專(zhuān)題13.7 等腰三角形中的分類(lèi)討論思想七大考點(diǎn)（人教版）（解析版）

專(zhuān)題13.7等腰三角形中的分類(lèi)討論思想七大考點(diǎn)【人教版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1與邊分類(lèi)討論】 1【題型2與角分類(lèi)討論】 3【題型3與高分類(lèi)討論】 7【題型4與垂直平分線(xiàn)分類(lèi)討論】 11【題型5與中線(xiàn)分類(lèi)討論】 16【題型6與動(dòng)點(diǎn)、動(dòng)線(xiàn)段需分類(lèi)討論】 19【題型7構(gòu)造等腰三角形需分類(lèi)討論】 23【題型1與邊分類(lèi)討論】【例1】（2023春·重慶渝中·八年級(jí)重慶巴蜀中學(xué)校考開(kāi)學(xué)考試）已知等腰三角形的兩邊長(zhǎng)分別為a、b，且a、b滿(mǎn)足a-22+|b-3|=0，則此等腰三角形的周長(zhǎng)為（

）A．7或8 B．6或10 C．6或7 D．7或10【答案】A【分析】首先根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)即可得到關(guān)于a、b的方程組，接下來(lái)解方程組即可求出a、b的值，再分類(lèi)討論，可得結(jié)論．【詳解】解：根據(jù)題意得，a-2=0，∴a=2，b=3，①當(dāng)a=2是腰時(shí)，三邊分別為2、2、3，能組成三角形，周長(zhǎng)為：2+2+3=7．②當(dāng)b=3是腰時(shí)，三邊分別為3、3、2，能組成三角形，周長(zhǎng)為：3+3+2=8．所以等腰三角形的周長(zhǎng)7或8．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)，解題關(guān)鍵是學(xué)會(huì)用分類(lèi)討論的思想解決問(wèn)題．【變式1-1】（2023春·山東威海·八年級(jí)統(tǒng)考期末）用一條長(zhǎng)20cm的細(xì)繩圍成一個(gè)等腰三角形，若一邊長(zhǎng)是另一邊長(zhǎng)的2倍，則底邊的長(zhǎng)為【答案】4【分析】設(shè)較短的邊長(zhǎng)為xcm，則較長(zhǎng)的邊為2x【詳解】解：設(shè)較短的邊長(zhǎng)為xcm，則較長(zhǎng)的邊為2x當(dāng)較短的邊為底邊，較長(zhǎng)的邊為腰時(shí)，則x+2x+2x=20，解得：x=4，此時(shí)三角形三邊長(zhǎng)分別為4cm，8cm，當(dāng)較長(zhǎng)的邊為底邊，較短的邊為腰時(shí)，則2x+x+x=20，解得：x=5，此時(shí)三角形三邊長(zhǎng)分別為5cm，5cm，∵5+5=10，∴不滿(mǎn)足三角形任意兩邊之和大于第三邊，故不能組成三角形；綜上所述，三角形底邊的長(zhǎng)為4cm故答案為：4cm【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形三邊關(guān)系，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)，以及三角形任意兩邊之和大于第三邊，采用分類(lèi)討論的思想解題，是解此題的關(guān)鍵．【變式1-2】（2023春·安徽六安·八年級(jí)校考期中）已知等腰△ABC的周長(zhǎng)為18，BC=8，若△ABC≌△DEF，則△DEF中一定有一條邊等于（

）A．7 B．2或7 C．5 D．2或5【答案】D【分析】分BC為腰、BC為底兩種情況，求出等腰三角形的另兩邊，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)解答．【詳解】解：當(dāng)BC=8為腰時(shí)，等腰△ABC的周長(zhǎng)為18，∴另兩邊為8或2，當(dāng)BC=8為底時(shí)，另兩邊為5或5，∵△ABC≌△DEF，∴△DEF中有一條邊等于2或5，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查的是全等三角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)，掌握全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等是解題的關(guān)鍵．【變式1-3】（2023春·陜西西安·八年級(jí)西安市第八十三中學(xué)?？茧A段練習(xí)）定義；等腰三角形的底邊長(zhǎng)與其腰長(zhǎng)的比值k稱(chēng)為這個(gè)等腰三角形的“優(yōu)美比”．若等腰三角形的周長(zhǎng)為13cm，AB=5cm，則它的“優(yōu)美比”k為（A．54 B．35 C．54或35 D【答案】C【分析】分兩種情況：AB為腰或AB為底邊，再根據(jù)三角形周長(zhǎng)可求得底邊或腰的長(zhǎng)度，即可得到它的優(yōu)美比k.【詳解】解：當(dāng)AB腰時(shí)，則底邊=3cm此時(shí)，優(yōu)美比k=3當(dāng)AB為底邊時(shí)，則腰為4cm此時(shí)，優(yōu)美比k=5故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)，分類(lèi)討論是解題的關(guān)鍵．【題型2與角分類(lèi)討論】【例2】（2023春·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）過(guò)等腰三角形底角頂點(diǎn)的一條直線(xiàn)，將該等腰三角形分成的兩個(gè)三角形均為等腰三角形，則原等腰三角形的頂角度數(shù)為．【答案】36°或180【分析】分兩種情況畫(huà)出圖形，①當(dāng)BC=BD=AD，AB=AC時(shí)，設(shè)∠A=α，得∠C=∠CDB=2α．∠ABC=∠C=2α．由∠A+∠ABC+∠C=180°，則α+2α+2α=180°，即可得到α=36°；②當(dāng)AD=BD，BC=DC，AB=AC時(shí)，設(shè)∠A=α．得∠ABC=∠C=3α．則∠A+∠ABC+∠C=180°，則α+3α+3α=180°，得α=180【詳解】解：分兩種情況討論：①如圖（1），

當(dāng)BC=BD=AD，AB=AC時(shí)，設(shè)∠A=α．∵BD=AD，∴∠ABD=∠A=α，∴∠CDB=∠ABD+∠A=2α．∵BC=BD，∴∠C=∠CDB=2α．∵AB=AC，∴∠ABC=∠C=2α．∵∠A+∠ABC+∠C=180°，∴α+2α+2α=180°，解得α=36°．②如圖（2），

當(dāng)AD=BD，BC=DC，AB=AC時(shí)，設(shè)∠A=α．∵AD=BD，∴∠A=∠ABD=α．∴∠BDC=∠A+∠ABD=2α．∵BC=DC，∴∠CBD=∠BDC=2α，∴∠ABC=∠ABD+∠CBD=3α．∵AB=AC，∴∠ABC=∠C=3α．∵∠A+∠ABC+∠C=180°，∴α+3α+3α=180°，解得α=180綜上，原等腰三角形頂角的度數(shù)為36°或1807故答案為：36°或180【點(diǎn)睛】此題考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理和三角形外角的性質(zhì)等知識(shí)，分類(lèi)討論是解題的關(guān)鍵．【變式2-1】（2023春·安徽亳州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）一個(gè)等腰三角形，其中兩個(gè)內(nèi)角的度數(shù)的比是2:5，它的三個(gè)內(nèi)角可能是（

）A．30°，30°，120° B．50°，50°，80°C．75°，75°，30° D．80°，80°，20°【答案】C【分析】分兩種情況，然后根據(jù)三角形的內(nèi)角和列方程，即可得到結(jié)論．【詳解】解：∵兩個(gè)內(nèi)角的度數(shù)的比是2:5，∴設(shè)一個(gè)內(nèi)角等于2x，另一個(gè)內(nèi)角等于5x，∵三角形是等腰三角形，∴2x+2x+5x=180°或5x+5x+2x=180°，解得：x=20°或x=15°，∴三個(gè)內(nèi)角是40°，40°，100°或75°，75°，30°，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式2-2】（2023春·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）定義：等腰三角形的頂角與其一個(gè)底角的度數(shù)的比值k稱(chēng)為這個(gè)等腰三角形的“特征值”．若等腰△ABC中，∠A=80°，則它的特征值k為（A．85或14 B．58或14 C．85或4【答案】A【分析】分∠A為頂角和底角兩種情況,利用等腰三角形的兩底角相等求出底角或頂角，然后根據(jù)k的定義求解即可．【詳解】解：①當(dāng)∠A為頂角時(shí)，等腰三角形兩底角的度數(shù)為：12（180°-80°）∴k=80②當(dāng)∠A為底角時(shí)，頂角的度數(shù)為：180°-80°-80°=20°.∴特征值k=20綜上所述，k為85或1故答案為A．【點(diǎn)睛】本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)，∠A是頂角還是底角的分類(lèi)討論是正確解答本題的關(guān)鍵．【變式2-3】（2023春·山東棗莊·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在△ABC中，∠ABC=40°，∠BAC=80°，以點(diǎn)A為圓心，AC長(zhǎng)為半徑作弧，交射線(xiàn)BA于點(diǎn)D，連接CD，則∠BCD的度數(shù)是．

【答案】10°或100°【分析】分兩種情況：當(dāng)點(diǎn)D在BA上時(shí)，當(dāng)點(diǎn)D'在BA【詳解】解：如圖，

,當(dāng)點(diǎn)D在BA上時(shí)，由作圖可得：AD=AC，∴∠ADC=∠ACD，∵∠ADC+∠ACD+∠BAC=180°，∠BAC=80°，∴∠ADC=∠ACD=180°-∠BAC∵在△ABC中，∠ABC=40°，∠BAC=80°，∴∠ACB=180°-∠ABC-∠BAC=180°-40°-80°=60°，∴∠BCD=∠ACB-∠ACD=60°-50°=10°，當(dāng)點(diǎn)D'在BA的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，由作圖可得：A∴∠AD∵∠D'AC=∠ABC+∠ACB=40°+60°=100°∴∠AD∴∠BC綜上所述：∠BCD的度數(shù)是：10°或100°，故答案為：10°或100°．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理、三角形外角的定義及性質(zhì)，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)，采用分類(lèi)討論的思想解題，是解此題的關(guān)鍵．【題型3與高分類(lèi)討論】【例3】（2023春·廣東深圳·八年級(jí)?？计谥校┤粢粋€(gè)等腰三角形腰上的高等于腰長(zhǎng)的一半，則此等腰三角形的底角的度數(shù)是（）A．15° B．75° C．15°或75° D．無(wú)法確定【答案】C【分析】分兩種情況，畫(huà)出相應(yīng)的圖形，根據(jù)直角三角形斜邊中線(xiàn)等于斜邊一半，結(jié)合等邊三角形的判定和性質(zhì)求出頂角度數(shù)，即可得到等腰三角形底角的度數(shù)．【詳解】解：當(dāng)△ABC為銳角三角形時(shí)，作CD⊥AB于點(diǎn)D，取AC的中點(diǎn)E，連接DE，如圖：

則∠ADC=90°，∵E為AC的中點(diǎn)，∴DE=CE=1∵CD=1∴CD=CE=DE，∴△CDE為等邊三角形，∴∠DCE=60°，∴∠A=90°-60°=30°，∵AB=AC，∴∠B=∠ACB=75°；當(dāng)△ABC為鈍角三角形時(shí)，作BD⊥CA，交CA的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)D，取AB的中點(diǎn)E，連接DE，如圖：

則∠ADB=90°，∵E為AB的中點(diǎn)，∴BE=DE=1∵BD=1∴△BDE為等邊三角形，∴∠ABD=60°，∴∠DAB=90°-60°=30°，∴∠BAC=150°，∵AB=AC，∴∠ABC=∠C=15°；綜上分析可知，此等腰三角形的底角的度數(shù)是15°或75°，故C正確．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形、等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形斜邊中線(xiàn)等于斜邊的一半，等邊三角形的判定和性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，畫(huà)出相應(yīng)的圖形，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．【變式3-1】（2023春·河南南陽(yáng)·八年級(jí)統(tǒng)考期末）在等腰三角形中有一個(gè)角為40°，則腰上的高與底邊的夾角為．【答案】20°或50°【分析】分已知的角是等腰三角形的底角和頂角兩種情況計(jì)算．【詳解】當(dāng)40°角為底角時(shí)，如圖，∵CA=CB，∴∠CAB=∠B=40°，過(guò)點(diǎn)A作AD⊥CB，交BC的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)D，∴∠ADC=90°，∴∠DAB=90°-∠B=50°；

當(dāng)40°角為頂角時(shí)，如圖，∵CA=CB，∴∠CAB=∠B=180°-40°過(guò)點(diǎn)A作AG⊥CB，交BC于點(diǎn)G，∴∠AGB=90°，∴∠GAB=90°-∠B=20°；故答案為20°或50°．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的角的計(jì)算，熟練掌握分類(lèi)思想是解題的關(guān)鍵．【變式3-2】（2023春·全國(guó)·八年級(jí)課堂例題）已知△ABC的高AD，BE所在的直線(xiàn)交于點(diǎn)F，若BF=AC，則∠ABC的度數(shù)為【答案】圖見(jiàn)解析，45°或135°【分析】分兩種情況，畫(huà)出圖形，由全等三角形的性質(zhì)及等腰直角三角形的性質(zhì)可得出答案．【詳解】解：[作圖區(qū)]當(dāng)∠ABC為銳角時(shí)，如圖①．當(dāng)∠ABC為鈍角時(shí)，如圖②．[解答區(qū)]①若△ABC為銳角三角形時(shí)，∠ABC為銳角，如圖①，∵AD⊥BC，∴∠BDF=∠ADC=∠BEC=90°，∴∠C+∠CBE=90°，∴∠CBF=∠CAD，∴△BDF≌△ADCAAS∴BD=AD，∴∠ABD=45°，即∠ABC=45°；②若△ABC為鈍角三角形時(shí)，∠ABC為鈍角，如圖②，同理可證△BDF≌△ADCAAS∴BD=AD，∴∠ABD=45°，∴∠ABC=135°，綜上所述，∠ABC的度數(shù)為45°或135°．故答案為：45°或135°．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式3-3】（2023·山東泰安·統(tǒng)考二模）在平行四邊形ABCD中，AD=BD，BE是AD邊上的高，∠EBD=30°，則∠A的度數(shù)為．【答案】60°或30°【分析】首先求出∠ADB的度數(shù)，再利用三角形內(nèi)角和定理以及等腰三角形的性質(zhì)，得出∠A的度數(shù)．【詳解】解：情形一：當(dāng)E點(diǎn)在線(xiàn)段AD上時(shí)，如圖所示，

∵BE是AD邊上的高，∠EBD=30°，∴∠ADB=90°-30°=60°，∵AD=BD，∴∠A=∠ABD=180°-60°情形二：當(dāng)E點(diǎn)在AD的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，如圖所示，

∵BE是AD邊上的高，∠EBD=30°，∴∠BDE=60°，∵AD=BD，∴∠A=∠ABD=1故答案為：60°或30°．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，三角形的外角的性質(zhì)，三角形的高等知識(shí)，得出∠ADB的度數(shù)是解題關(guān)鍵．【題型4與垂直平分線(xiàn)分類(lèi)討論】【例4】（2023春·山東泰安·八年級(jí)統(tǒng)考期末）已知線(xiàn)段AB垂直平分線(xiàn)上有兩點(diǎn)C、D，若∠ADB=80°，∠CAD=10°，則A．80° B．90° C．60°或100° D【答案】C【分析】如圖，DE垂直平分AB，垂足為E，根據(jù)線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)得到DA＝DB，則根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理可計(jì)算出∠DAB＝∠DBA＝50°，當(dāng)C點(diǎn)在線(xiàn)段DE上，∠CAD＝10°時(shí)，則∠CAB＝40°，則根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理可計(jì)算∠ACB＝100°；當(dāng)C'點(diǎn)在ED的延長(zhǎng)線(xiàn)上，∠C'AD＝10°時(shí)，則∠C'AB＝60°，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)易得∠AC'B＝60°．【詳解】解：如圖，DE垂直平分AB，垂足為E，∴DA＝DB，∴∠DAB＝∠DBA=12（180°﹣∠ADB）=12×（180°當(dāng)C點(diǎn)在線(xiàn)段DE上，∠CAD＝10°時(shí)，則∠CAB＝50°﹣10°＝40°，∵CA＝CB，∴∠CAB＝∠CBA＝40°，∴∠ACB＝180°﹣40°﹣40°＝100°；當(dāng)C'點(diǎn)在ED的延長(zhǎng)線(xiàn)上，∠C'AD＝10°時(shí)，則∠C'AB＝50°+10°＝60°，∵CA＝CB，∴∠AC'B＝60°，綜上所述，∠ACB的度數(shù)為60°或100°．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)：垂直平分線(xiàn)垂直且平分其所在線(xiàn)段；垂直平分線(xiàn)上任意一點(diǎn)，到線(xiàn)段兩端點(diǎn)的距離相等．也考查了等腰三角形的性質(zhì)．【變式4-1】（2023春·湖北武漢·八年級(jí)統(tǒng)考期末）已知，在△OPQ中，OP=OQ，OP的垂直平分線(xiàn)交OP于點(diǎn)D，交直線(xiàn)OQ于點(diǎn)E，∠OEP=50°，則∠POQ=．【答案】65°或115°【分析】△OPQ為銳角三角形時(shí)，根據(jù)線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的定義得到∠ODE=∠PDE=90°，從而求得∠OED=∠PED=12∠OEP，繼而可得∠EOD=90°-25°=65°，問(wèn)題得解；△OPQ為鈍角三角形時(shí)，同理可得∠EOD=90°-25°=65°【詳解】解：①如圖1，△OPQ為銳角三角形時(shí)，∵DE垂直且平分OP，∴∠ODE=∠PDE=90°，OE=PE，∴∠OED=∠PED=1又∵∠OEP=50°，∴∠OED=∠PED=25°，∴∠EOD=90°-25°=65°；②如圖2，△OPQ為鈍角三角形時(shí)，∵DE垂直且平分OP，∴∠ODE=∠PDE=90°，OE=PE，∴∠OED=∠PED=1又∵∠OEP=50°，∴∠OED=∠PED=25°，∴∠EOD=90°-25°=65°，∴∠POQ=180°-65°=115°；故答案為：65°或115°．【點(diǎn)睛】本題考查的是線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的定義以及等腰三角形的性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理，掌握這些性質(zhì)及定理，準(zhǔn)確作出圖形是解題的關(guān)鍵．【變式4-2】（2023春·上?！ぐ四昙?jí)專(zhuān)題練習(xí)）在△ABC中，∠BAC=α，邊AB的垂直平分線(xiàn)交BC于點(diǎn)D，邊AC的垂直平分線(xiàn)交BC于點(diǎn)E，連接AD，AE，則∠DAE的度數(shù)為．（用含α的代數(shù)式表示）【答案】2α-180°或180°-2α【分析】先根據(jù)線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)，得到∠B=∠BAD，∠C=∠CAE，進(jìn)而得到∠B+∠C=∠BAD+∠CAE=180°-α，再分兩種情況：①∠BAC為鈍角；②∠BAC為銳角進(jìn)行討論，利用角的和差關(guān)系進(jìn)行計(jì)算即可得出答案．【詳解】解：分兩種情況：①如圖所示，當(dāng)∠BAC為鈍角時(shí)，∵DM垂直平分AB，EN垂直平分AC∴BD=AD，AE=CE∴∠B=∠BAD，∠C=∠CAE∴∠B+∠C=∠BAD+∠CAE，又∵∠B+∠C+∠BAC=180°，∠BAC=α∴∠B+∠C=∠BAD+∠CAE=180°-α∵∠BAC=∠BAD+∠CAE+∠DAE∴∠DAE=∠BAC-②如圖所示，當(dāng)∠BAC為銳角時(shí)，∵DM垂直平分AB，EN垂直平分AC∴BD=AD，AE=CE∴∠B=∠BAD，∠C=∠CAE∴∠B+∠C=∠BAD+∠CAE，又∵∠B+∠C+∠BAC=180°，∠BAC=α∴∠B+∠C=∠BAD+∠CAE=180°-α∵∠BAC=∴∠DAE=故答案為：2α-180°或180°-2α．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)，靈活運(yùn)用所學(xué)的知識(shí)是解題的關(guān)鍵．【變式4-3】（2023春·黑龍江哈爾濱·八年級(jí)哈爾濱工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）△ABC中，AB的垂直平分線(xiàn)與∠ACB的外角平分線(xiàn)交于點(diǎn)D，DE垂直直線(xiàn)BC于E，若AC=7，CE=2，則BC的長(zhǎng)是【答案】11或3【分析】分點(diǎn)E在BC上或點(diǎn)E在BC的延長(zhǎng)線(xiàn)上兩種情形，分別利用HL證明Rt△ADF?Rt△BDE，得BE=AF【詳解】解：如圖，當(dāng)點(diǎn)E在BC上時(shí)．過(guò)點(diǎn)D作DF⊥AC，交AC的延長(zhǎng)線(xiàn)于F，連接AD=BD，∵AB的垂直平分線(xiàn)與∠ACB的外角平分線(xiàn)交于點(diǎn)D，∴AD=BD,DE=DF，在Rt△ADE和RtAD=BDDF=DE∴Rt△ADF?∴BE=AF，同理可得CE=CF，∴AF=7+2=9，∴BC=BE+CE=9+2=11，當(dāng)點(diǎn)E在BC的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，如圖，同理可得AF=BE=AC-CF=7-2=5，∴BC=BE-CE=5-2=3，綜上：BC=11或3，故答案為：11或3．【點(diǎn)睛】本題主要考查了線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)，角平分線(xiàn)的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，運(yùn)用分類(lèi)討論思想是解題的關(guān)鍵．【題型5與中線(xiàn)分類(lèi)討論】【例5】（2023春·湖北恩施·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）若等腰三角形一腰上的中線(xiàn)分周長(zhǎng)為9和12兩部分，請(qǐng)你畫(huà)出示意圖，并結(jié)合圖形，求這個(gè)等腰三角形的各邊長(zhǎng)【答案】這個(gè)等腰三角形的底為9或5，這個(gè)等腰三角形的腰為6或8【分析】由題意得，腰上的中線(xiàn)把等腰三角形分成9和12兩部分，則要分一腰的一半與另一腰的和為9或12兩種情況進(jìn)行分析即可．【詳解】解：如圖，①當(dāng)AD+AC=9時(shí)，∵CD是AB邊的中線(xiàn)，∴AD=1∴32AC=9，∴BC=9；②當(dāng)AD+AC=12時(shí)，則32∴AC=8；∴BC=5，答：這個(gè)等腰三角形的底為9或5，這個(gè)等腰三角形的腰為6或8．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)及二元一次方程組的應(yīng)用；解題時(shí)主要利用了分情況討論的思想及列二元一次方程組求解，也是正確解答本題的關(guān)鍵．【變式5-1】（2023春·重慶九龍坡·八年級(jí)重慶實(shí)驗(yàn)外國(guó)語(yǔ)學(xué)校?？茧A段練習(xí)）在周長(zhǎng)為10的△ABC中，AB=AC，BD為△ABC的中線(xiàn)，且BD將△ABC的周長(zhǎng)分為兩部分，兩部分的差值為2，則底邊長(zhǎng)為．【答案】2或14【分析】等腰三角形一腰上的中線(xiàn)將它的周長(zhǎng)分為兩部分，但已知沒(méi)有明確是哪兩部分，因此有兩種情況，需要分類(lèi)討論．【詳解】解：在△ABC中，AB=AC，BD為△ABC的中線(xiàn)，設(shè)AB=AC=x,則AD=CD=12①當(dāng)CΔ∴(x+解得，x=4∴BC=2;②當(dāng)CΔ∴(解得，x=∴BC=綜上，△ABC的底邊BC的長(zhǎng)為2或14【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)及相關(guān)計(jì)算．在解題時(shí)要注意找出等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．【變式5-2】（2023春·江蘇·八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）在△ABC中，AB=AC，AC邊上的中線(xiàn)BD把△ABC的周長(zhǎng)分為24cm和30cm的兩部分，則BC的長(zhǎng)為()cmA．14 B．16或22 C．22 D．14或22【答案】D【分析】根據(jù)點(diǎn)D為AC中點(diǎn)，得出AD=DC=12AC，根據(jù)AB=AC，得出AB=2AD，分兩種情況當(dāng)AB+AD=24cm時(shí)，2AD+AD=24cm，可求

BC=30cm-CD=30cm-8cm=22cm，當(dāng)AB+AD=30cm時(shí)，2AD+AD=30cm，可求BC=24cm-CD【詳解】解：∵點(diǎn)D為AC中點(diǎn)，∴AD=DC=12∵AB=AC，∴AB=2AD，分兩種情況，當(dāng)AB+AD=24cm時(shí)，2AD+AD=24cm，

解得AD=8cm，∵BC+CD=30cm，∴BC=30cm-CD=30cm-8cm=22cm，當(dāng)AB+AD=30cm時(shí)，2AD+AD=30cm，解得AD=10cm，∵BC+CD=24cm，∴BC=24cm-CD=24cm-10cm=14cm，∴BC的長(zhǎng)為14cm或22cm．故選D．【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形性質(zhì)，中線(xiàn)性質(zhì)，一元一次方程，線(xiàn)段和差，分類(lèi)思想的應(yīng)用，掌握等腰三角形性質(zhì)，中線(xiàn)性質(zhì)，一元一次方程，線(xiàn)段和差，分類(lèi)思想的應(yīng)用是解題關(guān)鍵．【變式5-3】（2023春·遼寧沈陽(yáng)·八年級(jí)沈陽(yáng)市第一二六中學(xué)?？计谀┮阎粋€(gè)等腰三角形的周長(zhǎng)為45cm，一腰上的中線(xiàn)將這個(gè)三角形的周長(zhǎng)分為3:2的兩部分，則這個(gè)等腰三角形的底長(zhǎng)為．【答案】9cm或21cm【分析】本題可分別設(shè)出等腰三角形的腰和底的長(zhǎng)，然后根據(jù)一腰上的中線(xiàn)所分三角形兩部分的周長(zhǎng)來(lái)聯(lián)立方程組，進(jìn)而可求得等腰三角形的底邊長(zhǎng)．注意此題一定要分為兩種情況討論，最后還要看所求的結(jié)果是否滿(mǎn)足三角形的三邊關(guān)系．【詳解】解：設(shè)該三角形的腰長(zhǎng)是xcm，底邊長(zhǎng)是ycm．根據(jù)題意得，一腰上的中線(xiàn)將這個(gè)三角形的周長(zhǎng)分為27cm和18cm兩部分，∴x+12x=27解得x=18y=9或x=12經(jīng)檢驗(yàn)，都符合三角形的三邊關(guān)系．因此這個(gè)等腰三角形的腰長(zhǎng)為9cm或21cm．故答案為：9cm或21cm．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和三角形的三邊關(guān)系；已知沒(méi)有明確3∶【題型6與動(dòng)點(diǎn)、動(dòng)線(xiàn)段需分類(lèi)討論】【例6】（2023·江蘇·八年級(jí)假期作業(yè)）如圖，直線(xiàn)a，b交于點(diǎn)O，∠α=40°，點(diǎn)A是直線(xiàn)a上的一個(gè)定點(diǎn)，點(diǎn)B在直線(xiàn)b上運(yùn)動(dòng)，且始終位于直線(xiàn)a的上方，若以點(diǎn)O，A，B為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，則∠OAB=°．【答案】40或70或100【分析】根據(jù)△OAB為等腰三角形，分三種情況討論：①當(dāng)OB=AB時(shí)，②當(dāng)OA=AB時(shí)，③當(dāng)OA=OB時(shí)，分別求得符合的點(diǎn)B，即可得解．【詳解】解：要使△OAB為等腰三角形分三種情況討論：

①當(dāng)OB1=AB1時(shí)，∠OAB=∠α=40°；②當(dāng)OA=AB2時(shí)，∠OAB=180°-2×40°=100°；③當(dāng)OA=OB3時(shí)，∠OAB=∠OBA=12（180°-40°）=70°故答案為：40或70或100．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握等腰三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．【變式6-1】（2023春·浙江杭州·八年級(jí)開(kāi)學(xué)考試）如圖，在ΔABC中，AB=AC,∠BAC=40°，邊AB繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)m°（0<m<360）得到線(xiàn)段AD，連接BD，DC．若ΔBDC為等腰三角形，則m【答案】20，80，200，320.【分析】以點(diǎn)A為圓心，以AB長(zhǎng)為半徑作圓A，分別以B，C為圓心，以BC長(zhǎng)為半徑作圓B和圓C，BC的中垂線(xiàn)交圓A于D1，D2兩點(diǎn)，圓B與圓A交于點(diǎn)D3，圓C與圓A交于點(diǎn)D4，D1，D2【詳解】如圖，以點(diǎn)A為圓心，以AB長(zhǎng)為半徑作圓A，分別以B，C為圓心，以BC長(zhǎng)為半徑作圓B和圓C，BC的中垂線(xiàn)交圓A于D1，D2兩點(diǎn)，圓B與圓A交于點(diǎn)D3，圓C與圓A交于點(diǎn)D4，D1，D2，D3，D4四點(diǎn)即為所求，根據(jù)等腰三角形性質(zhì)，故答案為20，80，200，320.【點(diǎn)睛】考核知識(shí)點(diǎn)：等腰三角形性質(zhì)，圓周角定理.【變式6-2】（2023·全國(guó)·八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，點(diǎn)O是等邊△ABC內(nèi)一點(diǎn)．將△BOC繞點(diǎn)C順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60°得△ADC，使得△BOC≌△ADC，連接OD．已知∠AOB=110°，設(shè)∠BOC=α．

(1)發(fā)現(xiàn)問(wèn)題：發(fā)現(xiàn)∠OAD的大小不變?yōu)椤悖?2)分析問(wèn)題：當(dāng)α=150°時(shí)，分析判斷△AOD的形狀是三角形．(3)解決問(wèn)題：請(qǐng)直接寫(xiě)出當(dāng)α為度時(shí)，△AOD是等腰三角形．【答案】(1)50(2)直角(3)125°或110°或140°【分析】（1）先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得到∠OBA+∠OAB=70°，再由等邊三角形的性質(zhì)推出∠OBC+∠OAC=50°，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得∠DAC=∠OBC，則∠OAD=∠OAC+∠DAC=∠OAC+∠OBC=50°；（2）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得CO=CD，∠OCD=60°，則△OCD是等邊三角形，得到∠COD=60°，由此求出∠AOD=∠AOC-∠COD=40°，則∠ADO=180°-∠OAD-∠AOD=90°，即可得到（3）分OA=DA，OA=OD，AD=OD三種情況，根據(jù)等邊對(duì)等角和三角形內(nèi)角和定理求出∠AOD的度數(shù)，進(jìn)而求出∠AOC的度數(shù)，即可利用周角的定義求出答案．【詳解】（1）解：∵∠AOB=110°，∴∠OBA+∠OAB=180°-∠AOB=70°，∵△ABC是等邊三角形，∴∠BAC=∠ABC=60°，∴∠BAC+∠ABC=120°，即∠OBA+∠OBC+∠OAB+∠OAC=120°，∴∠OBC+∠OAC=50°，∵將△BOC繞點(diǎn)C順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60°得△ADC，∴∠DAC=∠OBC，∴∠OAD=∠OAC+∠DAC=∠OAC+∠OBC=50°，故答案為：50

（2）解：∵將△BOC繞點(diǎn)C順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60°得△ADC，∴CO=CD，∴△OCD是等邊三角形，∴∠COD=60°，∵∠AOC=360°-∠AOB-∠BOC=100°，∴∠AOD=∠AOC-∠COD=40°，∴∠ADO=180°-∠OAD-∠AOD=90°，∴△AOD是直角三角形，故答案為：直角；（3）解：當(dāng)OA=DA時(shí)，則∠AOD=∠ADO=180°-∠OAD∴∠AOC=∠AOD+∠COD=125°，∴α=360°-∠AOB-∠AOC=125°；當(dāng)OA=OD時(shí)，則∠OAD=∠ODA=50°，∴∠AOD=180°-∠OAD-∠ODA=80°，∴∠AOC=∠AOD+∠COD=140°，∴α=360°-∠AOB-∠AOC=110°；當(dāng)AD=OD時(shí)，則∠DAO=∠DOA=50°，∴∠AOC=∠AOD+∠COD=110°，∴α=360°-∠AOB-∠AOC=140°；綜上所述，α的度數(shù)為125°或110°或140°時(shí)，△AOD是等腰三角形．【點(diǎn)睛】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)與判定，等邊對(duì)等角，三角形內(nèi)角和定理等等，熟知等邊三角形的性質(zhì)與判定條件是解題的關(guān)鍵．【變式6-3】（2023春·廣東茂名·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在△ABC中，∠ACB=90o，∠BAC=30o，在直線(xiàn)BC或AC上取一點(diǎn)P，使得△PAB為等腰三角形，則符合條件的點(diǎn)P共有個(gè)．【答案】6【分析】根據(jù)等腰三角形的判定，“在同一三角形中，有兩條邊相等的三角形是等腰三角形（簡(jiǎn)稱(chēng)：在同一三角形中，等邊對(duì)等角）”分三種情況解答即可．【詳解】如圖，①AB的垂直平分線(xiàn)交AC一點(diǎn)P1（PA=PB），交直線(xiàn)BC于點(diǎn)P2；②以A為圓心，AB為半徑畫(huà)圓，交AC有二點(diǎn)P3，P4，交BC有一點(diǎn)P2，（此時(shí)AB=AP）；③以B為圓心，BA為半徑畫(huà)圓，交BC有二點(diǎn)P5，P2，交AC有一點(diǎn)P6（此時(shí)BP=BA）．故符合條件的點(diǎn)有6個(gè)．故答案為：6．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的判定；構(gòu)造等腰三角形時(shí)本著截取相同的線(xiàn)段就能作出等腰三角形來(lái)，思考要全面，做到不重不漏．【題型7構(gòu)造等腰三角形需分類(lèi)討論】【例7】（2023春·江西上饒·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）有一三角形紙片ABC，∠A＝70°，點(diǎn)D是AC邊上一點(diǎn)，沿BD方向剪開(kāi)三角形紙片后，發(fā)現(xiàn)所得兩個(gè)紙片均為等腰三角形，則∠C的度數(shù)可以是．【答案】20°或35°或27.5°【分析】分AB=AD或AB=BD或AD=BD三種情況根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出∠ADB，再求出∠BDC，然后根據(jù)等腰三角形兩底角相等列式計(jì)算即可得解．【詳解】由題意知△ABD與△DBC均為等腰三角形，對(duì)于△ABD可能有①AB＝BD，此時(shí)∠ADB＝∠A＝70°，∴∠BDC＝180°﹣∠ADB＝180°﹣70°＝110°，∠C＝12（180°﹣110°）＝35°②AB＝AD，此時(shí)∠ADB＝12（180°﹣∠A）＝12（180°﹣70°）＝∴∠BDC＝180°﹣∠ADB＝180°﹣55°＝125°，∠C＝12（180°﹣125°）＝27.5°③AD＝BD，此時(shí)，∠ADB＝180°﹣2×70°＝40°，∴∠BDC＝180°﹣∠ADB＝180°﹣40°＝140°，∠C＝12（180°﹣140°）＝20°綜上所述，∠C度數(shù)可以為20°或35°或27.5°．故答案為：20°或35°或27.5°【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，難點(diǎn)在于分情況討論．【變式7-1】（2023春·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）過(guò)等腰三角形底角頂點(diǎn)的一條直線(xiàn)，將該等腰三角形分成的兩個(gè)三角形均為等腰三角形，則原等腰三角形的頂角度數(shù)為．【答案】36°或180【分析】分兩種情況畫(huà)出圖形，①當(dāng)BC=BD=AD，AB=AC時(shí)，設(shè)∠A=α，得∠C=∠CDB=2α．∠ABC=∠C=2α．由∠A+∠ABC+∠C=180°，則α+2α+2α=180°，即可得到α=36°；②當(dāng)AD=BD，BC=DC，AB=AC時(shí)，設(shè)∠A=α．得∠ABC=∠C=3α．則∠A+∠ABC+∠C=180°，則α+3α+3α=180°，得α=180【詳解】解：分兩種情況討論：①如圖（1），

當(dāng)BC=BD=AD，AB=AC時(shí)，設(shè)∠A=α．∵BD=AD，∴∠ABD=∠A=α，∴∠CDB=∠ABD+∠A=2α．∵BC=BD，∴∠C=∠CDB=2α．∵AB=AC，∴∠ABC=∠C=2α．∵∠A+∠ABC+∠C=180°，∴α+2α+2α=180°，解得α=36°．②如圖（2），

當(dāng)AD=BD，BC=DC，AB=AC時(shí)，設(shè)∠A=α．∵AD=BD，∴∠A=∠ABD=α．∴∠BDC=∠A+∠ABD=2α．∵BC=DC，∴∠CBD=∠BDC=2α，∴∠ABC=∠ABD+∠CBD=3α．∵AB=AC，∴∠ABC=∠C=3α．∵∠A+∠ABC+∠C=180°，∴α+3α+3α