2023年福建省莆田市普通高校對口單招數(shù)學(xué)自考真題(含答案)

2023年福建省莆田市普通高校對口單招數(shù)

學(xué)自考真題（含答案）

學(xué)校:班級:姓名:考號:

一、單選題（10題）

1.垂直于同一個(gè)平面的兩個(gè)平面（）

A.互相垂直B.互相平行C.相交D.前三種情況都有可能

2.如下圖所示，轉(zhuǎn)盤上有8個(gè)面積相等的扇形，轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤，則轉(zhuǎn)盤停止

轉(zhuǎn)動時(shí)，指針落在陰影部分的概率為（）

A.l/8B.1/4C.3/8D.1/2

3.已知過點(diǎn)A（0,-1）,點(diǎn)B在直線x-y+l=0上，直線AB的垂直平

分線x+2y-3=0,則點(diǎn)B的坐標(biāo)是（）

A.（-2,-3）B.（2,3）C.（2,1）D.（-2.1）

4.由直線h：3x+4y-7=0與直線b：6x+8y+l=0間的距離為（）

A.8/5B.3/2C.4D.8

M='xS=沖>-1}

5.設(shè)集合2,則MS等于()

2

A.{x|x>2}

B.{x|x>2}

2

C.{x|x<2}

2

D.{x|x<1}

6.一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體可以是()

△A

:?■■■■

A.棱柱B.棱臺C.圓柱D.圓臺

7.已知向量a=(1,3)與6=(x,9)共線，則實(shí)數(shù)x=()

A.2B.-2C.-3D.3

。設(shè)集合M={—LOJ},N={o},則().

A.N為空集

NeM

B.

NnM

C.

NuM

D.

函數(shù)V=4x+3的單調(diào)遞增區(qū)間是()

9.

&(一%+8)

B(O.X)

C(f0)

[o.+ac)

D.

10.二項(xiàng)式(x-2)7展開式中含x5的系數(shù)等于()

A.-21B.21C.-84D.84

二、填空題(10題)

11.已知拋物線的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上，拋物線上的點(diǎn)M(m,-

2)到焦點(diǎn)的距離為4,則m的值為.

12.(x+2)6的展開式中x3的系數(shù)為/

雙曲線支一匕=1的漸近線方程是y=

13.94

]4不等式|3_2九wI的解集是.

15.數(shù)列｛a“滿足an+i=l/l-an,a2=2,則a]=

16.某校有老師200名，男學(xué)生1200名，女學(xué)生1000名，現(xiàn)用分層抽

樣的方法從所有師生中抽取一個(gè)容量為240的樣本，則從女生中抽取

的人數(shù)為

17.設(shè)等差數(shù)列｛aj的前n項(xiàng)和為Sn,若S8=32,則a?+2a5十

a6=.

18.已知等差數(shù)列｛an｝的公差是正數(shù),且a3?a7=-12,陽+1二等則

S20=.

若方程(l-a)x+y=a-4表示焦點(diǎn)在x軸上

的雙曲線，則參數(shù)a的取值范圍___________

19.

20.設(shè)｛a“是公比為q的等比數(shù)列，且a2=2,a4=4成等差數(shù)列，則q三。

三、計(jì)算題(5題)

21.有四個(gè)數(shù)，前三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，公差為10,后三個(gè)數(shù)成等比數(shù)

列，公比為3,求這四個(gè)數(shù).

22.設(shè)函數(shù)f(x)既是R上的減函數(shù)，也是R上的奇函數(shù)，且f(l)=2.

(1)求f(-l)的值;

(2)若f(t2-3t+l)>-2,求t的取值范圍.

23.已知函數(shù)y=0cos2x+3sin2x,x￡R求：

(1)函數(shù)的值域；

(2)函數(shù)的最小正周期。

1-X

己知函f(x)=loga-------，(a>0且a*)

24.1+x

(1)求函數(shù)f(x)的定義域；

(2)判斷函數(shù)f(x)的奇偶性，并說明理由。

25.己知直線1與直線y=2x+5平行，且直線1過點(diǎn)(3,2).

(1)求直線1的方程；

(2)求直線1在y軸上的截距.

四、簡答題(10題)

26.如圖四面體ABCD中，AB_L平面BCD,BD_LCD.求證:

(1)平面ABD_L平面ACD；

(2)若AB=BC=2BD,求二面角B-AC-D的正弦值.

?-6x+8>0

色>2

27.解不等式組-X-1

ax2+1

〃x)=

28.設(shè)函數(shù)bx+c是奇函數(shù)(a,b,c￡Z)且f(1)=2,f(2)<

3.

(1)求a,b,c的值;

(2)當(dāng)x<0時(shí)，判斷f(x)的單調(diào)性并加以證明.

29.點(diǎn)A是BCD所在平面外的一點(diǎn)，且AB=AC,BAC=BCD=90。,

BDC=60。，平面ABC_L平面BCD。

（1）求證平面ABD平面ACD；

（2）求二面角A-BD-C的正切值。

.設(shè)等差數(shù)列工：的前項(xiàng)數(shù)和為已知

30nSn,

4且砧1=求同

&2的通項(xiàng)公式及它的前n項(xiàng)和Tn.

22

x+?=1

31.已知A,B分別是橢圓7廬一’的左右兩個(gè)焦點(diǎn)，。為坐標(biāo)的原

在

點(diǎn)，點(diǎn)P（—l,工"）在橢圓上，線段PB與y軸的焦點(diǎn)M為線段PB

的中心點(diǎn)，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

32.證明：函數(shù)磔F1+x）（xeR）是奇函數(shù)

sm(l80-a)個(gè)由(270+。),stn(360?a)

33.化簡cos(a-180)tan(900+a)cos(a-360)

34.已知雙曲線C的方程為了7,\離心率2,頂點(diǎn)

2歷

到漸近線的距離為可，求雙曲線C的方程

35.某中學(xué)試驗(yàn)班有同學(xué)50名，其中女生30人，男生20人，現(xiàn)在從中

選取2人取參加校際活動，求

(1)選出的2人都是女生的概率。

(2)選出的2人是1男1女的概率。

五、解答題(10題)

36.已知函數(shù)f(x)=4cosxsin(x+7t/6)-1.

(1)求f(x)的最小正周期；

⑵求f(x)在區(qū)間［-兀/6,兀/4］上的最大值和最小值.

37.

已知函數(shù)/(X)=仆一Inx,g(x)=e"+3x,其中aeR.

(I)求/(x)的極值；

〔n〕若存在區(qū)間用,使/(X)和g(x)在區(qū)間用上具有相同的單調(diào)性，求”的取

值Xg].

38.已知A,B分別是橢圓7V=1的左右兩個(gè)焦點(diǎn)，。為坐標(biāo)的原

立

點(diǎn)，點(diǎn)P(-l,2)在橢圓上，線段PB與y軸的焦點(diǎn)M為線段PB

的中心點(diǎn)，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

39.已知數(shù)列｛aQ是公差不為0的等差數(shù)列a1=2,且a2,a3,加+1成等比

數(shù)列.

(1)求數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)bn=2/n(an+2),求數(shù)列｛%｝的前n項(xiàng)和Sn.

求在兩坐標(biāo)軸上截距之和等于4,且與直線5肝3y=0垂直的直線方程.

40.

41.已知函數(shù)f(x)=ex(ax+b)—x2—4x,曲線:y=f(x)在點(diǎn)(0,f(0))處的切

線方程為y=4x+4.

⑴求a,b的值；

⑵討論f(x)的單調(diào)性，并求f(x)的極大值.

42.已知函數(shù)f(x)=x2-2ax+a,

⑴當(dāng)a=2時(shí)，求函數(shù)f(x)在［0,3］上的值域；

⑵若a<0,求使函數(shù)f(x)=x2-2ax+a的定義域?yàn)椋郇D1,1］,值域?yàn)椋垡?,2］

的a的值.

43.已知橢圓C:x2/a2+y2/b2=l(a>b>0)的兩焦點(diǎn)分別FiE點(diǎn)P在橢圓C

上，HZPF2FI=90°,|PFI|=6,|PF2|=2.

(1)求橢圓C的方程；

(2)是否存在直線L與橢圓C相交于A、B兩點(diǎn)，且使線段AB的中點(diǎn)

恰為圓M:x2+y2+4x-2y=0的圓心，如果存在，求直線1的方程；如果不

存在，請說明理由.

44.已知數(shù)列⑶)是等差數(shù)列，且a2=3,a4+as+a6=27

(1)求通項(xiàng)公式an

(2)若bn=a2n,求數(shù)列｛bn｝的前n項(xiàng)和Tn.

45.已知函數(shù)f(x)=log21+x/l-x.

(1)求f(x)的定義域；

(2)討論f(x)的奇偶性；

⑶用定義討論f(x)的單調(diào)性.

六、單選題(0題)

46.函數(shù)y=l/2x2-lnx的單調(diào)遞減區(qū)間為().

B.(0,+oo)D.(0,+oo)

參考答案

l.D

垂直于一個(gè)平面的兩個(gè)平面既可能垂直也可能平行還可能相交。

2.D

本題考查幾何概型概率的計(jì)算。陰影部分的面積為圓面的一半，由幾

何概型可知P=l/2o

3.B

由于B在直線x-y+l=0上，所以可以設(shè)B的坐標(biāo)為(x,x+1),AB

x+1—(—1)x+2

的斜率為X一°X,垂直平分線的斜率為

2,所以有2x,因此點(diǎn)B的坐標(biāo)為

(2,3)o

4.B

點(diǎn)到直線的距離公式.因?yàn)橹本€12的方程可化為3x+4y+l/2=0所以直線

h與直線b的距離為、?=3/2

5.A

由于MS表示既屬于集合M又屬于集合的所有元素的集合，因此MS=

f1)

-XX>

、乙J

6.D

空間幾何體的三視圖.從俯視圖可看出該幾何體上下底面為半徑不等的

圓，正視圖與側(cè)視圖為等腰梯形，故此幾何體為圓臺.

7.D

8.D

9.A

10.D

=C7(_2),

由題意得：Tr+i

：.r=2

7x6

/.C|x(-2)2=；-----x4=84

2x1

11+4,

由題意可設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為/=-2py,

?.?拋物線上的點(diǎn)2）到焦點(diǎn)的距離為

4,

.,.（+2=4,解得p=4.

.?.拋物線的方程為/=一8/

把點(diǎn)“（771,-2）代入/=16,解得zu=±4.

故答案為：±4.

12.160

本題主要考查二項(xiàng)式定理。

展開式中的系數(shù)是縊23=160。

13.

把雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程中的1換成0即得漸近線方

程，化簡即可得到所求.

二.雙曲線方程為金-12=1的，則漸近線方程

94

為線￡一9=o,即4=±&,

943

故答案為*±|x.

14.{x|l<=x<=2}

15.1/2數(shù)列的性質(zhì)卷=1/14尸2,所以a（=l/2

16.100分層抽樣方法.各層之比為200:1200:1000=1:6:5推出從女生中抽

取的人數(shù)240x5/12=100.

17.16.等差數(shù)列的性質(zhì).由S8=32得4(a4+a5)=8,故

a2+2as+a6=2(a4+a5)=16.

18.180,

由等差數(shù)列的性質(zhì)可得

。3+=。4+。6=—4,

又=-12,/.。3,。7為方程

x2+4x-12=0的兩根，

解方程可得兩根為：-6,2,又?.?公差是正

數(shù)，

。3=-6,。7=2,.?.公差d=多~9=2,

(一J

/.即=四—2d=-10,

cz、20x19

So=20x(-10)+---x2=180,

19.1<a<4

20.

土和由于是等比數(shù)列，所以a4=q2a2,得q=

21.

解：設(shè)前三個(gè)數(shù)分別為b-10,b,b+10,因?yàn)閎,b+10成等比數(shù)列且公比為3

3+10、

/.-------=3

b

.,.b+10=3b,b=5

所以四個(gè)數(shù)為-5,5,15,45.

22.解:

(1)因?yàn)椤陜H)=在區(qū)上是奇函數(shù)

所以％-x)=-f(x),f(-1)=4(1)=-2

(2)f(t2-3t+1)>-2=f(-1)

因?yàn)椤陜H)=在R上是減函數(shù),t2-3t+1<-1

所以1<t<2

23.

:解:y=6cos2x+3sin2x

=2>/i(；cos2x+^^sin2x)

=2\/3(sin—cos2x+cos—sin2x)

66

=25/5sin(2x+令

(1)函數(shù)的值域?yàn)閇一26,26].

(2)函數(shù)的最小正周期為7=也=兀.

2

24.

解：⑴由題意可知：——>0,解得：

1+x

:.函數(shù)/(X)的定義域?yàn)閤e(-l,1)

⑵函數(shù)/(x)是奇函數(shù),理由如下：

〃\1l-(-X)11+X11-Xft\

/(-x)=噫--=iog--=-iog--=-/⑴,

1+(-X)a1-xa1+x

函數(shù)/(x)為奇函數(shù)

25.解：(1)設(shè)所求直線I的方程為：2x-y+c=0

?.?直線I過點(diǎn)(3,2)

6-2+c=0

即c=-4

.?.所求直線I的方程為：2x-y-4=0

(2)；當(dāng)x=0時(shí)，y=-4

直線I在y軸上的截距為-4

26.

解：(1)證明過程略

(2)解析：：平面AKPL面ACD，平倒ABD平面ACD=￡D作B￡

±APTE

則B￡L平面ACD作BF_LAC于F

連接￡FAEFJ.AC:.為所求角

設(shè)BD=u則AC=2V2aBT-71a

27.x2-6x+8>0,.\x>4,x<2(1)

—>2:.得w

x-1x-1(2)

聯(lián)系(1)(2)得不等式組的解集為卜卜AV：'或4<J<W

28.

V函&*)=是奇函數(shù)/(x)=-/(-X)

bx+c

ax2+1_ax2+1

-bx-￥cbx-￥c.,.得2c=0.,.得c=0

。+1一2

又?.?由f(1)=2.?.得b

把1<32

又〈fa)<3b.,.得0<b<2

/八x3+l

J(X)=

VbeZ，b=lx

(2)設(shè)一IV-vXzvo

八)-仆)=業(yè)-在

x2X1

=(芍_])+'X

Xlh

必>々.\X2-Xj>0￡>再了^*0/(馬)-/(勺)<0

若Xi<Xj<-1時(shí)/(Xj)-/(X1)>O

故當(dāng)X<-1時(shí)為增函數(shù)；當(dāng)一iwx<o為減函數(shù)

29.分析：本題考查面面垂直的證明，考查二面角的正切值的求法。

(1)推導(dǎo)出CD_LAB,AB1AC,由此能證明平面ABDJ_平面

ACDo

(2)取BC中點(diǎn)O,以O(shè)為原點(diǎn)，過O作CD的平行線為x軸，OC

為y軸，OA為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角

A-BD-C的正切值。

解答：

證明：(I):?面ABC_L底面BCD,ZBCD=90°,面ABCCl面

z

A

A

>y

BCD=BC,x

.'CD_L平面ABC,ACD±AB,

VZBAC=90°,AAB±AC,

VACnCD=C,

二.平面ABD_L平面ACDo

解：（II）取BC中點(diǎn)O,?.,面ABC，底面BCD,NBAC=90。,

AB=AC,

.,.A01BC,，AOJ_平面BDC,

以O(shè)為原點(diǎn)，過O作CD的平行線為X軸，OC為y軸，OA為Z軸,

建立空間直角坐標(biāo)系,

A(0,0,v/2a),B(0,-y/2a,0),D/a,0),

o

LL"T""2\/3CLLr-

AB=(0,-6a,-\/2a),AD=(―^,>/2a,-^2a).

o

設(shè)平面ABD的法向量m=(x,y,z),

m?AB=—\^2ay—y/2az=0=

則__'取y=1,得n=(-述，1,-1),

~n?AD=+\/2ay—\/2az

J=0

平面BDC的法向量有=(00,1),

設(shè)二面角A-BD-C的平面角為仇

c\m?'n\1I12V7L

貝kos6=---------=——,sin0=./1—(——)=——,tanB=。.

|m|.|n|2y/2丫2聲2通

.??二面角A-BD-C的正切值為。.

j_2

30.(1),/ajsis5生+&=21，勺="=1

又二?等差數(shù)列人；

31.點(diǎn)M是線段PB的中點(diǎn)

又TOMl.AB,.\PA±AB

則c=lJ+=1,a2=b2+c2

解得，a2=2,b2=l,c2=l

?+2T

因此橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為萬一

32.證明：V/W=lg(Vxa+l+x)

=1g(Jx'+l-x)=-/(x)

則，此函數(shù)為奇函數(shù)

33.sina

34.

35.(1)2人都是女生的概率P=C(2,30)/C(2,50)=30*29/(50*49)=0.35510

(2)2人都是男生的概率P=C(2,20)/C(2,50)=20*19/(50*49)=0.15510

選出的一男一女的概率P=C(l,20)*C(l,30)

￡(2,50)=20*30/((50*49)/2)=0.4897

36.

⑴因?yàn)?(*》TcoiLr.iiKjr+1)一】

o

.4eofir(巨sivkr+coax)-1―4sinZx+

27

2coJ?r-I-?CQ^ZJ2黑in(2x+；》.

6

所以/(』)的最小正周期為x.

(2)因?yàn)橐籢WrGj.所以一!—

v4O0J

于是.當(dāng)2x++-＞即*=+時(shí),0i)取網(wǎng)最

大值2,當(dāng)lr+，?一即*—一1時(shí)?/(1)

QOV

取傅?小值-I.

37.

〔I〕解：/(X)的定義域?yàn)?0,+8),

_1ax-1

且/'(K)=〃——=-------.

XX

①當(dāng)0<0時(shí),/r(.v)<0,故/(女)在(0,+8)上單調(diào)遞減.

從而/(#沒有極大值，也沒有極小值.

②當(dāng)a>0時(shí)，令/")=0,得x=，.

a

/(X)和/'(X)的情況如下：

1(L+)

(0，)

X4Cl

a

/'(J)0

十

/(X

Z

故/(X)的單調(diào)減區(qū)間為(0」)；單調(diào)增區(qū)間為J,+OO).

〔口〕解：g(x)的定義域?yàn)镽，且g'(x)="e"+3.

③當(dāng)a>0時(shí)，顯然g'(x)>0,從而g(x)在R上單調(diào)遞增.

由〔I〕得，此時(shí)/(川在(一，+8)上單調(diào)遞增，符合題意.

a

④當(dāng)。=0時(shí)，g(x)在R上單調(diào)遞增，/(X)在(0.+8)上單調(diào)遞減，不合題意.

分

⑤當(dāng)“<()時(shí),令g，(x)=0,得Xo=」ln(_3).

aa

g(x)和g'(x)的情況如下表：

(—QO?-V)()

(I*X",+a

X

g'())0

+

J?(-V

\z

當(dāng)-3"<0時(shí)，xo?0,此時(shí)g(x)在(.%,+oc)上單調(diào)遞增，由于/(x)在

(0.+8)上單調(diào)遞減，不合題意.

當(dāng)“<一3時(shí)，一%>0,此時(shí)g(x)在(-co,%)上單調(diào)遞減，由于/(幻在(O.+oc)

上單調(diào)遞減，符合題意.

綜上，”的取值X圍是(fc,-3)U(0，+8).

38.點(diǎn)M是線段PB的中點(diǎn)

XVOM±AB,.\PA±AB

11

則c=la+"=1,a2=b2+c2

解得，a2=2,b2=l,c2=l

—X4.-V2=《1

因此橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為2-

39.⑴設(shè)數(shù)列⑶｝的公差為d,由ai=2和a2,a3,初+1成等比數(shù)列,得

(2+2d)2=(2+d).(3+3d),解得6=2,或d=-l,當(dāng)d=-l時(shí)as=O與a2,

a3,加+1成等比數(shù)列矛盾，舍去.所以d=2,所以an=ai+(n-l)d=2+2(n-

l)=2n即數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式an=2n.

(2)b?=----------=——_______1二

n?(a?4-2)n(,2n4-2)n(n+1)

1__2_s_i_i,ii..i

11

〃+1n+1*

40.

設(shè)所求的直線方程為廣kx生

依題意‘

，十八

3

解得5

b=-6

???斯求的直線方程為尸J-6,即3x-5廣30=0

41.

巳知得八0)-4.>0)-4.被6=$.a+6=8.從

而a-4.6?4,

(2)由《1》知?/(1)(/+】>一/一4了.

八上)-4e*(x4-2)-2x-4-4(x4-2)?(??

Q).令/(x)-0WJ=-In2或，--2.從南

—2)U<-In2.+??)IH.fix>>

。，當(dāng)上12.ln2)H.r(^X0.ft/(x)ft

?—00?一2)?《一||?2.+8)上?，遽增.在(一2?

/(x)*

得快大做,極大值為?).

42.

(1)當(dāng)a?2時(shí)?/(1>=+2.圖

象關(guān)于2對稱：???/W［0,3］.??八］)在［0*2］

上小調(diào)減,在［2.3］上單調(diào)增".最小值為八2)

.一2,而八0)-2,八3)-一1,值域?yàn)椋?2.2］.

(/(i)-2.11fl

(2)當(dāng)一IGa&0時(shí),有，，、,即

(/(a)=■-Zt

</(l)-1-a-2.+

|解用a—一】；當(dāng)aV-I時(shí).

|/(a)=a—a7?

//(―1)=-2.(1+2a+a=-2.

J|=*a?一1,舍

|/(1)=2.(1-2a+a=2

去.琮匕所述。二-1.

43.

(1)由神網(wǎng)的定義得.2a=|PF,1+

|PF,I=6+2=?8.a=4又/PF.Ft=90",

1,,

??.(2c)=1PFtT-lPFt|*=32,r*-8,..6-

a1—c2=16—8=8.*.橢網(wǎng)C的方程￡a5=L

Lbo

（2）答：存在.假設(shè)存在有線I清足題設(shè)條件.；

圓M1/+*'+4JT—2y=0.*.喇心M（—2.1）不

在彳軸上二直線/_L/軸也然不滿足條件.當(dāng)直

線/與工軸不垂直時(shí),設(shè)直線/的方程為y1-

y—1=k(x4-2)

&(ar+2).如三十￡=1消去y得（2公+

168

2

l)x+4A(2A+1)H+2(2*+1)：—16=0.

16i,(2*+I)24(2*!+1)[2(244-1)1-16]=

96*:-32A+56>0恒成立.設(shè)A(x,.「)、

Al,（2h1）

B（工？~2）??.如+4=一竺療言?線段AB