴|a故選：A．2．已知向量a→=(-4，3)，b→A．29 B．﹣29 C．24 D．﹣24【解答】解：向量a→=(-4，3)，∴a→故選：D．3．已知向量a→，b→滿足A．10 B．5 C．3 D．4【解答】解：因?yàn)閍→所以a→所以|a故選：A．4．已知向量a→=（﹣1，1），b→=（2，x），若a→A．32 B．3 C．22【解答】解：∵a→∥b∴﹣x﹣2＝0，解得x＝﹣2，∴b→=（2，﹣2），又∵∴a→∴|a→-b→|故選：A．5．已知平面向量a→=(3，1)，bA．210 B．40 C．4 D．【解答】解：∵a→∴|a→|=3+1=2，|b→|=1+3∴|a→+3b→|=故選：A．【題型10】向量的垂直問(wèn)題1．已知向量a→=(2，t)，b→=(1，2)，若t＝t1時(shí)，a→∥b→；A．t1＝﹣4，t2＝﹣1 B．t1＝﹣4，t2＝1 C．t1＝4，t2＝﹣1 D．t1＝4，t2＝1【解答】解：向量a→若t＝t1時(shí)，a→∥b∴t1＝4；t＝t2時(shí)，a→⊥b→故選：C．2．已知向量a→=(3，0)，b→A．-23 B．23 C．-3【解答】解：向量a→=(3則a→-2b→=（又a→則a→?（a→-即3（3-2x解得x=3所以a→?b故選：D．3．已知向量a→=(4，-2)，b→=(x-1，2)，若A．32 B．25 C．3【解答】解：因?yàn)閍→=(4，-2)，b→所以a→所以x＝2，所以b→=(1，2)，a→故選：D．4．已知a→=(2，-1)，b→=(x+1，4)A．5 B．25 C．10 D．【解答】解：因?yàn)閍→=(2，-1)，b所以a→?b所以x＝1，b→=（2，4），2a→+故選：D．5．已知向量a→=（x，1），b→=（2，y），c→=（1，﹣2），且a→∥cA．3 B．10 C．11 D．2【解答】解：∵a→∥c→，b→∴2a→-故選：B．【題型11】向量的夾角問(wèn)題1．已知向量a→=（3，2），b→（Ⅰ）當(dāng)（a→+2b→）⊥（2a→-（Ⅱ）當(dāng)c→=（﹣8，﹣1），a→∥（b→+c→【解答】解：（Ⅰ）∵（a→+2b→）⊥（2a→-b→）?a→+2b→=（3+2x，0），2a→-b→=（6﹣x∴|a→+b（Ⅱ）∵b→+c→=（x∴3×（﹣2）﹣2（x﹣8）＝0，解得x＝5，b→∴cosα=a∴α=π2．已知a→=(1，2)，b→（1）求向量a→與a（2）若(a→+2【解答】解：（1）∵a→=(1，2)，b→設(shè)向量a→與a→+2b→∴向量a→與a→+2（2）∵a→+2b又(a→+2b→)∥(b3．已知向量a→=(1，2)，b→=(3，x)，c→（1）求b→與c（2）若m→=2a→-b→【解答】解：（1）由a→∥b→，得由a→⊥c→，得1×2+2y＝0，解得y＝﹣1，∴（2）因?yàn)閙→=2a∴m→?n→=-1×3-2×1=-5∴cos＜m→，n→＞=m→?4．已知點(diǎn)A（m，2），B（1，1），C（2，4）．（1）若|CA→+CB（2）若CA→與CB→夾角的余弦值為55【解答】解：（1）CA→=(m-2，-2)，CB∴|CA→+CB→（2）根據(jù)題意，cos＜CA化簡(jiǎn)得，m2+8m﹣48＝0，解得m＝4或m＝﹣12．5．已知向量x→=ka→-3b→和y→=（1）當(dāng)k為何值時(shí)，有x→、y（2）若向量x→與y→的夾角為鈍角，求實(shí)數(shù)【解答】解：（1）a→=(-1，3)，所以：x→=ka→-3b→=（﹣y→由于x→所以5×（﹣k﹣12）﹣3×（3k﹣6）＝0，解得k＝﹣3．（2）向量x→與y→的夾角為鈍角所以x→?y→＜0由于x→和y即當(dāng)k＝﹣3時(shí)，x→故實(shí)數(shù)k的取值范圍(-∞，-3)∪(-3，11【題型12】向量與三角函數(shù)結(jié)合1．已知向量a→=（sinθ，cosθ﹣2sinθ），（1）若a→∥b（2）若|a→-b→|＝|【解答】解：（1）∵a→∥b→，∴3sinθ﹣（cosθ﹣2sinθ）＝0，化為5sin∴tanθ=1（2）∵|a→-b→|＝|∴a→?b→=sinθ+3（cosθ﹣2sinθ又sin2θ+cos2θ＝1，聯(lián)立解得sin2θ=9∴cos2θ＝1﹣2sin2θ＝1﹣2×92．已知a→=（1，2sinθ），b→=（sin（θ+（1）若a→⊥b→，求tan（2）若a→∥b→【解答】解：（1）依題意得：a→?b展開(kāi)可得sinθcosπ化簡(jiǎn)可得52解得tanθ=-3（2）由a→∥b→可得2sin展開(kāi)得2sinθ(sinθcosπ即2sin即1-cos2θ+3sin2θ=2sin（2θ所以sin（2θ-π6）3．已知向量a→=(sinα，cosα-sinα)，（1）若a→∥b（2）若|a→+【解答】解：（1）∵a→=(sinα，cosα-sinα)，由a→∥b→，得2sinα＝cosα﹣sinα，∴3sin∵cosα≠0，∴tanα=1（2）由|a→+即a→2+即sinα+2（cosα﹣sinα）＝0，得tanα＝2，∴cos2α=1-tanα4．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知向量a→=（1，-3），b→=（sinx，cosx），（Ⅰ）若a→⊥b→，求tan2（Ⅱ）若a→與b→的夾角為2π3【解答】解：（Ⅰ）∵a→⊥b→，∴∴tanx=3，∴x=π3（Ⅱ）∵a→與b→的夾角為∴cos2π∴sinx=3∴(3cosx-1)∴cosx≠0，cosx=3∴x=π5．已知a→=(cosα，sinα)，b→=(cosβ，sinβ)，其中0＜α＜（1）求向量a→+b（2）若ka→+b→與a【解答】解：（1）由已知得：|a則：(a因此：(a→+b→（2）ka→+∵|ka→+∴（kcosα+cosβ）2+（ksinα+sinβ）2＝（cosα﹣kcosβ）2+（sinα﹣ksinβ）2，∴k2cos2α+cos2β+2kcosαcosβ+k2sin2α+sin2β+2ksinαsinβ＝cos2α+k2cos2β﹣2kcosαcosβ+sin2α+k2sin2β﹣2ksinαsinβ，整理得，2kcos（α﹣β）＝﹣2kcos（α﹣β），且k≠0，∴cos（α﹣β）＝0，∵0＜α＜β＜π，∴﹣π＜α﹣β＜0，∴α-β=-π2，∴【題型13】定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式及應(yīng)用一．選擇題（共1小題）1．已知A（﹣1，2），B（3，0），點(diǎn)P在直線AB上，且|AP→|=2|A．(53，23C．（2，1）或（7，﹣2） D．（7，2）【解答】解：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），因?yàn)锳（﹣1，2），B（3，0），則AP→=(x+1．y-2)，由|AP→|=2|PB→得AP→=2PB所以x+1=2(3-x)y-2=2(-y)或x+1=-2(3-x)解得x=53y=所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為(5故選：A．2．已知M（﹣2，5），N（10，﹣1），點(diǎn)P是線段MN的一個(gè)三等分點(diǎn)且靠近點(diǎn)M，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，3）．【解答】解：∵M(jìn)（﹣2，5），N（10，﹣1），點(diǎn)P是線段MN的一個(gè)三等分點(diǎn)且靠近點(diǎn)M，∴點(diǎn)P分有向線段MN成的比為12，設(shè)P（x，y則x=-2+12×10則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，3），3．已知在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P1（0，1），P2（2，5），當(dāng)P是線段P1P2靠近P1的一個(gè)四等分點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（12，2）【解答】解：設(shè)P的坐標(biāo)為（x，y），∵點(diǎn)P1（0，1），P2（2，5），P是線段P1P2靠近P1的一個(gè)四等分點(diǎn)，∴P1P→∴（x，y﹣1）＝（12∴x=12y-1=1∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（124．已知A（2，3），B（4，﹣3），點(diǎn)P在線段AB的延長(zhǎng)線上，且|AP→|=43【解答】解：∵點(diǎn)P在線段AB的延長(zhǎng)線上，且|AP→|=設(shè)P（x，y），且A（2，3），B（4，﹣3），∴（x﹣2，y﹣3）=43（x﹣4，∴x-2=43(x-4)y-3=45．已知點(diǎn)O（0，0），向量OA→=(1，3)，OB→=(7，-3)，點(diǎn)P是線段AB的三等分點(diǎn)，則點(diǎn)【解答】解：點(diǎn)O（0，0），向量OA→=(1，3)，OB→=(7，-3)，點(diǎn)設(shè)P（a，b），則PA→BP→∵PA→=（1﹣a，3﹣b），BP→=（∴（a﹣7，b+3）＝2（1﹣a，3﹣b）或（1﹣a，3﹣b）＝2（a﹣7，b+3），解得a=3b=1或a=5b=-1，則點(diǎn)P【題型14】數(shù)量積的坐標(biāo)表示在平面幾何中的應(yīng)用1．已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，點(diǎn)P滿足AP→=12【解答】解：建立坐標(biāo)系如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，則B（2，0），C（2，2），D（0，2），點(diǎn)P滿足AP→所以P（2，1），PB→=（0，﹣1），所以PB→2．如圖，在矩形ABCD中，AB＝3BC＝4，點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，若DF→=2FC→【解答】解：以A為原點(diǎn)，AB為x軸，AD為y軸，建立如圖所示直角坐標(biāo)系，∵AB＝3BC＝4，點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，DF→∴A（0，0），B（3，0），C（3，4），D（0，4），E（3，2），F(xiàn)（2，4），∴AE→=(3，2)，AF→3．已知在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝2，E為BC的中點(diǎn)，F(xiàn)C→=2DF→【解答】解：如圖：由題意可知A（0，0），B（3，0），C（3，2），D（0，2），E（3，1），F(xiàn)（1，2），可得AE→+AF→=所以(AE故答案為：﹣5．4．在直角三角形ABC中，∠A＝90°，AB＝2，AC＝4，P在△ABC斜邊BC的中線AD上，則AP→?（PBA．258 B．52 C．254【解答】解：以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，以AB，AC方向分別為x軸，y軸正方向建立平面直角坐標(biāo)系，則B（2，0），C（0，4），D（1，2）設(shè)P（x，2x），所以PB→=（2﹣x，﹣2x），PC→=（﹣x，4﹣2x），AP→AP→?（PB→+PC→）＝﹣10x2+10x．故最大值為52故選：B．5．在平行四邊形ABCD中，AB＝2，∠ABC＝60°，AC，BD相交于點(diǎn)O，E為線段AC上的動(dòng)點(diǎn)，若AB→?BO→=-72，則【解答】解：平行四邊形ABCD中，AB＝2，∠ABC＝60°，AC，BD相交于點(diǎn)O，AB→可得AB→?1解得|BC|＝3，建立如圖所示的坐標(biāo)系，則C（0，0），A（﹣2，3），B（﹣3，0），D（1，3），AC的方程為：y=-3設(shè)E（m，-32m），m∈[﹣2，0]，BE→=（m+3，-32BE→?DE當(dāng)堂檢測(cè)一．選擇題（共12小題）1．已知點(diǎn)A（0，1），B（3，2），向量AC→=（﹣4，﹣3），則向量A．（﹣7，﹣4） B．（7，4） C．（﹣1，4） D．（1，4）【解答】解：由已知點(diǎn)A（0，1），B（3，2），得到AB→=（3，1），向量則向量BC→故選：A．2．已知向量a→=（1，m），b→=（3，﹣2），且（a→A．﹣8 B．﹣6 C．6 D．8【解答】解：∵向量a→=（1，m），∴a→+b又∵（a→+b→）⊥解得：m＝8，故選：D．3．已知向量a→，b→滿足a→+b→=（2，3），a→-A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1【解答】解：∵a→+b∴a→=(0，2)，∴|a→|2﹣|b→|故選：B．4．已知AB→=（2，3），AC→=（3，t），|BC→A．﹣3 B．﹣2 C．2 D．3【解答】解：∵AB→=（2，3），AC→∴BC→=AC∵|BC→∴t﹣3＝0即BC→則AB→?BC故選：C．5．已知向量a→=（2，1），b→A．2 B．3 C．4 D．5【解答】解：a→故=4故選：D．6．已知向量a→=（2，3），b→A．2 B．2 C．52 D．50【解答】解：∵a→=（2，3），∴a→∴|a→-b故選：A．7．已知向量a→=（3，1），b→=（2，2），則cos?A．117 B．1717 C．55【解答】解：根據(jù)題意，向量a→=（3，1），則a→+b則有|a→+b→|=25+9=34，|a故cos?a→+b→，故選：B．8．設(shè)向量a→=(2，x+1)，b→=(x-2，-1)，若A．5 B．2 C．1 D．0【解答】解：∵向量a→=(2，x+1)，b→∴a→?b→=0，可得2（x故選：A．9．在△ABC中，點(diǎn)D在邊AB上，BD＝2DA．記CA→=m→，A．3m→-2n→ B．﹣2m→+3n→ C．3m→+【解答】解：如圖，CD→∴12CB→故選：B．10．已知向量a→=（3，4），b→=（1，0），c→=a→+tbA．﹣6 B．﹣5 C．5 D．6【解答】解：∵向量a→=（3，4），b→=（1，0），∴c→=（3+∵＜a→，c→＞=＜b→，解得實(shí)數(shù)t＝5．故選：C．11．已知向量a→=（1，1），b→=（1，﹣1）．若（a→+λA．λ+μ＝1 B．λ+μ＝﹣1 C．λμ＝1 D．λμ＝﹣1【解答】解：∵a→=（1，1），b→=（1，﹣1），∴a→+λb→=（λ+1，1﹣λ），由（a→+λb→）⊥（a→+μb→），得（λ+1）（μ+1）+（1﹣λ）（1﹣故選：D．12．已知向量a→=(3，4)，b→=(4，m)，且A．3 B．4 C．5 D．6【解答】解：∵|a→+b→|=|a→-b→|，∴a→∵a→=(3，4)，b→=(4，m)，∴12+4m＝0，m＝﹣3，∴故選：C．二．多選題（共6小題）（多選）13．已知非零向量a→A．若a→∥bB．與向量a→共線的單位向量是aC．“a→?b→＞0”是“D．若a→，b【解答】解：A選項(xiàng)，非零向量a→，b→，c→，由a→∥b→，b→∥c→，得存在非零實(shí)數(shù)λ，μB選項(xiàng)，與a→共線的單位向量是±a→C選項(xiàng)，當(dāng)a→與b→同向共線時(shí)，滿足a→?b→＞D選項(xiàng)，a→，b→是平面的一組基底，則則存在實(shí)數(shù)t，使得a→+b→=t(a→因此向量a→+b故選：AD．（多選）14．已知D是△ABC的邊BC上的一點(diǎn)（不包含頂點(diǎn)），且AD→A．x+y＝1 B．x+2y＝1 C．x+y≥2 D．log2x【解答】解：D是△ABC的邊BC上的一點(diǎn)（不包含頂點(diǎn)），則有BD→得AD→-AB又AD→=xAB→+y可得x+y＝1，0＜x＜1，0＜y＜1，2xy≤x+y=1，所以A正確，B錯(cuò)誤；(x+y)2=x+y+2xylog2x+lo故選：AD．（多選）15．如圖所示，四邊形ABCD為等腰梯形，CD∥AB，CD=12AB，E，F(xiàn)分別為DC，AEA．λ=72 B．μ＝2 C．λ=74【解答】解：∵CD∥AB，CD=12AB=2且E∴ED→∴AD→∵F為AE的中點(diǎn)，∴AE→∴AD→由平面向量基本定理得：λ=74，故選：BC．（多選）16．已知向量a→=(1，x)，A．當(dāng)x＝2時(shí)，a→∥b→ B．a(chǎn)C．當(dāng)x＝0時(shí)，?a→，b→?=【解答】解：a→=(1，x)，b→=(x，4)，當(dāng)x＝2時(shí)，b→=(2，4)=2(1，2)=2aa→+b→=(x+1，x+4)，a→?(a→+其最小值為4×1×1-254=-21當(dāng)x＝0時(shí)，a→=(1，0)，b→=(0，4)，則a當(dāng)|a→|=2時(shí)，x2+1=2，解得x故選：AC．（多選）17．某公園準(zhǔn)備在一處空地上建一個(gè)等腰梯形花壇，如圖，現(xiàn)將此花壇分為16塊大小相等的等腰直角三角形，則（）A．BH→=2BK→C．LK→-OD【解答】解：建立以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，KG、IC所在直線為x軸，y軸的平面直角坐標(biāo)系，則O（0，0），A（﹣2，﹣1），B（﹣1，﹣1），C（0，﹣1），D（1，﹣1），E（2，﹣1），F(xiàn)（3，﹣1），G（2，0），H（1，1），K（﹣2，0），L（﹣3，﹣1），N（1，0），J（﹣1，1），對(duì)于選項(xiàng)A，BH→=(2，2)，2BA→=(-2，0)對(duì)于選項(xiàng)B，OJ→+OC對(duì)于選項(xiàng)C，LK→-OD→+對(duì)于選項(xiàng)D，DE→?DB→=(1，0)?(-2，0)=1×(-2)+0×0=-2，OB故選：BD．（多選）18．如圖，正方形ABCD中，E為AB中點(diǎn)，M為線段AD上的動(dòng)點(diǎn)BM→=λA．當(dāng)M為線段AD上的中點(diǎn)時(shí)，λ+μ=3B．λμ的最大值為12C．μ的取值范圍為[0，1] D．λ+μ的取值范圍為[【解答】解：根據(jù)題意建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示：設(shè)BC＝2，所以B（0，0），E（0，1），D（2，2），設(shè)M（t，2），則0≤t≤2，由于BM→=λBE→+μBD→，所以（t，2）＝λ（0，1）+μ（2，2），整理得2μ＝t，λ+2μ＝2，則對(duì)于A：當(dāng)M為AD上的中點(diǎn)時(shí)，則t＝1，故λ+μ＝2-12=對(duì)于B：λμ=(2-t)?t2=t-12t2，由于0≤t≤2，當(dāng)t對(duì)于C：由于μ=t2，0≤t≤2，所以0≤μ≤1，故μ的取值范圍為[0，1]，故對(duì)于D：λ+μ=2-t2，0≤t≤2，故λ+μ的取值范圍為[1，2]，故故選：ABC．三．填空題（共6小題）19．已知向量a→=（2，2），b→=（﹣8，6），則cos＜a→【解答】解：a→|a→|=22|b→|=cos＜a→，20．設(shè)向量a→=（1，﹣1），b→=（m+1，2m﹣4），若a→⊥b【解答】解：向量a→=（1，﹣1），b→=（m+1，2m﹣4），若則a→?b→=m+1﹣（2m則m＝5，21．已知向量a→=（3，1），b→=（1，0），c→=a→+kb→．若【解答】解：因?yàn)橄蛄縜→=（3，1），b→=（1，0），由a→⊥c→，則a→?(a→+kb→解得k=-1022．已知向量a→=（1，2），b→=（2，﹣2），c→=（1，λ）．若c→∥（2a【解答】解：∵向量a→=（1，2），∴2a∵c→=（1，λ），c→∴14解得λ=123．已知向量a→=（m，3），b→=（1，m+1）．若a→⊥b→，則【解答】解：∵向量a→=（m，3），b→=（1，m+1）．∴a→?b→則m=-324．已知向量a→=（﹣1，2），b→=（m，1），若向量a→+b【解答】解：∵向量a→=（﹣1，2），b→∴a→+b∵向量a→+b∴（a→+b→）?解得m＝7．四．解答題（共9小題）25．在平面直角坐標(biāo)系中，已知a→=(3，-4)，（1）若(a→-λ（2）若c→=(0，4+3)，d→【解答】解：（1）∵a→=(3，-4)，∴3aa→∵(a→-λb→)∥(3a（2）∵a→=(3，-4)，b→=(2，-3)，∴a→+c∴(a26．已知向量a→，b→滿足：|a（1）若a→∥b（2）若a→?(a→+【解答】解：（1）設(shè)a→由題意，x=yx2+y2∴a→=(2（2）由a→?(a→+|a→|=2則cos＜a∴a→與b→的夾角的余弦值為27．如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝1，AB＝AD＝3，E是BC的中點(diǎn)，設(shè)AB→=a（1）用a→，b→表示AE（2）若AF→=2FB→，AE與CF交于點(diǎn)O【解答】解：如圖建立直角坐標(biāo)系：（1）由題意易知A（0，0），B（3，0），C（1，3），D（0，3），則a→=(3，0)，因?yàn)镋是BC的中點(diǎn)，所以E點(diǎn)坐標(biāo)為（2，32），則AE令A(yù)E→=ma→+nb→，則（2，32）＝m×（3，0）+所以AE→（2）因?yàn)锳F→=2FB→，所以F點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0），又C點(diǎn)坐標(biāo)為（1，3），所以直線DF的方程為y-3x-1=3-01-2因?yàn)镋點(diǎn)坐標(biāo)為（2，32），A點(diǎn)坐標(biāo)為（0，0），所以直線AE的方程為y-0x-0=32-0聯(lián)立①②，解得O點(diǎn)坐標(biāo)為（85，6則OA→=(-85，-628．如圖在△ABC中，點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，點(diǎn)E是BD的中點(diǎn)，設(shè)BA→=a（1）用a→，c（2）若點(diǎn)F在AC上，且BF→=15a【解答】解：（1）因?yàn)锳C→=BC→-BA→=c因?yàn)辄c(diǎn)E是BD的中點(diǎn)，所以AE→=12（AB→+AD（2）設(shè)AF→=λAC→（0＜λ＜1），所以BF又BF→=15a→所以AF：CF＝4：1．29．平面內(nèi)給定三個(gè)向量a→=(3，2)，b→（1）若(a→+k（2）若d→滿足(d→-c【解答】解：（1）因?yàn)閍→=(3，2)，b→所以a→+kc因?yàn)?a所以（﹣2）×（3+4k）﹣（﹣7）×（2+k）＝0，解得k＝8；（2）設(shè)d→=(x，y)，則d→因?yàn)?d→-所以4(x-4)-2(y-1)=0(x-4)解得x=3y=-1或x=5所以d→=(3，-1)或30．如圖所示，在△ABO中，OC→=14OA→，OD→=12OB（1）試用向量a→，b（2）過(guò)點(diǎn)M作直線EF分別交線段AC，BD于點(diǎn)E，F(xiàn)，記OE→=λOA→，OF→=μO(píng)B→，求證：不論點(diǎn)E，【解答】解：（1）設(shè)OA→=a→，OB→=bOM→=tOA→+（1﹣t）OD→=ta→同理由C，M，B三點(diǎn)共線可得存在實(shí)數(shù)λ使得OM→=λOB→+（1﹣λ）∴1-λ4=tλ=1-t2（2）證明：設(shè)OM→=xOE→+yOF→=x則xλ=17yμ=37故不論點(diǎn)E，F(xiàn)在線段AC，BD上如何移動(dòng)，1λ31．平面內(nèi)給定三個(gè)向量a→=(2，5)，b→（1）求滿足a→=mb→+n（2）若(a→+k【解答】解：（1）根據(jù)題意得：（2，5）＝（4n﹣m，2m+n），∴4n-m=22m+n=5，解得m＝2，n（2）a→+kc→=(4k+2，k+5)∴4k+2+5（k+5）＝0，解得k＝﹣3．32．已知向量a→=(2，1)，（1）求a→與b→的夾角；（2）求|2a→+b→【解答】解：（1）∵a→=(2，1)，∴a→?b→=2×3+1×(-1)=5設(shè)向量a→與b→的夾角為θ，則又由θ∈[0，π]，θ=π4，即向量a→與b（2）|2a（3）ka→-∴3×（2k﹣3）﹣（k+1）＝0，解得：k＝2．33．已知平行四邊形ABCD中，EC→=2DE→，（1）用AB→，AD→表示（2）若|AB|→=6，|AD|→=32，∠BAD【解答】解：（1）由題意可得AE→=AD又FG→=2GE→，所以所以AG→=23AE→+13（2）過(guò)點(diǎn)D作AB的垂線交于點(diǎn)D′，如圖，于是在Rt△ADD′中，由∠BAD＝45°，可知，AD′＝3，根據(jù)題意得各點(diǎn)坐標(biāo)為A（0，0），B（6，0），C（9，3），D（3，3），E（5，3），F(xiàn)（7，1），則AG→=59AB→+所以G（173，73），所以AB→=（6，0），AG→所以GB→=AB課后作業(yè)一、單選題1．在平面直角坐標(biāo)系中，向量PA=(1,4)，PB=(2,3)，PC=(x,1)，若A，B，C三點(diǎn)共線，則xA．2 B．3 C．4 D．5【詳解】因?yàn)锳，B，C三點(diǎn)共線，則PC=λPA+μ即(x,1)=λ1,4則x=λ+2μ1=4λ+3μλ+μ=1，解得故選：C2．如圖，在△ABC中，AN=12AC,P是BN的中點(diǎn)，若APA．12 B．1 C．32 【詳解】因?yàn)镻是BN的中點(diǎn)，所以BP=所以AP=AB+所以m=12,n=3．已知向量a=1,?1，b=m,2，若a//A．4 B．?2 C．?8 D．【詳解】由a//b，可得?m=2，即m=?2，所以故選：D4．已知向量a=?1,?2，b=4,?2，若A．4λμ=1 B．4λμ=?1C．4λ+μ=1 【詳解】法二：因?yàn)橄蛄縜=?1,?2,又a?λb⊥所以4λμ=1.故選：A．5．在平行四邊形ABCD中，G為△ABC的重心，滿足AG=xAB+yADx,y∈A．43 B．53 C．0 【詳解】如圖，設(shè)AC與BD相交于點(diǎn)O，G為△ABC的重心，

可得O為BD的中點(diǎn)，BG=2GO，所以AG=2因?yàn)锳G=x所以x=23,y=故選：A.6．已知向量e1,eA．e1,eC．e1?2e【詳解】對(duì)于A，假設(shè)e1,e?1因?yàn)閑1,e即假設(shè)不成立，也即e1對(duì)于B，假設(shè)e1+e2,即λ=1?3λ=1無(wú)解，所以沒(méi)有任何一個(gè)λ∈即假設(shè)不成立，也即e1對(duì)于C，因?yàn)?3e不能作為一組基底，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，假設(shè)2e1+3使得2e即2λ=2?3λ=3無(wú)解，所以沒(méi)有任何一個(gè)λ∈即假設(shè)不成立，也即2e故選:C.7．已知點(diǎn)P是邊長(zhǎng)為2的菱形ABCD內(nèi)的一點(diǎn)(包含邊界)，且∠BAD=120°，AP?AB的取值范圍是（A．[?2,4] B．(?2,4) C．[?2,2] D．(?2,2)【詳解】如圖，建立平面直角坐標(biāo)系，則A(0，0),B(2，0),C(1，3設(shè)P(x,y)，則?1≤x≤2，故AP?即AP?AB的取值范圍是故選：A8．已知在邊長(zhǎng)為2的正三角形ABC中，M?N分別為邊BC?AC上的動(dòng)點(diǎn)，且CN=BM，則AM?MN的最大值為（

A．?73 B．?43 C．【詳解】如圖建系，則B(?1，0)?C(1，0)?A(0，3則BC=(2，0)，CA=(?1，3)，設(shè)則CN=tCA(0≤t≤1)，則M(2t?1，0)，∴AM=(2t?1，?3)∴AM?當(dāng)t=13時(shí)AM?故選：B.9．如圖在△ABC中，∠ABC=90°，F(xiàn)為AB中點(diǎn)，CE=3，CB=8，AB=12，則EA?A．-15 B．-13 C．13 D．14【詳解】建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則A?12，0，B(0，0)又CE=3，CB=8，AB=12，則CF=CB2+BF則BE=EA=則EB=95故選：C．10．已知點(diǎn)A1,2,B2,4,C?2,6，則ABA．?1,2 B．?3,4 C．?35,【詳解】由題意，AB=1,2，則AB?AC=5，ABcos?則AB在AC上的投影向量為ABcos故選：C11．已知平面向量a=255,55，b為單位向量，且(A．?255,?55 B．2【詳解】由題意a=1,∵(a+2b)⊥(a∴a?則向量b在向量a上的投影向量為a?故選：B.12．如圖，等腰梯形ABCD中，AB=4，AD=DC=BC=2，點(diǎn)E是線段BD上的動(dòng)點(diǎn)，則AE?CE的最小值為（

A．?114 B．114 C．?【詳解】如圖，以A為原點(diǎn)，AB所在直線為x軸，過(guò)A且與AB垂直的直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，則A0,0，D1,3，C3,3設(shè)Ex,y，BE=λBD，λ∈則x?4,y=λ?3,3，所以x?4=?3λ所以E4?3λ,3λ，所以AE所以AE?CE=所以當(dāng)λ=34時(shí)，AE?13．在平面四邊形ABCD中，AB⊥BC,AD⊥DC,∠BAC=π4,∠DAC=π6，若AC=λA．1+33 B．2 C．12【詳解】以AC所在直線為x軸，AC的垂直平分線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系（點(diǎn)D在x軸上方），設(shè)AC=2，則A(?1,0),B(0,?1),C(1,0),D1AC=2,0因?yàn)锳C=λAB+所以λ+32μ=2?λ+3故選：A.14．設(shè)平面向量a=(1,3)，|b|=2，且|a?A．1 B．14 C．14 D．10【詳解】因?yàn)閍=(1,3)，所以|a|=則|所以a?則(2=20?2?4=14，故選：B15．已知平行四邊形ABCD，若點(diǎn)M是邊BC的三等分點(diǎn)（靠近點(diǎn)B處），點(diǎn)N是邊AB的中點(diǎn)，直線BD與MN相交于點(diǎn)H，則BHBD=（A．23 B．25 C．15【詳解】

設(shè)BM=a,BN=設(shè)BH=λBD，MH=μMN，則因?yàn)锽H=所以3λ=1?μ2λ=μ，解得λ=15，所以BH故選：C.16．如圖，在△ABC中，BM=λBC，NC=μAC，直線AM交BN于點(diǎn)Q，A．λ+μ=1 B．λμ=14 C．λ?12μ?3【詳解】由題意得，BQ=23BN=因?yàn)镼，M，A三點(diǎn)共線，故23μ+2故選：C．17．已知矩形ABCD的對(duì)角線交于點(diǎn)O，E為AO的中點(diǎn)，若DE=λAB+μAD（λ，μ為實(shí)數(shù)），則A．?12 B．79 C．3?2【詳解】解：如圖在矩形ABCD中，DO=在△DAO中，DE=∴DE∴λ=1∴λ故選：A．18．已知矩形ABCD中，AB=4，AD=2，DM=3MC，BP=PCA．6 B．10 C．14 D．38【詳解】以B為原點(diǎn)，BA,BC分別為x,y軸建立平面直角坐標(biāo)系.則A0,4,D2,4,由BP=PC，則P1,0,由DM所以AP=1,?4,所以AM故選：C