專(zhuān)訓(xùn)13.3.1.3 等腰三角形的性質(zhì)與判定的綜合-簡(jiǎn)單數(shù)學(xué)之2021-2022學(xué)年八年級(jí)上冊(cè)考點(diǎn)專(zhuān)訓(xùn)（原卷版）（人教版）

專(zhuān)訓(xùn)13.3.1.3等腰三角形的性質(zhì)與判定的綜合一、單選題1．如圖，∠ABE＝∠ACD，∠EBC＝∠DCB，則下列結(jié)論正確的有（）①AB＝AC；②AD＝AE；③BD＝CE；④CD＝BE．A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)2．如圖，銳角三角形ABC中，D點(diǎn)在BC上，，今欲在AD上找一點(diǎn)P，使得，以下是甲、乙兩人的作法：甲：作AC的中垂線交AD于P點(diǎn)，則P即為所求．乙：以C為圓心，CD長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交AD于異于D點(diǎn)的一點(diǎn)P，則P即為所求．對(duì)于甲、乙兩人的作法，下列判斷何者正確？（）A．兩人皆正確 B．兩人皆錯(cuò)誤C．甲正確，乙錯(cuò)誤 D．甲錯(cuò)誤，乙正確3．如圖，在中，，，以點(diǎn)為圓心，任意長(zhǎng)為半徑作弧，分別交邊，于點(diǎn)，；再分別以點(diǎn)，為圓心，以大于的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)，作射線交于點(diǎn).設(shè)，的面積分別為，，則的值為（）A． B． C． D．4．求證：如果三角形一個(gè)外角的平分線平行于三角形的一邊，那么這個(gè)三角形是等腰三角形．已知：如圖，是的外角，，AD∥BC．求證．以下是排亂的證明過(guò)程：①又，②∴，③∵AD∥BC，④∴，，⑤∴．證明步驟正確的順序是（）A．③→②→①→④→⑤ B．③→④→①→②→⑤C．①→②→④→③→⑤ D．①→④→③→②→⑤5．如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是BC邊上的高，BE是AC邊的中線，CF是∠ACB的角平分線，CF交AD于點(diǎn)G，交BE于點(diǎn)H，下面說(shuō)法正確的是（）①△ABE的面積＝△BCE的面積；②∠FAG＝∠FCB；③AF＝AG；④BH＝CH．A．①②③④ B．①②③ C．②④ D．①③6．如圖在中，和的平分線交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作交于，交于，過(guò)點(diǎn)作于，下列四個(gè)結(jié)論：其中正確的結(jié)論有（）個(gè)．①；②；③點(diǎn)到各邊的距離相等；④設(shè),，則；⑤的周長(zhǎng)等于的和．A．1 B．2 C．3 D．4二、填空題7．如圖，以的頂點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交邊于點(diǎn)，連接．若，，則的大小為_(kāi)_____度．8．如圖，中，是上任意一點(diǎn)，于點(diǎn)于點(diǎn)F，若，則________．

9．如圖，在△ABC中，∠B＝∠C，D，E分別是線段BC、AC上的一點(diǎn)，且AD＝AE．用等式表示∠1和∠2之間的數(shù)量關(guān)系是__．三、解答題10．如圖，在中，平分于點(diǎn)D，交于點(diǎn)E，若，求的長(zhǎng)．11．如圖，在中，．線段是由線段平移得到的，點(diǎn)F在邊上，是以為斜邊的等腰直角三角形，且點(diǎn)D恰好在的延長(zhǎng)線上．（1）求證：；（2）求證：．12．如圖，點(diǎn)C在線段上，．（1）求證：．（2）若，求的度數(shù)．13．如圖，在中，，的垂直平分線交、于點(diǎn)、．（1）若，求、的度數(shù)；（2）若，，求的周長(zhǎng)．14．如圖，在中，，且．（1）作的垂直平分線，交于點(diǎn)D，交于點(diǎn)E；連接；延長(zhǎng)，交直線于點(diǎn)F；（要求：尺規(guī)作圖，不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡）（2）在（1）所作的圖中，求證：．15．如圖，在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)E，F(xiàn)在邊BC上，連接AE，AF，∠BAF＝∠CAE，延長(zhǎng)AF至點(diǎn)D，使AD＝AC，連接CD．（1）求證：△ABE≌△ACF；（2）若∠ACF＝30°，∠AEB＝130°，求∠ADC的度數(shù)．16．如圖，是的兩條高線，且它們相交于F，于點(diǎn)H，與相交于點(diǎn)G，已知．（1）求證：．（2）若平分．求證：．17．如圖，和均為等腰三角形，，，點(diǎn)A，D，E在同一直線上，連接．（1）如圖1，若．①求證：；②則的度數(shù)為_(kāi)______．（2）如圖2，若，為中邊上的高，試猜想，，之間的數(shù)量關(guān)系，并簡(jiǎn)要證明你的結(jié)論．18．如圖，在中，為的中點(diǎn)，，，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿方向以3個(gè)單位長(zhǎng)度每秒的速度向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)；同時(shí)動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿方向以3個(gè)單位長(zhǎng)度每秒的速度向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間是秒．（1）在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，當(dāng)______秒時(shí)，；（2）在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，當(dāng)時(shí)，求出的值；（3）是否存在某一時(shí)刻，使？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．19．如圖，在中，．D是內(nèi)一點(diǎn)，．過(guò)點(diǎn)B作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．（1）依題意補(bǔ)全圖形；（2）求證：；（3）在（1）補(bǔ)全的圖形中，不添加其他新的線段，在圖中找出與相等的線段并加以證明．20．在中，，的垂直平分線交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，的垂直平分線交于點(diǎn)，交于點(diǎn)．

（1）如圖1，若，，求的度數(shù)；（2）如圖2，若，求證：；（3）當(dāng)是等腰三角形時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出所有可能的與的數(shù)量關(guān)系．21．如圖，在中，，點(diǎn)D，E分別在邊AB，AC上，，連結(jié)CD，BE．

（1）若，求，的度數(shù)．（2）寫(xiě)出與之間的關(guān)系，并說(shuō)明理由．22．如圖，在四邊形中，，，，是邊上的兩點(diǎn)，且．（1）求證：≌．（2）若，求的度數(shù)．23．如圖，已知．（1）與全等嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由；（2）若，垂足為F，請(qǐng)說(shuō)明線段；（3）在（2）的基礎(chǔ)上，猜想線段存在的數(shù)量關(guān)系，并直接寫(xiě)出結(jié)論．24．如圖①，△ABC中．AB＝AC，P為底邊BC上一點(diǎn)，PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB，垂足分別為E、F、H．易證PE＋PF＝CH．證明過(guò)程如下：如圖①，連接AP．∵PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB，∴＝AB?PE，＝AC?PF，＝AB?CH．又∵，∴AB?PE＋AC?PF＝AB?CH．∵AB＝AC，∴PE＋PF＝CH．（1）如圖②，P為BC延長(zhǎng)線上的點(diǎn)時(shí)，其它條件不變，PE、PF、CH又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫(xiě)出你的猜想，并加以證明：（2）填空：若∠A＝30°，△ABC的面積為49，點(diǎn)P在直線BC上，且P到直線AC的距離為PF，當(dāng)PF＝3時(shí)，則AB邊上的高CH______．點(diǎn)P到AB邊的距離PE＝________．25．閱讀與思考：在數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師提出了這樣一個(gè)問(wèn)題：如圖1，已知銳角，是邊上一點(diǎn)，利用尺規(guī)作圖在邊上求作點(diǎn)，使．小明同學(xué)想到了如下的方法，并完成了部分證明．方法：①如圖2，分別以點(diǎn)，為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧分別相交于點(diǎn)，；②作直線，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)；③連接．則點(diǎn)即為所求．證明：如圖3，連接，，，．由作圖可知，，．∴點(diǎn)，均在線段的垂直平分線上．（依據(jù)1）∴直線是線段的垂直平分線．（依據(jù)2）……（1）上述證明過(guò)程中的“依據(jù)1”和“依據(jù)2”分別指什么？（2）請(qǐng)將上述證明過(guò)程補(bǔ)充完整．（3）尺規(guī)作圖：請(qǐng)?jiān)趫D1中，用不同于小明的方法求作點(diǎn)．（保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）26．在等腰△ABC中，AB＝BC，點(diǎn)D，E在射線BA上，BD＝DE，過(guò)點(diǎn)E作EF∥BC，交射線CA于點(diǎn)F．請(qǐng)解答下列問(wèn)題：

（1）當(dāng)點(diǎn)E在線段AB上，CD是△ACB的角平分線時(shí)，如圖①，求證：AE＋BC＝CF；（提示：延長(zhǎng)CD，F(xiàn)E交于點(diǎn)M．）（2）當(dāng)點(diǎn)E在線段BA的延長(zhǎng)線上，CD是△ACB的角平分線時(shí)，如圖②；當(dāng)點(diǎn)E在線段BA的延長(zhǎng)線上，CD是△ACB的外角平分線時(shí)，如圖③，請(qǐng)直接寫(xiě)出線段AE，BC，CF之間的數(shù)量關(guān)系，不需要證明；27．如圖，已知等腰中，是的高，是的角平分線，與交于點(diǎn)P，當(dāng)?shù)拇笮∽兓瘯r(shí)，的形狀也隨之改變．（1）當(dāng)時(shí)，求的度數(shù)；（2）求和的關(guān)系；（3）當(dāng)?shù)亩葦?shù)為_(kāi)__________時(shí)，是等腰三角形．28．如圖1，在△ABC中，BO⊥AC于點(diǎn)O，AO＝BO＝3，OC＝1，過(guò)點(diǎn)A作AH∠BC于點(diǎn)H，交BO于點(diǎn)P．（1）求線段OP的長(zhǎng)度；（2）連接OH，求證：∠OHP＝45°；（3）如圖2，若點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)M為線段BO延長(zhǎng)線上一動(dòng)點(diǎn)，連接MD，過(guò)點(diǎn)D作DN⊥DM交線段A延長(zhǎng)線于N點(diǎn)，則S△BDM－S△ADN的值是否發(fā)生改變，如改變，求出該值的變化范圍；若不改變，求該式子的值．

29．若兩條線段將一個(gè)三角形分割成三個(gè)等腰三角形，則這兩條線段稱為三分線．（1）如圖①，△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，請(qǐng)?jiān)趫D中畫(huà)出兩條三分線，并標(biāo)出每個(gè)等腰三角形頂角的度數(shù)（畫(huà)出一種分割即可）．（2）如圖②，△ABC中，∠C＝90°，