安徽省蕪湖市無為第三中學(xué)2022-2023學(xué)年九年級上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題答案

無為三中2022—2023學(xué)年度第一學(xué)期期中考試九年級數(shù)學(xué)試卷本卷共八大題，計23小題，滿分150分，考試時間120分鐘．請在答題卡上作答，在試題卷上答題無效，祝你考出好成績！一、單選題（本題共10小題，每題4分，滿分40分）1.若關(guān)于x的方程是一元二次方程，則（）A.a＝ B.a＝± C.a＝2 D.a＝－2【答案】D【解析】2.已知是方程的一個根，則代數(shù)式的值是()A.2 B.4 C.-2 D.-4【答案】A【解析】【分析】根據(jù)一元二次方程方程的解的定義可得，進而可得，整體代入代數(shù)式中即可求解．【詳解】解：∵是方程的一個根，∴即，∴=．故選A．【點睛】本題考查了一元二次方程根的定義，代數(shù)式求值，求得是解題的關(guān)鍵．3.已知關(guān)于x的方程有兩個實數(shù)根，則k的取值范圍是（）A. B. C.且k≠0 D.且k≠0【答案】D【解析】【分析】因為關(guān)于x的一元二次方程有兩個實數(shù)根，所以必須滿足下列條件：二次項系數(shù)不為零且判別式，列出不等式求解即可確定k的取值范圍．【詳解】解：∵關(guān)于x的一元二次方程有兩個實數(shù)根，∴，即，且，解得且．故選：D【點睛】此題考查一元二次方程概念及根的判別式，解題關(guān)鍵在于掌握根的判別式與根的個數(shù)之間的關(guān)系，注意此處：．4.某超市一月份營業(yè)額為20萬元，已知第一季度的總營業(yè)額共100萬元，如果營業(yè)額平均每月的增長率為x，那么由題意列方程應(yīng)為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由該超市一月份的營業(yè)額及平均每月增長率，可得出該超市二、三月份的營業(yè)額，再根據(jù)該超市第一季度的總營業(yè)額共100萬元，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，此題得解．【詳解】解：∵該超市一月份的營業(yè)額為20萬元，且平均每月增長率為x，∴該超市二月份的營業(yè)額為萬元，三月份的營業(yè)額為萬元，又∵第一季度總營業(yè)額共100萬元，∴，即．故選：D．【點睛】本題考查了由實際問題抽象出一元二次方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．5.一個等邊三角形繞其中心至少旋轉(zhuǎn)多少度能與自身重合（）A.120° B.90° C.60° D.30°【答案】A【解析】【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)對稱圖形的概念：把一個圖形繞著一個定點旋轉(zhuǎn)一個角度后，與原圖形重合，即可．【詳解】∵等邊三角形三個角相等∴在旋轉(zhuǎn)時，只要使下一個角對準(zhǔn)原角，即可重合∵旋轉(zhuǎn)一周為∴旋轉(zhuǎn)，即可與自身重合故選：A．【點睛】本題考查旋轉(zhuǎn)的知識，解題的關(guān)鍵是掌握旋轉(zhuǎn)對稱圖形的概念．6.二次函數(shù)的圖象是一條拋物線，下列關(guān)于該拋物線的說法，正確的是（）A.拋物線開口向下B.拋物線經(jīng)過點（2，3）C.拋物線的對稱軸是直線x=1D.拋物線與x軸有兩個交點【答案】D【解析】【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)對選項A、選項C進行判斷；根據(jù)二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征對選項B進行判斷；利用方程解的情況對選項D進行判斷．【詳解】解：A、a＝2，則拋物線的開口向上，故A選項錯誤；B、當(dāng)x＝2時，，則拋物線不經(jīng)過點（2，3），故B選項錯誤；C、拋物線的對稱軸為直線x＝0，故C選項錯誤；D、當(dāng)y＝0時，，此方程中，因此此方程有兩個不相等的實數(shù)解，所以拋物線與x軸有兩個交點，故D選項正確．故選：D．【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，二次函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸的交點問題，二次函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握二次函數(shù)的相關(guān)知識．7.已知點A（4，），B（，），在的圖象上，則，，的大小關(guān)系是（）A.<< B.<< C.<< D.<<【答案】D【解析】【分析】由的對稱軸為直線可得函數(shù)圖象的開口向下，離對稱軸越近的點的縱坐標(biāo)越大，從而可得答案.【詳解】解：∵的對稱軸為直線∴函數(shù)圖象的開口向下，離對稱軸越近的點的縱坐標(biāo)越大，而，，，∴到對稱軸的距離最近，C到對稱軸的距離最遠(yuǎn)，∴<<，故選：D【點睛】本題考查的是二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合的方法判斷二次函數(shù)的函數(shù)值的大小是解本題的關(guān)鍵.8.如圖，一次函數(shù)與二次函數(shù)的圖象相交于，兩點，則關(guān)于x的不等式的解集為（）A.或 B. C. D.或【答案】C【解析】【分析】關(guān)于x的不等式的解集就是一次函數(shù)的圖象在二次函數(shù)的圖象的上邊部分對應(yīng)的自變量的取值范圍．【詳解】解：∵一次函數(shù)與二次函數(shù)的圖象相交于A（?1，4），B（5，2）兩點，∴根據(jù)圖象可得關(guān)于x的不等式的解集是：?1≤x≤5．故選：C．【點睛】本題考查了二次函數(shù)與不等式的關(guān)系，理解不等式的解集就是對應(yīng)的自變量的取值范圍是關(guān)鍵．9.如圖，點E、F、G、H分別是正方形ABCD邊AB、BC、CD、DA上的點，且AE＝BF＝CG＝DH．設(shè)A、E兩點間的距離為x，四邊形EFGH的面積為y，則y與x的函數(shù)圖象可能為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】本題需先設(shè)正方形的邊長為，然后得出與、是二次函數(shù)關(guān)系，從而得出函數(shù)的圖象．【詳解】解：設(shè)正方形的邊長為，則，，，，，，，，，，與的函數(shù)圖象是．故選：．【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，在解題時要能根據(jù)幾何圖形求出解析式，得出函數(shù)的圖象．10.拋物線的對稱軸為直線x=1，與x軸的一個交點坐標(biāo)為(，0)，其部分圖象如圖所示．下列結(jié)論：①；②方程的兩個根是；③；④當(dāng)時，x的取值范圍是；⑤m為任意實數(shù)，其中結(jié)論正確的個數(shù)是（）A.4個 B.3個 C.2個 D.1個【答案】B【解析】【分析】利用拋物線與x軸交點個數(shù)，可判斷①；利用拋物線的對稱性結(jié)合圖象，可求出拋物線與x軸的另一個交點，可判斷②；由對稱軸的方程可得出．然后根據(jù)當(dāng)時，函數(shù)值為0，即可得出，從而得出，可判斷③；根據(jù)拋物線在x軸上方時，x的取值范圍可判斷④；由當(dāng)時，函數(shù)有最大值，即可知m為任意實數(shù)時，恒成立，從而得出，可判斷⑤．【詳解】由圖象可知該拋物線與x軸有兩個交點，即其相關(guān)一元二次方程有兩個不相等實數(shù)根，∴，即，故①正確；由圖象可知該拋物線與x軸的一個交點坐標(biāo)為(，0)，∵對稱軸為，∴該拋物線與x軸的另一個交點坐標(biāo)為(3，0)，∴方程的兩個根是，故②正確；∵該拋物線對稱軸為，∴，即．將(，0)代入，得：，將代入，得：∴，故③錯誤；當(dāng)時，即取拋物線在x軸上方的部分，由圖象結(jié)合②可知此時x的取值范圍是，故④錯誤；由圖象可知當(dāng)時，函數(shù)有最大值，∴m為任意實數(shù)時，，∴，故⑤正確．綜上可知正確的結(jié)論有3個．故選B．【點睛】本題考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系．熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題關(guān)鍵．二、填空題（本題共4小題，每題5分，滿分20分）11.若，則x=________【答案】x=1或x=0,【解析】【分析】先對移項，再進行計算即可得到答案.【詳解】解得x=1或x=0.【點睛】本題考查解一元二次方程，解題的關(guān)鍵是掌握解一元二次方程的基本步驟.12.若關(guān)于x的方程有實數(shù)根，則k的取值范圍是______．【答案】【解析】【分析】討論：當(dāng)時，方程化為一元一次方程，有一個實數(shù)解；當(dāng)時，根據(jù)根的判別式的意義得到△，解得且，然后綜合兩種情況得到的取值范圍．【詳解】解：當(dāng)時，方程化為，解得；當(dāng)時，則△，解得且，綜上所述，的取值范圍為．故答案為：．【點睛】本題考查了根的判別式：一元二次方程的根與△有如下關(guān)系：當(dāng)△時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當(dāng)△時，方程有兩個相等的實數(shù)根；當(dāng)△時，方程無實數(shù)根．13.拋物線向右平移2個單位再向下平移1個單位，所得的新拋物線的表達式是____________．【答案】【解析】【分析】直接利用拋物線的平移規(guī)律：上加下減，左加右減進而得到平移后的表達式．【詳解】解：拋物線向右平移2個單位再向下平移1個單位，平移后的新拋物線的表達式為：即．故答案為：．【點睛】此題考查了二次函數(shù)圖像的平移．將二次函數(shù)的解析式化為頂點式與熟練掌握圖像平移的規(guī)律是解此題的關(guān)鍵．14.知識拓展：將函數(shù)y＝x2+2x﹣3的圖象位于x軸下方的部分沿x軸翻折至其上方后，所得的即是新函數(shù)y＝|x2+2x﹣3|的圖象．請解決以下問題：（1）寫出翻折部分的函數(shù)表達式______；（2）若該新函數(shù)圖象與直線y＝﹣x+b有兩個交點，則b的取值范圍是_____．【答案】①.y＝﹣（x+1）2+4②.﹣＜b＜或b＞【解析】【分析】（1）求出函數(shù)頂點坐標(biāo)，根據(jù)翻折后頂點坐標(biāo)及開口方向變化求解．（2）作出y＝|x2+2x﹣3|的圖象，根據(jù)b值的變化直線上線平移，結(jié)合圖象求解．【詳解】解：（1）∵，∴拋物線頂點坐標(biāo)為，開口向上，∴翻折后拋物線開口向下，頂點坐標(biāo)為，∴，故答案為：．（2）令x2+2x﹣3＝0，解得x1＝﹣3，x2＝1，∴函數(shù)圖象與x軸交點坐標(biāo)為（﹣3，0），（1，0），如圖，直線經(jīng)過（﹣3，0），將（﹣3，0）代入得0＝+b，解得b＝﹣，b增大，直線向上移動，當(dāng)直線經(jīng)過（1，0）時，如圖，將（1，0）代入得0＝﹣+b，解得b＝，∴﹣＜b＜滿足題意．直線向上移動，當(dāng)直線與拋物線y＝﹣（x+1）2+4有1個交點時，如圖，令﹣x+b＝﹣（x+1）2+4，整理得x2+x+b﹣3＝0，＝（）2﹣4（b﹣3）＝0，解得b＝，b增大滿足題意，∴b＞，綜上所述，﹣＜b＜或b＞，故答案為：﹣＜b＜或b＞．【點睛】本題考查了二次函數(shù)圖像與一次函數(shù)圖像及二次函數(shù)圖像與x軸的交點問題，運用數(shù)形結(jié)合思想是解決本題的關(guān)鍵．三、（本大題共2小題，每小題8分，滿分16分）15.解下列關(guān)于的方程．（1）；（2）．【答案】（1），（2），【解析】【分析】（1）直接利用開平方的方法解方程即可；（2）利用公式法求解即可．【小問1詳解】解：移項，得．開方得：，解得，．【小問2詳解】解：∵∴，，．∴．∴方程有兩個不等的實數(shù)根∴，解得，．【點睛】本題主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解題的關(guān)鍵．16.如圖，已知坐標(biāo)平面內(nèi)的三個點A（1，3），B（3，1），O（0，0），（1）請畫出把△ABO向下平移5個單位后得到的△A1B1O1的圖形；（2）請畫出將△ABO繞點O順時針旋轉(zhuǎn)90°后得到的△A2B2O2，并寫出點A的對應(yīng)點A2的坐標(biāo)．【答案】（1）見解析（2）（3，-1）【解析】【分析】(1)找到△ABO的三個頂點A、B、O、分別向下平移5個單位，找的它們的對應(yīng)點A1、B1、O1，連接A1B1、B1O1、O1A1，即可得到題目所要求圖形△A1B1O1.(2)將△ABO繞點O順時針旋轉(zhuǎn)90°，則旋轉(zhuǎn)中心O點的對應(yīng)點O2的坐標(biāo)仍為（0、0），OA可以看成它所在長方形的對角線，通過旋轉(zhuǎn)長方形即可得到OA的對應(yīng)線段O2A2，同理得出OB的對應(yīng)線段O2B2，連接A2B2即可得到△A2B2O2.【詳解】（1）（2）由圖可知，A2的坐標(biāo)為（3，﹣1）.【點睛】本題主要考查圖形的平移與旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)是本題的難點.四、（本大題共2小題，每小題8分，滿分16分）17.先化簡，再求值：，其中m是方程的根．【答案】；【解析】【分析】根據(jù)分式的混合運算法則把原式化簡，再根據(jù)一元二次方程解的定義，得出，再整體代入計算，即可得解．【詳解】解：，∵m是方程的根，∴，即；【點睛】本題考查了分式的化簡求值、一元二次方程的解，熟練掌握分式的混合運算法則是解題關(guān)鍵．注意整體代入思想的運用．18.如圖，一座拋物線型拱橋，橋下水面寬度是時，拱高為，一艘木船寬要能順利從橋下通過，船頂點與橋拱之間的間隔應(yīng)不少于，那么木船的高不得超過多少米？（要求：以水面所在水平線為x軸，過拱橋頂點作水平線的垂線，作為y軸，建立坐標(biāo)系）【答案】木船的高不得超過【解析】【分析】以水面所在水平線為x軸，過拱橋頂點作水平線的垂線，作為y軸，建立坐標(biāo)系，則拋物線的頂點坐標(biāo)為，設(shè)拋物線的解析式為：，求出拋物線的解析式為，把代入得：，求出木船的最大高度即可．【詳解】解：如圖，以水面所在水平線為x軸，過拱橋頂點作水平線的垂線，作為y軸，建立坐標(biāo)系，則拋物線的頂點坐標(biāo)為，設(shè)拋物線的解析式為：，把代入得：，解得：，∴拋物線的解析式為，∵木船寬，∴把代入得：，∵船頂點與橋拱之間的間隔應(yīng)不少于，∴木船的高不得超過．【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是建立平面直角坐標(biāo)系，求出拋物線的解析式．五、（本大題共2小題，每小題10分，滿分20分）19.某居民小區(qū)要在一塊一邊靠墻（墻長8米）的空地上建長方形花園ABCD，花園一邊靠墻，另三邊用總長為20米的柵欄圍成，如圖，設(shè)AB＝x米，請問：當(dāng)x取何值時，花園的面積為18平方米？【答案】9【解析】【詳解】設(shè)AB=x米，則米，由題意：長方形花園的面積為18平方米，列出一元二次方程，解方程，即可解決問題．【解答】解：設(shè)AB=x米，則米，由題意得：，解得：x=1或x=9，當(dāng)x=1時，，故舍去；當(dāng)x=9時，；答：當(dāng)x為9時，花園的面積為18平方米．【點睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵，注意驗證x的值是否符合題意．20.已知一個二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點和三點．（1）求此二次函數(shù)的解析式．（2）求此二次函數(shù)頂點坐標(biāo)．【答案】（1）．（2）頂點坐標(biāo)是．【解析】【分析】（1）根據(jù)A與B的坐標(biāo)設(shè)出拋物線的解析式，把C坐標(biāo)代入確定出即可；（2）把解析式化成頂點式即可求得．【小問1詳解】解：∵拋物線過，設(shè)二次函數(shù)解析式，∵拋物線過點，∴，解得a=1，∴，∴二次函數(shù)的解析式．【小問2詳解】解：由，∴頂點坐標(biāo)是．【點睛】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，熟練掌握待定系數(shù)法是解本題的關(guān)鍵．六、（本題滿分12分）21.云南某星級酒店共有50個房間供給受疫情影響需要隔離的人員居住，每間房價不低于200元且不超過350元，酒店還需對隔離人員居住的每個房間每天支出各種費用共計120元已知需要隔離的人員居住的房間數(shù)y（單位：間）和每個房間定價x（單位：元）符合一次函數(shù)關(guān)系，如圖是y關(guān)于x的函數(shù)圖象．（1）求y與x之間的函數(shù)解析式；（2）當(dāng)房價定為多少元時，酒店利潤最大？最大利潤是多少元？【答案】（1）y=x+96（230≤x≤350）（2）當(dāng)每間房價定價為300元時，酒店每天所獲利潤最大，最大利潤是6480元【解析】【分析】（1）根據(jù)圖象設(shè)y關(guān)于x的函數(shù)解析式為y=kx+b，然后用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式即可；（2）根據(jù)酒店利潤數(shù)=單個房間的利潤×隔離人員居住房間數(shù)列出二次函數(shù)的關(guān)系式，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)解決問題．【小問1詳解】解：由題意，設(shè)y關(guān)于x的函數(shù)解析式為y=kx+b，把（280，40），（290，38）代入得：，解得：，∴y與x之間的函數(shù)解析式為y=x+96（230≤x≤350）；【小問2詳解】設(shè)酒店的利潤為w元，則，，∴當(dāng)x=300時，w取得最大值，最大值為6480元，答：當(dāng)每間房價定價為300元時，酒店每天所獲利潤最大，最大利潤是6480元．【點睛】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)“酒店利潤數(shù)=單個房間的利潤×隔離人員居住房間數(shù)”列出二次函數(shù)的關(guān)系式，用二次函數(shù)解決實際問題中的最值問題．七、（本題滿分12分）22.如圖，拋物線經(jīng)過點A（，0），B（4，0），與y軸正半軸交于點C，且，拋物線的頂點為D，對稱軸交x軸于點E．直線經(jīng)過B，C兩點．（1）求拋物線及直線BC的函數(shù)表達式；（2）點F是拋物線對稱軸上一點，當(dāng)?shù)闹底钚r，求出點F的坐標(biāo)及的最小值．【答案】（1）拋物線的表達式為；直線BC的表達式為（2）點F的坐標(biāo)為（1，3）、的最小值為【解析】【小問1詳解】解：由點A的坐標(biāo)知，，∵，∴點C的坐標(biāo)為，將點A、B、C的坐標(biāo)代入拋物線表達式得：，解得，，∴拋物線的表達式為；將點B、C的坐標(biāo)代入一次函數(shù)表達式得：，解得，，∴直線BC的表達式為；【小問2詳解】解：∵點A、B關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，∴設(shè)拋物線的對稱軸交BC于點F，則點F為所求點，此時，當(dāng)?shù)闹底钚。邟佄锞€的表達式為，∴拋物線的對稱軸為即，由函數(shù)的對稱性知，，則為最小，當(dāng)時，，∴點，由點B、C的坐標(biāo)知，，∴，即點F的坐標(biāo)為、的最小值為．【點睛】本題主要考查了待定系數(shù)法求解拋物線和一次函數(shù)的表達式，勾股定理，最短距離等知識，熟練掌握待定系數(shù)法求函數(shù)表達式以及靈活運用勾股定理求解是解題的關(guān)鍵．八、（本題滿分14分）23.在ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC．點P是直線AB上的一點，連接PC，以PC為腰作等腰直角PCD．（1）如圖1，當(dāng)點P是線段上異于A、B的任一點，求證：．（2）如圖2，若點P在線段AB的延長線上時，線段AP，BP，PC滿足的關(guān)系式為；（3）如圖3，當(dāng)P是ABC內(nèi)的一點，且PB＝1，PC＝2